最新最全青島版數(shù)學九年級上冊全冊優(yōu)質教學課件

青島版九年級上冊數(shù)學全冊優(yōu)質課件第一章圖形的相似

相似多邊形1.從生活中形狀相同的圖形的實例中認識圖形的相似，理解相似圖形的概念；2.理解相似圖形的性質和判定。請觀察下面幾組圖片，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么特點嗎？形狀相同，大小不一定相同探究1：相似形

形狀相同的平面圖形叫做相似形。兩兩相似的幾何圖形ABDF想一想下列圖形中，能確定相似的有（）A.兩個半徑不相等的圓；B.所有的等邊三角形；C.所有的等腰三角形；D.所有的正方形；E.所有的等腰梯形；F.所有的正六邊形。下列圖形中____與_____是相似的。（1）

（2）

（3）

（4）選一選（1）

（4）圖（1）是兩個相似的三角形，它們的對應角有什么關系？對應邊的比是否相等？對于圖（2）中兩個相似的四邊形，它們的對應角、對應邊是否有同樣的結論？對應角相等對應邊的比相等有對應角相等對應邊的比相等（1）（2）探究2:相似多邊形相似多邊形各個角對應相等，各邊對應成比例。相似多邊形的定義:兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果一個多邊形的各個角與另一個多邊形的各個角對應相等，各邊對應成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形的性質：符號“∽”讀作“相似于”四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′相似，記作四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′。相似多邊形對應邊的比叫做相似比全等相似比為1時，相似的兩個圖形有什么關系？【例1】如圖，四邊形AEFD∽EBCF。（1）寫出它們相等的角及對應邊的比例式；（2）若AD=3，EF=4，求BC的長。

A

D

E

FB

C解（1）在四邊形AEFD和四邊形EBCF中，∵四邊形AEFD∽四邊形EBCF,∴∠A=∠BEF，∠AEF=∠B，∠DFE=∠C，∠D=∠EFC。并且如圖，四邊形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小和EH的長度x。DABC182178°83°β24GEFHαx118°DABC18cm21cm78°83°β24cmGEFHαx118°BC83°在四邊形ABCD中，∠β＝360°－（78°＋83°＋118°）＝81°。∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°【解析】四邊形ABCD和EFGH相似，它們的對應角相等。由此可得DABC18cm21cm78°83°β24cmGEFHαx118°四邊形ABCD和EFGH相似，它們的對應邊的比相等。由此可得解得x＝28cm。1．下列各組線段（單位：㎝）中，成比例線段的是（）

A.1、2、3、4B.1、2、2、4

C.3、5、9、13D.1、2、2、3B2．下列說法中，錯誤的是（

）

A．等邊三角形都相似

B．等腰直角三角形都相似

C．矩形都相似

D．正方形都相似C3.手工制作課上，小紅利用一些花布的邊角料，剪裁后裝飾手工畫，下面四個圖案是她剪裁出的空心不等邊三角形、等邊三角形、正方形、矩形花邊框，其中，每個圖案花邊的寬度都相等，那么，每個圖案中花邊的內外邊緣所圍成的幾何圖形不相似的是（）D4.在比例尺為1：10000000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是30cm，求兩地的實際距離。設兩地的實際距離為xcmx=300000000（cm）,x=3000km答：甲、乙兩地的實際距離為3000km?！窘馕?5.如圖所示的兩個五邊形相似，求未知邊a，b，c，d的長度。532cd7.5ba69【解析】由圖所示，

可知兩圖形的相似比為：b

=4.5a=3c

=4d

=61.經(jīng)過這節(jié)課的學習，你有哪些收獲？2.你想進一步探究的問題是什么？謝謝第一課時怎樣判定三角形相似

如何不通過測量，快速將一條長5厘米的細線分成兩部分，使這兩部分之比是2：3？1.能夠通過推理掌握平行線分線段成比例定理及其推論；2.能夠利用平行線分線段成比例定理及其推論進行推理與計算。探究活動一如圖，直線l1、l2被平行直線l3、l4所截，交點分別為A，B，C，D。過線段AB的中點E，作直線l5//l4，交l2與點F，F(xiàn)是線段DC的中點嗎？如果是，證明你的結論。EBADFCl1

l2l3l4l5探究活動一若直線l3//l5//l4，AE=EB，則DF=FC即你能用語言敘述嗎？EBADFCl1

l2l3l4l5

三條距離不相等的平行線截兩條直線會有什么結果？猜想：你能否利用所學過的相關知識進行說明？ABCDEFl1l2l3ll

探究活動二則：這時你想到了什么？AP1=P1B=BP2=P2P3=P3CDQ1=Q1E=EQ2=Q2Q3=Q3F設線段AB的中點為P1，線段BC的三等分點為P2，P3，分別過點P1，P2，P3作直線a1，a2，a3平行于l1與l

的交點分別為Q1，Q2，Q3。有：P1P2P3ABCDEFl1l2l3Q1Q2Q3a1a2a3ll

ABCDEFl1l2l3ll

ABCDEFl1l2l3ll

利用比例的基本性質，還能得到什么樣的結論？把你得到的結論寫在學案上?；臼聦崳簝蓷l直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例。同桌兩個說一說

說明：①條件是“兩條直線被一組平行線所截”。②結論是“對應線段成比例”，注意“對應”兩字。怎樣將一條長5厘米的細線分成兩部分，使這兩部分之比是2：3？ABC學以致用：

教材練習探究活動三在△ABC中，DE//BC。線段AD，ABAE，AC成比例嗎？線段AD，AB，DE，BC呢？證明你的結論。平行于三角形一邊，并且與其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例。推論說出成比例線段

ab基本圖形：“A”字形L1L2L3ABCDEF拓展延伸ab基本圖形：“x”字形L1L2L3ABCD（E）F拓展延伸教材練習

如圖，△ABC中，DE//BC，DF//AC，AE=4，EC=2，BC=8。求BF和CF的長。FACB分析：運用平行線分線段成比例定理的推論分別列出比例式求解。DE例題通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？與你的同伴交流。1.基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例。平行于三角形一邊，并且與其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例。2.推論：ABCDEFABCDEF3.幾種基本圖ABCDEDEOBC謝謝第二課時怎樣判定三角形相似判定兩個三角形相似的方法：

