離散頻率域變換

第四章離散頻域變換序列的傅里葉變換(DTFT)一.定義DTFT:Discrete-timeFouriertransform為研究離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)作準(zhǔn)備，從抽樣信號(hào)的傅里葉變換引出：F屁)8(t)】T=F￡x(nT)8(t-nT)Ln=-^」=￡x(nT)e-gTn=-8令x(nT)=x(n),QT=?Flx(t)8(t)]=Xx(n)e-睥=Flx(n)]=X(和)Tn=-8與z變換之關(guān)系虛軸(s=j?)X0=￡x(n)Z-nn=-^令z=ej?,z=1,即單位圓上的z變換ResX(j?)=XQ'z=ej逆變換表示x(n)=_LJ、X(z)zn-idz2叫z1=i=UXC"e*d")2財(cái)k1=i=^—J"X^ej?>)ejn?-e-j?jej?d?2財(cái)-丸」逆變換表示D=T氤^流=XtB?*。-jn?d?IDTFTx(n)=虻xjn?d?二.傅氏變換、拉氏變換、Z變換的關(guān)系三種變換的比較頻率的比較3』平面虛軸上的拉氏變換即為傅氏變換4z平面單位圓上的z變換即為序列的傅氏變換(DTFT)三種變換的比較變換名稱傅里葉變換拉普拉斯變換Z變換信號(hào)類型連續(xù)信號(hào)x(t)離散信號(hào)x(nT)變量jQs=。+jQz=esTX。=寸x(nT)?e-snTsn=-^s=jQ,QT=?,

——nT>n——>

對(duì)于離散序列x(n)拉氏變換X。=寸x(nT)?e-snTsn=-^s=jQ,QT=?,

——nT>n——>

對(duì)于離散序列x(n)n=-^]z=ej]傅氏變換X(j)=文x(n).e-gn=f頻率的比較模擬角頻率Q，量綱：弧度/秒;數(shù)字角頻率①，量綱：弧度；ej?是周期為2丸的周期函數(shù)關(guān)系：?=QTs平面虛軸上的拉氏變換即為傅氏變換b=0,s=jQH(jQ)=H(s)s=jQz平面單位圓上的z變換即為序列的傅氏變換(DTFT)z\=1,z=ej?X(j?)=XG).z=ej?2、周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)展開和傅里葉變換之間的問(wèn)題假定尤Q是一個(gè)長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，將尤Q以N為周期延拓而成的周期X(n)=切x(n-rN)r=-8或表示為X(n)=x((n))。于是X(n)與x(n)的關(guān)系表示為:Nx(n)=x(in))Nx(n)=X(n)R(n)N將X(n)表示為離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)有:X(n)=L如XQ)W-knNNn=0X()=如X(n)-WknNn=0其中X(k)是傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，這樣做的目的是使其表達(dá)形式與離散時(shí)間傅里葉變換的形式相類似。如果將X(k)的主值周期記為X(k)，0<k<N-1，由于以上兩式中的求和范圍均取為區(qū)間0?N-1，在次區(qū)間內(nèi)X(n)=X(n)，因此可以得到:X(k)=如X(nWkn，0<k<N-1Nn=0X(n)=—如X(kW-kn，0<n<N一1NNn=0表明時(shí)域N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列xCz)可以變換成頻域N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列X(k)。顯然，DFT與DFS之間存在以下關(guān)系：X(k)=X&))NX(k)=X(k)R(k)N

