中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二次函數(shù)

二次函數(shù)一、選擇題1.（2014?廣東，第10題3分）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖，關(guān)于該二次函數(shù)，下列說法錯誤的是（）A．函數(shù)有最小值B．對稱軸是直線x=C．當(dāng)x＜，y隨x的增大而減小D．當(dāng)﹣1＜x＜2時，y＞0考點：二次函數(shù)的性質(zhì)．分析：根據(jù)拋物線的開口方向，利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷A；根據(jù)圖形直接判斷B；根據(jù)對稱軸結(jié)合開口方向得出函數(shù)的增減性，進(jìn)而判斷C；根據(jù)圖象，當(dāng)﹣1＜x＜2時，拋物線落在x軸的下方，則y＜0，從而判斷D．解答：解：A、由拋物線的開口向下，可知a＜0，函數(shù)有最小值，正確，故本選項不符合題意；B、由圖象可知，對稱軸為x=，正確，故本選項不符合題意；C、因為a＞0，所以，當(dāng)x＜時，y隨x的增大而減小，正確，故本選項不符合題意；D、由圖象可知，當(dāng)﹣1＜x＜2時，y＜0，錯誤，故本選項符合題意．故選D．點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想解題．2.（2014?廣西賀州，第10題3分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，且a≠0）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=cx+與反比例函數(shù)y=在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是（）A．B．C．D．考點：二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)的圖象．分析：先根據(jù)二次函數(shù)的圖象得到a＞0，b＜0，c＜0，再根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系和反比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系判斷它們的位置．解答：解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣＞0，∴b＜0，∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，∴c＜0，∴一次函數(shù)y=cx+的圖象過第二、三、四象限，反比例函數(shù)y=分布在第二、四象限．故選B．點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象為拋物線，當(dāng)a＞0，拋物線開口向上；當(dāng)a＜0，拋物線開口向下．對稱軸為直線x=﹣；與y軸的交點坐標(biāo)為（0，c）．也考查了一次函數(shù)圖象和反比例函數(shù)的圖象．3．(2014年四川資陽，第10題3分)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，給出下列四個結(jié)論：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正確結(jié)論的個數(shù)是（） A． 4個 B． 3個 C． 2個 D． 1個考點： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．分析： 利用二次函數(shù)圖象的相關(guān)知識與函數(shù)系數(shù)的聯(lián)系，需要根據(jù)圖形，逐一判斷．解答： 解：∵拋物線和x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正確；∵對稱軸是直線x﹣1，和x軸的一個交點在點（0，0）和點（1，0）之間，∴拋物線和x軸的另一個交點在（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，∴把（﹣2，0）代入拋物線得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②錯誤；∵把（1，0）代入拋物線得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正確；∵拋物線的對稱軸是直線x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正確；即正確的有3個，故選B．點評： 此題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，在解題時要注意二次函數(shù)的系數(shù)與其圖象的形狀，對稱軸，特殊點的關(guān)系，也要掌握在圖象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同時注意特殊點的運用．4．(2014年天津市，第12題3分)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，且關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0沒有實數(shù)根，有下列結(jié)論：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（） A．0 B． 1 C． 2 D． 3考點： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．分析： 由圖象可知二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸有兩個交點，進(jìn)而判斷①；先根據(jù)拋物線的開口向下可知a＜0，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，根據(jù)對稱軸在y軸右側(cè)得出b與0的關(guān)系，然后根據(jù)有理數(shù)乘法法則判斷②；一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0沒有實數(shù)根，則可轉(zhuǎn)化為ax2+bx+c=m，即可以理解為y=ax2+bx+c和y=m沒有交點，即可求出m的取值范圍，判斷③即可．解答： 解：①∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，故①正確；②∵拋物線的開口向下，∴a＜0，∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c＞0，∵對稱軸x=﹣＞0，∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正確；③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0沒有實數(shù)根，∴y=ax2+bx+c和y=m沒有交點，由圖可得，m＞2，故③正確．故選D．點評： 本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運用．5．（2014?新疆，第6題5分）對于二次函數(shù)y=（x﹣1）2+2的圖象，下列說法正確的是（）A．開口向下B．對稱軸是x=﹣1C．頂點坐標(biāo)是（1，2）D．與x軸有兩個交點考點：二次函數(shù)的性質(zhì)．專題：常規(guī)題型．分析：根據(jù)拋物線的性質(zhì)由a=1得到圖象開口向上，根據(jù)頂點式得到頂點坐標(biāo)為（1，2），對稱軸為直線x=1，從而可判斷拋物線與x軸沒有公共點．解答：解：二次函數(shù)y=（x﹣1）2+2的圖象開口向上，頂點坐標(biāo)為（1，2），對稱軸為直線x=1，拋物線與x軸沒有公共點．故選C．點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點式為y=a（x﹣）2+，的頂點坐標(biāo)是（﹣，），對稱軸直線x=﹣b2a，當(dāng)a＞0時，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，當(dāng)a＜0時，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向下．6．（2014?舟山，第10題3分）當(dāng)﹣2≤x≤1時，二次函數(shù)y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，則實數(shù)m的值為（）A．﹣B．或C．2或D．2或﹣或考點：二次函數(shù)的最值專題：分類討論．分析：根據(jù)對稱軸的位置，分三種情況討論求解即可．解答：解：二次函數(shù)的對稱軸為直線x=m，①m＜﹣2時，x=﹣2時二次函數(shù)有最大值，此時﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，解得m=﹣，與m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②當(dāng)﹣2≤m≤1時，x=m時，二次函數(shù)有最大值，此時，m2+1=4，解得m=﹣，m=（舍去）；③當(dāng)m＞1時，x=1時，二次函數(shù)有最大值，此時，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，解得m=2，綜上所述，m的值為2或﹣．故選C．點評：本題考查了二次函數(shù)的最值問題，難點在于分情況討論．7.（2014?畢節(jié)地區(qū)，第11題3分）拋物線y=2x2，y=﹣2x2，共有的性質(zhì)是（）A．開口向下B．對稱軸是y軸C．都有最低點D．y隨x的增大而減小考點：二次函數(shù)的性質(zhì)分析：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解題．解答：解：（1）y=2x2開口向上，對稱軸為y軸，有最低點，頂點為原點；（2）y=﹣2x2開口向下，對稱軸為y軸，有最高點，頂點為原點；（3）y=x2開口向上，對稱軸為y軸，有最低點，頂點為原點．故選B．點評：考查二次函數(shù)頂點式y(tǒng)=a（x﹣h）2+k的性質(zhì)．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)a＞0時，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減??；x＞﹣時，y隨x的增大而增大；x=﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．