定理2比較審斂法課件

第十章級(jí)數(shù)第一節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第二節(jié)冪級(jí)數(shù)第三節(jié)傅立葉級(jí)數(shù)1第十章級(jí)數(shù)第一節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第二節(jié)冪第一節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§

10.1.1級(jí)數(shù)的概念及其基本性質(zhì)§

10.1.2正項(xiàng)級(jí)數(shù)§

10.1.3任意項(xiàng)級(jí)數(shù)2第一節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§10.1.1級(jí)數(shù)的概念及其§

10.1.1級(jí)數(shù)的概念及其基本性質(zhì)

一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

引例.

用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正邊形,這個(gè)和逼近于圓的面積A.設(shè)a0

表示即內(nèi)接正三角形面積,ak

表示邊數(shù)增加時(shí)增加的面積,則圓內(nèi)接正3§10.1.1級(jí)數(shù)的概念及其基本性質(zhì)

一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義：給定一個(gè)數(shù)列將各項(xiàng)依即稱上式為無(wú)窮級(jí)數(shù)，其中第

n

項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),級(jí)數(shù)的前

n

項(xiàng)和稱為級(jí)數(shù)的部分和.次相加,簡(jiǎn)記為收斂

,則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)并稱S

為級(jí)數(shù)的和,記作4定義：給定一個(gè)數(shù)列將各項(xiàng)依即稱上式為無(wú)窮級(jí)數(shù)，其中第n項(xiàng)當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),稱差值為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散

.顯然5當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),稱差值為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散.顯然級(jí)數(shù)舉例

調(diào)和級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的展開(kāi)形式備注一般項(xiàng)簡(jiǎn)寫形式等比級(jí)數(shù)aqn-1p—級(jí)數(shù)6級(jí)數(shù)舉例調(diào)和級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的展開(kāi)形式備注一般項(xiàng)簡(jiǎn)寫形式例1.

討論等比級(jí)數(shù)

(又稱幾何級(jí)數(shù))(q

稱為公比)的斂散性.解:1)若從而因此級(jí)數(shù)收斂,從而則部分和因此級(jí)數(shù)發(fā)散.其和為7例1.討論等比級(jí)數(shù)(又稱幾何級(jí)數(shù))(q稱為公比)2).若因此級(jí)數(shù)發(fā)散;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而綜合1)、2)可知,時(shí),等比級(jí)數(shù)收斂;時(shí),等比級(jí)數(shù)發(fā)散.則級(jí)數(shù)成為不存在,因此級(jí)數(shù)發(fā)散.82).若因此級(jí)數(shù)發(fā)散;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而綜合例2.

判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:解:(1)所以級(jí)數(shù)(1)發(fā)散;技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和9例2.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:解:(1)所以級(jí)數(shù)(1)(2)所以級(jí)數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和10(2)所以級(jí)數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

性質(zhì)1.

若級(jí)數(shù)收斂于S,則各項(xiàng)乘以常數(shù)

c

所得級(jí)數(shù)也收斂,證:

令則這說(shuō)明收斂,其和為cS.

說(shuō)明:

級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變.即其和為cS.11二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.若級(jí)數(shù)收斂于S,則各性質(zhì)2.

設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂,其和為證:

令則這說(shuō)明級(jí)數(shù)也收斂,其和為12性質(zhì)2.設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂,其和為證:令說(shuō)明:(2)若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.例如,

(1)性質(zhì)2表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減.(用反證法可證)13說(shuō)明:(2)若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散,則必發(fā)散.性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng),不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.證:

將級(jí)數(shù)的前k項(xiàng)去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同.當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),其和的關(guān)系為類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況.極限狀況相同,故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)14性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng),不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.性質(zhì)4.

