多目標(biāo)決策技術(shù)培訓(xùn)教程

第八章

多目標(biāo)決策技術(shù)

預(yù)測與決策技術(shù)主講教師

李時

前面幾章，我們討論的是單目標(biāo)決策問題。然而現(xiàn)實世界中的決策問題，決策者考慮的目標(biāo)往往不只一個。如企業(yè)的投資項目決策，既要考慮生產(chǎn)生命周期、市場需求、創(chuàng)匯能力、凈收益、產(chǎn)品成本等經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，又要考慮保護(hù)生態(tài)環(huán)境、促進(jìn)就業(yè)等社會指標(biāo)。象這種在決策時要考慮多項目標(biāo)的決策問題就是多目標(biāo)決策問題。

多目標(biāo)決策問題有兩個明顯的基本特點：

1．目標(biāo)之間的不可公度性。即各個目標(biāo)之間沒有一個統(tǒng)一的度量標(biāo)準(zhǔn)，因而難以直接進(jìn)行比較。例如投資項目決策問題中，項目凈收益用萬元計，而投資回收期卻以年（或月）計。

2．目標(biāo)之間的矛盾性。即某一目標(biāo)的改善往往會使其他目標(biāo)變壞。例如項目投資增加，會使利潤增加，但可能會使投資回收期變長，以及環(huán)境污染加重。

由于上述特點就使得多目標(biāo)決策比單目標(biāo)決策要困難和復(fù)雜得多。要尋找使各個目標(biāo)都達(dá)到最優(yōu)的所謂絕對最優(yōu)方案（或稱絕對最優(yōu)解），往往是不現(xiàn)實的。通常的作用法就是在各個目標(biāo)之間，在各種限制條件下尋找一種合理的妥協(xié)。即在非絕對最優(yōu)方案，通常稱為非劣方案（非劣解）或稱有效方案（有效解）中選擇一個比較滿意的方案。按照不同的評價準(zhǔn)則，從不同的角度去選擇非劣方案便構(gòu)成了不同的多目標(biāo)決策方法。多目標(biāo)決策方法很多，我們只介紹其中比較成熟的兩種方法?！?層次分析法層次分析法簡稱AHP法（AnalyticHierarchyProcess），它是美國著名運籌學(xué)家薩蒂（Saatty）教授在20世紀(jì)70年代提出的一種定性與定量相結(jié)合的多目標(biāo)決策方法，現(xiàn)已被廣泛應(yīng)用。一、層次分析法的基本原理

在多目標(biāo)決策問題中，針對某些目標(biāo)，方案的評價結(jié)果往往難以定量化、精確化。這就需要把目標(biāo)進(jìn)一步分解，利用可精確化、定量化的子目標(biāo)系統(tǒng)來反映對方案的評價。

層次分析法的基本思想是：把決策問題按總目標(biāo)、子目標(biāo)、評價準(zhǔn)則直至具體方案的順序分解為若干層次，相鄰層次元素之間存在著特定的邏輯關(guān)系。分成有序的層次結(jié)構(gòu)以后，對每一個上層元素，把與之有邏輯關(guān)系的下層元素兩兩對比，給出以定量數(shù)字表示的“判斷矩陣”。通過判斷矩陣的最大特征根及其特征向量，求出每一層次的各元素對上一層次各元素的權(quán)重系數(shù)。最后利用加權(quán)和的方法，由低到高，一層層遞階歸并，求出各方案對總目標(biāo)的權(quán)數(shù)，其中權(quán)數(shù)最大者對應(yīng)的方案即為優(yōu)先方案。

二、層次分析法的基本步驟

第一步：建立層次結(jié)構(gòu)模型。

最高層：表示決策問題所要達(dá)到的總目標(biāo)，常稱為目標(biāo)層或總目標(biāo)層。

中間層：可以包括不止一個層次。是為實現(xiàn)總目標(biāo)而細(xì)分的子目標(biāo)，也可以是為實現(xiàn)總目標(biāo)或子目標(biāo)而需要考慮的約束或準(zhǔn)則。相應(yīng)的層次常稱為子目標(biāo)層、準(zhǔn)則層等。