②當(dāng)a＜0時，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減小；x=﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．8.（2014?孝感，第12題3分）拋物線y=ax2+bx+c的頂點為D（﹣1，2），與x軸的一個交點A在點（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，其部分圖象如圖，則以下結(jié)論：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有兩個相等的實數(shù)根．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1個B．2個C．3個D．4個考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；拋物線與x軸的交點專題：數(shù)形結(jié)合．分析：由拋物線與x軸有兩個交點得到b2﹣4ac＞0；有拋物線頂點坐標(biāo)得到拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，則根據(jù)拋物線的對稱性得拋物線與x軸的另一個交點在點（0，0）和（1，0）之間，所以當(dāng)x=1時，y＜0，則a+b+c＜0；由拋物線的頂點為D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，由拋物線的對稱軸為直線x=﹣=1得b=2a，所以c﹣a=2；根據(jù)二次函數(shù)的最大值問題，當(dāng)x=﹣1時，二次函數(shù)有最大值為2，即只有x=1時，ax2+bx+c=2，所以說方程ax2+bx+c﹣2=0有兩個相等的實數(shù)根．解答：解：∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，所以①錯誤；∵頂點為D（﹣1，2），∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，∵拋物線與x軸的一個交點A在點（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，∴拋物線與x軸的另一個交點在點（0，0）和（1，0）之間，∴當(dāng)x=1時，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正確；∵拋物線的頂點為D（﹣1，2），∴a﹣b+c=2，∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣=1，∴b=2a，∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正確；∵當(dāng)x=﹣1時，二次函數(shù)有最大值為2，即只有x=1時，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c﹣2=0有兩個相等的實數(shù)根，所以④正確．故選C．點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當(dāng)a＞0，拋物線開口向上；對稱軸為直線x=﹣；拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0，c）；當(dāng)b2﹣4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點；當(dāng)b2﹣4ac=0，拋物線與x軸有一個交點；當(dāng)b2﹣4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點．9．（2014·臺灣，第26題3分）已知a、h、k為三數(shù)，且二次函數(shù)y＝a(x﹣h)2＋k在坐標(biāo)平面上的圖形通過(0，5)、(10，8)兩點．若a＜0，0＜h＜10，則h之值可能為下列何者？()A．1 B．3 C．5 D．7分析：先畫出拋物線的大致圖象，根據(jù)頂點式得到拋物線的對稱軸為直線x＝h，由于拋物線過(0，5)、(10，8)兩點．若a＜0，0＜h＜10，則點(0，5)到對稱軸的距離大于點(10，8)到對稱軸的距離，所以h﹣0＞10﹣h，然后解不等式后進(jìn)行判斷．解：∵拋物線的對稱軸為直線x＝h，而(0，5)、(10，8)兩點在拋物線上，∴h﹣0＞10﹣h，解得h＞5．故選D．點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置，當(dāng)a與b同號時(即ab＞0)，對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時(即ab＜0)，對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于(0，c)；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定，△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．10．（2014·浙江金華，第9題4分）如圖是二次函數(shù)的圖象，使成立的x的取值范圍是【】A．B．C．D．或【答案】D．【解析】試題分析：由圖象可知，當(dāng)時，或.故選D．考點：1.曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；2.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用11．（2014?浙江寧波，第12題4分）已知點A（a﹣2b，2﹣4ab）在拋物線y=x2+4x+10上，則點A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點坐標(biāo)為（）A．（﹣3，7）B．（﹣1，7）C．（﹣4，10）D．（0，10）考點：二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；坐標(biāo)與圖形變化－對稱．分析：把點A坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式并利用完全平方公式整理，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b，再求出點A的坐標(biāo)，然后求出拋物線的對稱軸，再根據(jù)對稱性求解即可．解答：解：∵點A（a﹣2b，2﹣4ab）在拋物線y=x2+4x+10上，∴（a﹣2b）2+4×（a﹣2b）+10=2﹣4ab，a2﹣4ab+4b2+4a﹣8ab+10=2﹣4ab，（a+2）2+4（b﹣1）2=0，∴a+2=0，b﹣1=0，解得a=﹣2，b=1，∴a﹣2b=﹣2﹣2×1=﹣4，2﹣4ab=2﹣4×（﹣2）×1=10，∴點A的坐標(biāo)為（﹣4，10），∵對稱軸為直線x=﹣=﹣2，∴點A關(guān)于對稱軸的對稱點的坐標(biāo)為（0，10）．故選D．點評：本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的對稱性，坐標(biāo)與圖形的變化﹣對稱，把點的坐標(biāo)代入拋物線解析式并整理成非負(fù)數(shù)的形式是解題的關(guān)鍵．12.（2014?菏澤第8題3分）如圖，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的頂點D、F分別在AC、BC邊上，C、D兩點不重合，設(shè)CD的長度為x，△ABC與正方形CDEF重疊部分的面積為y，則下列圖象中能表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是（）A．B．C．D．考點：動點問題的函數(shù)圖象．專題：數(shù)形結(jié)合．分析：分類討論：當(dāng)0＜x≤1時，根據(jù)正方形的面積公式得到y(tǒng)=x2；當(dāng)1＜x≤2時，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重疊的面積等于正方形的面積減去等腰直角三角形MNE的面積得到y(tǒng)=x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y(tǒng)=﹣（x﹣2）2+2，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對各選項進(jìn)行判斷．解答：解：當(dāng)0＜x≤1時，y=x2，當(dāng)1＜x≤2時，ED交AB于M，EF交AB于N，如圖，CD=x，則AD=2﹣x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM為等腰直角三角形，∴DM=2﹣x，∴EM=x﹣（2﹣x）=2x﹣2，∴S△ENM=（2x﹣2）2=2（x﹣1）2，∴y=x2﹣2（x﹣1）2=﹣x2+4x﹣2=﹣（x﹣2）2+2，∴y=，故選A．13.（2014?濟寧，第8題3分）“如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個公共點，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根．”請根據(jù)你對這句話的理解，解決下面問題：若m、n（m＜n）是關(guān)于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的兩根，且a＜b，則a、b、m、n的大小關(guān)系是（）A．m＜a＜b＜nB．a(chǎn)＜m＜n＜bC．a(chǎn)＜m＜b＜nD．m＜a＜n＜b考點：拋物線與x軸的交點．分析：依題意畫出函數(shù)y=（x﹣a）（x﹣b）圖象草圖，根據(jù)二次函數(shù)的增減性求解．解答：解：依題意，畫出函數(shù)y=（x﹣a）（x﹣b）的圖象，如圖所示．函數(shù)圖象為拋物線，開口向上，與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)分別為a，b（a＜b）．方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0轉(zhuǎn)化為（x﹣a）（x﹣b）=1，方程的兩根是拋物線y=（x﹣a）（x﹣b）與直線y=1的兩個交點．由m＜n，可知對稱軸左側(cè)交點橫坐標(biāo)為m，右側(cè)為n．由拋物線開口向上，則在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而減少，則有m＜a；在對稱軸右側(cè)，y隨x增大而增大，則有b＜n．綜上所述，可知m＜a＜b＜n．故選A．點評：本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．解題時，畫出函數(shù)草圖，由函數(shù)圖象直觀形象地得出結(jié)論，避免了繁瑣復(fù)雜的計算．14．