收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證:

設(shè)收斂級(jí)數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級(jí)數(shù)的部分和序列為原級(jí)數(shù)部分和序列的一個(gè)子序列,推論:

若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意:

收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證例如15性質(zhì)4.收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證:例3.判斷級(jí)數(shù)的斂散性:解:

考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散.16例3.判斷級(jí)數(shù)的斂散性:解:考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散,從而設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有證:

可見(jiàn):若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0,則級(jí)數(shù)必發(fā)散.例如,其一般項(xiàng)為不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.性質(zhì)5.(級(jí)數(shù)收斂的必要條件)17設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有證:可見(jiàn):若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0,注意:并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如,

調(diào)和級(jí)數(shù)雖然但此級(jí)數(shù)發(fā)散.事實(shí)上,

假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于S,則但矛盾!所以假設(shè)不真.18注意:并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如,調(diào)和級(jí)數(shù)雖然但此級(jí)數(shù)發(fā)§

10.1.2正項(xiàng)級(jí)數(shù)若定理1.

正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和序列有界.若收斂,∴部分和數(shù)列有界,故從而又已知故有界.則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”19§10.1.2正項(xiàng)級(jí)數(shù)若定理1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和都有定理2

(比較審斂法)設(shè)且存在對(duì)一切有(1)若級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)(2)若級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)證:設(shè)對(duì)一切則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.分別表示兩個(gè)級(jí)數(shù)的部分和,則有是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),(常數(shù)k>0),因在級(jí)數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性,故不妨20都有定理2(比較審斂法)設(shè)且存在對(duì)一切有(1)若級(jí)數(shù)則級(jí)(1)若級(jí)數(shù)則有因此對(duì)一切有由定理1可知,則有(2)若級(jí)數(shù)因此這說(shuō)明級(jí)數(shù)也發(fā)散.也收斂.發(fā)散,收斂,級(jí)數(shù)21(1)若級(jí)數(shù)則有因此對(duì)一切有由定理1可知,則有(2)例1.

討論p

級(jí)數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因?yàn)閷?duì)一切而調(diào)和級(jí)數(shù)由比較審斂法可知p

級(jí)數(shù)發(fā)散.發(fā)散,22例1.討論p級(jí)數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:因?yàn)楫?dāng)故考慮強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂,由比較審斂法知

p

級(jí)數(shù)收斂.時(shí),2)若23因?yàn)楫?dāng)故考慮強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂,由比較審斂法知調(diào)和級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)是兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù).若存在對(duì)一切24調(diào)和級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)是兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù).若存在對(duì)一切24證明級(jí)數(shù)發(fā)散.證:

因?yàn)槎?jí)數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級(jí)數(shù)發(fā)散.例2.25證明級(jí)數(shù)發(fā)散.證:因?yàn)槎?jí)數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給定理3.

(比較審斂法的極限形式)則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0

(3)當(dāng)

l=∞

證:

據(jù)極限定義,設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞

時(shí),26定理3.(比較審斂法的極限形式)則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散由定理

2

可知同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散;(3)當(dāng)l=∞時(shí),即由定理2可知,若發(fā)散,(1)當(dāng)0<l<∞時(shí),(2)當(dāng)l=

0時(shí),由定理2知收斂,若27由定理2可知同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散;(3)當(dāng)l=∞時(shí)是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),(1)當(dāng)時(shí),兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;特別取可得如下結(jié)論:對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)(2)當(dāng)且收斂時(shí),(3)當(dāng)且發(fā)散時(shí),也收斂;也發(fā)散.28是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),(1)當(dāng)時(shí)的斂散性.～例3.

判別級(jí)數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)比較審斂法的極限形式知例4.

判別級(jí)數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知～29的斂散性.～例3.判別級(jí)數(shù)的斂散性.解:根據(jù)比較審斂定理4

.

比值審斂法

(D’alembert判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)證:(1)收斂,時(shí),級(jí)數(shù)收斂;或時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.由比較審斂法可知30定理4.比值審斂法(D’alembert判別法)設(shè)因此所以級(jí)數(shù)發(fā)散.時(shí)(2)當(dāng)說(shuō)明:

當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,p–級(jí)數(shù)但級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散.從而31因此所以級(jí)數(shù)發(fā)散.時(shí)(2)當(dāng)說(shuō)明:當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可解(1)例5.

判別下列級(jí)數(shù)的斂散性故收斂.(2)故發(fā)散.32解(1)例5.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性故收斂.(2)故發(fā)散.解(3)故收斂.比值審斂法失效,改用比較審斂法由于而收斂,33解(3)故收斂.比值審斂法失效,改用比較審斂法由于而收斂對(duì)任意給定的正數(shù)定理5.