類比三角形全等的判定方法，相似三角形的判定方法有哪些？判定三角形全等有哪些方法？1.初步掌握兩角對應相等的兩個三角形相似的判定方法；2.能夠運用相似三角形的判定方法進行簡單的證明及計算。討論交流在學案“課前預習”的探究中，你畫的三角形與已知三角形相似嗎？說說你的見解。探究活動如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′。試猜想：△ABC與△A′B′C′是否相似？證明你猜的結論。判定定理

如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。簡單說成：兩角對應相等，兩三角形相似。判定定理用推理的形式來表達：

在△ABC

和△A′B′C′中，∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′。鞏固練習一教材練習例題1.如圖，已知點B、D分別是∠A的兩邊AC、AB上的點，連接BE，CD，相交于點O，如果∠BDC=∠BEC，那么圖中有那幾對相似三角形？說明理由。鞏固練習二已知等腰三角形△ABC

和△A′B′C′中，∠A、∠A′，分別是頂角，求證：①如果∠A=∠A′，那么ΔABC∽△A′B′C′②如果∠B=∠B′，那么ΔABC∽△A′B′C′例題2.求證：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似。已知：如圖，?ABC中，CD是斜邊上的高。求證：?ABC∽?CBD∽?ACDADBC拓展延伸教材練習通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？與你的同伴交流1.相似三角形的判定定理1：兩角對應相等，兩三角形相似；2.基本圖形：DEOBCABCDEADBC謝謝第三課時怎樣判定三角形相似判定兩個三角形相似的方法：類比全等三角形的“邊角邊”判定定理，我們能得出相似的什么結論呢？判定三角形全等有哪些方法？1.探索并掌握兩個三角形相似的判定定理2；2.會選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行簡單的證明及計算。探究活動畫一畫：同桌兩人一人畫△ABC，使AB=4厘米，∠B=50°，BC=6厘米；另一人畫△DEF，使DE=2厘米，∠E=50°，EF=3厘米，如圖，觀察并思考以下問題：∠C與∠F，∠A與∠D是否相等？兩三角形是否相似探究活動如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，

求證：△ABC∽△A′B′C′判定定理2兩邊成比例，且夾角相等兩個三角形相似?！唷鰽BC∽△A′B′C′?！螦=∠A′

ABCA′B′C′這兩個三角形不一定相似D對于△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′，這兩個三角形一定相似嗎？試著畫畫看。

思考例題例2如圖，AD=3，AE=4，BE=5，CD=9，△ADE和△ABC相似嗎？說明理由。

如圖，在△ABC中，D在AC上，已知AD=2cm，AB=4cm，AC=8cm，求證：△ABD∽△ABC。

變式訓練1ACDB如圖，已知點E在AC上，若點D在AB上，則滿足條件

，就可以使△ADE與原△ABC相似。●ABCE有幾種填法？變式訓練2拓展延伸挑戰(zhàn)自我

如右圖，ABCD，CDEF，EFGH是三個相連的正方形，連接AC，AF，AG。

問題1：圖中△ACF∽△GCA嗎？若相似寫出證明過程，若不相似說明理由。問題2：找出圖中相等的角。教材練習通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？與你的同伴交流。

1.相似三角形的判定定理2：兩邊成比例，且夾角相等兩個三角形相似；2.相似三角形的識別方法；3.基本圖形。ABCDEABCDE21OCBAD常見圖形OCDABABCDE謝謝第四課時怎樣判定三角形相似判定兩個三角形相似的方法：類比全等三角形的“邊邊邊”判定定理，我們能得出相似的什么結論呢？判定三角形全等有哪些方法？1.探索并掌握兩個三角形相似的判定定理3；2.嘗試選擇判斷兩個三角形相似的方法，并能靈活解決簡單的證明及計算。思考兩三角形是否相似三組對應邊的比相等探究活動畫一畫：同桌兩人，一人畫△ABC，使AB=2厘米，AC=3厘米，BC=4厘米；另一人畫△DEF，DE=3厘米，DF=4.5厘米，EF=6厘米，畫完后觀察并思考以下問題：∠C與∠F，∠A與∠D是否相等？兩三角形是否相似？探究活動求證：△ABC∽△A′B′C′判定定理3三邊成比例的兩個三角形相似?！?/p>

我們有哪些方法可以識別三角形相似？請同學們歸納。議一議小試牛刀

1.圖中的三角形相似嗎？為什么？小試牛刀2.如圖所示的兩個三角形是否相似？議一議如圖，相似嗎？與

教材練習

教材例題試說明∠BAD=∠CAE。ADCEB變式訓練教材練習拓展延伸教材練習

通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？與你的同伴交流

1.相似三角形的判定定理3：三邊成比例的兩個三角形相似2.相似三角形的識別方法3.基本圖形謝謝第五課時怎樣判定三角形相似樂山大佛世界上最高的樹——紅杉世界上最高的樓——臺北101大樓怎樣測量這些非常高大物體的高度？世界上最寬的河——亞馬孫河怎樣測量河寬？利用三角形相似可以解決一些不能直接測量的物體的長度或高度的問題？1.理解判定三角形相似的條件。2.能夠運用三角形相似的知識，解決不能直接測量物體的長度和高度的一些實際問題。

