銀川市第三中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請(qǐng)注意：1考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1x

x2y2

1a0,b0

的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)被雙曲線(xiàn)截得的a2 b29線(xiàn)段長(zhǎng)為2

，那么該雙曲線(xiàn)的離心率為（ ）5 5A． B．4 32xy60

5C． D．522．在xy22．在xy2

條件下，目標(biāo)函數(shù)

zaxby0,b0

40

5a

的最小值是（ ）7 9A． B．4 4

5C． D．22甲乙丙丁四人中，甲說(shuō)：我年紀(jì)最大，乙說(shuō)：我年紀(jì)最大，丙說(shuō)：乙年紀(jì)最大，丁說(shuō)：我不是年紀(jì)最大的，若這人中只有一個(gè)人說(shuō)的是真話(huà)，則年紀(jì)最大的是（ ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁4．閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的結(jié)果為（ 11 11 22A． B．6 C． D．12 2 3在聲學(xué)中，聲強(qiáng)級(jí)L（單位：dB）由公式L101g I 給出，其中I為聲強(qiáng)（單位：W/m2）.

60dB， 1012 11L 75dBI12 I

（ ）4

24

3

3105

105

2 102fxfxf1

xfx，f2

xfx，…，f1

n1

x

x(nN*).若nfxxsinx，則f xf x（ ）2019 2021A．2cosx B．2sinx C．2cosx D．2sinx設(shè)a,b,cR且ab，則下列不等式成立的是（ ）cacb

ac2bc2 C．1

D．b11a b a1設(shè)全集

R，集合A{x|log2

xB{x|x3x5，則

BA（ ）U．[]

．[]

．4

．4已知平面向量a,b,c，滿(mǎn)足|b|2,|ab|1,cab且21，若對(duì)每一個(gè)確定的向量a，記|c|的最小值為m，則當(dāng)a變化時(shí)，m的最大值為（ ）1 1A． B．4 3

1C． D．12某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為2A．3已知全集

4B． C．23， ，則

D．83（）A． B． C． D． 設(shè)全集U=R，集合M x|

xNx|2x}，則M

N（ ）UA．B．C．D．,1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若(2x

a a0

(x1)a2

(x1)2a6

x1)6a0

a2a1 3a3

4a4

5a5

6a6

.x2+y2=1PP點(diǎn)平分，則此弦所在的直線(xiàn)方程為4 2 ．xOy中，已知圓Cx2y1)2

1及點(diǎn)A( 3,0)，設(shè)點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，在△ACP中，若ACP的角平分線(xiàn)與AP相交于點(diǎn)Q(m,n)，則m2n2的取值范圍是 .ABCDABC

EFAA

A的中點(diǎn)，則直線(xiàn)EF與直線(xiàn)AB所成角的正切值為1 1 1 1 .

1 11 1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程 2x1 2t 為 （t為參數(shù)，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為y 2t

4cos ； 2（1）求直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；(2）若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交點(diǎn)分別為A，

，點(diǎn)P求1 1

的值．B |PA| |PB|18（12分）如圖，四棱錐EABCD中，平面ABCD平面BCE，若BCE2

，四邊形ABCD 是平行四邊形，且AEBD.（Ⅰ）求證：ABAD；（Ⅱ）FAEEC//BDFBCCEABFD的余弦值.19（12分）已知fxx1ax1.a1fx1的解集；x0,1fxx成立，求a的取值范圍.20（12分）2019年6月，國(guó)內(nèi)的G運(yùn)營(yíng)牌照開(kāi)始發(fā)放從G到G，我們國(guó)家的移動(dòng)通信業(yè)務(wù)用了不到20年的時(shí)間，完成了技術(shù)上的飛躍，躋身世界先進(jìn)水平.為了解高校學(xué)生對(duì)5G的消費(fèi)意愿，2019年8月，從某地在校大學(xué)生中隨機(jī)抽取了1000人進(jìn)行調(diào)查，樣本中各類(lèi)用戶(hù)分布情況如下：用戶(hù)分類(lèi)早期體驗(yàn)用戶(hù)中期跟隨用戶(hù)后期用戶(hù)