根值審斂法(Cauchy判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)則證明提示:

即分別利用上述不等式的左,右部分,可推出結(jié)論正確.數(shù),且34對(duì)任意給定的正數(shù)定理5.根值審斂法(Cauchy時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如

,p–

級(jí)數(shù)說(shuō)明:但級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散.35時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,p–級(jí)數(shù)說(shuō)例6.

證明級(jí)數(shù)收斂于S,似代替和S

時(shí)所產(chǎn)生的誤差.解:

由定理5可知該級(jí)數(shù)收斂.令則所求誤差為并估計(jì)以部分和Sn

近36例6.證明級(jí)數(shù)收斂于S,似代替和S時(shí)所產(chǎn)生的誤差.§

10.1.3任意項(xiàng)級(jí)數(shù)

一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法

則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)

.定理6

.

(Leibnitz

判別法)若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:則級(jí)數(shù)收斂,且其和其余項(xiàng)滿足37§10.1.3任意項(xiàng)級(jí)數(shù)

一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法則各證:

是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級(jí)數(shù)收斂于S,且故38證:是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級(jí)數(shù)收斂于S,且故38收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:收斂上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂39收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:收斂二、絕對(duì)收斂與條件收斂

定義:

對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)若若原級(jí)數(shù)收斂,但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散,則稱原級(jí)收斂,數(shù)為條件收斂.均為絕對(duì)收斂.例如：絕對(duì)收斂；則稱原級(jí)數(shù)條件收斂.40二、絕對(duì)收斂與條件收斂定義:對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)若若原級(jí)數(shù)收斂定理7.

絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂.證:

設(shè)根據(jù)比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂,令41定理7.絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂.證:設(shè)根據(jù)比較審斂例7.

證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂:證:(1)而收斂,收斂因此絕對(duì)收斂.42例7.證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂:證:(1)而收斂,收斂因(2)令因此收斂,絕對(duì)收斂.43(2)令因此收斂,絕對(duì)收斂.43其和分別為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)具有完全不同的性質(zhì).*定理8.

絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)不因改變項(xiàng)的位置而改變其和.證明從略)*定理9.

(絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法)則對(duì)所有乘積按任意順序排列得到的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂,設(shè)級(jí)數(shù)與都絕對(duì)收斂,其和為需注意條件收斂級(jí)數(shù)不具有這兩條性質(zhì).44其和分別為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)具有完全不同的性質(zhì).*練習(xí)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知收斂.注意:反之不成立.例如,收斂,發(fā)散.1.

45練習(xí)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知2.

則級(jí)數(shù)(A)發(fā)散;(B)絕對(duì)收斂;(C)條件收斂;(D)收斂性根據(jù)條件不能確定.分析:∴(B)錯(cuò);又C462.則級(jí)數(shù)(A)發(fā)散;(B)解原級(jí)數(shù)收斂.證明

un

單調(diào)減的方法？？？47解原級(jí)數(shù)收斂.證明un單調(diào)減的方法？？？47第十章級(jí)數(shù)第一節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第二節(jié)冪級(jí)數(shù)第三節(jié)傅立葉級(jí)數(shù)48第十章級(jí)數(shù)第一節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第二節(jié)冪第一節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§

10.1.1級(jí)數(shù)的概念及其基本性質(zhì)§

10.1.2正項(xiàng)級(jí)數(shù)§

10.1.3任意項(xiàng)級(jí)數(shù)49第一節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§10.1.1級(jí)數(shù)的概念及其§

10.1.1級(jí)數(shù)的概念及其基本性質(zhì)

一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

引例.