相似三角形的判定方法性質1：相似三角形的對應邊成比例，對應角相等。

相似三角形的性質相似三角形的應用

在同一時刻，有人測得一高為1.8米的竹竿的影長為3米，某一高樓的影長為60米，那么高樓的高度是多少米？例題為了測量水塔的高度，在陽光下，小亮走進水塔的影子里，使自己的影子剛好被水塔的影子遮住。已知小亮的身高BC=1.6m，此時，他的影子的長AC=1m，他距水塔的底部E處11.5m，水塔的頂部為點D。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能算出水塔的高度DE是多少嗎？例題反思：測高的方法（1）說一說解決本題用到了哪些知識？（2）在同一時刻的太陽光下，物體的高度與它的影長成正比例，試用這一性質再設計一個測水塔高的方法。

如圖，小明在打網(wǎng)球時，使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)5米的位置上，求球拍擊球的高度h。

為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標作為點A，再在河的這一邊選點B和C，使AB⊥BC，然后，再選點E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點D。此時如果測得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求兩岸間的大致距離AB。

AEDCB例題例題反思：測高的方法

測量不能到達兩點間的距離，常構造相似三角形求解。

例題AEDCB教材練習拓展延伸教材練習

1.相似三角形的應用主要有兩個方面：

（1）測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決。（2）測距：測量不能到達兩點間的距離，常構造相似三角形求解。通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？與你的同伴交流。2.解決相似三角形實際問題的一般步驟：（1）審題，根據(jù)實物畫出符合題意的數(shù)學圖形，并標上相應的字母；

（2）找出相似的三角形；分清對應邊和對應角；（3）根據(jù)題意，求出答案。謝謝相似三角形的性質回顧全等三角形有哪些性質？類比全等三角形的性質，相似三角形還有哪些性質呢？根據(jù)定義相似三角形具有什么性質？

掌握相似三角形的有關性質，并能利用這些性質解決一些簡單的問題。探究活動已知△ABC∽△A'B'C'，AD與A'D'分別是對應邊BC與B'C'上的高。求證：相似三角形對應高線的比與相似比的關系：ABCDB’D’C’A’相似三角形的對應高線之比等于相似比。ABCDB’D’C’A’ΔABC∽ΔA′B′C′∵

∴用推理的形式來表達：結論：類比結論自主思考---CBAEA′C′B′E′結論：相似三角形對應角的角平分線的比等于相似比。結論：相似三角形對應中線的比等于相似比。DCBAD'C'B'A'說說推理形式相似三角形周長的比與相似比的關系：類比思考ACBB′A′C′已知：求證：已知△ABC∽△A'B'C'，相似三角形面積的比與相似比的關系：探究活動ABCDA'D'C'B'相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比、周長的比等于相似比。歸納：1.兩個相似三角形的相似比為2：3，它們的對應邊之比為________，周長之比為_______，面積之比為_________。2.若兩個三角形面積之比為16：9，則它們的周長之比為_____。小試牛刀：

例1如圖1-24，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB=3∶1，△ABC的面積為48，求△ADE的面積。如圖，在△ABC中，D是AB的中點，DE∥BC，求：（1）S△ADE：S△ABC

（2）S△ADE：S梯形DBCE

跟蹤練習：教材練習例2如圖1-25，有一塊銳角三角形余料ABC，它的邊BC=12cm，高AD=8cm?，F(xiàn)要用它裁出一個正方形工件，使正方形的一邊在BC上，其余的兩個頂點分別在AB，AC上，求裁出的正方形的邊長。變式練習：

若四邊形PQMN為矩形，邊BC=12cm，高AD=8cm，且PN：PQ=2：1，求矩形PQMN的面積。

1.相似三角形對應邊成比例，對應角相等；2.相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比、周長的比等于相似比；3.相似三角形面積的比等于相似比的平方。相似三角形的性質：通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？與你的同伴交流。謝謝第一課時圖形的位似軸對稱情境導入平移旋轉？1.了解圖形的位似，知道利用位似可以按指定的比例將一個圖形放大或縮小。2.會按照給出的相似比畫出與已知多邊形位似的圖形。學習目標

下圖各組是經(jīng)過放大或縮小得到的多邊形，它們相似嗎？如果相似，觀察這種相似什么特征？是相似圖形每組對應點連線相交于一點探究新知對應邊互相平行或共線位似圖形的概念

對應邊互相平行（或共線）且每對對應點所在的直線都經(jīng)過同一點的兩個相似多邊形叫做位似圖形。這個點叫做位似中心。BAA′EDCE′D′C′B′判斷下列圖形是不是位似圖形.（1）相似五邊形ABCDE與五邊形A′B′C′D′E′（2）正方形ABCD與正方形A′B′C′D′CABD′C′B′A′D（3）等邊三角形ABC與等邊三角形A′B′C′C′CB′BA′A跟蹤練習觀察下列位似圖形的位似中心，你發(fā)現(xiàn)了什么？結論：位似中心的位置由兩個圖形的位置決定，可能在兩個圖形的同側、異側，圖形的內部、邊上或頂點上。DEFAOBC將△

ABC放大到（為）原來的2倍。DEFAOBC精講點撥思考：作圖時應注意什么？ABC0以0為位似中心把△ABC縮小為原來的一半。跟蹤練習1.位似圖形。2.利用位似的特殊性質可以把一個圖形放大或縮小。課堂小結謝謝第二課時圖形的位似1.什么叫做位似圖形？2.怎樣把一個圖形放大或縮??？情境導入

在平面直角坐標系中，會通過坐標的變化把一個圖形按一定比例放大或縮小，并掌握點的坐標變化的規(guī)律。學習目標（1）如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點坐標分別為（0，0），（6，0），（6，4），（0，4）。

如果將點O，A，B，C的橫、縱坐標都縮小一半，得到點O'，A'，B'，C'，順次連接點O'，A'，B'，C'，得到了一個怎樣的圖形？實驗與探究（2）四邊形O'A'B'C'與矩形OABC是位似圖形嗎？如果是，位似中心是哪個點？它們的相似比是多少？實驗與探究規(guī)律總結位似變換中對應點的坐標的變化規(guī)律：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k。（3）如圖，已知△OAB的頂點O是坐標原點，頂點A，B的坐標分別為（-1，2），（-3，0）。

