十字相乘法、相似

課前熱身1.（2011湖北荊州，8，3分）在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，則的值是（）A．B．C．D．2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+1，一次函數(shù)y=k（x－1）－，若它們的圖象對于任意的非零實數(shù)k都只有一個公共點，則a，b的值分別為（）A．a(chǎn)=1，b=2B．a(chǎn)=1，b=－2C．a(chǎn)=－1，b=2D．a(chǎn)=－1，b=－23.從2、3、4、5這四個數(shù)中，任取兩個數(shù)，構(gòu)成函數(shù)，并使這兩個函數(shù)圖象的交點在直線的右側(cè)，則這樣的有序數(shù)對共有（）A．12對 B．6對 C．5對 D．3對4．正整數(shù)按圖8的規(guī)律排列．請寫出第20行，第21列的數(shù)字．第一行第一行第二行第三行第四行第五行第一列第二列第三列第四列第五列1251017…4361118…9871219…1615141320…2524232221………圖85.計算：.十字相乘法十字相乘法解方程步驟：()y()a(1)a2－7a+6=0(2)2y2+y－6=0()y()a()2y()a()2y()a744545檢驗：檢驗：()()=0()()=0()()=0()()=0解得：解得：解得： 1、用十字相乘法解方程（1）（2）x+7x+6=0(3)x29x22=0(4)-x2+x+12=0（5）（6）6x2－11x+3=0陰影部分面積1．如圖，四個半徑為1的小圓都過大圓圓心且與大圓相內(nèi)切，陰影部分的面積為【】A．B．－4C．EQ\F(,2)D．EQ\F(,2)＋12.如圖6，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分別以AB、BC、AC為直徑作三個半圓，那么陰影部分的面積為（平方單位）3.反比例函數(shù)1.（2014?廣西玉林市、防城港市，第18題3分）如圖，OABC是平行四邊形，對角線OB在軸正半軸上，位于第一象限的點A和第二象限的點C分別在雙曲線y=和y=的一支上，分別過點A、C作x軸的垂線，垂足分別為M和N，則有以下的結(jié)論：①=；②陰影部分面積是（k1+k2）；③當∠AOC=90°時，|k1|=|k2|；④若OABC是菱形，則兩雙曲線既關(guān)于x軸對稱，也關(guān)于y軸對稱．其中正確的結(jié)論是①④（把所有正確的結(jié)論的序號都填上）．考點：反比例函數(shù)綜合題．專題：綜合題．分析：作AE⊥y軸于E，CF⊥y軸于F，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得S△AOB=S△COB，利用三角形面積公式得到AE=CF，則有OM=ON，再利用反比例函數(shù)k的幾何意義和三角形面積公式得到S△AOM=|k1|=OM?AM，S△CON=|k2|=ON?CN，所以有=；由S△AOM=|k1|，S△CON=|k2|，得到S陰影部分=S△AOM+S△CON=（|k1|+|k2|）=（k1﹣k2）；當∠AOC=90°，得到四邊形OABC是矩形，由于不能確定OA與OC相等，則不能判斷△AOM≌△CNO，所以不能判斷AM=CN，則不能確定|k1|=|k2|；若OABC是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得OA=OC，可判斷Rt△AOM≌Rt△CNO，則AM=CN，所以|k1|=|k2|，即k1=﹣k2，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得兩雙曲線既關(guān)于x軸對稱，也關(guān)于y軸對稱．解答：解：作AE⊥y軸于E，CF⊥y軸于F，如圖，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴S△AOB=S△COB，∴AE=CF，∴OM=ON，∵S△AOM=|k1|=OM?AM，S△CON=|k2|=ON?CN，∴=，所以①正確；∵S△AOM=|k1|，S△CON=|k2|，∴S陰影部分=S△AOM+S△CON=（|k1|+|k2|），而k1＞0，k2＜0，∴S陰影部分=（k1﹣k2），所以②錯誤；當∠AOC=90°，∴四邊形OABC是矩形，∴不能確定OA與OC相等，而OM=ON，∴不能判斷△AOM≌△CNO，∴不能判斷AM=CN，∴不能確定|k1|=|k2|，所以③錯誤；若OABC是菱形，則OA=OC，而OM=ON，∴Rt△AOM≌Rt△CNO，∴AM=CN，∴|k1|=|k2|，∴k1=﹣k2，∴兩雙曲線既關(guān)于x軸對稱，也關(guān)于y軸對稱，所以④正確．故答案為①④．點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：熟練掌握反比例函數(shù)的圖象、反比例函數(shù)k的幾何意義、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)．3.（2014?武漢，第15題3分）如圖，若雙曲線y=與邊長為5的等邊△AOB的邊OA，AB分別相交于C，D兩點，且OC=3BD，則實數(shù)k的值為．考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；等邊三角形的性質(zhì)分析：過點C作CE⊥x軸于點E，過點D作DF⊥x軸于點F，設(shè)OC=3x，則BD=x，分別表示出點C、點D的坐標，代入函數(shù)解析式求出k，繼而可建立方程，解出x的值后即可得出k的值．