異方差時間序列模型

關于異方差時間序列模型第一頁，共四十九頁，2022年，8月28日Contents第一節(jié)問題的提出第二節(jié)ARCH模型第三節(jié)GARCH模型第四節(jié)其他GARCH模型第二頁，共四十九頁，2022年，8月28日第一節(jié)

問題的提出

在自回歸移動平均模型中，我們主要討論平穩(wěn)時間序列的建模問題，由于針對平穩(wěn)序列，實際上假定任一時點的隨機誤差項的期望值是相同的，一般為0，同時假定任一隨機誤差項平方的期望值就是隨機誤差的方差，即同方差。但是在金融市場上，金融資產報酬序列具有這樣的特性，大的報酬緊連著大的報酬，小的報酬緊連著小的報酬，稱為波動集群性(Mandelbrot,1963、Fama,1965)。波動集群性表明股票報酬波動是時變的，表明是異方差。異方差雖然不會影響回歸系數的最小二乘估計的無偏性，但是將影響到回歸系數估計的標準差和置信區(qū)間。例如，匯率，股票價格常常用隨機游走過程描述，第三頁，共四十九頁，2022年，8月28日其中ut為白噪聲過程。1995-2000年日元兌美元匯率時間序列及差分序列見圖1和圖2。圖1日元兌美元匯率序列JPY(1995-2000)

圖2日元兌美元匯率差分序列(收益)D(JPY)第四頁，共四十九頁，2022年，8月28日圖3收益絕對值序列(1995-2000)圖4D(JPY)的平方(1995-2000)

這種序列的特征是（1）過程的方差不僅隨時間變化，而且有時變化得很激烈。（2）按時間觀察，表現出“波動集群”（volatilityclustering）特征，即方差在一定時段中比較小，而在另一時段中比較大。（3）從取值的分布看表現的則是“高峰厚尾”（leptokurtosisandfat-tail）特征，即均值附近與尾區(qū)的概率值比正態(tài)分布大，而其余區(qū)域的概率比正態(tài)分布小。圖5給出高峰厚尾分布示意圖。圖6給出一個高峰厚尾分布實例。第五頁，共四十九頁，2022年，8月28日第六頁，共四十九頁，2022年，8月28日顯然現期方差與前期的“波動”有關系。描述這類關系的模型稱為自回歸條件異方差（ARCH）模型（Engle1982年提出）。使用ARCH模型的理由是：（1）通過預測xt或ut的變化量評估股票的持有或交易對收益所帶來的風險有多大，以及決策的代價有多大；（2）可以預測xt的置信區(qū)間，它是隨時間變化的；（3）對條件異方差進行正確估計后可以使回歸參數的估計量更具有有效性。第七頁，共四十九頁，2022年，8月28日為了說得更具體，讓我們回到k-變量回歸模型：如果ut的均值為零，對yt取基于(t-1)時刻的信息的期望，即Et-1(yt)，有如下的關系：由于yt的均值近似等于式（1）的估計值，所以式（1）也稱為均值方程。(1)(2)第八頁，共四十九頁，2022年，8月28日假設在時刻(t1)所有信息已知的條件下，擾動項ut的條件分布是：

也就是，ut遵循以0為均值，(0+1u2t-1

)為方差的正態(tài)分布。由于(3)中ut的方差依賴于前期的平方擾動項，我們稱它為ARCH(1)過程：(3)通常用極大似然估計得到參數0,1,2,,k,0,1的有效估計。第九頁，共四十九頁，2022年，8月28日第二節(jié)ARCH模型一、ARCH模型的定義若一個平穩(wěn)隨機變量xt可以表示為AR(p)形式，其隨機誤差項的方差可用誤差項平方的q階分布滯后模型描述，（1）（2）則稱ut

服從q階的ARCH過程，記作utARCH(q)。其中(1)式稱作均值方程，(2)式稱作ARCH方程。第十頁，共四十九頁，2022年，8月28日(1)和(2)式還應滿足如下條件。對于(1)式，為保證平穩(wěn)性，特征方程的根應在單位圓之外。xt的條件期望是xt

的無條件期望（T時）是對于(2)式，由于

的非負性，對i應有如下約束，當全部i=0,i=1,2,…,q時，條件方差

。因為方差是非負的，所以要求0>0。為保證

是一個平穩(wěn)過程，(2)式的特征方程第十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日的根應在單位圓之外。對i,i=1,2,…,q的另一個約束是對（2）式求期望的：則無條件方差為：可見若保證是一個平穩(wěn)過程，應該有約束0(1+2+…+q)<1。因為Var(xt)=Var(ut)=