最低層：一般是解決問題的方案、政策或措施等。因此，常稱為方案層或措施層。

第二步：構(gòu)造判斷矩陣。

判斷矩陣是定性判斷過度到定量計算的基礎(chǔ)。它是針對上一層次某元素而言，本層次有關(guān)元素兩兩重要性的比較結(jié)果。為了說明判斷矩陣的構(gòu)造原理，我們先從物體的重量對比談起。設(shè)有n件物體A1，A2，…，An，其重量分別為ω1，ω2，…，ωn，若將它們兩兩比較重量，其比值可構(gòu)成n×n矩陣A：矩陣A具有如下性質(zhì)：若用重量向量W=(ω1，ω2，…，ωn)T右乘A，可得

AW=nW

這說明n為矩陣A的特征根，向量W是對應(yīng)于特征根n的特征向量。如果記aij=ωi/ωj，顯然矩陣A的元素aij具有如下三條性質(zhì)：⑴aii=1；⑵aij=1/aji；⑶aij=aik·akj，i，j=1，2，…，n．由矩陣?yán)碚撘字?，滿足上述三條性質(zhì)的矩陣A的最大特征根

λmax=n,其余特征根為0。我們在層次分析法中所用的比較元素之間重要性的判斷矩陣，就是用類似于上述比較物體間重量的方法構(gòu)造的。設(shè)B層元素Bk與下一層元素A1，A2，…，An有關(guān)系，對于Bk而言，Ai與Aj比較后，其相對重要性記為aij，則有判斷矩陣：A=(aij)n×n,也可表示為如下表格形式：

一般來講，元素的重要性很難象物體重量那樣準(zhǔn)確衡量，因此，aij很難精確給出，一般按下表所給出的標(biāo)準(zhǔn)來確定。BkA1A2…AnA1A2┆Ana11a12…a1na21a22…a2n┆

┆

┆an1an2…annaij取值

含義

1Ai與Aj同樣重要

3Ai比Aj稍微重要

5Ai

比Aj明顯重要

7Ai

比Aj重要得多

9Ai

比Aj極端重要

2，4，6，8介于上述相鄰兩種情況之間

以上各數(shù)的倒數(shù)

兩元素反過來比較

如：第三步：求判斷矩陣的最大特征根和相應(yīng)的特征向量。如果判斷矩陣滿足前述三條性質(zhì)，則稱該判斷矩陣具有完全一致性。此時，便可知其最大特征根λmax=n所對應(yīng)的特征向量為各元素重要性的權(quán)數(shù)。但是由于客觀事物的復(fù)雜性和人們認(rèn)識上的多樣性以及主觀上的片面性和不穩(wěn)定性，用兩兩對比的方法構(gòu)造出的判斷矩陣，既使有前表為參照標(biāo)準(zhǔn)也常常不滿足第三條性質(zhì)：aij=aik·akj，因而不是完全一致性判斷矩陣。若離完全一致性不遠(yuǎn)，則判斷矩陣基本可用，這時最大特征根λmax≠n，就要設(shè)法求出判斷矩陣的最大特征根及其相應(yīng)的特征向量。

當(dāng)矩陣A的階數(shù)較大時，用一般的代數(shù)方法計算相當(dāng)麻煩。下面我們介紹一種簡單的近似算法——方根法，其步驟為：⑴計算判斷矩陣A中每行所有元素的幾何平均值：

⑵對向量M=(m1,m2,…，mn)T作歸一化處理，即令

所得向量W=(ω1，ω2，…，ωn)T即為判斷矩陣A的最大特征根對應(yīng)的（歸一化）特征向量的近似值。

⑶計算判斷矩陣A的最大特征根：其中(AW)i為向量AW的第i個元素。

事實上，由AW=λmaxW，有(AW)i=λmaxωi，i=1，2，…，n.（12.5.6）式實際是這n個等式求得的λmax的平均值。如果記W-1=(1/ω1,1/ω2,…，1/ωn)T，（12.5.6）式也可表為矩陣乘積形式：第四步：判斷矩陣的一致性檢驗。前面已述及，當(dāng)判斷矩陣具有完全一致性時，其最大特征根λmax=n，但人們對復(fù)雜事物兩兩重要性的比較，很難做到判斷的一致性，因此，所給出的判斷矩陣往往不具有完全的一致性，此時,λmax≠n,這就有必要檢驗判斷矩陣與完全一致性相差多遠(yuǎn)。所用的檢驗指標(biāo)是：

CI稱為一致性指標(biāo)。當(dāng)λmax=n時。CI=0，為完全一致；CI值越大，判斷矩陣的完全一致性越差。由于一致偏離可由隨機(jī)因素引起，所以在檢驗判斷矩陣的一致性時，要將CI與平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI進(jìn)行比較，得出檢驗數(shù)CR，即CR＝CI/RI