（2014年山東泰安，第17題3分）已知函數(shù)y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=mx+n與反比例函數(shù)y=的圖象可能是（）A．BCD．分析： 根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷出m＜﹣1，n=1，然后求出m+n＜0，再根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)判斷即可．解：由圖可知，m＜﹣1，n=1，所以，m+n＜0，所以，一次函數(shù)y=mx+n經(jīng)過第二四象限，且與y軸相交于點（0，1），反比例函數(shù)y=的圖象位于第二四象限，縱觀各選項，只有C選項圖形符合．故選C．點評：本題考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象，觀察二次函數(shù)圖象判斷出m、n的取值是解題的關(guān)鍵．15.（2014年山東泰安，第20題3分）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）中的x與y的部分對應(yīng)值如下表：X﹣1013y﹣1353下列結(jié)論：（1）ac＜0；（2）當(dāng)x＞1時，y的值隨x值的增大而減?。?）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一個根；（4）當(dāng)﹣1＜x＜3時，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正確的個數(shù)為（）A．4個 B． 3個 C． 2個 D． 1個分析：根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的對稱軸為直線x=1.5，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對各小題分析判斷即可得解．解：由圖表中數(shù)據(jù)可得出：x=1時，y=5值最大，所以二次函數(shù)y=ax2+bx+c開口向下，a＜0；又x=0時，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正確；∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c開口向下，且對稱軸為x==1.5，∴當(dāng)x＞1.5時，y的值隨x值的增大而減小，故（2）錯誤；∵x=3時，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一個根，故（3）正確；∵x=﹣1時，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1時，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3時，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函數(shù)有最大值，∴當(dāng)﹣1＜x＜3時，ax2=（b﹣1）x+c＞0，故（4）正確．故選B．點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)與不等式，有一定難度．熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16.（2014?濱州，第9題3分）下列函數(shù)中，圖象經(jīng)過原點的是（）A．y=3xB．y=1﹣2xC．y=D．y=x2﹣1考點：二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征分析：將點（0，0）依次代入下列選項的函數(shù)解析式進(jìn)行一一驗證即可．解答：解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，∴點（0，0）滿足函數(shù)的關(guān)系式；A、當(dāng)x=0時，y=3×0=0，即y=0，∴點（0，0）滿足函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)=3x；故本選項正確；B、當(dāng)x=0時，y=1﹣2×0=1，即y=1，∴點（0，0）不滿足函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)=1﹣2x；故本選項錯誤；C、y=的圖象是雙曲線，不經(jīng)過原點；故本選項錯誤；D、當(dāng)x=0時，y=02﹣1=﹣1，即y=﹣1，∴點（0，0）不滿足函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)=x2﹣1；故本選項錯誤；故選A．點評：本題綜合考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例圖象上的點的坐標(biāo)特征．經(jīng)過函數(shù)圖象上的某點，該點一定滿足該函數(shù)的解析式．二.填空題1.（2014?安徽省,第12題5分）某廠今年一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為a元，以后每月新產(chǎn)品的研發(fā)資金與上月相比增長率都是x，則該廠今年三月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金y（元）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=a（1+x）2．考點： 根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式．分析： 由一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為a元，根據(jù)題意可以得到2月份研發(fā)資金為a×（1+x），而三月份在2月份的基礎(chǔ)上又增長了x，那么三月份的研發(fā)資金也可以用x表示出來，由此即可確定函數(shù)關(guān)系式．解答： 解：∵一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為a元，2月份起，每月新產(chǎn)品的研發(fā)資金與上月相比增長率都是x，∴2月份研發(fā)資金為a×（1+x），∴三月份的研發(fā)資金為y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x）2．故填空答案：a（1+x）2．點評： 此題主要考查了根據(jù)實際問題二次函數(shù)列解析式，此題是平均增長率的問題，可以用公式a（1±x）2=b來解題．2．(2014年云南，第16題3分)拋物線y=x2﹣2x+3的頂點坐標(biāo)是．考點： 二次函數(shù)的性質(zhì)．專題： 計算題．分析： 已知拋物線的解析式是一般式，用配方法轉(zhuǎn)化為頂點式，根據(jù)頂點式的坐標(biāo)特點，直接寫出頂點坐標(biāo)．解答： 解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，∴拋物線y=x2﹣2x+3的頂點坐標(biāo)是（1，2）．點評： 此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)y=a（x﹣h）2+k的頂點坐標(biāo)為（h，k），對稱軸為x=h，此題還考查了配方法求頂點式．3．（2014?浙江湖州，第16題4分）已知當(dāng)x1=a，x2=b，x3=c時，二次函數(shù)y=x2+mx對應(yīng)的函數(shù)值分別為y1，y2，y3，若正整數(shù)a，b，c恰好是一個三角形的三邊長，且當(dāng)a＜b＜c時，都有y1＜y2＜y3，則實數(shù)m的取值范圍是．分析：根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊判斷出a最小為2，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性和對稱性判斷出對稱軸在2、3之間偏向2，即不大于2.5，然后列出不等式求解即可．解：∵正整數(shù)a，b，c恰好是一個三角形的三邊長，且a＜b＜c，∴a最小是2，∵y1＜y2＜y3，∴﹣＜2.5，解得m＞﹣．故答案為：m＞﹣．點評：本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的三邊關(guān)系，判斷出a最小可以取2以及對稱軸的位置是解題的關(guān)鍵．4.（2014?株洲，第16題，3分）如果函數(shù)y=（a﹣1）x2+3x+的圖象經(jīng)過平面直角坐標(biāo)系的四個象限，那么a的取值范圍是a＜﹣5．考點：拋物線與x軸的交點分析：函數(shù)圖象經(jīng)過四個象限，需滿足3個條件：（I）函數(shù)是二次函數(shù)；（II）二次函數(shù)與x軸有兩個交點；（III）二次函數(shù)與y軸的正半軸相交．解答：解：函數(shù)圖象經(jīng)過四個象限，需滿足3個條件：（I）函數(shù)是二次函數(shù)．因此a﹣1≠0，即a≠1①（II）二次函數(shù)與x軸有兩個交點．因此△=9﹣4（a﹣1）=﹣4a﹣11＞0，解得a＜﹣②（III）二次函數(shù)與y軸的正半軸相交．因此＞0，解得a＞1或a＜﹣5③綜合①②③式，可得：a＜﹣5．故答案為：a＜﹣5．點評：本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與x軸的交點、二次函數(shù)與y軸交點等知識點，解題關(guān)鍵是確定“函數(shù)圖象經(jīng)過四個象限”所滿足的條件．5.（2014年江蘇南京，第16題，2分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表：x…﹣10123…y…105212…則當(dāng)y＜5時，x的取值范圍是．考點：二次函數(shù)與不等式分析：根據(jù)表格數(shù)據(jù)，利用二次函數(shù)的對稱性判斷出x=4時，y=5，然后寫出y＜5時，x的取值范圍即可．解答：由表可知，二次函數(shù)的對稱軸為直線x=2，所以，x=4時，y=5，所以，y＜5時，x的取值范圍為0＜x＜4．故答案為：0＜x＜4．點評：本題考查了二次函數(shù)與不等式，觀察圖表得到y(tǒng)=5的另一個x的值是解題的關(guān)鍵．6.（2014?揚州，第16題，3分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）的對稱軸是過點（1，0）且平行于y軸的直線，若點P（4，0）在該拋物線上，則4a﹣2b+c的值為0．（第3題圖）考點：拋物線與x軸的交點分析：依據(jù)拋物線的對稱性求得與x軸的另一個交點，代入解析式即可．