第04章-平面問題的極坐標(biāo)解答習(xí)題課課件

第04章習(xí)題課第04章習(xí)題課習(xí)題課_例1例1（習(xí)題4-9）：半平面體表面上受均布水平力q，試用應(yīng)力函數(shù)Φ=r2(Bsin2f+Cf)求解應(yīng)力分量（不計體力）。習(xí)題課_例1例1（習(xí)題4-9）：半平面體表面上受均布水平力q習(xí)題課_例1按逆解法進行求解（1）校核相容方程：應(yīng)力函數(shù)代入式相容方程有滿足相容方程。習(xí)題課_例1按逆解法進行求解（1）校核相容方程：應(yīng)力函數(shù)代入（2）求應(yīng)力分量：將上式代入（4-9），得：習(xí)題課_例1（2）求應(yīng)力分量：將上式代入（4-9），得：習(xí)題課_例1習(xí)題課_例1本題的邊界條件應(yīng)分為兩部分考慮：f=±p/2，代入邊界條件公式，有：3、考察邊界條件，求待定常數(shù)代入應(yīng)力分量表達式，得：在y軸正半軸上（正f面）：在y軸負半軸上（負f面）：代入各系數(shù)，得：習(xí)題課_例1本題的邊界條件應(yīng)分為兩部分考慮：f=±p習(xí)題課_例2例題2（習(xí)題4-18）：設(shè)半平面體在直邊界上受有集中力偶，單位寬度上的力矩為M，試求應(yīng)力分量。習(xí)題課_例2例題2（習(xí)題4-18）：設(shè)半平面體在直邊界上受有習(xí)題課_例2（2）求應(yīng)力函數(shù)表達式：Φ應(yīng)比應(yīng)力的長度量綱高二次冪，可假設(shè)按半逆解法進行求解（3）由相容方程求應(yīng)力函數(shù)的一般形式：上述應(yīng)力函數(shù)必須滿足相容方程，代入式（4-6）得：（1）按量綱分析方法，單位寬度上的力偶矩與力的量綱相同。應(yīng)力應(yīng)與M,

ρ,φ

有關(guān)，由于應(yīng)力的量綱是單位面積上的力，即L-1MT-2，應(yīng)力只能以

M/ρ2

形式組合。習(xí)題課_例2（2）求應(yīng)力函數(shù)表達式：Φ應(yīng)比應(yīng)力的長度量綱高習(xí)題課_例2其中A、B、C和D為四個待定常數(shù)。方程為一個四階常微分方程，其全部通解只有4項。用特征根法求解，得到其解：習(xí)題課_例2其中A、B、C和D為四個待定常數(shù)。方程為一個四階（3）求應(yīng)力分量一般表達式：將上式代入（4-9），得應(yīng)力分量為：習(xí)題課_例2（3）求應(yīng)力分量一般表達式：將上式代入（4-9），得應(yīng)力分量習(xí)題課_例2集中力偶作用在原點，本題的邊界條件應(yīng)分為兩部分考慮：（1）不包含原點，則在r≠0，f=±π/2的邊界面上，沒有任何法向和切向面力作用。4、考察邊界條件，求待定常數(shù)首先分析問題的對稱性：由于結(jié)構(gòu)是正對稱的，而荷載是反對稱的，因此應(yīng)力函數(shù)是反對稱的。習(xí)題課_例2集中力偶作用在原點，本題的邊界條件應(yīng)分為兩部習(xí)題課_例2（2）在原點附近，考慮平衡條件。以點O為中心，以r為半徑作圓弧線，取上半截為脫離體，然后考慮此脫離體的平衡條件，得到三個平衡方程：習(xí)題課_例2（2）在原點附近，考慮平衡條件。以點O為中心，習(xí)題課_例2前兩式自然滿足，由第三式有：習(xí)題課_例2前兩式自然滿足，由第三式有：習(xí)題課_例2進而求得應(yīng)力分量：習(xí)題課_例2進而求得應(yīng)力分量：習(xí)題課_例3例題3（習(xí)題4-19）：設(shè)有厚度為1的無限大薄板，在板內(nèi)小孔中受集中力F，試用如下的應(yīng)力函數(shù)求解Φ=Arlnrcosf+Brfsinf習(xí)題課_例3例題3（習(xí)題4-19）：設(shè)有厚度為1的無限大薄板習(xí)題課_例3解：（1）經(jīng)校核，上述Φ滿足相容方程。（2）代入應(yīng)力公式，得習(xí)題課_例3解：（2）代入應(yīng)力公式，得習(xí)題課_例3（3）考察邊界條件。本題只有原點o

附近的小孔口上作用有集中力

F，可取出包含小孔口在內(nèi)的、半徑為ρ的脫離體，列出其三個平衡條件：將應(yīng)力代入上式，其中第二、三式自然滿足，而第一式得出B=-F/2π

(a)習(xí)題課_例3（3）考察邊界條件。本題只有原點o附近的小孔習(xí)題課_例3（4）由此可見，考慮了邊界條件后還不足以確定待定常數(shù)。注意到本題是多連體，應(yīng)考慮位移的單值條件。因此，先求出應(yīng)變分量，再積分求出位移分量，然后再考慮單值條件。由物理方程求出應(yīng)變分量，習(xí)題課_例3（4）由此可見，考慮了邊界條件后還不足以確定待定習(xí)題課_例3代入幾何方程，得，