預(yù)計(jì)升級(jí)到5G的時(shí)段20198201912月20201202112月2022年1月及以后

人數(shù)270人530人200人我們將大學(xué)生升級(jí)時(shí)間的早晚與大學(xué)生愿意為（用戶(hù)中愿意為5元的人數(shù)占所有早期體驗(yàn)用戶(hù)的40%）.120212021年之前升級(jí)到的概率；從樣本的早期體驗(yàn)用戶(hù)和中期跟隨用戶(hù)中各隨機(jī)抽取1人，以X2人中愿意為升級(jí)1010元以上的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）201910003人，這三位學(xué)生都已簽約.21（12分）已知等差數(shù)列an

滿(mǎn)足a3

7，aa5

26.（l）求等差數(shù)列an

的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)c

1 nN*，求數(shù)列

的前n項(xiàng)和T.n an

n nn122（10分）已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a2abb20．若C3

，證明：3sinBsinC．若C

c7的面積．3參考答案125601、A【解析】x2 y2由拋物線(xiàn)x的焦點(diǎn)(5,0) 得雙曲線(xiàn)a2 b2

1a0,b0的焦點(diǎn)(5,0)，求出，由拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)方程x5被曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為9，由焦半徑公式2b29，聯(lián)立求解.2 a 2【詳解】解：由拋物線(xiàn)y2＝20x，可得2p＝20，則p＝10，故其準(zhǔn)線(xiàn)方程為x5，x

x2y2

1a0,b0

的左焦點(diǎn)，．

a2 b29拋物線(xiàn)y2＝20x的準(zhǔn)線(xiàn)被雙曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為，2 2 ，又b2，a 2a＝4,b＝3，則雙曲線(xiàn)的離心率為ec 5．a(chǎn) 4故選：A．【點(diǎn)睛】.2、B【解析】畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到最值點(diǎn)，再利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示，畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)圖像知： x8,y10z10b有最大值為40z10b404a 51

1514a5b

12525b4a1

252 100 9.a b 20a b

20

a b

20 425b當(dāng)

4a

10，即a ,b10

4時(shí)等號(hào)成立.a b 3 3B.【點(diǎn)睛】3、C【解析】分別假設(shè)甲乙丙丁說(shuō)的是真話(huà)，結(jié)合其他人的說(shuō)法，看是否只有一個(gè)說(shuō)的是真話(huà)，即可求得年紀(jì)最大者，即可求得答案.【詳解】故甲說(shuō)的不是真話(huà)，年紀(jì)最大的不是甲；②假設(shè)乙說(shuō)的是真話(huà)，則年紀(jì)最大的是乙，那么甲說(shuō)謊，丙說(shuō)真話(huà)，丁也說(shuō)真話(huà)，而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話(huà)，故乙說(shuō)謊，年紀(jì)最大的也不是乙；③假設(shè)丙說(shuō)的是真話(huà)，則年紀(jì)最大的是乙，所以乙說(shuō)真話(huà)，甲說(shuō)謊，丁說(shuō)的是真話(huà)，而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話(huà)，故丙在說(shuō)謊，年紀(jì)最大的也不是乙；紀(jì)最大的是丙.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查合情推理，解題時(shí)可從一種情形出發(fā)，推理出矛盾的結(jié)論，說(shuō)明這種情形不會(huì)發(fā)生，考查了分析能力和推理能力，屬于中檔題.4、D【解析】用列舉法，通過(guò)循環(huán)過(guò)程直接得出S與n的值，得到時(shí)退出循環(huán)即可求得.【詳解】S0n2S

1S

11

3，n6，滿(mǎn)足條件，2 2 4 4S111

11，由題意，此時(shí)應(yīng)該不滿(mǎn)足條件，退出循環(huán)，輸出S11822.2 4 6 12 12 3D．【點(diǎn)睛】正確依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的S與n的值是解題的關(guān)鍵難度較易5、D【解析】 I L I由L101g 得lgI 12，分別算出I和