用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正邊形,這個(gè)和逼近于圓的面積A.設(shè)a0

表示即內(nèi)接正三角形面積,ak

表示邊數(shù)增加時(shí)增加的面積,則圓內(nèi)接正50§10.1.1級(jí)數(shù)的概念及其基本性質(zhì)

一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義：給定一個(gè)數(shù)列將各項(xiàng)依即稱上式為無(wú)窮級(jí)數(shù)，其中第

n

項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),級(jí)數(shù)的前

n

項(xiàng)和稱為級(jí)數(shù)的部分和.次相加,簡(jiǎn)記為收斂

,則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)并稱S

為級(jí)數(shù)的和,記作51定義：給定一個(gè)數(shù)列將各項(xiàng)依即稱上式為無(wú)窮級(jí)數(shù)，其中第n項(xiàng)當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),稱差值為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散

.顯然52當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),稱差值為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散.顯然級(jí)數(shù)舉例

調(diào)和級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的展開(kāi)形式備注一般項(xiàng)簡(jiǎn)寫形式等比級(jí)數(shù)aqn-1p—級(jí)數(shù)53級(jí)數(shù)舉例調(diào)和級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的展開(kāi)形式備注一般項(xiàng)簡(jiǎn)寫形式例1.

討論等比級(jí)數(shù)

(又稱幾何級(jí)數(shù))(q

稱為公比)的斂散性.解:1)若從而因此級(jí)數(shù)收斂,從而則部分和因此級(jí)數(shù)發(fā)散.其和為54例1.討論等比級(jí)數(shù)(又稱幾何級(jí)數(shù))(q稱為公比)2).若因此級(jí)數(shù)發(fā)散;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而綜合1)、2)可知,時(shí),等比級(jí)數(shù)收斂;時(shí),等比級(jí)數(shù)發(fā)散.則級(jí)數(shù)成為不存在,因此級(jí)數(shù)發(fā)散.552).若因此級(jí)數(shù)發(fā)散;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而綜合例2.

判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:解:(1)所以級(jí)數(shù)(1)發(fā)散;技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和56例2.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:解:(1)所以級(jí)數(shù)(1)(2)所以級(jí)數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和57(2)所以級(jí)數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

性質(zhì)1.

若級(jí)數(shù)收斂于S,則各項(xiàng)乘以常數(shù)

c

所得級(jí)數(shù)也收斂,證:

令則這說(shuō)明收斂,其和為cS.

說(shuō)明:

級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變.即其和為cS.58二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.若級(jí)數(shù)收斂于S,則各性質(zhì)2.

設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂,其和為證:

令則這說(shuō)明級(jí)數(shù)也收斂,其和為59性質(zhì)2.設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂,其和為證:令說(shuō)明:(2)若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.例如,

(1)性質(zhì)2表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減.(用反證法可證)60說(shuō)明:(2)若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散,則必發(fā)散.性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng),不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.證:

將級(jí)數(shù)的前k項(xiàng)去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同.當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),其和的關(guān)系為類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況.極限狀況相同,故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)61性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng),不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.性質(zhì)4.

收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證:

設(shè)收斂級(jí)數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級(jí)數(shù)的部分和序列為原級(jí)數(shù)部分和序列的一個(gè)子序列,推論:

若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意:

收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證例如62性質(zhì)4.收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證:例3.判斷級(jí)數(shù)的斂散性:解:

考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散.63例3.判斷級(jí)數(shù)的斂散性:解:考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散,從而設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有證:

可見(jiàn):若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0,則級(jí)數(shù)必發(fā)散.例如,其一般項(xiàng)為不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.性質(zhì)5.(級(jí)數(shù)收斂的必要條件)64設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有證:可見(jiàn):若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0,注意:并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如,

調(diào)和級(jí)數(shù)雖然但此級(jí)數(shù)發(fā)散.事實(shí)上,

假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于S,則但矛盾!所以假設(shè)不真.65注意:并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如,調(diào)和級(jí)數(shù)雖然但此級(jí)數(shù)發(fā)§

10.1.2正項(xiàng)級(jí)數(shù)若定理1.

