數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)

《數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化》

第六講

歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)1第六講

歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)前言一、第一次數(shù)學(xué)危機(jī)1、危機(jī)的起因2、危機(jī)的實(shí)質(zhì)3、危機(jī)的解決二、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)1、危機(jī)的引發(fā)2、危機(jī)的實(shí)質(zhì)3、危機(jī)的解決三、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)1．“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的曙光——集合論2．算術(shù)的集合論基礎(chǔ)3．羅素的“集合論悖論”引發(fā)危機(jī)4．危機(jī)的消除四、三次數(shù)學(xué)危機(jī)與“無(wú)窮”的聯(lián)系2前言

歷史上，數(shù)學(xué)的發(fā)展有順利也有曲折。大的挫折也可以叫做危機(jī)。危機(jī)也意味著挑戰(zhàn)，危機(jī)的解決就意味著進(jìn)步。所以，危機(jī)往往是數(shù)學(xué)發(fā)展的先導(dǎo)。數(shù)學(xué)發(fā)展史上有三次數(shù)學(xué)危機(jī)。每一次數(shù)學(xué)危機(jī)，都是數(shù)學(xué)的基本部分受到質(zhì)疑。實(shí)際上，也恰恰是這三次危機(jī)，引發(fā)了數(shù)學(xué)上的三次思想解放，大大推動(dòng)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展。3一.第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

1.危機(jī)的起因：第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由不能寫成兩個(gè)整數(shù)之比引發(fā)的。

畢達(dá)哥拉斯（約公元前580-前500）古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家41.這一危機(jī)發(fā)生在公元前5世紀(jì)，危機(jī)來(lái)源于：當(dāng)時(shí)認(rèn)為所有的數(shù)都能表示為整數(shù)比，但突然發(fā)現(xiàn)不能表為整數(shù)比。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派內(nèi)部提出的.2.危機(jī)的實(shí)質(zhì)：是無(wú)理數(shù)，全體整數(shù)之比構(gòu)成的是有理數(shù)系，有理數(shù)系需要擴(kuò)充，需要添加無(wú)理數(shù).5☆當(dāng)時(shí)古希臘的歐多克索斯部分地解決了這一危機(jī)。他采用了一個(gè)十分巧妙的關(guān)于“兩個(gè)量之比”的新說(shuō)法，回避了是無(wú)理數(shù)的實(shí)質(zhì)，而是用幾何的方法去處理不可公度比。這樣做的結(jié)果，使幾何的基礎(chǔ)牢靠了，幾何從全部數(shù)學(xué)中脫穎而出。歐幾里得的《幾何原本》中也采用了這一說(shuō)法，以致在以后的近二千年中，幾何變成了幾乎是全部嚴(yán)密數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。63.危機(jī)的解決但是徹底解決這一危機(jī)是在19世紀(jì)，依賴于數(shù)系的擴(kuò)張。直到人類認(rèn)識(shí)了實(shí)數(shù)系，這次危機(jī)才算徹底解決，這已經(jīng)是兩千多年以后的事情了。7二.第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在牛頓創(chuàng)立微積分的十七世紀(jì)。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派內(nèi)部提出的，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)則是由牛頓學(xué)派的外部、貝克萊大主教提出的，是對(duì)牛頓“無(wú)窮小量”說(shuō)法的質(zhì)疑引起的。81．危機(jī)的引發(fā)

1）牛頓的“無(wú)窮小”牛頓的微積分是一項(xiàng)劃時(shí)代的科學(xué)成就，蘊(yùn)含著巨大的智慧和創(chuàng)新，但也有邏輯上的問題。我們來(lái)看一個(gè)例子。微積分的一個(gè)來(lái)源，是想求運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。在牛頓之前，只能求一段時(shí)間內(nèi)的平均速度，無(wú)法求某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。9