的值，從而得到1的值.1012 10

1 2 I2【詳解】∵L101g I ， 1012∴L10Ilg101210I12，∴l(xiāng)gI

L12，10L當(dāng)L60時(shí)，lgI 1126012，∴IL

106，1 1 10 10 1LL75lgIL

21275124.5，∴I

104.5，2 I 106

10 10 23∴1I2

104.5

1.5

102，故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】通過(guò)計(jì)算f1

x,f2

x,f3

x,f4

x,f5

x，可得f

4k

x,f

4k

x,f

4k

x,f4k

x，最后計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】fxxsinx所以f1

xsinxxcosx,f2

x2cosxxsinxfx3sinxxcosx,f3 fx5sinxxcosx,5

x4cosxxsinx所以猜想可知：f x3sinxxcosx4k3f x2cosxxsinx4k2f x4k1sinxxcosx4k1f x4kcosxxsinx4k201945051,202145063所以f x2019sinxxcosx2019f2021

x2021sinxxcosx所以f xf x2sinx2019 2021故選：D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算以及不完全歸納法的應(yīng)用，選擇題、填空題可以使用取特殊值，歸納猜想等方法的使用，屬中檔題.7、A【解析】A項(xiàng)，由ab得到ab，則cacb，故A項(xiàng)正確；B項(xiàng)，當(dāng)c 0時(shí)，該不等式不成立，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；Ca1b2時(shí)，1111不成立，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；2 a bDab2b21b1不成立，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．a(chǎn) a綜上所述，故選A．8、D【解析】求解不等式，得到集合A，B，利用交集、補(bǔ)集運(yùn)算即得解【詳解】由于log(4x12x42故集合A4x50x3x5故集合B3 B|A4U故選：D【點(diǎn)睛】9、B【解析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系令OPaOBbOCc.E為OB中點(diǎn)ab1P點(diǎn)的軌跡方程將ca變形結(jié)合21PCE三點(diǎn)共線(xiàn)由圓切線(xiàn)的性質(zhì)可知|c|的最小值m即為OPE的距離最小值PEM相切時(shí)m有最大值利用圓的切線(xiàn)性質(zhì)及點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式即可求得直線(xiàn)方程m的最大值.【詳解】根據(jù)題意|b|2,設(shè)OPaxy,OBbOCcE則OEb2由ab代入可得x221即P點(diǎn)的軌跡方程為x ca

2 y2 1ca2b

OCOP2OE

21又因?yàn)?/p>

,變形可得

2,即 且 所以由平面向量基本定理可知P,C,E三點(diǎn)共線(xiàn),如下圖所示:所以|c|的最小值m即為O到直線(xiàn)PE的距離最小值根據(jù)圓的切線(xiàn)性質(zhì)可當(dāng)PE與圓M相切時(shí),m有最大值設(shè)切線(xiàn)PE的方程為ykx1,化簡(jiǎn)可得kxyk 由切線(xiàn)性質(zhì)及點(diǎn)M到直線(xiàn)距離公式可得

2kkk21

1,化簡(jiǎn)可得8k21即k 242 2 2 2 2 2

xy 0或 xy 4 4 4 4所以當(dāng)a變化時(shí), O到直線(xiàn)PE的最大值為m 22

24 13124 即m的最大值為13故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)應(yīng)用,平面向量基本定理的應(yīng)用,圓的軌跡方程問(wèn)題,圓的切線(xiàn)性質(zhì)及點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的應(yīng)用,綜合性強(qiáng),屬于難題.10、A【解析】由給定的三視圖可知，該幾何體表示一個(gè)底面為一個(gè)直角三角形，且兩直角邊分別為1和2S

11212h2的三棱錐，所以三棱錐的體積為V1Sh112

2，故選A．11、C【解析】

3 3 3先求出集合U，再根據(jù)補(bǔ)集的定義求出結(jié)果即可．【詳解】由題意得 ，∵ ，∴ ．C．【點(diǎn)睛】本題考查集合補(bǔ)集的運(yùn)算，求解的關(guān)鍵是正確求出集合和熟悉補(bǔ)集的定義，屬于簡(jiǎn)單題．12、A【解析】求出集合M和集合N,，利用集合交集補(bǔ)集的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】M{x|x2}x|0xNx|2x}x|}，Nx|x0，U則M Nx|0x[]，U故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．452013、13【解析】f(x)(2xg(x)aa(x1)a(xa