只要CR<0.1，就可以認(rèn)為判斷矩陣具有滿意的一致性，否則，需要重新分析賦值，調(diào)整判斷矩陣，直到檢驗通過為止。平均隨機(jī)一致性指標(biāo)同判斷矩陣的階數(shù)有關(guān)，一般情況下，矩陣階數(shù)越大，出現(xiàn)一致性隨機(jī)偏離的可能性也愈大，下表給出了階數(shù)為3～10時的RI值。RI值是計算500個3至9階隨機(jī)樣本矩陣的一致性指標(biāo)，然后求其平均得出的。隨機(jī)一致性指標(biāo)RI值表

階數(shù)345678910RI0.580.901.121.241.321.411.451.49

因為二階矩陣的完全一致性可以保證，所以，只有三階以上的判斷矩陣才需檢驗。

例求下面給出的判斷矩陣A的最大特征根及特征向量，并做一致性檢驗。解：⑴計算A中各行所有元素的幾何平均值：⑵歸一化：⑶計算最大特征根:⑷一致性檢驗：CR＝CI/CR=0.0024÷0.58＝0.004＜0.1故判斷矩陣A具有滿意的一致性。

第五步：層層次加權(quán)。。如果某層的的判斷矩陣陣經(jīng)檢驗具具有滿意的的一致性，，則按前述述方法求得得的特征向向量即可做做為該層各各元素相應(yīng)應(yīng)的權(quán)數(shù)。。設(shè)第t層有m個元素，第第t+1層有n個元素，那那么對于第第t層的第i個元素，可可以求得第第t+1層各元素對對它的權(quán)重重行向量:Wi=(ωi1,ωi2,…，ωin)，i=1，2，…，m，（注意：若第第t+1層的第j個元素與第第t層的第i個元素?zé)o聯(lián)聯(lián)系時，ωij=0）于是可以用用Wi為行，得到到表示第t層和第t+1層各元素之之間重要程程度的權(quán)重重矩陣，記記為W（t）設(shè)決策問題題可分為ι+1層，總目標(biāo)標(biāo)記為第0層，依次次記為第1層，第2層，…，，第ι層，第t層相對于上上一層的權(quán)權(quán)重矩陣為為W（t），則由W總=W（1）W（2）.…W（ι），算得的行向向量各元素素，即最底底層各方案案對總目標(biāo)標(biāo)的權(quán)數(shù)，，其中權(quán)數(shù)數(shù)最大的方方案就是優(yōu)優(yōu)先方案。。三、層次分分析法的應(yīng)應(yīng)用例6某某地興建一一大型工業(yè)業(yè)項目，需需考慮的主主要目標(biāo)有有：投資回回收期、年年產(chǎn)值、可可提供的就就業(yè)機(jī)會、、對當(dāng)?shù)毓すI(yè)的影響響。經(jīng)過可可行性研究究后有三個個方案可供供選擇，其其基本情況況如下表所所列，試用用層次分析析法確定優(yōu)優(yōu)先方案。。目標(biāo)

目標(biāo)值

方案投資回收期(年)年產(chǎn)值(萬元)

可提供的就業(yè)機(jī)會(人)

對當(dāng)?shù)毓I(yè)的影響

方案一

方案二

方案三

5811500090001500080020001400無影響

略有促進(jìn)作用

起帶動作用

解：⑴建立層層次結(jié)構(gòu)模模型：依題題意可建立立如下圖所所示的層次次結(jié)構(gòu)圖:滿意的項目目A投資回收期期B1年產(chǎn)值值B2提供的就業(yè)業(yè)機(jī)會B3對其它工業(yè)業(yè)的影響B(tài)4方案一C1方案二C2方案三C3目標(biāo)層：準(zhǔn)則層：方案層：⑵構(gòu)造第一一層（準(zhǔn)則則層）的判判斷矩陣，，求其最大大特征根、、特征向量量，并進(jìn)行行一致致性檢驗。。對于目標(biāo)層層，把準(zhǔn)則則層的四項項指標(biāo)兩兩兩比較：B1不如B2重要，比B3略重要，比比B4稍微重要；；B2比B3稍微重要，，比B4明顯重要；；B3比B4稍微重要。。從而得該該層判斷矩矩陣如下表表：AB1B2B3B4B1B2B3B411/22321351/21/3131/31/51/31計算各行幾幾何均值：：歸一化：故權(quán)數(shù)向量量W=(0.270，0.479，0.172，0.079)T再求最大特特征根：由AW=得一致性檢驗驗：所以第一層層的判斷矩矩陣具有滿滿意的一致致性。從而而第一層四四個元素對對總目標(biāo)的的權(quán)數(shù)數(shù)可記為行行向量W（1）=(0.270，0.479，0.172，0.079)⑶構(gòu)造第二二層（方案案層）對第第一層各元元素的判斷斷矩陣，用用同樣方法法和步驟求求最大特征征根、特征征向量并進(jìn)進(jìn)行一致性性檢驗。結(jié)結(jié)果如下：：w1=(0.655，0.250，0.095)λmax=3.075CI=0.0375CR=0.065<0.1，滿意。B1C1C2C3