把△OAB各個頂點的橫、縱坐標都擴大到原來的3倍，得到點O'，A'，B'。

連接O'A'，O'B'，A'B'，△O'A'B'與△OAB是位似圖形嗎？如果是，位似中心是哪個點？實驗與探究例2如圖，四邊形OABC

的頂點坐標分別為（0，0），（2，0），（4，4），（-2，2）（1）如果四邊形O'A'B'C'

與四邊形OABC

位似，位似中心是原點，它的面積等于四邊形OABC面積的倍，分別寫出點A'，B'，C'

的坐標.（2）畫出四邊形OA'B'C'.精講點撥跟蹤練習1.在平面直角坐標系中，已知點E（﹣4，2），F(xiàn)（﹣2，﹣2），以原點O為位似中心，相似比為1：2，把△EFO縮小，則點E的對應點E′的坐標是（）

A.（﹣2，1） B.（﹣8，4）或（8，﹣4）

C.（﹣8，4）

D.（﹣2，1）或（2，﹣1）2.△ABO的頂點坐標是A（-3，3）、B（3，3）、O（0，0），試將△ABO放大，使放大后的△EFO與△ABO對應邊的比為2：1，則E點坐標是（）

A.（-6，6）（6，6）B.（6，-6）（6，6）

C.（-6，6）（6，-6）D.（6，6）（-6，-6）課堂小結位似變換中對應點的坐標的變化規(guī)律：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k。謝謝第二單元解直角三角形銳角三角比學習目標1.了解直角三角形中銳角的正弦、余弦、正切的概念，認識銳角三角比sin、cos、tan的符號。2.會求直角三角形中銳角的三角比。復習舊知導入新課ABC在Rt△ABC中，1.∠C=90°，∠A+∠B=

。三邊的關系為：

思考：直角三角形邊與角之間有什么關系？ABCB1C1C2C3C4B2B3B4

有一塊長2米的平滑木板AB。小亮將它的一端B架高1米，另一端A放在平地上（如圖），分別量得木板上的點B1，B2，B3，B4到A點的距離AB1，AB2，AB3，AB4與它們距地面的高度B1C1，B2C2，B3C3，B4C4，數(shù)據(jù)如下表所示：木板上的點到A點的距離/米距地面的高度/米B10.800.40B21.000.50B31.200.60B41.500.75合作探究ABCB1C1C2C3C4B2B3B4木板上的點到A點的距離/米距地面的高度/米B10.800.40B21.000.50B31.200.60B41.500.75

利用上述數(shù)據(jù)，計算，，，，的值，你有什么發(fā)現(xiàn)？

ABBC111ABCB222ABCB333ABCB444ABCB444ABCB=333ABCB=222ABCB=111ABCB=ABBC因為Rt△ABC∽Rt△AB′C′ABCB′C′觀察與思考（1）如圖，作一個銳角A，在∠A的一邊上任意取兩個點B，B′,經(jīng)過這兩個點分別向∠A的另一邊作垂線，垂足分別為C，C′，比值與相等嗎？為什么？ABBC'''ABCB，'''ABCBABBC=ABCB′C′對于確定的銳角A來說，比值k與點B′在AB邊上的位置無關。（2）如果設=k，那么對于確定的銳角A來說，比值k的大小與點B′在AB邊上的位置有關嗎？'''ABCBABCB′C′B″C″

對于確定的銳角A來說，比值k與點B′在AB邊上的位置無關，只與銳角A的大小有關。（3）如圖，以點A為端點，在銳角A的內部作一條射線，在這條射線上取點B″，使AB

″=AB′，這樣又得到了一個銳角∠CAB″。過B″作

B″C″⊥AC，垂足為C″，比 與k的值相等嗎？為什么？由此你得到怎樣的結論？"""ABCBABC斜邊∠A的鄰邊∠A的對邊由銳角A確定的比 叫做∠A的正弦，∠A的對邊斜邊sinA=∠A的對邊斜邊記作sinA，即由銳角A確定的比 叫做∠A的余弦，∠A的鄰邊斜邊cosA=∠A的鄰邊斜邊記作cosA，即∠A的對邊∠A的鄰邊由銳角A確定的比 叫做∠A的正切，記作tanA，即tanA=∠A的對邊∠A的鄰邊銳角A的正弦、余弦、正切統(tǒng)稱銳角A的三角比。結論例：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，求∠A的正弦、余弦、正切的值。BAC4252精講點撥

求出如圖所示的Rt△ABC中sinA和sinB、tanA和cosB的值。ACB⑵513ACB⑴43跟蹤訓練

∠A的正弦：sinA=∠A的對邊斜邊∠A的余弦：cosA=∠A的鄰邊斜邊∠A的正切：tanA=∠A的對邊∠A的鄰邊銳角A的正弦、余弦、正切統(tǒng)稱銳角A的三角比。課堂小結謝謝30°，45°，60°角的三角比ABCcba┌1.能推導并熟記30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，并能根據(jù)這些值說出對應銳角度數(shù)；2.能熟練計算含有30°、45°、60°角的三角函數(shù)的運算式。

AB

C∠A的對邊∠A的鄰邊斜邊思考

兩塊三角板中有幾個不同的銳角？如何求出這幾個銳角的正弦值、余弦值和正切值？45°的三角比┌45°45°ABC作Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°.設a=1，那么b=1，由勾股定理，┌30°60°30°ABCD30°的三角比1.你能得出互為余角的兩個銳角A、B正切值的關系嗎？2.你能得出一個銳角A的正弦值、余弦值和正切值的關系嗎？仔細觀察右表，回答下面問題。sinA=cos（90°∠A）；一個銳角的正弦值等于這個角余角的余弦值。cosA=sin（90°∠A）；一個銳角的余弦值等于這個角余角的正弦值。tanA·tan（90°∠A）=1。一個銳角的正切值與這個角余角的正切值互為倒數(shù)?！纠壳笙铝懈魇降闹?

