高中數(shù)學三角函數(shù)大題總結(jié)版（有答案）

三角函數(shù)大題總結(jié)版一.與向量結(jié)合1．設函數(shù)，其中向量，且．(1)求實數(shù)m的值；(2)求函數(shù)的最小值．2．已知向量，，函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)在上的最大值和最小值以及對應的的值.通關(guān)題3．設函數(shù)，其中向量．(1)求函數(shù)的最大值和最小正周期；(2)將函數(shù)的圖像按向量平移，使平移后得到的圖像關(guān)于坐標原點成中心對稱，求長度最小的．二.與零點對稱中心結(jié)合4．已知函數(shù)f(x)＝sin2ωx+cos2ωx+1（0＜ω＜5），將函數(shù)的圖像向右平移個單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖像，x＝是g(x)一個零點．(1)求函數(shù)y＝f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)y＝g(x)在上的單調(diào)區(qū)間．5．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的對稱中心及最小正周期；(2)若，，求的值．通關(guān)題6．已知函數(shù)的相鄰兩對稱軸間的距離為.(1)求的解析式；(2)將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，再把各點的橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖像，當時，求函數(shù)的值域；(3)設，記方程在上的根從小到大依次為，若，試求與的值.三.最值問題7．已知函數(shù)（，）．且的最大值為1；其圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為．求：(1)函數(shù)的解析式；(2)若將函數(shù)圖像上的點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，再向右平移個單位，得到函數(shù)的圖像，若在區(qū)間上的最小值為，求的最大值．8．已知函數(shù)．(1)求圖像的對稱軸方程；(2)若存在，使得成立，求m的取值范圍．通關(guān)題9．已知是函數(shù)的兩個相鄰的對稱中心的點的橫坐標.(1)若對任意，都有，求的取值范圍；(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不同的根，求的取值范圍.四.圖像類10．已知，函數(shù)的部分圖象如圖所示．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)在[0，]上的值域．11．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若先將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的4倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象；再把圖象上所有點向左平行移動個單位長度，得到函數(shù)的圖象.求函數(shù)在上的值域.通關(guān)題12．若函數(shù)的圖像經(jīng)過點，其導函數(shù)的部分圖像如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度，再將所得圖像上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖像，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不同的解，，求的值及實數(shù)的范圍.五.與三角形結(jié)合13．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)記分別為內(nèi)角的對邊，且，的中線，求面積的最大值．14．已知向量，，.(1)求函數(shù)的最小正周期，并求當時的取值范圍；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，求的面積．通關(guān)題15．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3．(1)求常數(shù)m的值；(2)在△ABC中，若，求的最大值．

答案1．設函數(shù)，其中向量，且．(1)求實數(shù)m的值；(2)求函數(shù)的最小值．【答案】(1)1；(2)．【分析】(1)利用平面向量數(shù)量積的坐標表示求出f(x)，再結(jié)合即可求出值；(2)根據(jù)輔助角公式化簡f(x)解析式，進而根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)得到答案．【詳解】（1）向量，，，，又，∴，解得．（2）由(1)得，當時，的最小值為．2．已知向量，，函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)在上的最大值和最小值以及對應的的值.【答案】(1)(2)時，，時，.【分析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標運算以及三角函數(shù)輔助角公式，可得，再結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)性，即可求得單調(diào)增區(qū)間.（2）利用換元法，再結(jié)合三角函數(shù)圖像性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）令，∴函數(shù)的單增區(qū)間為.（2）由（1）可知，，令，當即時，當即時，.3．設函數(shù)，其中向量．(1)求函數(shù)的最大值和最小正周期；(2)將函數(shù)的圖像按向量平移，使平移后得到的圖像關(guān)于坐標原點成中心對稱，求長度最小的．【答案】(1)的最大值為，最小正周期為(2)【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標運算，二倍角公式以及輔助角公式對進行化簡，即可求解；（2）先求出的對稱中心，可得，再通過要最小即可求解【詳解】（1）因為所以，所以，所以的最大值為，最小正周期為；（2）由可得即，所以的對稱中心為，于是，，因為為整數(shù)，要使最小，則只有，此時即為所求4．已知函數(shù)f(x)＝sin2ωx+cos2ωx+1（0＜ω＜5），將函數(shù)的圖像向右平移個單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖像，x＝是g(x)一個零點．(1)求函數(shù)y＝f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)y＝g(x)在上的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；【分析】（1）直接利用函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換和函數(shù)的零點求出函數(shù)的關(guān)系式，進一步求出函數(shù)的最小正周期；（2）利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用和函數(shù)的單調(diào)性的應用求出結(jié)果．【詳解】（1）函數(shù)；將函數(shù)的圖像向右平移個單位，得到函數(shù)的圖像，由于，整理得：，故或，整理得或，即ω＝6k+3或ω＝6k+5（k∈Z）；由于，所以k＝0，ω＝3，故，所以函數(shù)y＝f(x)的最小正周期為；（2）由于函數(shù)的圖像向右平移個單位，得到函數(shù)的圖像，令，整理得；由于，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；令，整理得；由于，整理得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．所以函數(shù)y＝g(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．5．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的對稱中心及最小正周期；(2)若，，求的值．【答案】(1)函數(shù)的對稱中心為，，函數(shù)的最小正周期為；(2).【分析】(1)根據(jù)三角恒等變換公式化簡函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)的對稱中心及最小正周期；(2)由(1)可得，結(jié)合兩角差正弦函數(shù)，二倍角公式，同角關(guān)系化簡可求.