微分方程習(xí)題答案(3)課件

第十二章微分方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(三)(18)第十二章總習(xí)題十二一.選擇題的特解是().1.微分方程滿足初始條件機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解:設(shè)則原方程變?yōu)榉蛛x變量:兩邊積分:把初始條件代入上式得則有所給方程的特解為兩邊積分:把初始條件代入上式得應(yīng)選(A).A2.容易驗(yàn)證的解,解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束是二階微分方程試指出下列哪個(gè)函數(shù)是方程的通解.().由于常數(shù),線性無關(guān),所給微分方程的通解為應(yīng)選(B).B解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束由所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知可選將所以代入所給微分方程有:故應(yīng)選(C).是所給方程的解.5.若方程的系數(shù)滿足則該方程有特解().A解:由所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知可選將代入所給微分方程有:所以是所給方程的解.故應(yīng)選(A).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(m為非零實(shí)常數(shù))6.若方程的系數(shù)滿足則該方程有特解().C解:由所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知可選將代入所給微分方程有:所以是所給方程的特解.故應(yīng)選(C).二.填空題1.已知是微分方程的解,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則其通解為__________________.解:由于所以所給方程的通解為常數(shù),線性無關(guān),其中為獨(dú)立的任意常數(shù),k為實(shí)常數(shù),則該方程為___________________.2.若某個(gè)二階常系數(shù)線性齊次方程的通解為解:依題意知該方程的特征方程為所求方程為3.若某個(gè)二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則該方程為__________________.其中為獨(dú)立的任意常數(shù),其中為獨(dú)立的任意常數(shù),則該方程為___________________.4.若某個(gè)二階常系數(shù)線性齊次方程的通解為解:依題意該方程的特征方程為所求方程為解:依題意該方程的特征方程為所求方程為即為三.解答題1.

設(shè)解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二階連續(xù)可導(dǎo),且使曲線積分與路徑關(guān),求函數(shù)曲線積分與路徑無關(guān),即有積分兩次得則有也即有2.

求微分方程的通解.原方程即為:令的通解.解:3.求微分方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束兩邊積分:

代入,分離變量:

將

原方程變?yōu)?/p>

得通解:4.求微分方程的初值問題,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束5.求微分方程滿足初始條件的特解:特征方程為:解:特征方程的根為:代入通解得:原方程的通解為:將初始條件通解變?yōu)?將初始條件代入通解得:滿足初始條件的特解為:是微分方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束四.證明題的一條過點(diǎn)1.試驗(yàn)證且在該點(diǎn)處的切線與直線垂直的積分曲線.證:方程的特征方程為:特征根為:對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為:自由項(xiàng)為:不是特征方程的根.故可設(shè)將代入微分方程得方程的通解為因此方程有初始條件將初始條件代入方程的通解得:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束積分曲線為:即為證畢.的斜率為由于直線又由于的解,是齊次線性方程是非齊次線性方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.若的特解,試證明(c為任意常數(shù))的通解.證:將是非齊次線性方程因?yàn)槭驱R次線性方程的解,所以有又因?yàn)槭欠驱R次線性方程的特解,所以有代入非齊次