解答：解：過點C作CE⊥x軸于點E，過點D作DF⊥x軸于點F，設(shè)OC=3x，則BD=x，在Rt△OCE中，∠COE=60°，則OE=x，CE=x，則點C坐標為（x，x），在Rt△BDF中，BD=x，∠DBF=60°，則BF=x，DF=x，則點D的坐標為（5﹣x，x），將點C的坐標代入反比例函數(shù)解析式可得：k=x2，將點D的坐標代入反比例函數(shù)解析式可得：k=x﹣x2，則x2=x﹣x2，解得：x1=1，x2=0（舍去），故k=×12=．故答案為：．點評：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題關(guān)鍵是利用k的值相同建立方程，有一定難度．4.（2014?邵陽，第13題3分）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（﹣1，2），則k的值是﹣2．考點：待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式分析：因為（﹣1，2）在函數(shù)圖象上，k=xy，從而可確定k的值．解答：解：∵圖象經(jīng)過點（﹣1，2），∴k=xy=﹣1×2=﹣2．故答案為：﹣2．本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，關(guān)鍵知道反比例函數(shù)式的形式，從而得解．5.（2014?孝感，第17題3分）如圖，Rt△AOB的一條直角邊OB在x軸上，雙曲線y=經(jīng)過斜邊OA的中點C，與另一直角邊交于點D．若S△OCD=9，則S△OBD的值為6．考點：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．分析：過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個定值，即S=|k|．解答：解：如圖，過C點作CE⊥x軸，垂足為E．∵Rt△OAB中，∠OAB=90°，∴CE∥AB，∵C為Rt△OAB斜邊OA的中點C，∴CE為Rt△OAB的中位線，∵△OEC∽△OBA，∴=．∵雙曲線的解析式是y=，∴S△BOD=S△COE=k，∴S△AOB=4S△COE=2k，由S△AOB﹣S△BOD=S△OBC=2S△DOC=18，得2k﹣k=18，k=12，S△BOD=S△COE=k=6，故答案為：6．點評：本題考查了反比函數(shù)k的幾何意義，過圖象上的任意一點作x軸、y軸的垂線，所得三角形的面積是|k|，是經(jīng)常考查的知識點，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．6．（2014?浙江湖州，第15題4分）如圖，已知在Rt△OAC中，O為坐標原點，直角頂點C在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=（k≠0）在第一象限的圖象經(jīng)過OA的中點B，交AC于點D，連接OD．若△OCD∽△ACO，則直線OA的解析式為．分析：設(shè)OC=a，根據(jù)點D在反比例函數(shù)圖象上表示出CD，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出AC，然后根據(jù)中點的定義表示出點B的坐標，再根據(jù)點B在反比例函數(shù)圖象上表示出a、k的關(guān)系，然后用a表示出點B的坐標，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答．解：設(shè)OC=a，∵點D在y=上，∴CD=，∵△OCD∽△ACO，∴=，∴AC==，∴點A（a，），∵點B是OA的中點，∴點B的坐標為（，），∵點B在反比例函數(shù)圖象上，∴=，解得，a2=2k，∴點B的坐標為（，a），設(shè)直線OA的解析式為y=mx，則m?=a，解得m=2，所以，直線OA的解析式為y=2x．故答案為：y=2x．點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，用OC的長度表示出點B的坐標是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．9.（2014?菏澤，第13題3分）如圖，Rt△ABO中，∠AOB=90°，點A在第一象限、點B在第四象限，且AO：BO=1：，若點A（x0，y0）的坐標x0，y0滿足y0=，則點B（x，y）的坐標x，y所滿足的關(guān)系式為y=﹣．考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；相似三角形的判定與性質(zhì)．分析：設(shè)點B在反比例函數(shù)y=（k＜0）上，分別過點A、B作AC，BD分別垂直y軸于點C、D，由相似三角形的判定定理得出△AOC∽△OBD，再由相似三角形的性質(zhì)得出△OBD的面積，進而可得出結(jié)論．解答：解：設(shè)點B在反比例函數(shù)y=（k＜0）上，分別過點A、B作AC，BD分別垂直y軸于點C、D，∵∠ACO=∠BDO=90°，∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠BOD，∴△AOC∽△OBD，∴=（）2=（）2=，∵點A（x0，y0）的坐標x0，y0滿足y0=，∴S△AOC=，∴S△BOD=1，∴k=﹣2，∴點B（x，y）的坐標x，y所滿足的關(guān)系式為y=﹣．