，所以上式可以用來預測xt的方差。當T→∞時：第十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日

二、ARCH模型的極大似然估計ARCH模型經常應用在回歸模型中。其中=(0

1,…,k-1)‘,xt=(1x1,…,xk-1)’（xt的分量也可以包括yt的滯后變量），utARCH(q)。為計算方便，假定已知yt,xt的T+q組觀測值，從而保證估計參數所用的樣本容量為T。utARCH(q)可以表示為：其中vtIID(0,1)，vt與xt相互獨立，所以有

，E(ut)=0。yt服從正態(tài)分布，概率密度函數為第十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日其中：用參數和=(0

1

2…q)'組成參數向量，對數似然函數是:求的極大似然估計量就是求使logL()在=處獲得極大值。求logL()對

的偏導數，第十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日第十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日在上式為零條件下求到的即是的極大似然估計量。具有一致性。第十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日

三、ARCH模型檢驗在均值方程（回歸模型或時間序列模型）的誤差項中是否存在自回歸條件異方差應該進行假設檢驗。檢驗ARCH可以使用F、LM、LR、W統計量。下面介紹F、LM檢驗。1、自回歸條件異方差的LM檢驗。①建立原假設H0：1=2=…=q=0（不存在ARCH）H1：1,2,…,q不全為零在原假設成立條件下，OLS估計量是一致的、有效的；在備擇假設成立條件下，OLS估計量是一致的，但不是有效的。先介紹使用LM統計量檢驗H0。因為計算LM統計量的值，只需估計原假設成立條件下的方程。具體步驟是：第十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日②估計，求，計算。③估計輔助回歸式④用第3步得到的可決系數R2構成統計量LM=TR2。其中T表示輔助回歸式的樣本容量。在原假設成立條件下有若LM<，接受H0。若LM>

，接受H1。注意：輔助回歸式中要有常數項0。第十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日2、自回歸條件異方差的F檢驗。①建立原假設

H0：1=2=…=q=0（不存在ARCH）

H1：1,2

,…,q不全為零②估計yt=xt‘+ut，求，計算。③用估計2個輔助回歸式④構造F統計量，在原假設成立條件下有注意：輔助回歸式中要有常數項0。

若F<F,(q,T–q-1)，接受H0。若F>F,(q,T-q-1)，接受H1。（約束模型，同方差）（非約束模型，存在ARCH）第十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日3、自回歸條件異方差的LR檢驗。①建立原假設

H0：1=2=…=q=0（不存在ARCH）

H1：1,2

,…,q不全為零②估計yt=xt‘+ut，求，計算。③用估計2個輔助回歸式，并計算極大似然函數值LogLr和LogLu④用LogLr和LogLu構造LR統計量，在原假設成立條件下有（約束模型，同方差）（非約束模型，存在ARCH）

若，接受H0。若，接受H1。如果結論是應該建立ARCH模型，則進一步應該對ARCH模型的階數q進行檢驗。對此可采用t檢驗。第二十頁，共四十九頁，2022年，8月28日4、自回歸條件異方差的Q檢驗。殘差平方意味著方差，若存在自相關，說明存在自回歸條件異方差。第二十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日四、ARCH模型檢驗（EViews操作案例）日元兌美元匯率值（1427個）序列（JPY）見圖。極小值為81.12日元，極大值為147.14日元。其均值為112.93日元，標準差是13.3日元。1995年4月曾一度達到81.12日元兌1美元。1998年8月達到147.14日元兌1美元。JPY顯然是一個非平穩(wěn)序列。JPY的差分序列D(JPY)表示收益，見圖9.2。因為D(JPY)是平穩(wěn)序列，用D(JPY)建立時間序列模型。第二十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日通過相關圖和偏自相關圖分析，應該建立AR(3)或MA(3)模型。建立AR(3)模型如下：(2.0)(-3.3)R2=0.01，DW=1.91，Q(15)=8.6第二十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日

方法1：通過Q檢驗考察AR(3)模型中是否存在自回歸條件異方差。第二十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日

方法2：ARCH的LM檢驗。在均值方程估計窗口，選ARCH的LM檢驗。用1階檢驗式檢驗。(9.4)(9.9)R2=0.0643,T=1423第二十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日

