利用遞推公式求通項 新高考 數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項提升精講精練 （含答案解析）

6.3利用遞推公式求通項（精練）（提升版）題組一題組一累加法1．（2022·湖北）在數(shù)列中，，則數(shù)列中最大項的數(shù)值為___．【答案】10【解析】當(dāng)時，所以當(dāng)時，數(shù)列{}中最大項的數(shù)值為10.故答案為：10.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，則=_______.【答案】【解析】因為數(shù)列滿足，，所以當(dāng)時，.所以，，因為，也滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為，故答案為：3．（2022·黑龍江雙鴨山）已知數(shù)列滿足：，，，則______．【答案】.【解析】因為，，所以當(dāng)時，有，因此有：，即，當(dāng)時，適合上式，所以，故答案為：.4．（2022·江蘇江蘇·一模）已知數(shù)列，，且，.求數(shù)列的通項公式；【答案】【解析】(1)因為，所有，當(dāng)時，，，……，，相加得，所以，當(dāng)時，也符合上式，所以數(shù)列的通項公式5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.【答案】【解析】根據(jù)題意，可得到，，，……將以上個式子累加可得，,，，又滿足，所以6．（2022·全國·江西科技學(xué)院附屬中學(xué)）已知首項為的數(shù)列的前項和為，且，則______．【答案】【解析】依題意，，則，故，，，，…，，累加可得，，，當(dāng)n=1時，也成立，故，；故答案為：.題組二題組二累乘法1．（2022·浙江）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式是______【答案】【解析】∵∴，即，∴，∴.n=1也適合故答案為：.2．（2022·上海）若數(shù)列的首項，且，則數(shù)列的通項公式為_______.【答案】【解析】數(shù)列中，，，，．故答案為：．3．（2022·江蘇）已知數(shù)列的前項和為，且，（），則【答案】B【解析】由題得（）所以（）由題得，所以（）.所以所以.所以.故選：B4．（2020·江蘇·泰州市第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足4(n＋1)(Sn＋1)＝(n＋2)2an，則數(shù)列{an}的通項公式an等于【答案】(n＋1)3【解析】當(dāng)n＝1時，4(1＋1)(a1＋1)＝(1＋2)2a1，解得a1＝8，當(dāng)n≥2時，由4(Sn＋1)＝，得4(Sn－1＋1)＝，兩式相減，得4an＝－，即，所以an＝,an＝＝(n＋1)3，經(jīng)驗證n＝1時也符合，所以an＝(n＋1)35．（2022·安徽）已知數(shù)列中，，前項和，則的通項公式為___________.【答案】【解析】根據(jù)題意，數(shù)列中，，，①，②，①②可得：，變形可得：，則；時，符合；故答案為：．題組三題組三公式法1．（2022·四川·什邡中學(xué)）數(shù)列的前項和，則它的通項公式是_______．【答案】【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，經(jīng)檢驗當(dāng)時不符合，所以，故答案為：，2．（2022·湖北）數(shù)列中，已知，且（且），則此數(shù)列的通項公式為__________.【答案】【解析】由得：（且）（且）即（且）數(shù)列是第二項起公比為的等比數(shù)列，（且）又不滿足上式，3．（2022·上海市七寶中學(xué)）設(shè)數(shù)列的前項和為，若，，則的通項公式為__________．【答案】【解析】由得：，即，又，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；經(jīng)檢驗：不滿足；故答案為：.4．（2022·湖南·長郡中學(xué)一模）已知正項數(shù)列的前n項和為，且，．求數(shù)列的通項公式【答案】【解析】(1)∵，∴．當(dāng)時，，∴，∴，∵，∴．∴數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項是以3為首項，4為公差的等差數(shù)列．∵，∴為等差數(shù)列，通項公式為．5．（2022·天津·靜海一中）已知數(shù)列的前項和為，且,求的值，并證明：數(shù)列是一個常數(shù)列；【答案】，證明見解析【解析】(1)證明：因為，且．令，有，解得，由，有，兩式相減有，化簡整理得，又，，所以，所以數(shù)列是一個常數(shù)列．6．（2022·全國·單元測試）數(shù)列滿足，．求的通項公式；【答案】【解析】由，當(dāng)時，，兩式相減得，則，因為，所以，所以，則，以上各式相乘得：，所以，當(dāng)時，上式也成立，所以；7．（2022·四川）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且滿足，．(1)求的值；(2)求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)；(2).【解析】(1)由，得，即，解得：(舍或.(2)由，得，即或（舍）當(dāng)時，．當(dāng)時，．驗證時上式成立，．8．（2022·廣東佛山·二模）已知數(shù)列{}的前n項和為，且滿足求、的值及數(shù)列{}的通項公式：【答案】；；【解析】因，取和得：，即，解得，由得：，數(shù)列是首項為，公差的等差數(shù)列，則，即，當(dāng)時，，而滿足上式，因此，，所以，數(shù)列{}的通項公式.9．（2021·江蘇省灌云高級中學(xué)）設(shè)Sn是正項數(shù)列{an}的前n項和，且．(1)求a1的值；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．【答案】(1)3(2)an＝2n＋1【解析】(1)由所給條件知，當(dāng)n＝1時，整理得，由于，得；(2)由條件得，

，①-②得，整理得：（an＋an－1）（an－an－1－2）＝0，因為：an＋an－1＞0，∴an－an－1＝2（n≥2），是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，

，故.10．（2022·海南·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前n項和為，，．求數(shù)列的通項公式；【答案】【解析】因為數(shù)列的前n項和為，，，當(dāng)時，，兩式相減可得，即，可得，即，當(dāng)時，，所以，所以，所以數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以，即，所以數(shù)列的通項公式.題組四題組四構(gòu)造等差數(shù)列1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項，且各項滿足公式，則數(shù)列的通項公式為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為數(shù)列的首項，且各項滿足公式，則，，，以此類推，對任意的，，由可得，所以，，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且首項為，公差為，，因此，.故選：B.2．（2022·江西）已知數(shù)列滿足：，（，），則___________.【答案】【解析】由題設(shè)，，即，而，∴是首項、公差均為的等差數(shù)列，即，∴.故答案為：3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式______．【答案】【解析】∵，∴，即．又，，∴數(shù)列是以3為首項，1為公差的等差數(shù)列，∴，∴數(shù)列的通項公式．故答案為：.4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式；【答案】．【解析】由，得：，∴，即數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，∴，得．5（2022·四川宜賓·二模（理））在數(shù)列中，，，且滿足，則___________.【答案】【解析】因為，，，顯然，所以，同除得，所以，所以，所以是以為首項、為公比的等比數(shù)列，所以，所以所以故答案為：題組五題組五構(gòu)造等比數(shù)列1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，所以，整理得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．所以，解得．故選：A2．（2021·山西師范大學(xué)實驗中學(xué)）已知數(shù)列滿足，，則___________.【答案】【解析】由已知可得，設(shè)，則，所以，，可得，所以，，且，由題意可知，對任意的，，則，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項為，公比為，所以，，因此，.故答案為：.3．（2022·福建省長汀縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則的前n項和為___________.【答案】【解析】數(shù)列滿足，整理得：，所以，又