3離散傅里葉變換(DFT)的推導(dǎo)(1)時(shí)域抽樣：目的：解決信號(hào)的離散化問(wèn)題。效果：連續(xù)信號(hào)離散化使得信號(hào)的頻譜被周期延拓。(2)時(shí)域截?cái)啵涸颍汗こ躺蠠o(wú)法處理時(shí)間無(wú)限信號(hào)。方法：通過(guò)窗函數(shù)(一般用矩形窗)對(duì)信號(hào)進(jìn)行逐段截取。結(jié)果：時(shí)域乘以矩形脈沖信號(hào)，頻域相當(dāng)于和抽樣函數(shù)卷積。(3)時(shí)域周期延拓：目的：要使頻率離散，就要使時(shí)域變成周期信號(hào)。方法：周期延拓中的搬移通過(guò)與§(?-m)的卷積來(lái)實(shí)現(xiàn)。表示：延拓后的波形在數(shù)學(xué)上可表示為原始波形與沖激串序列的卷積。結(jié)果：周期延拓后的周期函數(shù)具有離散譜。(4)經(jīng)抽樣、截?cái)嗪脱油睾?，信?hào)時(shí)域和頻域都是離散、周期的。過(guò)程見(jiàn)圖1。A4I「T了hT'I卜再I「T了hT'I卜再I卜「＞I卜.'V-Npl，或四，—一1*^N^f或kf0圖1DFT推導(dǎo)過(guò)程示意圖DFT處理后信號(hào)的連續(xù)時(shí)間傅里葉變換：H(f)=k=一3(5)￡Yh(nTs)e-j膈k/N,5(f一f)_n=0-①Hf是離散函數(shù)，僅在離散頻率點(diǎn)f=kf=k=L處存在沖激，強(qiáng)處理后信號(hào)的連續(xù)時(shí)間傅里葉變換：H(f)=k=一3(5)ak