解答：解：設(shè)拋物線與x軸的另一個交點是Q，∵拋物線的對稱軸是過點（1，0），與x軸的一個交點是P（4，0），∴與x軸的另一個交點Q（﹣2，0），把（﹣2，0）代入解析式得：0=4a﹣2b+c，∴4a﹣2b+c=0，故答案為：0．點評：本題考查了拋物線的對稱性，知道與x軸的一個交點和對稱軸，能夠表示出與x軸的另一個交點，求得另一個交點坐標(biāo)是本題的關(guān)鍵．7．（2014?菏澤，第12題3分）如圖，平行于x軸的直線AC分別交拋物線y1=x2（x≥0）與y2=（x≥0）于B、C兩點，過點C作y軸的平行線交y1于點D，直線DE∥AC，交y2于點E，則=_______．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題．分析：設(shè)A點坐標(biāo)為（0，a），利用兩個函數(shù)解析式求出點B、C的坐標(biāo)，然后求出AB的長度，再根據(jù)CD∥y軸，利用y1的解析式求出D點的坐標(biāo)，然后利用y2求出點E的坐標(biāo)，從而得到DE的長度，然后求出比值即可得解．解答：解：設(shè)設(shè)A點坐標(biāo)為（0，a），（a＞0），則x2=a，解得x=，∴點B（，a），=a，則x=，∴點C（，a），∵CD∥y軸，∴點D的橫坐標(biāo)與點C的橫坐標(biāo)相同，為，∴y1=2=3a，∴點D的坐標(biāo)為（，3a），∵DE∥AC，∴點E的縱坐標(biāo)為3a，∴=3a，∴x=3，∴點E的坐標(biāo)為（3，3a），∴DE=3﹣，==3﹣．故答案為：3﹣．點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，根據(jù)平行與x軸的點的縱坐標(biāo)相同，平行于y軸的點的橫坐標(biāo)相同，求出用點A的縱坐標(biāo)表示出各點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．8.（2014?珠海，第9題4分）如圖，對稱軸平行于y軸的拋物線與x軸交于（1，0），（3，0）兩點，則它的對稱軸為直線x=2．考點：二次函數(shù)的性質(zhì)分析：點（1，0），（3，0）的縱坐標(biāo)相同，這兩點一定關(guān)于對稱軸對稱，那么利用兩點的橫坐標(biāo)可求對稱軸．解答：解：∵點（1，0），（3，0）的縱坐標(biāo)相同，∴這兩點一定關(guān)于對稱軸對稱，∴對稱軸是：x==2．故答案為：直線x=2．點評：本題主要考查了拋物線的對稱性，圖象上兩點的縱坐標(biāo)相同，則這兩點一定關(guān)于對稱軸對稱．三.解答題1.（2014?安徽省,第22題12分）若兩個二次函數(shù)圖象的頂點、開口方向都相同，則稱這兩個二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”．（1）請寫出兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)；（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的圖象經(jīng)過點A（1，1），若y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y2的表達(dá)式，并求出當(dāng)0≤x≤3時，y2的最大值．考點： 二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值．專題： 新定義．分析： （1）只需任選一個點作為頂點，同號兩數(shù)作為二次項的系數(shù)，用頂點式表示兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式即可．（2）由y1的圖象經(jīng)過點A（1，1）可以求出m的值，然后根據(jù)y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”就可以求出函數(shù)y2的表達(dá)式，然后將函數(shù)y2的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點式，在利用二次函數(shù)的性質(zhì)就可以解決問題．解答： 解：（1）設(shè)頂點為（h，k）的二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a（x﹣h）2+k，當(dāng)a=2，h=3，k=4時，二次函數(shù)的關(guān)系式為y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴該二次函數(shù)圖象的開口向上．當(dāng)a=3，h=3，k=4時，二次函數(shù)的關(guān)系式為y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴該二次函數(shù)圖象的開口向上．∵兩個函數(shù)y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4頂點相同，開口都向上，∴兩個函數(shù)y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函數(shù)”．∴符合要求的兩個“同簇二次函數(shù)”可以為：y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的圖象經(jīng)過點A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b﹣4）x+8∵y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．解得：．∴函數(shù)y2的表達(dá)式為：y2=5x2﹣10x+5．∴y2=5x2﹣10x+5=5（x﹣1）2．∴函數(shù)y2的圖象的對稱軸為x=1．∵5＞0，∴函數(shù)y2的圖象開口向上．①當(dāng)0≤x≤1時，∵函數(shù)y2的圖象開口向上，∴y2隨x的增大而減小．∴當(dāng)x=0時，y2取最大值，最大值為5（0﹣1）2=5．②當(dāng)1＜x≤3時，∵函數(shù)y2的圖象開口向上，∴y2隨x的增大而增大．∴當(dāng)x=3時，y2取最大值，最大值為5（3﹣1）2=20．綜上所述：當(dāng)0≤x≤3時，y2的最大值為20．點評： 本題考查了求二次函數(shù)表達(dá)式以及二次函數(shù)一般式與頂點式之間相互轉(zhuǎn)化，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)（開口方向、增減性），考查了分類討論的思想，考查了閱讀理解能力．而對新定義的正確理解和分類討論是解決第二小題的關(guān)鍵．2.（2014?福建泉州，第22題9分）如圖，已知二次函數(shù)y=a（x﹣h）2+的圖象經(jīng)過原點O（0，0），A（2，0）．（1）寫出該函數(shù)圖象的對稱軸；（2）若將線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°到OA′，試判斷點A′是否為該函數(shù)圖象的頂點？考點：二次函數(shù)的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形變化－旋轉(zhuǎn)．分析：（1）由于拋物線過點O（0，0），A（2，0），根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線x=1；（2）作A′B⊥x軸與B，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OA′=OA=2，∠A′OA=2，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OB=OA′=1，A′B=OB=，則A′點的坐標(biāo)為（1，），根據(jù)拋物線的頂點式可判斷點A′為拋物線y=﹣（x﹣1）2+的頂點．解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=a（x﹣h）2+的圖象經(jīng)過原點O（0，0），A（2，0）．∴拋物線的對稱軸為直線x=1；（2）點A′是該函數(shù)圖象的頂點．理由如下：如圖，作A′B⊥x軸于點B，∵線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°到OA′，∴OA′=OA=2，∠A′OA=2，在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，∴OB=OA′=1，∴A′B=OB=，∴A′點的坐標(biāo)為（1，），∴點A′為拋物線y=﹣（x﹣1）2+的頂點．點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標(biāo)為（﹣，），對稱軸直線x=﹣，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)a＞0時，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減?。粁＞﹣時，y隨x的增大而增大；x=﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．②當(dāng)a＜0時，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減??；x=﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．3.（2014?福建泉州，第25題12分）如圖，在銳角三角形紙片ABC中，AC＞BC，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上．（1）已知：DE∥AC，DF∥BC．①判斷四邊形DECF一定是什么形狀？②裁剪當(dāng)AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°時，請你探索：如何剪四邊形DECF，能使它的面積最大，并證明你的結(jié)論；（2）折疊請你只用兩次折疊，確定四邊形的頂點D，E，C，F(xiàn)，使它恰好為菱形，并說明你的折法和理由．考點：四邊形綜合題分析：（1）①根據(jù)有兩組對邊互相平行的四邊形是平行四邊形即可求得，②根據(jù)△ADF∽△ABC推出對應(yīng)邊的相似比，然后進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即可得出h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)平行四邊形的面積公式，很容易得出面積S關(guān)于h的二次函數(shù)表達(dá)式，求出頂點坐標(biāo)，就可得出面積s最大時h的值．（2）第一步，沿∠ABC的對角線對折，使C與C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1對折，使DA1⊥BB1．