江蘇省連云港市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研數(shù)學(xué)試題（8）（含答案解析）

第15頁/共15頁連云港市2022—2023學(xué)年第一學(xué)期高二期末調(diào)研考試（8）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的傾斜角是，則實(shí)數(shù)m的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分、討論，根據(jù)直線的斜率的定義和公式計(jì)算可得答案．【詳解】當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)直線的傾斜角為，不符合題意；所以，由題意，解得．故選：D.2.在等比數(shù)列中，，．設(shè)t為實(shí)數(shù)，為該數(shù)列的前2n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則t的值為（）A. B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比和首項(xiàng)，求出，由條件可得數(shù)列以首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，求，由即可求出.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列中，，，所以，所以，，所以，由等比數(shù)列，，所以數(shù)列以首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，所以，所以，即．故選：C．3.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，且被圓截得的弦長為4，則直線l的方程是（）A. B.或C. D.或【答案】B【解析】【分析】考慮直線斜率不存在和存在兩種情況，驗(yàn)證后得到滿足要求，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式列出方程，求出，得到答案.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，由題意圓心到直線l的距離（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，圓心到直線的距離，符合題意，（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，解得，則直線方程為，綜上，直線l的方程為或．故選：B．4.設(shè)為實(shí)數(shù),若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1,則的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓上三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1,可得圓心到直線的距離為2-1=1,利用點(diǎn)到直線的距離公式解出即可.【詳解】解:由題知圓的方程為,所以圓心為,半徑為,因?yàn)閳A上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于1,所以只需要圓心到直線的距離為即可,直線方程為:,所以圓心到直線的距離為:,解得,故當(dāng)時(shí),圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于1．故選:D5.經(jīng)過點(diǎn)，并且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】等軸雙曲線的方程可設(shè)為，將代入解出即可.【詳解】設(shè)等軸雙曲線的方程為，將代入得：，即，所以等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：A．6.已知，則（）A. B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】由題意可知，，利用導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算即可求出，代入數(shù)值即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選：C．7.在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)”則第五天走的路程為（）里.A.6 B.12 C.24 D.48【答案】B【解析】【分析】設(shè)此人第天走里路，則是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求出，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)此人第天走里路，由題意可知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得：，解得，∴故選：B.8.設(shè)函數(shù)，若的極小值為，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求極值點(diǎn)，將極值點(diǎn)代入可得方程，進(jìn)而求得值.【詳解】由已知得：，令，有，且上遞減，上遞增，∴的極小值為，即，得.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.2【答案】BD【解析】【分析】由題意可得漸近線和x軸的夾角是30°或60°，所以有或，再利用可求得離心率.【詳解】∵雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，兩漸近線關(guān)于x軸對(duì)稱，∴漸近線和x軸的夾角是30°或60°.又漸近線方程為，斜率為.則或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故選：BD．10.已知等差數(shù)列滿足，前項(xiàng)和，則（）A.數(shù)列的通項(xiàng)公式為B.數(shù)列公差為C.數(shù)列的前項(xiàng)和為D.數(shù)列的前22項(xiàng)和為【答案】BCD【解析】【分析】通過基本量計(jì)算得和d，可判斷ABC；用裂項(xiàng)相消法求和可判斷D.【詳解】由題知，，解得，則，，故A錯(cuò)，BC正確；記的前n項(xiàng)和為，因?yàn)椋运?，故D正確.故選：BCD11.給出如下四個(gè)命題不正確的是（）A.方程表示的圖形是圓 B.橢圓的離心率C.拋物線的準(zhǔn)線方程是 D.雙曲線的漸近線方程是【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，配方得其表示點(diǎn)，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，直接求解離心率，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，化標(biāo)準(zhǔn)形式，再求解即可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)，化為標(biāo)準(zhǔn)形式得，再求解即可判斷；【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，，故，表示點(diǎn)，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由題知，所以，所以離心率，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式得拋物線，故準(zhǔn)線方程是，故正確；對(duì)于D選項(xiàng)，雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)形式得，所以，焦點(diǎn)在軸上，故漸近線方程是，故錯(cuò)誤.故選：ABD12.已知直線l：，其中，下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，直線l與直線垂直B.若直線l與直線平行，則C.直線l過定點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，代入，利用斜率之積為得知直線l與直線垂直；對(duì)于B，由兩平行線的一般式有求得，從而可判斷正誤；對(duì)于C，求定點(diǎn)只需令參數(shù)的系數(shù)為0即可，故直線l過定點(diǎn)；對(duì)于D，代入，分別求得直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距即可判斷正誤.