方法3、4：自回歸條件異方差的F檢驗和LR檢驗。用參差平方序列1階自回歸檢驗式做參數約束的F檢驗和LR檢驗第二十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日

例中國CPI模型的ARCH檢驗

本例建立CPI模型，因變量為中國的消費價格指數（上年同月=100）減去100，記為cpit；解釋變量選擇貨幣政策變量：狹義貨幣供應量M1的增長率，記為m1rt；3年期貸款利率，記為Rt，樣本期間是1994年1月～2007年12月。由于是月度數據，利用X-12季節(jié)調整方法對cpit和m1rt進行了調整，結果如下：t=(19.5)(-5.17)(2.88)(-2.74)R2=0.99對數似然值

=-167.79AIC=2.045SC=2.12第二十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日

這個方程的統計量很顯著，擬合的程度也很好。但是觀察該回歸方程的殘差圖，也可以注意到波動的“成群”現象：波動在一些時期內較小，在其他一些時期內較大，這說明誤差項可能具有條件異方差性。第二十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日

從自相關系數和偏自相關系數可以看出：殘差序列存在著一階ARCH效應。再進行條件異方差的ARCHLM檢驗，得到了在滯后階數p=1時的ARCHLM檢驗結果：

因此計算殘差平方?t2的自相關（AC）和偏自相關（PAC）系數，結果如下：第二十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日

從自相關系數和偏自相關系數可以看出：殘差序列存在著一階ARCH效應。因此利用ARCH(1)模型重新估計模型，結果如下：均值方程：

z=(12.53)(-1.53)(4.72)(-3.85)

方差方程：

z=(5.03)(3.214)

R2=0.99對數似然值=-151.13AIC=1.87SC=1.98

方差方程中的ARCH項的系數是統計顯著的，并且對數似然值有所增加，同時AIC和SC值都變小了，這說明ARCH(1)模型能夠更好的擬合數據。第三十頁，共四十九頁，2022年，8月28日

再對這個方程進行條件異方差的ARCHLM檢驗，得到了殘差序列在滯后階數p=1時的統計結果：此時的相伴概率為0.69，接受原假設，認為該殘差序列不存在ARCH效應，說明利用ARCH(1)模型消除了殘差序列的條件異方差性。殘差平方相關圖的檢驗結果為：自相關系數和偏自相關系數近似為0。這個結果也說明了殘差序列不再存在ARCH效應。

第三十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日第三節(jié)GARCH模型一、GARCH模型定義擾動項ut的方差常常依賴于很多時刻之前的變化量（特別是在金融領域，采用日數據或周數據的應用更是如此）。因此必須估計很多參數，而這一點很難精確的做到。但是如果我們能夠意識到方差方程不過是t2的分布滯后模型，我們就能夠用一個或兩個t2的滯后值代替許多ut2的滯后值，這就是廣義自回歸條件異方差模型(GeneralizedAutoRegressiveConditionalHeteroscedasticitymodel，簡記為GARCH模型)。在GARCH模型中，要考慮兩個不同的設定：一個是條件均值，另一個是條件方差。第三十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日

在標準化的GARCH(1,1)模型中：均值方程：方差方程：其中：xt是(k+1)×1維外生變量向量，是(k+1)×1維系數向量。均值方程是一個帶有擾動項的外生變量函數。由于t2是以前面信息為基礎的一期向前預測方差，所以它被稱作條件方差，也被稱作條件方差方程。第三十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日條件方差方程是下面三項的函數：

1．常數項（均值）：

2．用均值方程的擾動項平方的滯后來度量從前期得到的波動性的信息：ut-12（ARCH項）。

3．上一期的預測方差：t2-1

（GARCH項）。

GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指階數為1的GARCH項（括號中的第一項）和階數為1的ARCH項（括號中的第二項）。一個普通的ARCH模型是GARCH模型的一個特例，GARCH(0,1)，即在條件方差方程中不存在滯后預測方差t2-1的說明。第三十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日