解答：解：（1）①∵DE∥AC，DF∥BC，∴四邊形DECF是平行四邊形．②作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H，∵∠ACB=45°，AC=24cm∴AG==12，設(shè)DF=EC=x，平行四邊形的高為h，則AH=12h，∵DF∥BC，∴=，∵BC=20cm，即：=∴x=×20，∵S=xh=x?×20=20h﹣h2．∴﹣=﹣=6，∵AH=12，∴AF=FC，∴在AC中點處剪四邊形DECF，能使它的面積最大．（2）第一步，沿∠ABC的對角線對折，使C與C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1對折，使DA1⊥BB1．理由：對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．點評：本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、菱形的判定、二次函數(shù)的最值．關(guān)鍵在于根據(jù)相似三角形及已知條件求出相關(guān)線段的表達(dá)式，求出二次函數(shù)表達(dá)式，即可求出結(jié)論．4.（2014?廣東，第25題9分）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于點D，BC=10cm，AD=8cm．點P從點B出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向點C勻速運動，與此同時，垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、H，當(dāng)點P到達(dá)點C時，點P與直線m同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒（t＞0）．（1）當(dāng)t=2時，連接DE、DF，求證：四邊形AEDF為菱形；（2）在整個運動過程中，所形成的△PEF的面積存在最大值，當(dāng)△PEF的面積最大時，求線段BP的長；（3）是否存在某一時刻t，使△PEF為直角三角形？若存在，請求出此時刻t的值；若不存在，請說明理由．考點：相似形綜合題．分析：（1）如答圖1所示，利用菱形的定義證明；（2）如答圖2所示，首先求出△PEF的面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；（3）如答圖3所示，分三種情形，需要分類討論，分別求解．解答：（1）證明：當(dāng)t=2時，DH=AH=2，則H為AD的中點，如答圖1所示．又∵EF⊥AD，∴EF為AD的垂直平分線，∴AE=DE，AF=DF．∵AB=AC，AD⊥AB于點D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，即四邊形AEDF為菱形．（2）解：如答圖2所示，由（1）知EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，即，解得：EF=10﹣t．S△PEF=EF?DH=（10﹣t）?2t=﹣t2+10t=﹣（t﹣2）2+10∴當(dāng)t=2秒時，S△PEF存在最大值，最大值為10，此時BP=3t=6．（3）解：存在．理由如下：①若點E為直角頂點，如答圖3①所示，此時PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此種情形不存在；②若點F為直角頂點，如答圖3②所示，此時PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．∵PF∥AD，∴，即，解得t=；③若點P為直角頂點，如答圖3③所示．過點E作EM⊥BC于點M，過點F作FN⊥BC于點N，則EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t．在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2．∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）化簡得：t2﹣35t=0，解得：t=或t=0（舍去）∴t=．綜上所述，當(dāng)t=秒或t=秒時，△PEF為直角三角形．點評：本題是運動型綜合題，涉及動點與動線兩種運動類型．第（1）問考查了菱形的定義；第（2）問考查了相似三角形、圖形面積及二次函數(shù)的極值；第（3）問考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知識點，重點考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想．5.（2014?珠海，第22題9分）如圖，矩形OABC的頂點A（2，0）、C（0，2）．將矩形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)30°．得矩形OEFG，線段GE、FO相交于點H，平行于y軸的直線MN分別交線段GF、GH、GO和x軸于點M、P、N、D，連結(jié)MH．（1）若拋物線l：y=ax2+bx+c經(jīng)過G、O、E三點，則它的解析式為：y=x2﹣x；（2）如果四邊形OHMN為平行四邊形，求點D的坐標(biāo)；（3）在（1）（2）的條件下，直線MN與拋物線l交于點R，動點Q在拋物線l上且在R、E兩點之間（不含點R、E）運動，設(shè)△PQH的面積為s，當(dāng)時，確定點Q的橫坐標(biāo)的取值范圍．考點：二次函數(shù)綜合題分析：（1）求解析式一般采用待定系數(shù)法，通過函數(shù)上的點滿足方程求出．（2）平行四邊形對邊平行且相等，恰得MN為OF，即為中位線，進(jìn)而橫坐標(biāo)易得，D為x軸上的點，所以縱坐標(biāo)為0．（3）已知S范圍求橫坐標(biāo)的范圍，那么表示S是關(guān)鍵．由PH不為平行于x軸或y軸的線段，所以考慮利用過動點的平行于y軸的直線切三角形為2個三角形的常規(guī)方法來解題，此法底為兩點縱坐標(biāo)得差，高為橫坐標(biāo)的差，進(jìn)而可表示出S，但要注意，當(dāng)Q在O點右邊時，所求三角形為兩三角形的差．得關(guān)系式再代入，求解不等式即可．另要注意求解出結(jié)果后要考慮Q本身在R、E之間的限制．解答：解：（1）如圖1，過G作GI⊥CO于I，過E作EJ⊥CO于J，∵A（2，0）、C（0，2），∴OE=OA=2，OG=OC=2，∵∠GOI=30°，∠JOE=90°﹣∠GOI=90°﹣30°=60°，∴GI=sin30°?GO==，IO=cos30°?GO==3，JO=cos30°?OE==，JE=sin30°?OE==1，∴G（﹣，3），E（，1），設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，∵經(jīng)過G、O、E三點，∴，解得，∴y=x2﹣x．（2）∵四邊形OHMN為平行四邊形，∴MN∥OH，MN=OH，∵OH=OF，∴MN為△OGF的中位線，∴xD=xN=?xG=﹣，∴D（﹣，0）．（3）設(shè)直線GE的解析式為y=kx+b，∵G（﹣，3），E（，1），∴，解得，∴y=﹣x+2．∵Q在拋物線y=x2﹣x上，∴設(shè)Q的坐標(biāo)為（x，x2﹣x），∵Q在R、E兩點之間運動，∴﹣＜x＜．①當(dāng)﹣＜x＜0時，如圖2，連接PQ，HQ，過點Q作QK∥y軸，交GE于K，則K（x，﹣x+2），∵S△PKQ=?（yK﹣yQ）?（xQ﹣xP），S△HKQ=?（yK﹣yQ）?（xH﹣xQ），∴S△PQH=S△PKQ+S△HKQ=?（yK﹣yQ）?（xQ﹣xP）+?（yK﹣yQ）?（xH﹣xQ）=?（yK﹣yQ）?（xH﹣xP）=?[﹣x+2﹣（x2﹣x）]?[0﹣（﹣）]=﹣x2+．②當(dāng)0≤x＜時，如圖2，連接PQ，HQ，過點Q作QK∥y軸，交GE于K，則K（x，﹣x+2），同理S△PQH=S△PKQ﹣S△HKQ=?（yK﹣yQ）?（xQ﹣xP）﹣?（yK﹣yQ）?（xQ﹣xH）=?（yK﹣yQ）?（xH﹣xP）=﹣x2+．綜上所述，S△PQH=﹣x2+．∵，∴＜﹣x2+≤，解得﹣＜x＜，∵﹣＜x＜，∴﹣＜x＜．點評：本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)與圖象，直角三角形及坐標(biāo)系中三角形面積的表示等知識點．注意其中“利用過動點的平行于y軸的直線切三角形為2個三角形的常規(guī)方法來表示面積”是近幾年中考的考查熱點，需要加強理解運用．6.2014?廣西賀州，第26題12分）二次函數(shù)圖象的頂點在原點O，經(jīng)過點A（1，）；點F（0，1）在y軸上．直線y=﹣1與y軸交于點H．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點P是（1）中圖象上的點，過點P作x軸的垂線與直線y=﹣1交于點M，求證：FM平分∠OFP；（3）當(dāng)△FPM是等邊三角形時，求P點的坐標(biāo)．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：綜合題．分析：（1）根據(jù)題意可設(shè)函數(shù)的解析式為y=ax2，將點A代入函數(shù)解析式，求出a的值，繼而可求得二次函數(shù)的解析式；（2）過點P作PB⊥y軸于點B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，∠PFM=∠PMF，結(jié)合平行線的性質(zhì)，可得出結(jié)論；（3）首先可得∠FMH=30°，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，x2），根據(jù)PF=PM=FM，可得關(guān)于x的方程，求出x的值即可得出答案．解答：（1）解：∵二次函數(shù)圖象的頂點在原點O，∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2，將點A（1，）代入y=ax2得：a=，∴二次函數(shù)的解析式為y=x2；（2）證明：∵點P在拋物線y=x2上，∴可設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，x2），過點P作PB⊥y軸于點B，則BF=x2﹣1，PB=x，∴Rt△BPF中，PF==x2+1，∵PM⊥直線y=﹣1，∴PM=x2+1，∴PF=PM，∴∠PFM=∠PMF，又∵PM∥x軸，∴∠MFH=∠PMF，∴∠PFM=∠MFH，∴FM平分∠OFP；（3）解：當(dāng)△FPM是等邊三角形時，∠PMF=60°，∴∠FMH=30°，在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，∵PF=PM=FM，∴x2+1=4，解得：x=±2，∴x2=×12=3，∴滿足條件的點P的坐標(biāo)為（2，3）或（﹣2，3）．點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、角平分線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練基本知識，數(shù)形結(jié)合，將所學(xué)知識融會貫通．