C1C2C31291/2121/91/21B2C1C2C3

C1C2C3

11/31/9311/3931w2=(0.077，0.231，0.692)λmax=3.001CI=0.0005CR=0.0009<0.1，滿意。B3C1C2C3

C1C2C3

11/71/471341/31w3=(0.078，0.659，0.263)λmax=3.033CI=0.0165CR=0.0284<0.1，滿意。B4C1C2C3

C1C2C3

11/21/9211/3931w4=(0.090，0.205，0.705)λmax=3.019CI=0.0095CR=0.0164<0.1，滿意。于是第二二層的權(quán)權(quán)重矩陣陣:從而各方方案關(guān)于于總目標(biāo)標(biāo)的權(quán)重重：W總=W（1）W（2）=（0.234，0.308，0.458）由于方案案三的權(quán)權(quán)數(shù)最大大，所以以優(yōu)先投投資方案案應(yīng)為方案三?！?模糊決策策法模糊數(shù)學(xué)學(xué)自1965年年美國加加利福尼尼亞貝克克利大學(xué)學(xué)教授扎扎德（Zadeh）創(chuàng)立以來來，發(fā)展展迅速，，應(yīng)用越越來越廣廣泛。目目前已應(yīng)應(yīng)用到自自然科學(xué)學(xué)和社會會科學(xué)的的許多領(lǐng)領(lǐng)域。利利用模糊糊數(shù)學(xué)方方法進(jìn)行行決策的的成功案案例不斷斷見諸各各種文獻(xiàn)獻(xiàn)。模糊糊決策方方法正成成為決策策領(lǐng)域中中一種很很有實用用價值的的工具。。一、模糊糊基礎(chǔ)知知識在經(jīng)典數(shù)數(shù)學(xué)里，，對概念念給出的的定義須須有明確確的內(nèi)涵涵和外延延。內(nèi)涵就是是概念的的內(nèi)容，，外延就就是概念念所指對對象的范范圍、界界限。比如平平行四邊邊形的定定義是：：對邊平平行且相相等（內(nèi)內(nèi)涵）的的四邊形形（外延延）。然然而，在在現(xiàn)實世世界中，，并不是是所有的的概念都都有明確確的內(nèi)涵涵和外延延。比如如年青與與年老，，胖與瘦瘦，高與與矮，冷冷與熱，，溫柔與與粗暴，，強(qiáng)與弱弱，美與與丑，好好與壞等等常用概概念，其其內(nèi)容我我們?nèi)巳巳硕记宄?，但其其外延則則是模糊糊的，很很難找到到它們的的明確分分界限。。對于這這類具有有明顯中中間過渡渡性質(zhì)的的概念，，用經(jīng)典典數(shù)學(xué)的的普通集集合是難難以刻劃劃的。扎扎德創(chuàng)立立的模糊糊數(shù)學(xué)用用“隸屬屬度”和和“模糊糊集合””成功地地處理了了這類問問題的描描述，使使得人們們對現(xiàn)實實世界的的認(rèn)識又又躍上了了一個新新的臺階階。㈠模糊集合合與隸屬屬函數(shù)在經(jīng)典數(shù)數(shù)學(xué)里，，集合是是指具有有某種特特定屬性性的事物物的全體體。它有有明確的的內(nèi)涵和和外延。。對于某某一集合合A，元素x要么屬于于A，要么不屬屬于A，二者必居居其一。。這是普普通集合合的共同同特征。。這一特特征可用用下述函函數(shù)來描描述：CA(x)稱為集合合A的特征函函數(shù)。對于界限限不清晰晰的模糊糊現(xiàn)象是是很難用用上述非非此即彼彼的方法法來確定定元素對對于一個個集合的的歸屬的的。比如如“美人人”這一一集合，，一個人人長得很很美，自自然應(yīng)該該屬于““美人””集合，，一個人人長得很很丑，自自然不應(yīng)應(yīng)該屬于于“美人人”集合合。但是是一個人人長得不不美也不不丑，或或者是七七分美三三分丑，，或者是是三分美美七分丑丑，又該該如何確確定他的的歸屬呢呢？模糊糊數(shù)學(xué)的的處理辦辦法是將將普通集集合的特特征函數(shù)數(shù)的取值值范圍由由0和1兩個點點擴(kuò)展到到[0，，1]整整個區(qū)間間，并改改稱為隸屬函函數(shù)。