(x，0 1 2 6f(x)12(2xg(x)a1

2a2

(x1)6a6

(x1)5，又f(x)g(x)，所以f(x)g(x)，即12(2x1)5a1

2a2

(x1)6a6

(x，x0a1

2a23a3

4a4

5a5

6a6

g(0)f(0)，求出

0，從而得到aa0

2a23a3

4a4

5a5

6a6

的值；【詳解】f(x)(2xg(x)a

a(x1)

(x1)2a

(x，0f(x)12(2xg(x)a1

12a2

2(x1)6

6(x，f(x)g(xf(x)g(x)，即12(2x1)5a1

2a2

(x1)6a6

(x，x0a1

2a23a3

4a4

5a5

6a6

12，g(0)f(0)，a0

1，故aa0

2a23a3

4a4

5a5

6a6

11213，故答案為：13【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用、二項(xiàng)式定理，屬于中檔題14、x2y30【解析】設(shè)弦所在的直線(xiàn)與橢圓相交于A(yíng)x,y

Bx

AB的斜率，進(jìn)而可求得直線(xiàn)的點(diǎn)1 1 2 2斜式方程，化為一般式即可.【詳解】設(shè)弦所在的直線(xiàn)與橢圓相交于A(yíng)x,y

Bx

兩點(diǎn)，1 1 2 2xx1 2 21 xx 21由于點(diǎn)P為弦的中點(diǎn)，則 ，得1 2 ，yy yy 2x2 y2

1

21 1 2124 112由題意得

1 x，兩式相減得

xx2

x2

yy1

y1

y2

0，x2

y2 4 22 214

yy

2xx

22 1所以，直線(xiàn)AB的斜率為1

2 1

2 ，xx1 2

4 yy1

42 2所以，弦所在的直線(xiàn)方程為y11x1，即x2y30.2故答案為：x2y30.【點(diǎn)睛】本題考查利用弦的中點(diǎn)求弦所在直線(xiàn)的方程，一般利用點(diǎn)差法，也可以利用韋達(dá)定理設(shè)而不求法來(lái)解答，考查計(jì)算能力，屬于中等題.72 727215、 3 , 3 【解析】AQ2PQPCQ.【詳解】AQ是ACP的角平分線(xiàn)，由角平分線(xiàn)成比例定理可知AC

AQ

2AQ2PQ,所以AQ2PQAQ2PQ.設(shè)點(diǎn) ，點(diǎn) ，即 Qm,n Px,y AQ 3,PQxm,yn設(shè)點(diǎn) ，點(diǎn) ，即 則 3,n2xm,yn則 3m 32xmx 2所以n2yn

.y3n 2P是圓Cx2y1)2

1上的動(dòng)點(diǎn)，3m 32 3n 32 2 4則 2

( 2

1m

(n )2 ，3 3 9 M 3 2 2M,故點(diǎn)Q的運(yùn)功軌跡是以

3 33為半徑的圓，又m2n2即為該圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離， 32

22

7 2 7 2因?yàn)閐 MO

3

3

，所以3 3

m2n2 3 3 3 72 72故答案為： 3 , 3 【點(diǎn)睛】本題考查與圓有關(guān)的距離的最值問(wèn)題，常常轉(zhuǎn)化到圓心的距離加減半徑，還考查了求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，屬于中檔題.16、3【解析】EF//BC1

，從而作出異面直線(xiàn)所成的角，在三角形中計(jì)算可得．【詳解】

，

，AC

EFAA

AEF//AD，1 1 1 1 1 11 1AB//CDABC

ABC

//

，∴EF//

，A

（或其補(bǔ)角）1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1就是直線(xiàn)EF與直線(xiàn)AB所成角，ABC是等邊三角形，∴ABC

＝60°，其正切值為3．1 1 1 1 1故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線(xiàn)所成的角，解題關(guān)鍵是根據(jù)定義作出異面直線(xiàn)所成的角．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（Ⅰ）lxy10,曲線(xiàn)Cx2

y24x0 （Ⅱ）143【解析】（）消去參數(shù)t可得直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)系方程，由x2y 2

2，x

cos可得曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；x1 2t

1 1 1

tt（2）將 （t為參數(shù)）代入曲線(xiàn)C的方程得：t2 30，

1 2 ，利用 y 2t 2

PA PB t t tt1 2 12韋達(dá)定理求解即可.試題解析：（1）lxy10，曲線(xiàn)Cx2y24x0， 2x1 2t（2）將 （t為參數(shù)）代入曲線(xiàn)C的方程得：t2 30. y 2t所以tt1

