線代試卷答案-參考解答

線性代數(shù) )評(píng)分標(biāo) 一、

t

6

125.

6.

7.

8. 1x19.

(x,x,

1x

fy24y2

1x

3三、解原方程可化為A16E)BA

3由于AA1且有A16E

故有A16E)BB(A16E)1diag(1,1,1

10 21 2 021 2 00 00

5 由(1)B400所以B可逆,從而有RABR

11

00

011A

1r

1 r

01011 01011 1

11

11

00

11 0R(A)

RABRA

10

5

2135401 401法二

45r

1

R(AB)050 1 050 1

00 1 五、解

A

,3,4,

1

33 312111

1

10

08r01211r012 3

602000102 02000102 00

0 000 0故一個(gè)最大無(wú)關(guān)組為1,2,4.且有3122,5813224六、解對(duì)方程組的增廣矩陣B(A b)施行初等行變換2

25 B(A|b)

5

r

1

1

1

5

0000

(1)(10

(1)(4（或BA|br

1

1

1 00 (1)(10)(1)(4001且10時(shí)R(A)=R(B)=3,方程組有唯一解當(dāng)=10時(shí),R(A)=2,R(B)=3,方程組無(wú)解 6 當(dāng)=1時(shí),R(A)=R(B)=1,方程組有無(wú)窮多解.此時(shí)Br 0 0

1 0 0 故方程組的一個(gè)特解為(1,0,0)T導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為(2,1,0)T,(2,0,1)T x1 故所求方程組的通解為x2k11k20

k1,k2R 10x 0 1 3 2 解法二方程組的系數(shù)行列式為|A

5

5

(10)(1)21且10時(shí),|A|0,方程組有唯一解=10時(shí)

B(A|b)115 12r 0

9000R(A)=2,R(B)=3,方程組無(wú)解 6000

1

1當(dāng)=1時(shí),B(A|b)

2r R(A)=R(B)=1,方程組有無(wú)窮多解

00000000 得方程組的一個(gè)特解為(1,0,0)T導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為(2,1,0)T,(2,0,1)T x1 故所求方程組的通解為x2k11k20

k1,k2R 10x 0 1 3 3

1 3

1

1七、解(1x1

,)2 4r 2r0100220000 00220000 x12x2

1 2 1 1 2 1 2 1 2

6

AA(x2x)Ax2Ax2x2x

20

10八、證明“充分性”設(shè)AabT,其中ab為非零列向量,則有R(aR(bTSylverster不等R(aR(bT1R(abTminR(aR(bT即有1R(abT1R(abT1RA

411“必要性RA1A的標(biāo)準(zhǔn)形為F

OO

000所以存在m階可逆陣Pn階可逆陣Q,使得PAQFq1 (1)從而有AP1FQ1

P1(p,p,,

),Q1q2

qnpi(i1,2,mm階非零列向量,qjj1,2,nn階非零行向量10 q1 A(p,p

00

q2p ,pm)

1 00 mnn令ap,bTq,則a,b均為非零列向量,且有AabT 10 100 1 （或