記為為μA(x)，0≤μA(x)≤1。這樣，，對于于一個個七分分美三三分丑丑的人人，我我們就就可以以記他他屬于于“美美人””集合合的隸隸屬度度μA(x)=0.7，表示他他有七七成屬屬于““美人人”集集合。。象這這樣將元素素與其其隸屬屬度相相對應(yīng)應(yīng)的集集合，，就稱稱為模糊集集合，因為為該集集合沒沒有明明確的的邊界界。該集合合含有有無明明確歸歸屬的的元素素，即其隸隸屬度度不是是“非非0即即1””。下面給給出模模糊集集合和和隸屬屬函數(shù)數(shù)的定定義：：定義用X表示所所討論論的某某類對對象的的集合合，稱稱之為為論域，由映映射μA：X→[0，1]x→μA(x)，所刻劃劃的集集合稱稱為論論域X上的一一個模模糊子子集A，μA(x)稱為定定義在在X上的隸屬函函數(shù)，對于給給定的的x∈X，μA(x)的取值值稱為為x對于模模糊集集合A的隸屬度度。由上述述定義義可以以看出出,模模糊集集合實實際是是通過過隸屬屬函數(shù)數(shù)來定定義的的。所所以常常用下下述方方法表表示有有限論論域X={x1，x2，…，xn}上的模模糊集集合A：這里的的“+”號號稱為為扎德符符號，表示示模糊糊集合合的元元素相相并列列，沒沒有相相加的的含義義。分分?jǐn)?shù)線線“—”也并并非相相除，，而是是表示示元素素xi與其隸隸屬度度μA(xi)的對應(yīng)應(yīng)關(guān)系系。（（12.7.1）式式也稱稱為扎德記記法。有時為為了簡簡單起起見，，也記記成A=（μA(x1)，μA(x2)，…，，μA(xn)），稱之為為向量記記法。（μA(x1)，μA(x2)，…，，μA(xn)）也稱為為模糊向向量。㈡隸屬函函數(shù)的的確定定利用模模糊集集合來來處理理解決決實際際問題題，首首先要要找出出論域域上的的隸屬屬函數(shù)數(shù)。實實踐中中隸屬屬函數(shù)數(shù)的確確定方方法很很多，，沒有有統(tǒng)一一模式式，允允許有有一定定程度度的主主觀判判斷。。下面面簡單單介紹紹四種種方法法：⑴實際調(diào)調(diào)查法法：先請請若干干名專專家或或相關(guān)關(guān)實際際工作作者對對所討討論的的論域域中的的元素素分別別給出出隸屬屬函數(shù)數(shù)值，，然后后取其其平均均值或或中位位數(shù)做做為該該元素素的隸隸屬度度。⑵模糊統(tǒng)統(tǒng)計法法：對論論域X上的任任何元元素xi，考慮它它屬于于模糊糊集合合A的可能能性。。例如如，討討論人人的高高矮，，先確確定模模糊集集合A是“高高個子子”，，然后后考慮慮某人人a屬于高高個子子模糊糊集合合A的可能能性，，為得得到量量化的的數(shù)據(jù)據(jù)，可可以邀邀請一一些人人評判判a是否為高個子子，由于人們們對高個子的的邊界不一樣樣，有人會認(rèn)認(rèn)為是，有人人會認(rèn)為不是是，只要參加加評判的總?cè)巳藬?shù)n（或試驗次數(shù)））充分大，則則可得μA(a)≈⑶隸屬函數(shù)法：即給隸屬函函數(shù)構(gòu)造適當(dāng)當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)達(dá)式，其定義義域為論域X，值域為[0，，1]。比如如對“年輕””這一模糊集集合，可構(gòu)造造隸屬函數(shù)1，當(dāng)當(dāng)x≤25歲μA(x)=(60-x)/35，當(dāng)25歲歲＜x≤60歲0，當(dāng)當(dāng)x＞60歲⑷對比平均均法：對論域域X中的元素素，先按按某種模模糊特性性兩兩比比較，排排定比較較程度的的分值，，然后按按一定規(guī)規(guī)則轉(zhuǎn)換換為總體體排序的的分值，，該分值值即可做做為相應(yīng)應(yīng)元素的的隸屬度度。