由前兩式積分，得習(xí)題課_例3代入幾何方程，得，

由前兩式積分，得習(xí)題課_例3將

uρ,uφ

代入幾何方程第三式，并分開變量，得

為了使上式在區(qū)域內(nèi)任意的ρ,φ都成立，兩邊都必須等于同一常數(shù)G。這樣，得到兩個常微分方程，

由式（b）解出

()cGdfddfABE。=--+-òjjjjmj)()(]2)1[(sin2習(xí)題課_例3將uρ,uφ代入幾何方程第三式，并分開變量習(xí)題課_例3

將式（c）對φ求導(dǎo)一次，再求出再將上式的f(φ)

代入uρ，得

()cGdfddfABE。=--+-òjjjjmj)()(]2)1[(sin2習(xí)題課_例3

將式（c）對φ求導(dǎo)一次，再求出再習(xí)題課_例3

顯然，式（d）中第二項是多值項。為了保證位移的單值性，必須將式（a）代入上式，得習(xí)題課_例3

顯然，式（d）中第二項是多習(xí)題課_例3

將式（a）、（f）代入應(yīng)力公式，得無限大薄板在小孔口受集中力F

的解答：

習(xí)題課_例3

將式（a）、（f）代入應(yīng)力習(xí)題課_例4例題4：圖示的曲桿，其截面為狹矩形，內(nèi)外半徑分別為r和R，且遠大于寬度。在兩端受有力矩M的作用，試根據(jù)軸對稱應(yīng)力問題的應(yīng)力通解求解該問題。習(xí)題課_例4例題4：圖示的曲桿，其截面為狹矩形，內(nèi)外半徑分別習(xí)題課_例4解：（1）由題意知該問題屬于軸對稱問題。根據(jù)軸對稱應(yīng)力問題的定義，在每一個截面上，內(nèi)力都必為M。引用軸對稱應(yīng)力解：應(yīng)力表達式中的待定參數(shù)根據(jù)應(yīng)力邊界條件來確定。

習(xí)題課_例4解：（1）由題意知該問題屬于軸對稱問題。根據(jù)軸對習(xí)題課_例4

在主要邊界ρ=R,r上，邊界條件是由于τρφ=0，后兩式自然滿足，而其余兩式為

習(xí)題課_例4

在主要邊界ρ=R,r上，邊界條件是由于習(xí)題課_例4

在兩端部，或者任一截面φ=φ上，有邊界條件上式中第一式自然滿足。對于后兩式，注意有積分式

習(xí)題課_例4

在兩端部，或者任一截面φ=φ上，有邊界習(xí)題課_例4

得到

注意式(c)實際上是式(a)和(b)的組合。由式(a)、(b)、(d)解出

習(xí)題課_例4

得到

注意式(c)實際上是式(a)習(xí)題課_例4

其中曲桿中的應(yīng)力分量為

習(xí)題課_例4

其中曲桿中的應(yīng)力分量為

第04章-平面問題的極坐標(biāo)解答習(xí)題課課件第04章習(xí)題課第04章習(xí)題課習(xí)題課_例1例1（習(xí)題4-9）：半平面體表面上受均布水平力q，試用應(yīng)力函數(shù)Φ=r2(Bsin2f+Cf)求解應(yīng)力分量（不計體力）。習(xí)題課_例1例1（習(xí)題4-9）：半平面體表面上受均布水平力q習(xí)題課_例1按逆解法進行求解（1）校核相容方程：應(yīng)力函數(shù)代入式相容方程有滿足相容方程。習(xí)題課_例1按逆解法進行求解（1）校核相容方程：應(yīng)力函數(shù)代入（2）求應(yīng)力分量：將上式代入（4-9），得：習(xí)題課_例1（2）求應(yīng)力分量：將上式代入（4-9），得：習(xí)題課_例1習(xí)題課_例1本題的邊界條件應(yīng)分為兩部分考慮：f=±p/2，代入邊界條件公式，有：3、考察邊界條件，求待定常數(shù)代入應(yīng)力分量表達式，得：在y軸正半軸上（正f面）：在y軸負半軸上（負f面）：代入各系數(shù)，得：習(xí)題課_例1本題的邊界條件應(yīng)分為兩部分考慮：f=±p習(xí)題課_例2例題2（習(xí)題4-18）：設(shè)半平面體在直邊界上受有集中力偶，單位寬度上的力矩為M，試求應(yīng)力分量。習(xí)題課_例2例題2（習(xí)題4-18）：設(shè)半平面體在直邊界上受有習(xí)題課_例2（2）求應(yīng)力函數(shù)表達式：Φ應(yīng)比應(yīng)力的長度量綱高二次冪，可假設(shè)按半逆解法進行求解（3）由相容方程求應(yīng)力函數(shù)的一般形式：上述應(yīng)力函數(shù)必須滿足相容方程，代入式（4-6）得：（1）按量綱分析方法，單位寬度上的力偶矩與力的量綱相同。應(yīng)力應(yīng)與M,