（1）cos260°+sin260°sin260°表示（sin60°）2，即sin60°·sin60°?！窘馕觥浚?）cos260°+sin260°=（）2+（）2=÷-1=0=1；當A、B為銳角時，若A≠B，則sinA≠sinB，cosA≠cosB，tanA≠tanB。（2）1.cos30°=（）A．B．C．D．

【解析】選C。由三角函數(shù)的定義知cos30°=2.計算的結果等于（）【答案】選B.3.如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，AD=4，AB=，則下底BC的長為__________?！敬鸢浮?04.計算：【解析】5．已知如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝8，∠B＝60°，連接AC。（1）求cos∠ACB的值；（2）若E，F(xiàn)分別是AB，DC的中點，連接EF，求線段EF的長?！郼os∠ACB=cos30°=∴EF==12.【解析】（1）∵∠B＝60°，∴∠BCD=60°，又∵AB＝AD＝DC，∴∠DAC=∠DCA，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∴∠DCA=∠BCA∴∠ACB=30°（2）AB＝AD＝DC＝8，∠ACB=30°，∴BC=2AB=16，∵E，F(xiàn)

分別是AB，DC

的中點，【規(guī)律方法】1.記住30°，45°，60°的特殊值，及推導方式，可以提高計算速度。2.會構造直角三角形，充分利用勾股定理的有關知識結合三角函數(shù)靈活運用。直角三角形三邊的關系。直角三角形兩銳角的關系。直角三角形邊與角之間的關系。特殊角30°，45°，60°角的三角函數(shù)值?；ビ鄡山侵g的三角函數(shù)關系。同角之間的三角函數(shù)關系。bABCa┌c┌┌30°60°45°45°小結謝謝用計算器求銳角三角比1.經(jīng)歷用計算器由已知銳角求三角函數(shù)的過程，進一步體會三角函數(shù)的意義。2.能夠運用計算器輔助解決含三角函數(shù)值計算的實際問題，提高用現(xiàn)代工具解決實際問題的能力。3.發(fā)現(xiàn)實際問題中的邊角關系，提高有條理地思考和表達的能力。我們可以借助計算器求銳角的三角函數(shù)值。

通過前面的學習我們知道，當銳角A是30°、45°或60°等特殊角時，可以求得這些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果銳角A不是這些特殊角，怎樣得到它的三角函數(shù)值呢？【例1】求sin18°。第一步：按計算器鍵，sin第二步：輸入角度值18，屏幕顯示結果sin18°=0.309016994（也有的計算器是先輸入角度再按函數(shù)名稱鍵）tan第一步：按計算器鍵，【例2】求tan30°36′。第二步：輸入角度值30，分值36（可以使用鍵），DMS屏幕顯示答案：0.591398351.第一種方法：第二種方法：tan第一步：按計算器

鍵，第二步：輸入角度值30.6（因為30°36′＝30.6°）屏幕顯示答案：0.591398351.如果已知銳角三角函數(shù)值，也可以使用計算器求出相應的銳角度數(shù)?！纠?】已知sinA=0.5018；用計算器求銳角A可以按照下面方法操作：還可以利用鍵，進一步得到∠A≈30°07′08.97″。第一步：按計算器鍵；2ndFsin第二步：然后輸入函數(shù)值0.5018；屏幕顯示答案：30.11915867°（按實際需要進行精確）DMS2ndF1.求sin63°52′41″的值（精確到0.0001）?！窘馕觥堪聪铝许樞蛞来伟存I：顯示結果為0.897859012。所以sin63゜52′41″≈0.8979。DMSDMSDMS2.使用計算器求下列三角函數(shù)值。（精確到0.0001）sin24゜，cos51゜42′20″，tan70゜21′?！敬鸢浮縮in24°≈0.4067，

cos51°42′20″≈0.6197，tan70°21′≈2.8006。3.用計算器求下列式子的值。（精確到0.0001）sin81°32′17″+cos38°43′47″【答案】1.76924.已知tanA=3.1748，利用計算器求銳角A。（精確到1′）【答案】∠A≈72°31′5.比較大?。篶os30°______cos60°，

tan30°______tan60°?！敬鸢浮咯儯傇赱0，]時，正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。挥嘞抑惦S著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅徽兄惦S著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）。6.已知銳角a的三角函數(shù)值，使用計算器求銳角a（精確到1′）（1）sina=0.2476；

（2）cosa=0.4（3）tana=0.1890；

【答案】（1）a≈14°21′；（3）a≈10°43′。（2）a≈66°25′；7.在△ABC中，∠C=90°，∠A=72°，

AB=10，則邊AC的長約為（精確到0.1）（）A.9.1B.9.5C.3.1D.3.5【解析】選C。AC=ABcos72°≈10×0.309≈3.1C8．如圖，為測量一幢大樓的高度，在地面上距離樓底O點20m的點A處，測得樓頂B點的仰角∠OAB＝65°，則這幢大樓的高度為（）65oA.42.8m B.42.80mC.42.9mD.42.90mC9．如圖，工件上有一V型槽，測得它的上口寬20mm，深19.2mm。求V型角（∠ACB）的大?。ńY果精確到1°

）?！唷螦CD≈27.5°

∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.5°=55°∴V型角的大小約55°。確定值的范圍當銳角A>45°時，sinA的值（）（A）小于（B）大于（C）小于（D）大于B（A）小于（B）大于（C）小于（D）大于當銳角A>30°時，cosA的值（）C確定角的范圍（A）小于30°（B）大于30°（C）小于60°（D）大于60°3.當∠A為銳角，且tanA的值大于時，∠A（）B4.當∠A為銳角，且tanA的值小于時，∠A（）（A）小于30°（B）大于30°（C）小于60°（D）大于60°C5.當∠A為銳角，且cosA=時那么（）（A）0°＜∠A