正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和序列有界.若收斂,∴部分和數(shù)列有界,故從而又已知故有界.則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”66§10.1.2正項(xiàng)級(jí)數(shù)若定理1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和都有定理2

(比較審斂法)設(shè)且存在對(duì)一切有(1)若級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)(2)若級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)證:設(shè)對(duì)一切則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.分別表示兩個(gè)級(jí)數(shù)的部分和,則有是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),(常數(shù)k>0),因在級(jí)數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性,故不妨67都有定理2(比較審斂法)設(shè)且存在對(duì)一切有(1)若級(jí)數(shù)則級(jí)(1)若級(jí)數(shù)則有因此對(duì)一切有由定理1可知,則有(2)若級(jí)數(shù)因此這說(shuō)明級(jí)數(shù)也發(fā)散.也收斂.發(fā)散,收斂,級(jí)數(shù)68(1)若級(jí)數(shù)則有因此對(duì)一切有由定理1可知,則有(2)例1.

討論p

級(jí)數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因?yàn)閷?duì)一切而調(diào)和級(jí)數(shù)由比較審斂法可知p

級(jí)數(shù)發(fā)散.發(fā)散,69例1.討論p級(jí)數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:因?yàn)楫?dāng)故考慮強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂,由比較審斂法知

p

級(jí)數(shù)收斂.時(shí),2)若70因?yàn)楫?dāng)故考慮強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂,由比較審斂法知調(diào)和級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)是兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù).若存在對(duì)一切71調(diào)和級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)是兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù).若存在對(duì)一切24證明級(jí)數(shù)發(fā)散.證:

因?yàn)槎?jí)數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級(jí)數(shù)發(fā)散.例2.72證明級(jí)數(shù)發(fā)散.證:因?yàn)槎?jí)數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給定理3.

(比較審斂法的極限形式)則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0

(3)當(dāng)

l=∞

證:

據(jù)極限定義,設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞

時(shí),73定理3.(比較審斂法的極限形式)則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散由定理

2

可知同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散;(3)當(dāng)l=∞時(shí),即由定理2可知,若發(fā)散,(1)當(dāng)0<l<∞時(shí),(2)當(dāng)l=

0時(shí),由定理2知收斂,若74由定理2可知同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散;(3)當(dāng)l=∞時(shí)是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),(1)當(dāng)時(shí),兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;特別取可得如下結(jié)論:對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)(2)當(dāng)且收斂時(shí),(3)當(dāng)且發(fā)散時(shí),也收斂;也發(fā)散.75是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),(1)當(dāng)時(shí)的斂散性.～例3.

判別級(jí)數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)比較審斂法的極限形式知例4.

判別級(jí)數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知～76的斂散性.～例3.判別級(jí)數(shù)的斂散性.解:根據(jù)比較審斂定理4

.

比值審斂法

(D’alembert判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)證:(1)收斂,時(shí),級(jí)數(shù)收斂;或時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.由比較審斂法可知77定理4.比值審斂法(D’alembert判別法)設(shè)因此所以級(jí)數(shù)發(fā)散.時(shí)(2)當(dāng)說(shuō)明:

當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,p–級(jí)數(shù)但級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散.從而78因此所以級(jí)數(shù)發(fā)散.時(shí)(2)當(dāng)說(shuō)明:當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可解(1)例5.

判別下列級(jí)數(shù)的斂散性故收斂.(2)故發(fā)散.79解(1)例5.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性故收斂.(2)故發(fā)散.解(3)故收斂.比值審斂法失效,改用比較審斂法由于而收斂,80解(3)故收斂.比值審斂法失效,改用比較審斂法由于而收斂對(duì)任意給定的正數(shù)定理5.

根值審斂法(Cauchy判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)則證明提示:

即分別利用上述不等式的左,右部分,可推出結(jié)論正確.數(shù),且81對(duì)任意給定的正數(shù)定理5.根值審斂法(Cauchy時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如

,p–

級(jí)數(shù)說(shuō)明:但級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散.82時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,p–級(jí)數(shù)說(shuō)例6.

證明級(jí)數(shù)收斂于S,似代替和S

時(shí)所產(chǎn)生的誤差.解:

由定理5可知該級(jí)數(shù)收斂.令則所求誤差為并估計(jì)以部分和Sn

近83例6.證明級(jí)數(shù)收斂于S,似代替和S時(shí)所產(chǎn)生的誤差.§

10.1.3任意項(xiàng)級(jí)數(shù)

一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法

則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)

.定理6

.

(Lei