詳見見下例：：例設(shè)論域X={牡丹（x1），菊花（x2），蘭花（x3）}，要確定這這些花對對““美”這這一模糊糊集合的的隸屬度度。解：用g(xi,xj)表示xi與xj相比其美美的程度度，0≤≤g(xi,xj)≤1。。若經(jīng)認(rèn)真真品評，，給定g(x1,x2)=0.8，g(x2,x1)=0.7，g(x1,x3)=0.9，g(x3,x1)=0.5，g(x2,x3)=0.8，g(x3,x2)=0.4，則兩兩對比比后可得美美麗程度矩矩陣:x1x2x3在沒有偏好好的情況下下，可賦予予相同權(quán)數(shù)數(shù)：ω(x1)=ω(x2)=ω(x3)=1/3，于是，牡丹丹對“美””的隸屬度度μA(x1)=ω(x1)g(x1,x1)+ω(x2)g(x1,x2)+ω(x3)g(x1,x3)=1/3×1+1/3×0.8+1/3×0.9=0.90菊花對對“美美”的的隸屬屬度μA(x2)=ω(x1)g(x2,x1)+ω(x2)g(x2,x2)+ω(x3)g(x2,x3)=1/3×0.7+1/3×1+1/3×0.8=0.83蘭花對“美””的隸屬度μA(x3)=ω(x1)g(x3,x1)+ω(x2)g(x3,x2)+ω(x3)g(x3,x3)=1/3×0.5+1/3×0.4+1/3×1=0.63由此可得論域域X上的“美”的的模糊集合若評價者對牡牡丹、菊花、、蘭花偏好不不一，對菊花花情有獨鐘，，給出的權(quán)數(shù)數(shù)是ω(x1)=0.1，，ω(x2)=0.8，，ω(x3)=0.1，，那么，牡丹對“美””的隸屬度μA(x1)=0.1×1+0.8×0.8+0.1×0.9=0.83菊花對“美””的隸屬度μA(x2)=0.1×0.7+0.8×1+0.1×0.8=0.95蘭花對“美””的隸屬度μA(x3)=0.1×0.5+0.8×0.4+0.1×1=0.47于是論域域X上的“美美”的模模糊集合合㈢模糊糊矩陣的的合成運運算以同維維的模糊糊向量為為行組成成的矩陣陣，稱為為模糊矩矩陣。在在模糊決決策中會會用到模模糊矩陣陣的合成成運算，，因此，，我們先先介紹一一下模糊糊矩陣的的合成運運算法則則。設(shè)模糊矩陣A=(aij)m×t，B=(bij)t×n，模糊矩陣A與B的合成運算記記為C=A?B運算結(jié)果C仍為模糊矩陣陣，且C=(cij)m×n其中cij=(ai1∧b1j)∨(ai2∧b2j)∨…∨(ait∧btj)，i=1,2,…，，m；j=1，2…，n．式中“∧”為為取小運算，，如(ai1∧b1j)=min(ai1,b1j)；“∨”為取大運算，，即max。將cij的運算式與普通矩陣陣的乘法比較較，可以看出出，它的運算算法則實際只只是把普通矩矩陣相乘時所所做的“×””和“+”運運算分別改成成了“∧”和和“∨”運算算。例設(shè)模糊矩陣，，，求Q?R解二、模糊決策策法的步驟及及應(yīng)用模糊決策法分分為兩大步，，第一大步是是對每個方案案單獨做模糊糊綜合評判，，第二大步是是利用第一大大步模糊綜合合評判的結(jié)果果，用適當(dāng)?shù)牡姆椒ń?jīng)過比比選，確定優(yōu)優(yōu)先方案。我們們先先介介紹紹第第一一大大步步：：單單方方案案模模糊糊綜綜合合評評判判的的基基本本方方法法和和步步驟驟。。㈠確確定模模糊綜綜合評評判的的因素素集U因素集集是以以影響響評判判對象象的各各種因因素為為元素素所組組成的的一個個普通通集合合。通通常表表示為為U={u1，u2，…，，um}其中對對各元元素ui(i=1,2,…，，m)的評價價通常常都具具有不不同程程度的的模糊糊性。。在多多目標(biāo)標(biāo)模糊糊決策策問題題中，，U即為目目標(biāo)集集合。。㈡建建立綜綜合評評判的的評語語集V評價集集是評評判者者對評評判對對象可可能作作出的的各種種評價價語言言所組組成的的集合合。通通常表表示為為V={v1，v2，…，，vn}其中元元素vi(i=1,2,…，，n)代表可可能的的第i種評語語。