7.（2014?廣西玉林市、防城港市，第26題12分）給定直線l：y=kx，拋物線C：y=ax2+bx+1．（1）當(dāng)b=1時，l與C相交于A，B兩點，其中A為C的頂點，B與A關(guān)于原點對稱，求a的值；（2）若把直線l向上平移k2+1個單位長度得到直線r，則無論非零實數(shù)k取何值，直線r與拋物線C都只有一個交點．①求此拋物線的解析式；②若P是此拋物線上任一點，過P作PQ∥y軸且與直線y=2交于Q點，O為原點．求證：OP=PQ．考點：二次函數(shù)綜合題．分析：（1）直線與拋物線的交點B與A關(guān)于原點對稱，即橫縱坐標(biāo)對應(yīng)互為相反數(shù)，即相加為零，這很使用于韋達(dá)定理．由其中有涉及頂點，考慮頂點式易得a值．（2）①直線l：y=kx向上平移k2+1，得直線r：y=kx+k2+1．根據(jù)無論非零實數(shù)k取何值，直線r與拋物線C：y=ax2+bx+1都只有一個交點，得ax2+（b﹣k）x﹣k2=0中△==0．這雖然是個方程，但無法求解．這里可以考慮一個數(shù)學(xué)技巧，既然k取任何值都成立，那么代入最簡單的1，2肯定是成立的，所以可以代入試驗，進(jìn)而可求得關(guān)于a，b的方程組，則a，b可能的值易得．但要注意答案中，可能有的只能滿足k=1，2時，并不滿足任意實數(shù)k，所以可以再代回△=中，若不能使其結(jié)果為0，則應(yīng)舍去．②求證OP=PQ，那么首先應(yīng)畫出大致的示意圖．發(fā)現(xiàn)圖中幾何條件較少，所以考慮用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化求出OP，PQ的值，再進(jìn)行比較．這里也有數(shù)學(xué)技巧，討論動點P在拋物線y=﹣x2+1上，則可設(shè)其坐標(biāo)為（x，﹣x2+1），進(jìn)而易求OP，PQ．解答：（1）解：∵l：y=kx，C：y=ax2+bx+1，當(dāng)b=1時有A，B兩交點，∴A，B兩點的橫坐標(biāo)滿足kx=ax2+x+1，即ax2+（1﹣k）x+1=0．∵B與A關(guān)于原點對稱，∴0=xA+xB=，∴k=1．∵y=ax2+x+1=a（x+）2+1﹣，∴頂點（﹣，1﹣）在y=x上，∴﹣=1﹣，解得a=﹣．（2）①解：∵無論非零實數(shù)k取何值，直線r與拋物線C都只有一個交點，∴k=1時，k=2時，直線r與拋物線C都只有一個交點．當(dāng)k=1時，r：y=x+2，∴代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b﹣1）x﹣1=0，∵△==0，∴（b﹣1）2+4a=0，當(dāng)k=2時，r：y=2x+5，∴代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b﹣2）x﹣4=0，∵△==0，∴（b﹣2）2+16a=0，∴聯(lián)立得關(guān)于a，b的方程組，解得或．∵r：y=kx+k2+1代入C：y=ax2+bx+1，得ax2+（b﹣k）x﹣k2=0，∴△=．當(dāng)時，△===0，故無論k取何值，直線r與拋物線C都只有一個交點．當(dāng)時，△==，顯然雖k值的變化，△不恒為0，所以不合題意舍去．∴C：y=﹣x2+1．②證明：根據(jù)題意，畫出圖象如圖1，由P在拋物線y=﹣x2+1上，設(shè)P坐標(biāo)為（x，﹣x2+1），連接OP，過P作PQ⊥直線y=2于Q，作PD⊥x軸于D，∵PD=|﹣x2+1|，OD=|x|，∴OP====，PQ=2﹣yP=2﹣（﹣x2+1）=，∴OP=PQ．點評：本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)及圖象，圖象平移解析式變化，韋達(dá)定理及勾股定理等知識，另涉及一些數(shù)學(xué)技巧，學(xué)生解答有一定難度，需要好好理解掌握．8．(2014年四川資陽，第22題9分)某商家計劃從廠家采購空調(diào)和冰箱兩種產(chǎn)品共20臺，空調(diào)的采購單價y1（元/臺）與采購數(shù)量x1（臺）滿足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1為整數(shù)）；冰箱的采購單價y2（元/臺）與采購數(shù)量x2（臺）滿足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2為整數(shù)）．（1）經(jīng)商家與廠家協(xié)商，采購空調(diào)的數(shù)量不少于冰箱數(shù)量的，且空調(diào)采購單價不低于1200元，問該商家共有幾種進(jìn)貨方案？（2）該商家分別以1760元/臺和1700元/臺的銷售單價售出空調(diào)和冰箱，且全部售完．在（1）的條件下，問采購空調(diào)多少臺時總利潤最大？并求最大利潤．考點： 二次函數(shù)的應(yīng)用；一元一次不等式組的應(yīng)用．分析： （1）設(shè)空調(diào)的采購數(shù)量為x臺，則冰箱的采購數(shù)量為（20﹣x）臺，然后根據(jù)數(shù)量和單價列出不等式組，求解得到x的取值范圍，再根據(jù)空調(diào)臺數(shù)是正整數(shù)確定進(jìn)貨方案；（2）設(shè)總利潤為W元，根據(jù)總利潤等于空調(diào)和冰箱的利潤之和整理得到W與x的函數(shù)關(guān)系式并整理成頂點式形式，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性求出最大值即可．解答： 解：（1）設(shè)空調(diào)的采購數(shù)量為x臺，則冰箱的采購數(shù)量為（20﹣x）臺，由題意得，，解不等式①得，x≥11，解不等式②得，x≤15，所以，不等式組的解集是11≤x≤15，∵x為正整數(shù)，∴x可取的值為11、12、13、14、15，所以，該商家共有5種進(jìn)貨方案；（2）設(shè)總利潤為W元，y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，則W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2，=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x），=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000，=30x2﹣540x+12000，=30（x﹣9）2+9570，當(dāng)x＞9時，W隨x的增大而增大，∵11≤x≤15，∴當(dāng)x=15時，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），答：采購空調(diào)15臺時，獲得總利潤最大，最大利潤值為10650元．點評： 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，（1）關(guān)鍵在于確定出兩個不等關(guān)系，（2）難點在于用空調(diào)的臺數(shù)表示出冰箱的臺數(shù)并列出利潤的表達(dá)式．9．(2014年四川資陽，第24題12分)如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點為A（3，0），與y軸的交點為B（0，3），其頂點為C，對稱軸為x=1．（1）求拋物線的解析式；（2）已知點M為y軸上的一個動點，當(dāng)△ABM為等腰三角形時，求點M的坐標(biāo)；（3）將△AOB沿x軸向右平移m個單位長度（0＜m＜3）得到另一個三角形，將所得的三角形與△ABC重疊部分的面積記為S，用m的代數(shù)式表示S．考點： 二次函數(shù)綜合題．分析： （1）根據(jù)對稱軸可知，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一個交點為（﹣1，0），根據(jù)待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．（2）分三種情況：①當(dāng)MA=MB時；②當(dāng)AB=AM時；③當(dāng)AB=BM時；三種情況討論可得點M的坐標(biāo)．（3）平移后的三角形記為△PEF．根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AB的解析式為y=﹣x+3．易得直線EF的解析式為y=﹣x+3+m．根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AC的解析式．連結(jié)BE，直線BE交AC于G，則G（，3）．在△AOB沿x軸向右平移的過程中．分二種情況：①當(dāng)0＜m≤時；②當(dāng)＜m＜3時；討論可得用m的代數(shù)式表示S．解答： 解：（1）由題意可知，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一個交點為（﹣1，0），則，解得．故拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．（2）①當(dāng)MA=MB時，M（0，0）；②當(dāng)AB=AM時，M（0，﹣3）；③當(dāng)AB=BM時，M（0，3+3）或M（0，3﹣3）．所以點M的坐標(biāo)為：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）．（3）平移后的三角形記為△PEF．設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則，解得．則直線AB的解析式為y=﹣x+3．△AOB沿x軸向右平移m個單位長度（0＜m＜3）得到△PEF，易得直線EF的解析式為y=﹣x+3+m．設(shè)直線AC的解析式為y=k′x+b′，則，解得．則直線AC的解析式為y=﹣2x+6．連結(jié)BE，直線BE交AC于G，則G（，3）．在△AOB沿x軸向右平移的過程中．①當(dāng)0＜m≤時，如圖1所示．設(shè)PE交AB于K，EF交AC于M．則BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，聯(lián)立，解得，即點M（3﹣m，2m）．故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM=PE2﹣PK2﹣AF?h=﹣（3﹣m）2﹣m?2m=﹣m2+3m．②當(dāng)＜m＜3時，如圖2所示．設(shè)PE交AB于K，交AC于H．因為BE=m，所以PK=PA=3﹣m，又因為直線AC的解析式為y=﹣2x+6，所以當(dāng)x=m時，得y=6﹣2m，所以點H（m，6﹣2m）．故S=S△PAH﹣S△PAK=PA?PH﹣PA2=﹣（3﹣m）?（6﹣2m）﹣（3﹣m）2=m2﹣3m+．