＜30°（B）30°＜∠A＜

45°（C）45°＜∠A

＜60°（D）60°＜∠A

＜90°

確定角的范圍6.當∠A為銳角，且sinA=，那么（）（A）0°＜∠A

＜30°（B）30°＜∠A

＜45°（C）45°＜∠A

＜60°（D）60°＜∠A

＜90°DA通過本節(jié)課的學習，我們應掌握以下主要內容：1.求已知銳角的三角函數(shù)值；2.已知三角函數(shù)值求銳角；3.一個角的三角函數(shù)值隨著度數(shù)的增加是增大還是減小。小結謝謝第一課時解直角三角形

已知直角三角形的兩個元素（至少一邊）會解直角三角形。學習目標ABabcC在直角三角形中，我們把兩個銳角、三條邊稱為直角三角形的五個元素。圖中∠A，∠B，a，b，c即為直角三角形的五個元素。知識回顧（2）角之間的關系∠A＋∠B＝90°

（3）邊角之間的關系（1）邊之間的關系（勾股定理）ABabcC在直角三角形中，我們把兩個銳角、三條邊稱為直角三角形的五個元素。圖中∠A，∠B，a，b，c即為直角三角形的五個元素。知識回顧思考：利用上面這些關系，必須已知幾個元素，才能求得其余元素呢？

圖中∠A，∠B，a，b，c即為直角三角形的五個元素。ABCcba兩個元素（至少一個是邊）兩個角

兩條邊一邊一角×√√交流發(fā)現(xiàn)

由直角三角形中已知的元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形。例1在Rt△ABC中，已知∠C=90°，a=17，c＝34。解這個直角三角形。分析：這是已知直角三角形的兩邊解直角三角形的問題。ABCcba精講點撥解這個直角三角形ABCcba°45，128902已知中在例=D=°=DDBC，ABCRt，c精講點撥分析：這是已知直角三角形的一邊一角解直角三角形的問題。1．在Rt△ABC中，已知∠C=90°，

a=12，b=24。解這個直角三角形。2．在Rt△ABC

中，∠C=90°。

（l）已知c=15，∠B=60°，求a

；

（2）已知∠A＝45°，a＝24，求b

、c

。跟蹤練習（2）已知一邊和一個銳角注意：1.數(shù)形結合有利于分析問題；

2.選擇關系式時，盡量應用原始數(shù)據(jù)，使計算更加精確；

3.解直角三角形時，應求出所有未知元素。（1）已知兩條邊解直角三角形，只有下面兩種情況：20004001024課堂小結謝謝第二課時解直角三角形某中學計劃在如圖所示的一塊三角形空地上種植草皮。已知∠A=150°，AB=20m，AC=30m，毎平方米草皮的售價為a元，購買這種草皮至少需要多少元？BAC情境導入通過添加輔助線（作三角形一邊上的高），把解非直角三角形的問題轉化為解直角三角形的問題。學習目標D例3 如圖，在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AC=20，求AB的長。ABC作AB邊上的高，把銳角三角形轉化為直角三角形，把問題轉化為解直角三角形。化

未知

為已知。轉化思想：△ABC不是直角三角形，怎么辦？精講點撥ABCD1.如圖，在Rt△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，∠B=60°，AC=5，AD=3，求BC的長。2.在等腰三角形ABC中，AB=AC，且一腰長與底邊的比是5:8，求sinB，cosB的值。ABCD跟蹤練習

某中學計劃在如圖所示的一塊三角形空地上種植草皮。已知∠A=150°，AB=20m，AC=30m，毎平方米草皮的售價為a元，購買這種草皮至少需要多少元？BAC變式練習CABDABCED課堂小結（1）當銳角三角形時，選擇一邊作高。（2）當鈍角三角形時，可內部作高或外部作高。注意：通常過非特殊角頂點作高。謝謝第一課時解直角三角形的應用1.了解仰角、俯角的概念，能利用仰角、俯角構造直角三角形；2.運用銳角三角函數(shù)的知識解決有關實際問題。（2）兩銳角之間的關系∠A＋∠B＝90°（3）邊角之間的關系（1）三邊之間的關系

ABabcC鉛垂線水平線視線視線仰角俯角

在實際測量中，從低處觀測高處的目標時，視線與水平線所成的銳角叫做仰角；從高處觀測低處的目標時，視線與水平線所成的銳角叫做俯角。東方明珠塔是上海市的一個標志性建筑。為了測量東方明珠塔的高度，小亮和同學們在距離東方明珠塔200

m處的地面上，安放高1.20

m的測角儀支架，測得東方明珠塔的仰角為60°48′。根據(jù)測量結果，小亮畫了一張示意圖，其中AB表示東方明珠塔，DC為測角儀的支架，DC=1.20

m，CB=20

m，∠ADE=60°48′。你能求出AB的長嗎？ABCDEABCDE【例1】一架直升飛機執(zhí)行海上搜救任務，在空中A處發(fā)現(xiàn)海面上有一目標B，儀器顯示這時飛機的高度為1.5

km，飛機距目標4.5

km。求飛機在A處觀測目標B的俯角.（精確到1′）解：如圖，在Rt△ABC中，AC=1.5

km，AB=4.5

km。ABC【例2】武漢長江二橋為斜拉索橋，AB和AC分別是直立塔AD左右兩邊的兩根最長的鋼索.已知AB=AC，BC=100mAB與BC的夾角為30°，求鋼索AB的長及直立塔AD的高.（精確到0.1

m）ABCDABCD解：由題意可知，△ABC為等腰三角形，AD為底邊BC上的高。如圖，小明想測量塔CD的高度。他在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進50

m至B處，測得仰角為60°，那么該塔有多高？（小明的身高忽略不計，結果精確到1m）。要解決這個問題，我們仍需將其數(shù)學化。30°60°DABC┌50m30°60°答：該塔約有43

m高?！窘馕觥咳鐖D，根據(jù)題意可知，∠A=30°，∠DBC=60°，AB=50

m。設CD=x，則∠ADC=60°，∠BDC=30°。1.如圖，從熱氣球C上測定建筑物A、B底部的俯角分別為30°和60°，如果這時氣球的高度CD為150米，且點A、D、B在同一直線上，建筑物A、B之間的距離為（）A.150米B.180米C.200米D.220米C2.如圖，孔明同學背著一桶水，從山腳出發(fā)，沿與地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（B處），已知AB=80米，則孔明從A到B上升的高度是