㈢進(jìn)行行單單因因素素模模糊糊評評判判，，求求得得單單因因素素模模糊糊評評判判矩矩陣陣R單獨獨從從因因素素集集中中的的一一個個因因素素出出發(fā)發(fā)進(jìn)進(jìn)行行評評判判，，以以確確定定評評判判對對象象對對評評語語集集各各元元素素的的隸隸屬屬程程度度，，稱稱為為單單因因素素模模糊糊評評判判。。設(shè)評判對對象按因因素集U中第i個因素ui進(jìn)行評判判，對評評語集V中第j個評語vj的隸屬度度為rij，則按ui評判的結(jié)結(jié)果，可可用下面面的模糊糊集合表表示：Ri稱為單因因素評判判集，顯顯然它應(yīng)應(yīng)是評語語集V上的一個個模糊子子集。也也可簡單單表示為為模糊評評判向量量Ri=(ri1,ri2,…，rin),i=1,2,…，，m．令稱R為單因素素模糊評評判矩陣陣。㈣建立立綜合評評判模型型，進(jìn)行行綜合評評判從前述單單因素模模糊評判判矩陣R可以看出出：R的第i行所反映映的是第第i個因素（（評價指指標(biāo)）ui對評判對對象的影影響取各各個評語語元素的的程度；；而R的第j列所反映映的是所所有各因因素（評評價指標(biāo)標(biāo)）影響響評判對對象取第第j個評語元元素的程程度。因因此，可可用每列列元素之之和:Rj=,(j=1,2,…，n)來反映所所有因素素的綜合合影響。。但考慮慮各因素（評評價指標(biāo)標(biāo)）對綜綜合評判判的重要要程度不不同，我我們給各各因素以以不同的的權(quán)數(shù)ωi(i=1,2,…，，m)，其中ωi表示第i個因素ui在綜合評評判中的的重要程程度。于于是建立立綜合評評判模型型：B=W?R其中W=(ω1,ω2,…，ωωm)為一模糊糊向量。。設(shè)按模模糊矩矩陣的的合成成運算算法則則算得得B=(b1,b2,…，，bn)，B稱為模模糊綜綜合評評判結(jié)結(jié)果集集。bj(j=1,2,…，，n)表示綜綜合考考慮所所有因因素的的影響響時，，評判判對象象對評評語集集中第第j個評語語元素素的隸隸屬度度，顯顯然，，模糊糊綜合合評判判結(jié)果果集B也是評評語集集V上的一一個模模糊子子集。。第二大大步：：用適適當(dāng)方方法確確定優(yōu)優(yōu)先方方案。。對每一一方案案均按按前述述㈠～㈣㈣步驟，，求得得各自自的模模糊綜綜合評評判結(jié)結(jié)果集集B，然后按按下述述方法法之一一，挑挑選優(yōu)優(yōu)先方方案。。⒈模糊向向量單單值化化法給各各評評語語元元素素vi賦值值，，比比如如““很很好好””取取為為5，，““好好””取取為為4，，““一一般般””取取為為3，，““不不好好””取取為為1。。然然后后把把bj當(dāng)作作權(quán)權(quán)數(shù)數(shù)，，計計算算各各評評語語元元素素的的加加權(quán)權(quán)平平均均值值，，即即：：比較較各各方方案案的的⒉隸隸屬屬度度對對比比系系數(shù)數(shù)法法假設(shè)設(shè)對對某某一一方方案案得得到到如如下下的的B：等級評語優(yōu)良可差劣隸屬度B0.40.60.80.50.2用結(jié)構(gòu)相對數(shù)數(shù)計算隸屬度度對比系數(shù)（（這里是優(yōu)良良度）：結(jié)構(gòu)優(yōu)良度也可用比例相相對數(shù)計算隸隸屬度對比系系數(shù)：比例優(yōu)良度這兩個優(yōu)良度度在實際應(yīng)用用時可任選其其一，比較每每個方案的優(yōu)優(yōu)良度，以其其大者為優(yōu)先先方案。⒊期望值法將評判結(jié)果B作歸一化處理理，然后將bj視為處于狀態(tài)態(tài)vj的概率，結(jié)合合各方案在各各狀態(tài)下的益益損值，用期期望值法進(jìn)行行決策。詳見見下例。例某無線電廠研研究產(chǎn)品發(fā)展展方向，現(xiàn)考考慮有兩個可可供選擇的方方案,方案D1是生產(chǎn)VCD影碟機(jī)，方案案D2是生產(chǎn)學(xué)習(xí)游游戲機(jī)。