綜上所述，當(dāng)0＜m≤時，S=﹣m2+3m；當(dāng)＜m＜3時，S=m2﹣3m+．點評： 考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：拋物線的對稱軸，待定系數(shù)法求拋物線的解析式，待定系數(shù)法求直線的解析式，分類思想的應(yīng)用，方程思想的應(yīng)用，綜合性較強，有一定的難度．10．（2014?溫州，第21題10分）如圖，拋物線y=﹣x2+2x+c與x軸交于A，B兩點，它的對稱軸與x軸交于點N，過頂點M作ME⊥y軸于點E，連結(jié)BE交MN于點F，已知點A的坐標(biāo)為（﹣1，0）．（1）求該拋物線的解析式及頂點M的坐標(biāo)．（2）求△EMF與△BNE的面積之比．考點：拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；相似三角形的判定與性質(zhì)．分析：（1）直接將（﹣1，0）代入求出即可，再利用配方法求出頂點坐標(biāo)；（2）利用EM∥BN，則△EMF∽△BNF，進(jìn)而求出△EMF與△BNE的面積之比．解答：解：（1）由題意可得：﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c=0，解得：c=3，∴y=﹣x2+2x+3，∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴頂點M（1，4）；（2）∵A（﹣1，0），拋物線的對稱軸為直線x=1，∴點B（3，0），∴EM=1，BN=2，∵EM∥BN，∴△EMF∽△BNF，∴=（）2=（）2=．點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出△EMF∽△BNF是解題關(guān)鍵．11．（2014?舟山，第22題10分）實驗數(shù)據(jù)顯示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小時內(nèi)其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）與時間x（時）的關(guān)系可近似地用二次函數(shù)y=﹣200x2+400x刻畫；1.5小時后（包括1.5小時）y與x可近似地用反比例函數(shù)y=（k＞0）刻畫（如圖所示）．（1）根據(jù)上述數(shù)學(xué)模型計算：①喝酒后幾時血液中的酒精含量達(dá)到最大值？最大值為多少？②當(dāng)x=5時，y=45，求k的值．（2）按國家規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升時屬于“酒后駕駛”，不能駕車上路．參照上述數(shù)學(xué)模型，假設(shè)某駕駛員晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否駕車去上班？請說明理由．考點：二次函數(shù)的應(yīng)用；反比例函數(shù)的應(yīng)用分析：（1）①利用y=﹣200x2+400x=﹣200（x﹣1）2+200確定最大值；②直接利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式即可；（2）求出x=11時，y的值，進(jìn)而得出能否駕車去上班．解答：解：（1）①y=﹣200x2+400x=﹣200（x﹣1）2+200，∴喝酒后1時血液中的酒精含量達(dá)到最大值，最大值為200（毫克/百毫升）；②∵當(dāng)x=5時，y=45，y=（k＞0），∴k=xy=45×5=225；（2）不能駕車上班；理由：∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小時，∴將x=11代入y=，則y=＞20，∴第二天早上7：00不能駕車去上班．點評：此題主要考查了反比例函數(shù)與二次函數(shù)綜合應(yīng)用，根據(jù)圖象得出正確信息是解題關(guān)鍵．12．（2014?舟山，第24題12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A是拋物線y=x2上的一個動點，且點A在第一象限內(nèi)．AE⊥y軸于點E，點B坐標(biāo)為（0，2），直線AB交x軸于點C，點D與點C關(guān)于y軸對稱，直線DE與AB相交于點F，連結(jié)BD．設(shè)線段AE的長為m，△BED的面積為S．（1）當(dāng)m=時，求S的值．（2）求S關(guān)于m（m≠2）的函數(shù)解析式．（3）①若S=時，求的值；②當(dāng)m＞2時，設(shè)=k，猜想k與m的數(shù)量關(guān)系并證明．考點：二次函數(shù)綜合題專題：綜合題．分析：（1）首先可得點A的坐標(biāo)為（m，m2），再由m的值，確定點B的坐標(biāo)，繼而可得點E的坐標(biāo)及BE、OE的長度，易得△ABE∽△CBO，利用對應(yīng)邊成比例求出CO，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出DO，繼而可求解S的值；（2）分兩種情況討論，（I）當(dāng)0＜m＜2時，將BE?DO轉(zhuǎn)化為AE?BO，求解；（II）當(dāng)m＞2時，由（I）的解法，可得S關(guān)于m的函數(shù)解析式；（3）①首先可確定點A的坐標(biāo)，根據(jù)===k，可得S△ADF=k?S△BDF?S△AEF=k?S△BEF，從而可得===k，代入即可得出k的值；②可得===k，因為點A的坐標(biāo)為（m，m2），S=m，代入可得k與m的關(guān)系．解答：解：（1）∵點A在二次函數(shù)y=x2的圖象上，AE⊥y軸于點E且AE=m，∴點A的坐標(biāo)為（m，m2），當(dāng)m=時，點A的坐標(biāo)為（，1），∵點B的坐標(biāo)為（0，2），∴BE=OE=1．∵AE⊥y軸，∴AE∥x軸，∴△ABE∽△CBO，∴==，∴CO=2，∵點D和點C關(guān)于y軸對稱，∴DO=CO=2，∴S=BE?DO=×1×2=；（2）（I）當(dāng)0＜m＜2時（如圖1），∵點D和點C關(guān)于y軸對稱，∴△BOD≌△BOC，∵△BEA∽△BOC，∴△BEA∽△BOD，∴=，即BE?DO=AE?BO=2m．∴S=BE?DO=×2m=m；（II）當(dāng)m＞2時（如圖2），同（I）解法得：S=BE?DO=AE?OB=m，由（I）（II）得，S關(guān)于m的函數(shù)解析式為S=m（m＞0且m≠2）．（3）①如圖3，連接AD，∵△BED的面積為，∴S=m=，∴點A的坐標(biāo)為（，），∵===k，∴S△ADF=k?S△BDF?S△AEF=k?S△BEF，∴===k，∴k===；②k與m之間的數(shù)量關(guān)系為k=m2，如圖4，連接AD，∵===k，∴S△ADF=k?S△BDF?S△AEF=k?S△BEF，∴===k，∵點A的坐標(biāo)為（m，m2），S=m，∴k===m2（m＞2）．點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了三角形的面積、比例的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化思想的運用，難度較大．13.（2014年廣東汕尾，第25題10分）如圖，已知拋物線y=x2﹣x﹣3與x軸的交點為A、D（A在D的右側(cè)），與y軸的交點為C．（1）直接寫出A、D、C三點的坐標(biāo)；（2）若點M在拋物線上，使得△MAD的面積與△CAD的面積相等，求點M的坐標(biāo)；（3）設(shè)點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為B，在拋物線上是否存在點P，使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊形為梯形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．分析：（1）令y=0，解方程x2﹣x﹣3=0可得到A點和D點坐標(biāo)；令x=0，求出y=﹣3，可確定C點坐標(biāo)；（2）根據(jù)拋物線的對稱性，可知在在x軸下方對稱軸右側(cè)也存在這樣的一個點；再根據(jù)三角形的等面積法，在x軸上方，存在兩個點，這兩個點分別到x軸的距離等于點C到x軸的距離；（3）根據(jù)梯形定義確定點P，如圖所示：①若BC∥AP1，確定梯形ABCP1．此時P1與D點重合，即可求得點P1的坐標(biāo)；②若AB∥CP2，確定梯形ABCP2．先求出直線CP2的解析式，再聯(lián)立拋物線與直線解析式求出點P2的坐標(biāo)．解：（1）∵y=x2﹣x﹣3，∴當(dāng)y=0時，x2﹣x﹣3=0，解得x1=﹣2，x2=4．當(dāng)x=0，y=﹣3．∴A點坐標(biāo)為（4，0），D點坐標(biāo)為（﹣2，0），C點坐標(biāo)為（0，﹣3）；（2）∵y=x2﹣x﹣3，∴對稱軸為直線x==1．∵AD在x軸上，點M在拋物線上，∴當(dāng)△MAD的面積與△CAD的面積相等時，分兩種情況：①點M在x軸下方時，根據(jù)拋物線的對稱性，可知點M與點C關(guān)于直線x=1對稱，∵C點坐標(biāo)為（0，﹣3），∴M點坐標(biāo)為（2，﹣3）；②點M在x軸上方時，根據(jù)三角形的等面積法，可知M點到x軸的距離等于點C到x軸的距離3．當(dāng)y=4時，x2﹣x﹣3=3，解得x1=1+，x2=1﹣，∴M點坐標(biāo)為（1+，3）或（1﹣，3）．綜上所述，所求M點坐標(biāo)為（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；（3）結(jié)論：存在．如圖所示，在拋物線上有兩個點P滿足題意：①若BC∥AP1，此時梯形為ABCP1．由點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為B，可知BC∥x軸，則P1與D點重合，∴P1（﹣2，0）．∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC，∴四邊形ABCP1為梯形；②若AB∥CP2，此時梯形為ABCP2．∵A點坐標(biāo)為（4，0），B點坐標(biāo)為（2，﹣3），∴直線AB的解析式為y=x﹣6，∴可設(shè)直線CP2的解析式為y=x+n，將C點坐標(biāo)（0，﹣3）代入，得b=﹣3，∴直線CP2的解析式為y=x﹣3．∵點P2在拋物線y=x2﹣x﹣3上，∴x2﹣x﹣3=x﹣3，化簡得：x2﹣6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6，∴點P2橫坐標(biāo)為6，代入直線CP2解析式求得縱坐標(biāo)為6，∴P2（6，6）．∵AB∥CP2，AB≠CP2，∴四邊形ABCP2為梯形．綜上所述，在拋物線上存在一點P，使得以點A、B、C、P四點為頂點所構(gòu)成的四邊形為梯形；點P的坐標(biāo)為（﹣2，0）或（6，6）．