米。【解析】依題意得，∠ACB=90°。所以sin∠BAC=sin30°=所以BC=40（米）?！敬鸢浮?0ACB3.建筑物BC上有一旗桿AB，由距BC

40

m的D處觀察旗桿頂部A的仰角54°，觀察旗桿底部B的仰角為45°，求旗桿的高度。（精確到0.1

m）【解析】在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，BC=DC=40m，在Rt△ACD中：所以AB=AC－BC=55.1－40=15.1m答：棋桿的高度為15.1m。ABCD40m54°45°利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是：1.將實際問題抽象為數(shù)學問題；（畫出平面圖形，轉化為解直角三角形的問題）2.根據(jù)條件的特點，適當選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形；3.得到數(shù)學問題的答案；4.得到實際問題的答案。小結謝謝第二課時解直角三角形的應用1.熟練應用銳角三角函數(shù)的知識解決實際問題；2.培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力。（2）兩銳角之間的關系∠A＋∠B＝90°（3）邊角之間的關系（1）三邊之間的關系

ABabcC【例3】住宅的采光是建筑和購房時人們所關心的問題之一。如圖，住宅小區(qū)南、北兩棟樓房的高度均為16.8m。已知當?shù)囟吝@天中午12時太陽光線與地面所成的角是35°。16.8南樓北樓（1）要使這時南樓的影子恰好落在北樓的墻角，兩樓間的距離應為多少米（精確到0.1m）？（2）如果兩棟樓房之間的距離20m，那么這時南樓的影子是否會影響北樓一樓的采光？ABCD35°解：（1）如圖，南樓高AB，北樓高CD，根據(jù)題意，∠ADB=35°。ABCDEF（2）AE為冬至這天中午12時的太陽光線，AE交CD于點E，ED為南樓在北樓上的影子。作EF⊥AB，垂足為點F，則∠AEF=35°。已知AB=CD=16.8

m，BD=20m。1.如圖，一艘艦艇在海面下500米A點處測得俯角為30°前下方的海底C處有黑匣子信號發(fā)出，繼續(xù)在同一深度直線航行4

000米后再次在B點處測得俯角為60°前下方的海底C處有黑匣子信號發(fā)出，求海底黑匣子C點距離海面的深度（結果保留根號）。度度【解析】作CF⊥AB于F，則。。∴∴海底黑匣子C點距離海面的深度m【解析】要使A、C、E在同一直線上，則∠ABD是△BDE

的一個外角，2.如圖，沿AC方向開山修路。為了加快施工進度，要在小山的另一邊同時施工，從AC上的一點B取∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°，那么開挖點E離D多遠正好能使A，C，E成一直線？（精確到0.1m）50°140°520mABCED∴∠BED=∠ABD－∠D=90°答：開挖點E離點D

332.8

m正好能使A，C，E成一直線。（m）利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是：1.將實際問題抽象為數(shù)學問題；（畫出平面圖形，轉化為解直角三角形的問題）2.根據(jù)條件的特點，適當選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形；3.得到數(shù)學問題的答案；4.得到實際問題的答案。小結謝謝第三課時解直角三角形的應用1.能應用解直角三角形的知識解決與方位角、坡度有關的實際問題；2.培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力；滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想和方法。1.測量高度時，仰角與俯角有何區(qū)別？2.解答下面的問題如圖，有兩個建筑物，在甲建筑物上從A到E點掛一長為30米的宣傳條幅，在乙建筑物的頂部D點測得條幅頂端A點的仰角為45°，條幅底端E點的俯角為30°。求甲、乙兩建筑物之間的水平距離BC。AEDCB甲乙坡度（坡比）、坡角：（1）坡度也叫坡比，用i表示。即i=h:l，h是坡面的鉛直高度，l為對應水平距離，如圖所示；（2）坡角：坡面與水平面的夾角；（3）坡度與坡角（若用α表示）的關系：i=tanα。

方向角：指南或北方向線與目標方向線所成的小于90°的角，叫方向角?！纠咳鐖D，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處，這時，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠？（結果保留小數(shù)點后一位）65°34°PBCA解：如圖，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈72.505（海里）在Rt△BPC中，∠B＝34°答：當海輪到達位于燈塔P的南偏東34°方向時，它距離燈塔P大約129.7海里．65°34°PBCA如圖所示，某地下車庫的入口處有斜坡AB，其坡比i=1∶1.5，則AB=

m。C1.小明沿著坡度為1:2的山坡向上走了1000

m，則他升高了（）A2.如圖，一水庫迎水坡AB的坡度則該坡的坡角α=______。30°i3.如圖，在亞丁灣一海域執(zhí)行護航任務的我海軍某軍艦由東向西行駛。在航行到B處時，發(fā)現(xiàn)燈塔A在我軍艦的正北方向500米處；當該軍艦從B處向正西方向行駛至達C處時，發(fā)現(xiàn)燈塔A在我軍艦的北偏東60°的方向。求該軍艦行駛的路程。（計算過程和結果均不取近似值）