工廠廠決策層對產(chǎn)產(chǎn)品進(jìn)行功能能分析，認(rèn)為為產(chǎn)品應(yīng)具有有使用簡便，，性能穩(wěn)定，，造型美觀三三大特點，即即評價的因素素（指標(biāo)）集集為：U={u1(使用簡便)，，u2(性能穩(wěn)定)，，u3(造型美觀)}對上述三個因因素的評語集集為：V={v1(很好)，v2(好)，v3(一般)，v4(差)}對于D1，D2兩方案試制出出的樣機(jī)，由由銷售部門熟熟悉情況的人人員及部分顧顧客代表進(jìn)行行評價。對方案D1的“使用簡便便”這一特點點，有30%的人認(rèn)為很很好，60%的人認(rèn)為好好，10%的的人認(rèn)為“一一般”，沒有有人認(rèn)為差。。即對“使用用簡便”這一一因素的模糊糊評判向量為為:R1=(0.3，，0.6，0.1，0)類似地，對方方D1的“性能穩(wěn)定定”和“造型型美觀”的模模糊評判向量量分別為R2=(0.3，，0.6，0.1，0)，R3=(0.4，，0.3，0.2，0.1)由此可得方案案D1的單因素模糊糊評判矩陣:同樣可得方案案D2的單因素模糊糊評判矩陣：：由于市場上顧顧客對簡便性性、穩(wěn)定性、、美觀性的要要求不一，因因而要考慮加加上不同的權(quán)權(quán)數(shù)：W=(0.3，0.4，0.3)由此可得得出兩個個方案的的綜合評評判結(jié)果果分別為為：由于BⅡ的各分量量之和為為0.2+0.3+0.4+0.3=1.2＞1，作作歸一化化處理后后得：BⅡ=(0.17，0.25，0.33，0.25)現(xiàn)將評價價結(jié)果作作為銷售售狀態(tài)的的概率，，再根據(jù)據(jù)市場預(yù)預(yù)測，得得到每個個方案在在各狀態(tài)態(tài)下的益益損值，，制成模模糊決策策表如下下表所示示。模糊決決策策表根據(jù)表中中狀態(tài)概概率及益益損值，，可計算算出每個個方案的的期望益益損值：：方案D1：EⅠ=0.3×1000+0.4×800+0.2××300+0.1×(-300)=650（萬元）方案D2：EⅡ=0.17×800+0.25×700+0.33×200+0.25×(-200)=327（萬元））通過比較較可知，，執(zhí)行D1方案可期期望多獲獲利323萬元元。因此此，該廠廠決定按D1方案進(jìn)行行生產(chǎn)，即生產(chǎn)產(chǎn)VCD影碟機(jī)。。銷售狀態(tài)產(chǎn)品評價v1（很好）v2（好）v3（一般）v4（差）狀態(tài)概率D10.30.40.20.1D20.170.250.330.25益損值（萬元）D11000800300-300D2800700200-2009、靜夜四無鄰鄰，荒居舊業(yè)業(yè)貧。。12月-2212月-22Friday,December23,202210、雨中中黃葉葉樹，，燈下下白頭頭人。。。09:06:4609:06:4609:0612/23/20229:06:46AM11、以以我我獨獨沈沈久久，，愧愧君君相相見見頻頻。。。。12月月-2209:06:4609:06Dec-2223-Dec-2212、故故人人江江海海別別，，幾幾度度隔隔山山川川。。。。09:06:4609:06:4609:06Friday,December23,202213、乍見翻疑疑夢，相悲悲各問年。。。12月-2212月-2209:06:4609:06:46December23,202214、他他鄉(xiāng)鄉(xiāng)生生白白發(fā)發(fā)，，舊舊國國見見青青山山。。。。23十十二二月月20229:06:46上上午午09:06:4612月月-2215、比比不不了了得得就就不不比比，，得得不不到到的的就就不不要要。。。。。十二二月月229:06上上午午12月月-2209:06December23,202216、行行動動出出成成果果，，工工作作出出財財富富。。。。2022/12/239:06:4609:06:4623December20