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，故l的斜率為1，直線的斜率為，因?yàn)?，所以兩直線垂直，所以A正確；對(duì)于B，若直線l與直線平行，則，解得或，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，則，所以直線過定點(diǎn)，所以C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，易得在x軸、y軸上的截距分別是，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知點(diǎn)，直線，且點(diǎn)在直線上，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是_____________．【答案】【解析】分析】設(shè)，根據(jù)題意列方程組解決即可.【詳解】由題知，點(diǎn)，直線，且點(diǎn)在直線上，，所以，設(shè)，所以由題意可得：，解得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：14.橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則a的值是__________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)題意可得焦點(diǎn)在軸上，從而有，解之即可.【詳解】解：因?yàn)闄E圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，所以焦點(diǎn)在軸上，則有，解得.故答案為：1.15.求和：_____________．【答案】2076【解析】【分析】拆開即分別是10個(gè)3之和，加上數(shù)列的前10項(xiàng)和，分組求和即可.【詳解】．故答案為：207616.設(shè)b為實(shí)數(shù)，若直線為函數(shù)圖象的切線，則b的值是_____________．【答案】或【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，求導(dǎo)得到，得到，解得切點(diǎn)，代入得到答案.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，由直線得到斜率為，得到，解得，把代入中解得，把代入中解得，所以切點(diǎn)坐標(biāo)是或，當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)是，代入直線的方程，得：；當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)是，代入直線的方程，得：.綜上所述：或.故答案：或四、解答題：本共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列中，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）構(gòu)造即可證明；（2）由（1）利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解【詳解】（1）首項(xiàng)則是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.（2）由（1），故【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的證明，通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)題.18.已知拋物線經(jīng)過的三個(gè)頂點(diǎn)，且點(diǎn)．（1）求拋物線C的方程；（2）若直線的傾斜角互補(bǔ)，求直線的斜率．【答案】（1）（2）-1【解析】【分析】（1）由已知，將點(diǎn)坐標(biāo)帶入到拋物線方程即可完成方程的求解；（2）根據(jù)已知條件直線的傾斜角互補(bǔ)，分別設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后寫出，利用，可以得到的坐標(biāo)關(guān)系，然后再利用點(diǎn)差法即可完成直線的斜率的求解.【小問1詳解】因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，所以，即拋物線C的方程為．【小問2詳解】設(shè)，則兩式相減得，所以．因?yàn)橹本€的傾斜角互補(bǔ)，則的斜率存在，所以，，即所以，故．所以直線的斜率為-1.19.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）58【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)和基本量運(yùn)算求得數(shù)列的首項(xiàng)和公差，然后可得通項(xiàng)公式；（2）確定數(shù)列項(xiàng)的正負(fù)，然后分組求和．【小問1詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，，又，所以，所以，，從而，，【小問2詳解】由（1）時(shí)，，時(shí)，，所以.20.已知函數(shù)，.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)，求a的值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求a取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出，根據(jù)已知可得，又，即可解出a的值；（2）不等式可化為對(duì)恒成立.設(shè)，，則只需即可.求出，利用導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性，求出即可得到結(jié)果.【小問1詳解】.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，又，切線過，則，所以，，所以.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，所以恒成立，即對(duì)恒成立.設(shè)，，則只需即可.又，設(shè)，則在上恒成立，即在上遞減.又，則當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞減．，，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.21.已知曲線上的點(diǎn)到的距離比它到直線的距離少.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，若的面積為，求的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義直接求解；(2)利用韋達(dá)定理和弦長公式求出，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，進(jìn)而表示三角形面積，即可求解.【小問1詳解】由條件可知：曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到的距離相等，所以曲線的軌跡為拋物線，設(shè)方程為，由拋物線的定義可得，所以拋物線C的方程為；【小問2詳解】把代入方程，可得，設(shè)，，聯(lián)立方程組消去y可得，由，解得，又知，，所以，由到直線l的距離為，所以，即，，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)均滿足，所以m的值為或22.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）證明：，.【答案】（1）極小值，無極大值；（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式求得導(dǎo)函數(shù)，可由的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由極值點(diǎn)求得極值.（2）將函數(shù)的解析式代入不等式，并構(gòu)造函數(shù)，求得，再構(gòu)造函數(shù)，并求得，由可知在上單調(diào)遞增，由零點(diǎn)存在定理可知在內(nèi)有唯一解，記為，滿足.進(jìn)而由的符號(hào)判斷單調(diào)性，即可求得的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)在定區(qū)間上的