【詳解】（1），，，令，，可得，，又，所以函數(shù)的對稱中心為，，函數(shù)的最小正周期；（2）因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，因為，所以，故，所以，所以或，又，故.6．已知函數(shù)的相鄰兩對稱軸間的距離為.(1)求的解析式；(2)將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，再把各點的橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖像，當時，求函數(shù)的值域；(3)設，記方程在上的根從小到大依次為，若，試求與的值.【答案】(1)；(2)；(3)，【分析】（1）先化簡整理得，利用周期求得，即得；（2）利用圖像變換得，用換元法即可求出函數(shù)的值域；（3），結(jié)合正弦函數(shù)的圖像，求出與的值【詳解】（1），∵相鄰兩對稱軸間的距離為，則，∴，故（2）函數(shù)的圖像向右平移個單位長度得的圖像，再把各點的橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得的圖像，當時，，則當時，取得最小值，為-2，當時，取得最大值，為，故函數(shù)的值域為（3），由得，設，則，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像，得在有5個解，即，其中，即，整理得，∴.綜上，，7．已知函數(shù)（，）．且的最大值為1；其圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為．求：(1)函數(shù)的解析式；(2)若將函數(shù)圖像上的點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼模傧蛴移揭苽€單位，得到函數(shù)的圖像，若在區(qū)間上的最小值為，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先將用三角恒等變換公式化簡，再根據(jù)最大值和相鄰兩條對稱軸之間的距離分別求出a和代入即可；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖像變換規(guī)律，得到函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)求的最大值.【詳解】（1），因為的最大值為1，的相鄰兩條對稱軸之間的距離為所以，，解得，，所以（2）將函數(shù)圖像上的點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，可得函?shù)的圖像，再將其向右平移個單位可得函數(shù)的圖像，所以，因為，所以，因為在區(qū)間上的最小值為，所以，，解得．所以的最大值為．8．已知函數(shù)．(1)求圖像的對稱軸方程；(2)若存在，使得成立，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知，根據(jù)題意先對函數(shù)進行化簡，得到，然后令即可直接求解其對稱軸方程；（2）由已知，根據(jù)第（1）問化簡后的函數(shù)，先求解時，函數(shù)的最大值，然后代入中，即可直接求解m的取值范圍.【詳解】（1）．令，解得．故圖像的對稱軸方程為．（2）因為，所以．當，即時，取最大值，．因為存在，使得成立，所以，解得，故m的取值范圍為．9．已知是函數(shù)的兩個相鄰的對稱中心的點的橫坐標.(1)若對任意，都有，求的取值范圍；(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不同的根，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角恒等變換化簡，根據(jù)周期為求出，得到解析式，不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求在給定區(qū)間上的最大值，利用正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可；（2）化簡方程，求出自變量變化時的范圍，再作出正弦函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可【詳解】（1），因為是函數(shù)相鄰兩個對稱中心的橫坐標，所以，解得，，若對任意，都有，只需，由可得，故，所以，因此，即，解得或，因此；（2）關(guān)于的方程，化簡后得，，，作出圖象，如圖，由圖可知，當，即時，有兩根.10．已知，函數(shù)的部分圖象如圖所示．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)在[0，]上的值域．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)圖象可知，據(jù)此求出滿足的條件，再由得解；（2）由輔助角公式化簡，根據(jù)所給角的范圍，利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解.【詳解】（1）依題意可得，即，則，即，因為，所以，故.（2）由（1）知，當時，，則，所以在[0，]上的值域為.11．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若先將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的4倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象；再把圖象上所有點向左平行移動個單位長度，得到函數(shù)的圖象.求函數(shù)在上的值域.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)圖像信息結(jié)合、、的范圍，分別求出、、，即可得到函數(shù)的解析式；（2）先根據(jù)平移伸縮變換得到的表達式，再求函數(shù)在區(qū)間的最小值，即可得到實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由的部分圖象可知，，可得，所以，由五點作圖法可得，解得，所以函數(shù)的解析式為.（2）若先將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的4倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，再把后者圖象上所有點向左平行移動個單位長度，得到函數(shù)的圖象.當時，，所以.所以函數(shù)在上的值域為.12．若函數(shù)的圖像經(jīng)過點，其導函數(shù)的部分圖像如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度，再將所得圖像上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖像，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不同的解，，求的值及實數(shù)的范圍.【答案】(1)(2)；【分析】（1）結(jié)合圖像及題目條件可得解析式，之后結(jié)合導數(shù)知識與題目已知可得答案.（2）先由題目所涉變換得解析式，之后畫出在間的圖像.結(jié)合圖像可得答案.【詳解】（1）根據(jù)圖像可知，得，，又圖像過點，則，其中，得，因，取，有，故.注意到，其中C為常數(shù).則，又過點，則，得.所以；（2）據(jù)題意及（1），得.畫出在圖像.關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不同的解，，即在圖像與直線有兩個交點.由圖，兩交點關(guān)于對稱.則，得，又結(jié)合圖像有，∴實數(shù)的范圍是.13．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)記分別為內(nèi)角的對邊，且，的中線，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）化簡可得，進一步可求得的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由題意先求出角，利用已知條件結(jié)合向量知識，可得，根據(jù)基本不等式可求得的最大值，進而得到面積的最大值．【詳解】（1）由，解得，的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）因為，可得，因為，所以即，由及可得，，所以所以即，當且僅當時取到等號，所以，故面積的最大值為.14．已知向量，，.(1)求函數(shù)的最小正周期，并求當時的取值范圍；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，求的面積．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用向量的數(shù)量積運算與倍角公式，逆用正弦的和差公式得到，進而可得其最小正周期與在上的值域；（2）先利用圖像的平移變換得到，進