2 t12

3.1 1 1

tt

（tt2tt 14所以 1 2 1 2

12 .PA PB t t tt 3 31 2 12718（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）7【解析】（Ⅰ）ECABCD,EC⊥BDBD⊥AEBD⊥平面AEC,ABCDAB=AD.（Ⅱ）ACBDG,EC//FG,BCOD,OD⊥BC,OOCExBCy軸，ODz軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.【詳解】（Ⅰ）BCE2

，即BCCE，ABCDBCEECABCD，ECBDBDAE，BDAECBDAC，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以四邊形ABCD是菱形，故ABAD；（Ⅱ）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為GEC//BDF，平面AEC 平面BDF于FG所以EC//FG，因?yàn)镚AC中點(diǎn)，F(xiàn)AE因?yàn)?，BC的中點(diǎn)為O，連接OD，BC，則BC，ABCDBCE所以O(shè)DBEC，以O(shè)O且與CExBCyODz軸建立空間直角

1 3

1 3坐標(biāo)系A(chǔ)B2

0,1,0

，A0,2, 3 ，D0,0, 3 ，F(xiàn) 1, , 2

，BF1, , ，222 222 BA0,1, 3 ， ABF的法向量

x,y,z，1 1 3x y z0

1 1 11 1則1 2 1 2 1

3, 3,1， y 3z01 1同理可得平面DBF的法向量n3,1，2ABFDBF的夾角為，因?yàn)閏osn,n

nn 1 2n

2 72 7 7 ，1 2 n n1 2所以二面角ABFD的余弦值為7.7（Ⅱ）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為G，EC//BDFAECEC//FG，因?yàn)镚AC中點(diǎn)，F(xiàn)AE因?yàn)锳CBD，ACFG，ACBDFACBF，BFH，連接GHAHFGBG，所以GHBF，故BF平面AHG，

BDFFG，AHBF，即∠AHGABFDAB2，因?yàn)锳G 3，GH 2，2在RtAGH中，tanAHG 6，所以cosAHG

，所以二面角ABFD的余弦值為 .7 7 【點(diǎn)睛】本題考查求空間角中的二面角的余弦值，還考查由空間中線(xiàn)面關(guān)系進(jìn)而證明線(xiàn)線(xiàn)相等，屬于中檔題.19（1）xx

1（）0,222【解析】分析：(1)a1

fxx1x1

，利用零點(diǎn)分段將解析式化為

2,x1,fx2x,1x1,， 2,x1.然后利用分段函數(shù)，分情況討論求得不等式

fx1

1xx2的解集為 ；xx2 (2)xfxxx0,1ax11，分情況討論即可求得結(jié)果.a1

fxx1x1

2,x1,fx2x,1x1,詳解（）當(dāng) 時(shí)，fx1

，即xx 1

2,x1.故不等式

的解集為 ．2 2（2）xx1ax1xxax11成立．a(chǎn)0xax11；a0ax11的解集為0x

2 2，所以

1，故0a2．a(chǎn) a綜上，a的取值范圍為0,2．.20（1）0.8（2）詳見(jiàn)解析（3）D0.02，所以認(rèn)為早期體驗(yàn)用戶(hù)沒(méi)有發(fā)生變化，詳見(jiàn)解析【解析】120212021年之前升級(jí)到，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式，即可求解；X的所有可能值為0,1,2.D為10003人，這三位學(xué)生都已簽約套餐”P(pán)(D，即可得到結(jié)論.【詳解】由題意可知，從高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取120212021年之前升級(jí)到的概率估計(jì)為樣本中早期體驗(yàn)用戶(hù)和中期跟隨用戶(hù)的頻率，即2705300.8.1000X的所有可能值為0,1,2，A為1人，該學(xué)生愿意為升級(jí)1010元以上”，B為1人，該學(xué)生愿意為升級(jí)1010元以上”，ABP140%0.6P(B145%0.55，PX0)PAB)(10.6)(10.55)0.18，P(X1)P(ABAB)P(AB)P(AB)P(A)(1P(B))(1P(A)P(B)0.6(10.55)(10.6)0.550.49，P(X2)P(A