解：∵∠A=60°，∴BC=AB×tanA=500×tan60°=4.海中有一個小島A，它的周圍8海里內有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點測得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達D點，這時測得小島A在北偏東30°方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危險？BAD60°北BADF解：由點A作BD的垂線交BD的延長線于點F，垂足為F，∠AFD=90°。由題意圖示可知∠DAF=30°設DF=x，AD=2x。則在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理在Rt△ABF中，解得x=6。10.4>8沒有觸礁危險。30°60°北5.如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD（圖中i=1:3是指坡面的鉛直高度DE與水平距離CE的比，i=1:1.5是指坡面的鉛直高度AF與水平距離BF的比），根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求：坡角α和β。BADFEC6mαβi=1:3i=1:1.5BADFEC6

mαβi=1:3i=1:1.5解：在Rt△AFB中，∠AFB=90°在Rt△CDE中，∠CED=90°小結1.進一步理解坡度和坡角的概念；2.能用解直角三角形的方法解決實際問題；3.掌握用解直角三角形的方法的解題步驟。謝謝第三單元對園的進一步認識第一課時圓的對稱性1.理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程；能初步應用垂徑定理進行計算和證明；2.進一步培養(yǎng)觀察問題、分析問題和解決問題的能力；3.通過圓的對稱性，培養(yǎng)對數(shù)學的審美觀，并激發(fā)對數(shù)學的熱愛。問題：你知道趙州橋嗎？它是1400多年前我國隋代建造的石拱橋，是我國古代人民勤勞與智慧的結晶，它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37.02m，拱高（弧的中點到弦的距離）為7.23m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？想一想：將一個圓沿著任一條直徑對折，兩側半圓會有什么關系？【解析】圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，所以兩側半圓折疊后重疊。觀察右圖，有什么等量關系？AO=BO=CO=DO，弧AC＝弧BC，弧AD＝弧BD，AE＝BE

AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC=弧AC＝弧BD··已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB，垂足為E。求證：AE＝BE，弧AC＝弧BC，弧AD＝弧BD。垂徑定理

垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧。垂徑定理證明猜想·判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？【解析】定理中兩個條件（直徑垂直于弦）缺一不可，故前三個圖均不能，僅第四個圖可以！定理辨析·····例1：如圖，在以△OAB的頂點O為圓心的⊙O交AB于點C、D，且AC=BD。求證：OA=OB。OAB例題CDE證明：作OE⊥AB，垂足為點E。由垂徑定理，得

CE=DE?！逜C=BD，∴AC+CE=BD+DE，即AE=BE?！郞E為線段AB的垂直平分線?！郞A=AB?！ぷ兪?：AC、BD有什么關系？變式2：AC＝BD依然成立嗎？變式3：EA＝____，

EC=_____。FDFB變式4：______，AC=BD。OA=OB變式5：______，AC=BD。

歸納：OC=OD·····如圖，P為⊙O的弦BA延長線上一點，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半徑。MPBO關于弦的問題，常常需要過圓心作弦的垂線段，這是一條非常重要的輔助線。跟蹤訓練【解析】提示作OM垂直于PB

，連接OA。答案：

A·2.如圖，已知⊙O的直徑AB⊥弦CD于點E，下列結論中一定正確的是（）A．AE＝OE B．CE＝DE CEC．OE＝D．∠AOC＝60°B1．已知⊙O的半徑為5，弦AB的弦心距為3，則AB的長是（

）A.3B.4C.6D.8D3.如圖，⊙O過點B，C。圓心O在等腰直角△ABC的內部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，則⊙O的半徑為（）A.B.C.D.【解析】選D.延長AO交BC于點D，連接OB，根據(jù)對稱性知AO⊥BC，則BD=DC=3。

又∵△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，則AD==3，∴OD=3-1=2?！郞B=【解析】如圖所示，連接OB，則OB=5，OD=4，利用勾股定理求得BD=3，因為OC⊥AB于點D，所以AD=BD=3，所以AB=6。答案：64.如圖，AB為⊙O的弦，⊙O的半徑為5，OC⊥AB于點D，交⊙O于點C，且CD＝l，則弦AB的長是。5.已知：如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點。求證：AC＝BD。證明：過O作OE⊥AB，垂足為E，則AE＝BE，CE＝DEAE－CE＝BE－DE所以，AC＝BD。E.ACDBO通過本課時的學習，需要我們：

1．理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程；能初步應用垂徑定理進行計算和證明；

2．利用垂徑定理解決相應的數(shù)學問題。

小結謝謝第二課時圓的對稱性1.掌握圓心角的概念。

2.掌握在同圓或等圓中，圓心角、弦、弧中有一個量相等就可以推出其它的兩個量對應相等，以及它們在解題中的應用。圓的對稱性圓的軸對稱性（圓是軸對稱圖形）垂徑定理及其推論圓的中心對稱性？？？？（一）圓的中心對稱性（1）若將圓以圓心為旋轉中心，旋轉180°，你能發(fā)現(xiàn)什么？圓繞著它的圓心旋轉180°，能與原來的圖形重合。因此圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心?！?/p>

圓繞圓心旋轉任意角度α，都能夠與原來的圖形重合。____________________。（2）若旋轉角度不是180°，而是旋轉任意角度，則旋轉過后的圖形能與原圖形重合嗎？BOAα圓具有旋轉不變性（1）相關概念

_______：頂點在圓心的角

________________________________

圓心角圓心角所對的弧圓心角所對的弦

（二）

圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系295（2）在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦之間的關系OBCA__________，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。在同圓或等圓中定理例題【例1】如圖，AB與DE是⊙O的兩條直徑，C是⊙O上一點，AC∥DE。求證:（1）（2）ABCDEO證明（1）連接OC∵AC∥DE∴∠AOD=∠OAC∠COE=∠OCA∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∴∠AOD=∠COE∴（2）∵∠AOD=∠BOE

∴∠BOE=∠COE∴BE=CE【例2】如圖，點O是∠EPF的平分線上的一點，以O為圓心的圓和角的兩邊分別交于點A、B和C、D，求證：AB=CD。MN證明：作OM⊥AB，