點評： 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)求法，三角形的面積，梯形的判定．綜合性較強，有一定難度．運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．14.（2014?畢節(jié)地區(qū)，第27題16分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點為A（﹣1，﹣1），與x軸交點M（1，0）．C為x軸上一點，且∠CAO=90°，線段AC的延長線交拋物線于B點，另有點F（﹣1，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）求直線Ac的解析式及B點坐標(biāo)；（3）過點B做x軸的垂線，交x軸于Q點，交過點D（0，﹣2）且垂直于y軸的直線于E點，若P是△BEF的邊EF上的任意一點，是否存在BP⊥EF？若存在，求P點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．考點：二次函數(shù)綜合題分析：（1）利用頂點式將（﹣1，﹣1）代入求出函數(shù)解析式即可；（2）首先根據(jù)題意得出C點坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，進(jìn)而聯(lián)立二次函數(shù)解析式，即可得出B點坐標(biāo)；（3）首先求出直線EF的解析式，進(jìn)而得出BP的解析式，進(jìn)而將y=﹣2x﹣7和y=x+聯(lián)立求出P點坐標(biāo)即可．解答：解：（1）設(shè)拋物線解析式為：y=a（x+1）2﹣1，將（1，0）代入得：0=a（1+1）2﹣1，解得；a=，∴拋物線的解析式為：y=（x+1）2﹣1；（2）∵A（﹣1，﹣1），∴∠COA=45°，∵∠CAO=90°，∴△CAO是等腰直角三角形，∴AC=AO，∴C（﹣2，0），設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，將A，C點代入得出：，解得：，∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣2，將y=（x+1）2﹣1和y=﹣x﹣2聯(lián)立得：，解得：，，∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣2，B點坐標(biāo)為：（﹣5，3）；（3）過點B作BP⊥EF于點P，由題意可得出：E（﹣5，﹣2），設(shè)直線EF的解析式為：y=dx+c，則，解得：，∴直線EF的解析式為：y=x+，∵直線BP⊥EF，∴設(shè)直線BP的解析式為：y=﹣2x+e，將B（﹣5，3）代入得出：3=﹣2×（﹣5）+e，解得：e=﹣7，∴直線BP的解析式為：y=﹣2x﹣7，∴將y=﹣2x﹣7和y=x+聯(lián)立得：，解得：，∴P（﹣3，﹣1），故存在P點使得BP⊥EF，此時P（﹣3，﹣1）．點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及頂點式求二次函數(shù)解析式以及垂直的兩函數(shù)系數(shù)關(guān)系等知識，求出C點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．15.（2014?武漢2014?武漢，第29題10分）九（1）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查，整理出某種商品在第x（1≤x≤90）天的售價與銷量的相關(guān)信息如下表：時間x（天）1≤x＜5050≤x≤90售價（元/件）x+4090每天銷量（件）200﹣2x已知該商品的進(jìn)價為每件30元，設(shè)銷售該商品的每天利潤為y元．（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）問銷售該商品第幾天時，當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是多少？（3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天銷售利潤不低于4800元？請直接寫出結(jié)果．考點：二次函數(shù)的應(yīng)用分析：（1）根據(jù)單價乘以數(shù)量，可得利潤，可得答案；（2）根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，可分別得出最大值，根據(jù)有理數(shù)的比較，可得答案；（3）根據(jù)二次函數(shù)值大于或等于4800，一次函數(shù)值大于或等于48000，可得不等式，根據(jù)解不等式組，可得答案．解答：解：（1）當(dāng)1≤x＜50時，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+200，當(dāng)50≤x≤90時，y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000，綜上所述：y=；（2）當(dāng)1≤x＜50時，二次函數(shù)開口下，二次函數(shù)對稱軸為x=45，當(dāng)x=45時，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，當(dāng)50≤x≤90時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x=50時，y最大=6000，綜上所述，該商品第45天時，當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是6050元；（3）當(dāng)20≤x≤60時，每天銷售利潤不低于4800元．點評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，利用單價乘以數(shù)量求函數(shù)解析式，利用了函數(shù)的性質(zhì)求最值．16.（2014?武漢，第25題12分）如圖，已知直線AB：y=kx+2k+4與拋物線y=x2交于A，B兩點．（1）直線AB總經(jīng)過一個定點C，請直接出點C坐標(biāo)；（2）當(dāng)k=﹣時，在直線AB下方的拋物線上求點P，使△ABP的面積等于5；（3）若在拋物線上存在定點D使∠ADB=90°，求點D到直線AB的最大距離．考點：二次函數(shù)綜合題；解一元二次方程－因式分解法；根與系數(shù)的關(guān)系；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)專題：壓軸題．分析：（1）要求定點的坐標(biāo)，只需尋找一個合適x，使得y的值與k無關(guān)即可．（2）只需聯(lián)立兩函數(shù)的解析式，就可求出點A、B的坐標(biāo)．設(shè)出點P的橫坐標(biāo)為a，運用割補法用a的代數(shù)式表示△APB的面積，然后根據(jù)條件建立關(guān)于a的方程，從而求出a的值，進(jìn)而求出點P的坐標(biāo)．（3）設(shè)點A、B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n、t，從條件∠ADB=90°出發(fā)，可構(gòu)造k型相似，從而得到m、n、t的等量關(guān)系，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系就可以求出t，從而求出點D的坐標(biāo)．由于直線AB上有一個定點C，容易得到DC長就是點D到AB的最大距離，只需構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理即可解決問題．解答：解：（1）∵當(dāng)x=﹣2時，y=（﹣2）k+2k+4=4．∴直線AB：y=kx+2k+4必經(jīng)過定點（﹣2，4）．∴點C的坐標(biāo)為（﹣2，4）．（2）∵k=﹣，∴直線的解析式為y=﹣x+3．聯(lián)立，解得：或．∴點A的坐標(biāo)為（﹣3，），點B的坐標(biāo)為（2，2）．過點P作PQ∥y軸，交AB于點Q，過點A作AM⊥PQ，垂足為M，過點B作BN⊥PQ，垂足為N，如圖1所示．設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a，則點Q的橫坐標(biāo)為a．∴yP=a2，yQ=﹣a+3．∵點P在直線AB下方，∴PQ=yQ﹣yP=﹣a+3﹣a2∵AM+NB=a﹣（﹣3）+2﹣a=5．∴S△APB=S△APQ+S△BPQ=PQ?AM+PQ?BN=PQ?（AM+BN）=（﹣a+3﹣a2）?5=5．整理得：a2+a﹣2=0．解得：a1=﹣2，a2=1．當(dāng)a=﹣2時，yP=×（﹣2）2=2．此時點P的坐標(biāo)為（﹣2，2）．當(dāng)a=1時，yP=×12=．此時點P的坐標(biāo)為（1，）．∴符合要求的點P的坐標(biāo)為（﹣2，2）或（1，）．（3）過點D作x軸的平行線EF，作AE⊥EF，垂足為E，作BF⊥EF，垂足為F，如圖2．∵AE⊥EF，BF⊥EF，∴∠AED=∠BFD=90°．∵∠ADB=90°，∴∠ADE=90°﹣∠BDF=∠DBF．∵∠AED=∠BFD，∠ADE=∠DBF，∴△AED∽△DFB．∴．設(shè)點A、B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n、t，則點A、B、D的縱坐標(biāo)分別為m2、n2、t2．AE=yA﹣yE=m2﹣t2．BF=yB﹣yF=n2﹣t2．ED=xD﹣xE=t﹣m，DF=xF﹣xD=n﹣t．∵，∴=．化簡得：mn+（m+n）t+t2+4=0．∵點A、B是直線AB：y=kx+2k+4與拋物線y=x2交點，∴m、n是方程kx+2k+4=x2即x2﹣2kx﹣4k﹣8=0兩根．∴m+n=2k，mn=﹣4k﹣8．∴﹣4k﹣8+2kt+t2+4=0，即t2+2kt﹣4k﹣4=0．即（t﹣2）（t+2k+2）=0．∴t1=2，t2=﹣2k﹣2（舍）．∴定點D的坐標(biāo)為（2，2）．過點D作x軸的平行線DG，過點C作CG⊥DG，垂足為G，如圖3所示．∵點C（﹣2，4），點D（2，2），∴CG=4﹣2=2，DG=2﹣（﹣2）=4．∵CG⊥DG，∴DC====2．過點D作DH⊥AB，垂足為H，如圖3所示，∴DH≤DC．∴DH≤2．∴當(dāng)DH與DC重合即DC⊥AB時，點D到直線AB的距離最大，最大值為2．∴點D到直線AB的最大距離為2．點評：本題考查了解方程組、解一元二次方程、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)與判定等知識，考查了通過解方程組求兩函數(shù)交點坐標(biāo)、用割補法表示三角形的面積等方法，綜合性比較強．構(gòu)造K型相似以及運用根與系數(shù)的關(guān)系是求出點D的坐標(biāo)的關(guān)鍵，點C是定點又是求點D到直線AB的最大距離的突破口．