微積分基本公式

關(guān)于微積分基本公式第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日例:函數(shù)f(t

)

=

t

的積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日原函數(shù)存在定理定理如果f(x)在[a

,

b]

連續(xù),則積分上限函數(shù)就是f(x)

在[a

,

b]

上的一個原函數(shù).即:或例:函數(shù)f(t

)

=

t

的積分上限函數(shù)第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日原函數(shù)存在定理證:存在可使第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日思考:已知,求f(1).提示:原函數(shù)存在定理例:求例:求第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日牛頓－萊布尼茨公式定理若F(x)

是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a

,

b]

上的一個原函數(shù),則例:例:求例:求第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日證:設(shè)F(x)

是f(x)

的一個原函數(shù),當(dāng)x

=

a

得即Φ(x)也是f(x)

的原函數(shù).牛頓－萊布尼茨公式第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日又因為定積分的值與積分變量字母無關(guān),牛頓－萊布尼茨公式第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日例:求例:求例:求例:求牛頓－萊布尼茨公式第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日例:已知,求牛頓－萊布尼茨公式例:已知,求第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日牛頓－萊布尼茨公式例:求例:求例:求例:求第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日例:求例:求和在的平均值.牛頓－萊布尼茨公式例:連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)

f(x)

有f(a)

=

3,f(b)

=

5,求

第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日例:積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用牛頓—萊布尼茨公式反過來理解積分上限函數(shù)(注:此為非正規(guī)方式)設(shè):,則第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例:試用牛頓—萊布尼茨公式理解下列積分上限函數(shù).第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理:例:也可用牛頓—萊布尼茨公式理解此定理第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理:例:求例:求例:求第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理:設(shè),則第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理:例:求例:求第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日定理:積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例:例:求第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日例:求例:求積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)連續(xù)積分上限函數(shù)滿足:,則有第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日例:求積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思考:思考:第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日定積分的物理意義變速直線運動的路程設(shè)某物體作直線運動,已知速度v(t)是時間間隔[T1

,

T2]

上時間t

的一個連續(xù)函數(shù),且v(t)

≥0,則物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程為：第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日變速直線運動的路程例:某物體做勻加速直線運動,速度為v(t

)

=2+3t;問從t

=

0時刻到t

=

10時刻,求其間物體的位移.第二十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日定積分的簡單應(yīng)用例:已知某物體以速度作直線運動,求該物體從