故答案為：y=﹣．點評：此題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．6．（2014?舟山，第22題10分）實驗數(shù)據(jù)顯示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小時內(nèi)其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）與時間x（時）的關(guān)系可近似地用二次函數(shù)y=﹣200x2+400x刻畫；1.5小時后（包括1.5小時）y與x可近似地用反比例函數(shù)y=（k＞0）刻畫（如圖所示）．（1）根據(jù)上述數(shù)學(xué)模型計算：①喝酒后幾時血液中的酒精含量達到最大值？最大值為多少？②當x=5時，y=45，求k的值．（2）按國家規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升時屬于“酒后駕駛”，不能駕車上路．參照上述數(shù)學(xué)模型，假設(shè)某駕駛員晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否駕車去上班？請說明理由．考點：二次函數(shù)的應(yīng)用；反比例函數(shù)的應(yīng)用分析：（1）①利用y=﹣200x2+400x=﹣200（x﹣1）2+200確定最大值；②直接利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式即可；（2）求出x=11時，y的值，進而得出能否駕車去上班．解答：解：（1）①y=﹣200x2+400x=﹣200（x﹣1）2+200，∴喝酒后1時血液中的酒精含量達到最大值，最大值為200（毫克/百毫升）；②∵當x=5時，y=45，y=（k＞0），∴k=xy=45×5=225；（2）不能駕車上班；理由：∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小時，∴將x=11代入y=，則y=＞20，∴第二天早上7：00不能駕車去上班．點評：此題主要考查了反比例函數(shù)與二次函數(shù)綜合應(yīng)用，根據(jù)圖象得出正確信息是解題關(guān)鍵．11.（2014?泰州，第26題，14分）平面直角坐標系xOy中，點A、B分別在函數(shù)y1=（x＞0）與y2=﹣（x＜0）的圖象上，A、B的橫坐標分別為a、b．（第1題圖）（1）若AB∥x軸，求△OAB的面積；（2）若△OAB是以AB為底邊的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；（3）作邊長為3的正方形ACDE，使AC∥x軸，點D在點A的左上方，那么，對大于或等于4的任意實數(shù)a，CD邊與函數(shù)y1=（x＞0）的圖象都有交點，請說明理由．考點：反比例函數(shù)綜合題．分析：（1）如圖1，AB交y軸于P，由于AB∥x軸，根據(jù)k的幾何意義得到S△OAC=2，S△OBC=2，所以S△OAB=S△OAC+S△OBC=4；（2）根據(jù)分別函數(shù)圖象上點的坐標特征得A、B的縱坐標分別為、﹣，根據(jù)兩點間的距離公式得到OA2=a2+（）2，OB2=b2+（﹣）2，則利用等腰三角形的性質(zhì)得到a2+（）2=b2+（﹣）2，變形得到（a+b）（a﹣b）（1﹣）=0，由于a+b≠0，a＞0，b＜0，所以1﹣=0，易得ab=﹣4；（3）由于a≥4，AC=3，則可判斷直線CD在y軸的右側(cè)，直線CD與函數(shù)y1=（x＞0）的圖象一定有交點，設(shè)直線CD與函數(shù)y1=（x＞0）的圖象交點為F，由于A點坐標為（a，），正方形ACDE的邊長為3，則得到C點坐標為（a﹣3，），F(xiàn)點的坐標為（a﹣3，），所以FC=﹣，然后比較FC與3的大小，由于3﹣FC=3﹣（﹣）=，而a≥4，所以3﹣FC≥0，于是可判斷點F在線段DC上．解答：解：（1）如圖1，AB交y軸于P，∵AB∥x軸，∴S△OAC=×|4|=2，S△OBC=×|﹣4|=2，∴S△OAB=S△OAC+S△OBC=4；（2）∵A、B的橫坐標分別為a、b，∴A、B的縱坐標分別為、﹣，∴OA2=a2+（）2，OB2=b2+（﹣）2，∵△OAB是以AB為底邊的等腰三角形，∴OA=OB，∴a2+（）2=b2+（﹣）2，∴a2﹣b2+（）2﹣（）2=0，∴a2﹣b2+=0，∴（a+b）（a﹣b）（1﹣）=0，∵a+b≠0，a＞0，b＜0，∴1﹣=0∴ab=﹣4；（3）∵a≥4，而AC=3，∴直線CD在y軸的右側(cè)，直線CD與函數(shù)y1=（x＞0）的圖象一定有交點，設(shè)直線CD與函數(shù)y1=（x＞0）的圖象交點為F，如圖2，∵A點坐標為（a，），正方形ACDE的邊長為3，∴C點坐標為（a﹣3，），∴F點的坐標為（a﹣3，），∴FC=﹣，∵3﹣FC=3﹣（﹣）=，而a≥4，∴3﹣FC≥0，即FC≤3，∵CD=3，∴點F在線段DC上，即對大于或等于4的任意實數(shù)a，CD邊與函數(shù)y1=（x＞0）的圖象都有交點．點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義、圖形與坐標和正方形的性質(zhì)；會利用求差法對代數(shù)式比較大?。?3．（2014?德州，第21題10分）如圖，雙曲線y=（x＞0）經(jīng)過△OAB的頂點A和OB的中點C，AB∥x軸，點A的坐標為（2，3）．（1）確定k的值；（2）若點D（3，m）在雙