在EViews中ARCH模型是在擾動項是條件正態(tài)分布的假定下，通過極大似然函數方法估計的。例如，對于GARCH(1,1)，t時期的對數似然函數為：其中這個說明通?？梢栽诮鹑陬I域得到解釋，因為代理商或貿易商可以通過建立長期均值的加權平均（常數），上期的預期方差（GARCH項）和在以前各期中觀測到的關于變動性的信息（ARCH項）來預測本期的方差。如果上升或下降的資產收益出乎意料地大，那么貿易商將會增加對下期方差的預期。這個模型還包括了經?？梢栽谪攧帐找鏀祿锌吹降淖儎咏M，在這些數據中，收益的巨大變化可能伴隨著更進一步的巨大變化。第三十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日

有兩個可供選擇的方差方程的描述可以幫助解釋這個模型：

1．如果我們用條件方差的滯后遞歸地替代方差方程的右端，就可以將條件方差表示為滯后擾動項平方的加權平均：我們看到GARCH(1,1)方差說明與樣本方差類似，但是，它包含了在更大滯后階數上的，擾動項的加權條件方差。第三十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日2．設vt=ut2t2。用其替代方差方程中的方差并整理，得到關于擾動項平方的模型：因此，擾動項平方服從一個異方差ARMA(1,1)過程。決定波動沖擊持久性的自回歸的根是加的和。在很多情況下，這個根非常接近1，所以沖擊會逐漸減弱。第三十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日

高階GARCH(p,q)模型高階GARCH模型可以通過選擇大于1的p或q得到估計，記作GARCH(p,q)。其方差表示為：

這里，p是GARCH項的階數，q是ARCH項的階數，p>0并且,(L)和(L)是滯后算子多項式。第三十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日

為了使GARCH(q,p)模型的條件方差有明確的定義，相應的ARCH(∞)模型的所有系數都必須是正數。只要(L)和(L)沒有相同的根并且(L)的根全部位于單位圓外，那么當且僅當0=0/(1-(L))，(L)=(L)/(1-(L))的所有系數都非負時，這個正數限定條件才會滿足。例如，對于GARCH(1,1)模型這些條件要求所有的3個參數都是非負數。第三十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日

GARCH模型的檢驗當原假設H0是ARCH(0)時，顯然備擇假設H1有兩個。一個是ARCH(r)，一個是GARCH(r,0)。若原假設H0是ARCH(1)，則備擇假設H1可以是ARCH(1+r)，也可以是GARCH(r,1)。同理若原假設H0是ARCH(q)，備擇假設H1可以有兩個。ARCH(q+r)和GARCH(r,q)。LM統計量無法區(qū)別這兩個備擇假設。但仍然可以做LM檢驗。在實際應用中，備擇假設既可以是ARCH，也可以是GARCH。對于q值很大的ARCH模型，建議使用GARCH模型。在實際應用中，GARCH(1,1)和GARCH(2,1)一般足以滿足對自回歸條件異方差的描述。第四十頁，共四十九頁，2022年，8月28日第四節(jié)

其他GARCH模型一、IGARCH模型

對于ARCH(p)

模型和GARCH(p,q)

模型，在實際應用中，條件有時不能得到滿足。下面以GARCH(1,1)模型為例進行討論。（保證可以轉換成無限階的ARCH過程）（保證GARCH過程平穩(wěn)）第四十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日用分別表示對1,1的估計。有時會出現甚至，。例如Engle-Chowdury（1992）對IBM收益率序列估計時，得如下結果，第四十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日2．回推在計算GARCH模型的回推初始方差時，首先用系數值來計算均值方程中的殘差，然后計算初始值的指數平滑算子（）其中：是來自均值方程的殘差，是無條件方差的估計：（）平滑參數λ為0.1至1之間的數值。也可以使用無條件方差來初始化GARCH過程：（）第四十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日6.1.6GARCH模型的殘差分布假設在實踐中我們注意到，許多時間序列，特別是金融時間序列的無條件分布往往具有比正態(tài)分布更寬的尾部。為了更精確地描述這些時間序列分布的尾部特征，還需要對誤差項ut的分布進行假設。GARCH模型中的擾動項的分布，一般會有3個假設：正態(tài)（高斯）分布、學生t-分布和廣義誤差分布（GED）。給定一個分布假設，GARCH模型常常使用極大似然估計法進行估計。下面分別介紹這3種分布，其中的

代表參數向量。

1．對于擾動項服從正態(tài)分布的GARCH(1,1)模型，它的對數似然函數為（）這里的t2是ut的條件方差。第四十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日2．如果擾動項服從學生t分布，GARCH(1,1)模型的對數似然函數的形式就是

（）這樣，參數的估計就變成了在自由度k>2的約