H(f)是周期函數(shù)，周期為Nf=N=旻=1,每個(gè)周期內(nèi)有N個(gè)不0T0NTT同的幅值。''時(shí)域的離散時(shí)間間隔(或周期)與頻域的周期(或離散間隔)互為倒數(shù)。2DFT及IDFT的定義⑴DFT定義：設(shè)")是連續(xù)函數(shù)h(t)的N個(gè)抽樣值n=0,1,...,N一1，這N個(gè)點(diǎn)(L\lNTs)是連續(xù)頻率函數(shù)H(f)的N個(gè)抽樣值k=0,1,.,N-1，這的寬度為N的DFT為：dftn\h(nTs)]=§h(nTs)e-j2兀〃k/N=H,(k=0,1,...,N-1)(L\INTSN個(gè)點(diǎn)的寬度為N的IDFT為:⑵IDFT定義：設(shè)h(7-、lNT.)⑶e-j2兀nk/N稱為N點(diǎn)DFT的變換核函數(shù)，ej2兀nk/N稱為N點(diǎn)IDFT的變換核函數(shù)。它們互為共軛。同樣的信號(hào)，寬度不同的DFT會(huì)有不同的結(jié)果。DFT正逆變換的對(duì)應(yīng)關(guān)系是唯一的，或者說(shuō)它們是互逆的。引入w=e-j2兀/N(i)用途:正逆變換的核函數(shù)分別可以表示為Wnk和Wfk。核函數(shù)的正交性可以表示為：^n^WkrNNk=0N-1=乙h(nTsWk,n=0(d)IDFT可以表示為：h(nTs)=-1切HNk=0DFTNH=1如Nk=0e-j2mk/N=h(nT)(k=0,1,...,N-1)(c)DFT可以表示為：h(ii)性質(zhì)：周期性和對(duì)稱性:(a)(b)(c)(d)(e)(f)WNN=e-j2(L\lNTs)是連續(xù)頻率函數(shù)H(f)的N個(gè)抽樣值k=0,1,.,N-1，這的寬度為N的DFT為：dftn\h(nTs)]=§h(nTs)e-j2兀〃k/N=H,(k=0,1,...,N-1)(L\INTSN個(gè)點(diǎn)的寬度為N的IDFT為:⑵IDFT定義：設(shè)h(7-、lNT.)⑶e-j2兀nk/N稱為N點(diǎn)DFT的變換核函數(shù)，ej2兀nk/N稱為N點(diǎn)IDFT的變換核函數(shù)。它們互為共軛。同樣的信號(hào)，寬度不同的DFT會(huì)有不同的結(jié)果。DFT正逆變換的對(duì)應(yīng)關(guān)系是唯一的，或者說(shuō)它們是互逆的。引入w=e-j2兀/N(i)用途:正逆變換的核函數(shù)分別可以表示為Wnk和Wfk。核函數(shù)的正交性可以表示為：^n^WkrNNk=0N-1=乙h(nTsWk,n=0(d)IDFT可以表示為：h(nTs)=-1切HNk=0DFTNH=1如Nk=0e-j2mk/N=h(nT)(k=0,1,...,N-1)(c)DFT可以表示為：h(ii)性質(zhì)：周期性和對(duì)稱性:(a)(b)(c)(d)(e)(f)WNN=e-j2兀=1WNN/2=e-j=-1WN+r=wNwr=wrNNNNwN/2+r=-wN/2wr=-wrNNNN哪=1(VmgZ)Wm=e一j2rnm/mN=e-j2m/N=WN(Vm,ngZ)=N8(n一r)(k=0,1，…，N-1)WNn,(n=0,1,.,N-1)3離散譜的性質(zhì)(1)離散譜定義:稱Hk=H[k](kgZ)為離散序列h(nTs)(0<n<N)的DFT離散譜，l)簡(jiǎn)稱離散譜。⑵性質(zhì)：①周期性：序列的N點(diǎn)的DFT離散譜是周期為N的序列。(ii)共扼對(duì)稱性：如果x(nTs)(0<n<N)為實(shí)序列，則其N點(diǎn)的DFT關(guān)于原點(diǎn)⑶改寫：簡(jiǎn)記簡(jiǎn)記Hh(n)為H(k)⑴DFT的定義是針對(duì)任意的離散序列m)中的有限個(gè)離散抽樣的，它并不要求該序列具有周期性。由DFT求出的離散譜H(k)=Hk=H(0<n<N)(2)(4)(5)(6)，L、lNTS)Nf=N/T=也=-1=f、離散間隔為工=f=X=f。離散譜關(guān)于變?cè)猭的00NT_TsNT_NT00周期為N。如果稱離散譜經(jīng)過(guò)IDFT所得到的序列為重建信號(hào)，x(nTs)(neZ)，則重建信號(hào)是離散的周期函數(shù)，周期為NT一=矣=工(對(duì)應(yīng)離散譜的離散間隔的倒f0數(shù))、離散間隔為Ts=NTJN==工(對(duì)應(yīng)離散譜周期的倒數(shù))。經(jīng)IDFT重建信號(hào)的基頻就是頻域的離散間隔，或時(shí)域周期的倒數(shù)，為f=—=^—。0T0NTS實(shí)序列的離散譜關(guān)于原點(diǎn)和N(如果N是偶數(shù))是共軛對(duì)稱和幅度對(duì)稱的。2因此，真正有用的頻譜信息可以從0~N-1范圍獲得，從低頻到高頻。2在時(shí)域和頻域0~N范圍內(nèi)的N點(diǎn)分別是各自的主值區(qū)間或主值周期。(kGZ)是離散的周期函數(shù)周期為ss5DFT性質(zhì)線性性：對(duì)任意常數(shù)am奇偶虛實(shí)性：(1<m<M)線性性：對(duì)任意常數(shù)am奇偶虛實(shí)性：(1<m<M)，有DFTamXm(n)。-m=1-M乙amDFTm=1①DFT的反褶、平移：先把有限長(zhǎng)序列周期延拓，再作相應(yīng)反褶或平移，最后取主值區(qū)間的序列作為最終結(jié)果。(ii)DFT有如下的奇偶虛實(shí)特性：奇°奇；偶。偶；實(shí)偶°實(shí)偶；實(shí)奇°虛奇；實(shí)°(實(shí)偶)+j(實(shí)奇)；實(shí)°(實(shí)偶)?EXP(實(shí)奇)。(3)反褶和共軛性:時(shí)域頻域反褶反褶共軛共軛+反褶共軛+反褶共軛對(duì)偶性：x(n)oNx(-k)①把離散譜序列當(dāng)成時(shí)域序列進(jìn)行DFT，結(jié)果是原時(shí)域序列反褶的N倍；(ii)如果原序列具有偶對(duì)稱性，則DFT結(jié)果是原時(shí)域序列的N倍。時(shí)移性：x(n-m)oX(k)WNm。序列的時(shí)移不影響DFT離散譜的幅度。頻移性：x(n)W~nloX(k-1)⑺時(shí)域離散圓卷積定理：x(n)⑤y(n)oX(k)Y(k)①圓卷積：周期均為N的序列x(n)與y(n)之間的圓卷積為x(n)③y(n)=乙x(z)y(n一i)i=0x(n)⑤y(n)仍是n的序列，周期為N。(ii)非周期序列之間只可能存在線卷積，不存在圓卷積；周期序列之間存在圓卷積，但不存在線卷積。(8