ρ,φ

有關(guān)，由于應(yīng)力的量綱是單位面積上的力，即L-1MT-2，應(yīng)力只能以

M/ρ2

形式組合。習(xí)題課_例2（2）求應(yīng)力函數(shù)表達式：Φ應(yīng)比應(yīng)力的長度量綱高習(xí)題課_例2其中A、B、C和D為四個待定常數(shù)。方程為一個四階常微分方程，其全部通解只有4項。用特征根法求解，得到其解：習(xí)題課_例2其中A、B、C和D為四個待定常數(shù)。方程為一個四階（3）求應(yīng)力分量一般表達式：將上式代入（4-9），得應(yīng)力分量為：習(xí)題課_例2（3）求應(yīng)力分量一般表達式：將上式代入（4-9），得應(yīng)力分量習(xí)題課_例2集中力偶作用在原點，本題的邊界條件應(yīng)分為兩部分考慮：（1）不包含原點，則在r≠0，f=±π/2的邊界面上，沒有任何法向和切向面力作用。4、考察邊界條件，求待定常數(shù)首先分析問題的對稱性：由于結(jié)構(gòu)是正對稱的，而荷載是反對稱的，因此應(yīng)力函數(shù)是反對稱的。習(xí)題課_例2集中力偶作用在原點，本題的邊界條件應(yīng)分為兩部習(xí)題課_例2（2）在原點附近，考慮平衡條件。以點O為中心，以r為半徑作圓弧線，取上半截為脫離體，然后考慮此脫離體的平衡條件，得到三個平衡方程：習(xí)題課_例2（2）在原點附近，考慮平衡條件。以點O為中心，習(xí)題課_例2前兩式自然滿足，由第三式有：習(xí)題課_例2前兩式自然滿足，由第三式有：習(xí)題課_例2進而求得應(yīng)力分量：習(xí)題課_例2進而求得應(yīng)力分量：習(xí)題課_例3例題3（習(xí)題4-19）：設(shè)有厚度為1的無限大薄板，在板內(nèi)小孔中受集中力F，試用如下的應(yīng)力函數(shù)求解Φ=Arlnrcosf+Brfsinf習(xí)題課_例3例題3（習(xí)題4-19）：設(shè)有厚度為1的無限大薄板習(xí)題課_例3解：（1）經(jīng)校核，上述Φ滿足相容方程。（2）代入應(yīng)力公式，得習(xí)題課_例3解：（2）代入應(yīng)力公式，得習(xí)題課_例3（3）考察邊界條件。本題只有原點o

附近的小孔口上作用有集中力

F，可取出包含小孔口在內(nèi)的、半徑為ρ的脫離體，列出其三個平衡條件：將應(yīng)力代入上式，其中第二、三式自然滿足，而第一式得出B=-F/2π

(a)習(xí)題課_例3（3）考察邊界條件。本題只有原點o附近的小孔習(xí)題課_例3（4）由此可見，考慮了邊界條件后還不足以確定待定常數(shù)。注意到本題是多連體，應(yīng)考慮位移的單值條件。因此，先求出應(yīng)變分量，再積分求出位移分量，然后再考慮單值條件。由物理方程求出應(yīng)變分量，習(xí)題課_例3（4）由此可見，考慮了邊界條件后還不足以確定待定習(xí)題課_例3代入幾何方程，得，

由前兩式積分，得習(xí)題課_例3代入幾何方程，得，

由前兩式積分，得習(xí)題課_例3將

uρ,uφ

代入幾何方程第三式，并分開變量，得

為了使上式在區(qū)域內(nèi)任意的ρ,φ都成立，兩邊都必須等于同一常數(shù)G。這樣，得到兩個常微分方程，

由式（b）解出

()cGdfddfABE。=--+-òjjjjmj)()(]2)1[(sin2習(xí)題課_例3將uρ,uφ代入幾何方程第三式，并分開變量習(xí)題課_例3

將式（c）對φ求導(dǎo)一次，再求出再將上式的f(φ)

代入uρ，得

()cGdfddfABE。=--+-òjjjjmj)()(]2)1[(sin2習(xí)題課_例3

將式（c）對φ求導(dǎo)一次，再求出再習(xí)題課_例3

顯然，式（d）中第二項是多值項。為了保證位移的單值性，必須將式（a）代入上式，得習(xí)題課_例3

顯然，式（d）中第二項是多習(xí)題課_例3

將式（a）、（f）代入應(yīng)力公式，得無限大薄板在小孔口受集中力F

的解答：

習(xí)題課_例3

將式（a）、（f）代入應(yīng)力習(xí)題課_例4例題4：圖示的曲桿，其截面為狹矩形，內(nèi)外半徑分別為r和R