例如，設(shè)自由落體在時(shí)間下落的距離為，有公式，其中是固定的重力加速度。我們要求物體在的瞬時(shí)速度，先求。∴（*）10當(dāng)變變成無(wú)無(wú)窮小小時(shí)，，右端端的也也變成成無(wú)窮窮小，，因而而上式式右端端就可可以認(rèn)認(rèn)為是是，，這這就是是物體體在時(shí)時(shí)的瞬瞬時(shí)速速度，，它是是兩個(gè)個(gè)無(wú)窮窮小之之比。。牛頓的的這一一方法法很好好用，，解決決了大大量過(guò)過(guò)去無(wú)無(wú)法解解決的的科技技問題題。但但是邏邏輯上上不嚴(yán)嚴(yán)格，，遭到到責(zé)難難。112）貝貝克萊萊的發(fā)發(fā)難英國(guó)的的貝克克萊大大主教教發(fā)表表文章章猛烈烈攻擊擊牛頓頓的理理論。。貝克萊萊問道道：““無(wú)窮窮小””作為為一個(gè)個(gè)量，，究竟竟是不不是0？12如果是0，，上式左端端當(dāng)成成無(wú)無(wú)窮小后分分母為0，，就沒有意意義了。如如果不是0，上式右右端的就就不能能任意去掉掉。在推出上式式時(shí)，假定定了才才能做除法法，所以上上式的成立立是以為為前提提的。那么么，為什么么又可以讓讓而而求得瞬瞬時(shí)速度呢呢？因此，牛頓頓的這一套套運(yùn)算方法法，就如同同從出發(fā)，兩端端同除以0，得出5=3一樣樣的荒謬。。（*）13貝克萊還諷諷刺挖苦說(shuō)說(shuō)：即然和和都都變變成“無(wú)窮窮小”了，，而無(wú)窮小小作為一個(gè)個(gè)量，既不不是0，又又不是非0，那它一一定是“量量的鬼魂””了。這就是著名名的“貝克克萊悖論””。對(duì)牛頓微積積分的這一一責(zé)難并不不是由數(shù)學(xué)學(xué)家提出的的，但是，，14貝克萊的質(zhì)質(zhì)問是擊中中要害的數(shù)學(xué)家在將將近200年的時(shí)間間里，不能能徹底反駁駁貝克萊的的責(zé)難。直至柯西創(chuàng)創(chuàng)立極限理理論，才較較好地反駁駁了貝克萊萊的責(zé)難。。直至魏爾斯斯特拉斯創(chuàng)創(chuàng)立“””語(yǔ)言言，才徹底底地反駁了了貝克萊的的責(zé)難。153）實(shí)踐是是檢驗(yàn)真理理的唯一標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)當(dāng)承認(rèn)，，貝克萊的的責(zé)難是有有道理的。。“無(wú)窮小小”的方法法在概念上上和邏輯上上都缺乏基基礎(chǔ)。牛頓頓和當(dāng)時(shí)的的其他數(shù)學(xué)學(xué)家并不能能在邏輯上上嚴(yán)格說(shuō)清清“無(wú)窮小小”的方法法。數(shù)學(xué)家家們相信它它，只是由由于它使用用起來(lái)方便便有效，并并且得出的的結(jié)果總是是對(duì)的。特特別是像海海王星的發(fā)發(fā)現(xiàn)那樣鼓鼓舞人心的的例子，顯顯示出牛頓頓的理論和和方法的巨巨大威力。。所以，人人們不大相相信貝克萊萊的指責(zé)。。這表明，，在大多數(shù)數(shù)人的腦海海里，“實(shí)實(shí)踐是檢驗(yàn)驗(yàn)真理的唯唯一標(biāo)準(zhǔn)。。”162．危機(jī)的的實(shí)質(zhì)第一次數(shù)學(xué)學(xué)危機(jī)的實(shí)實(shí)質(zhì)是““不不是有理數(shù)數(shù)，而是無(wú)無(wú)理數(shù)”。。那么第二二次數(shù)學(xué)危危機(jī)的實(shí)質(zhì)質(zhì)是什么？？應(yīng)該說(shuō)，，是極限的概念念不清楚，，極限的理理論基礎(chǔ)不不牢固。也就是說(shuō)，，微積分理理論缺乏邏邏輯基礎(chǔ)。。17其實(shí)，在牛牛頓把瞬時(shí)時(shí)速度說(shuō)成成“物體所所走的無(wú)窮窮小距離與與所用的無(wú)無(wú)窮小時(shí)間間之比”的的時(shí)候，這這種說(shuō)法本本身就是不不明確的，，是含糊的的。當(dāng)然，牛頓頓也曾在他他的著作中中說(shuō)明，所所謂“最終的比比”，就是分子子、分母要要成為0還還不是0時(shí)時(shí)的比———例如（*）式中的的gt，它它不是“最終的量量的比”，而是“比所趨近近的極限””。18他這里雖然然提出和使使用了“極極限”這個(gè)個(gè)詞，但并并沒有明確確說(shuō)清這個(gè)個(gè)詞的意思思。德國(guó)的萊布布尼茨雖然然也同時(shí)發(fā)發(fā)明了微積積分，但是是也沒有明明確給出極極限的定義義。正因?yàn)槿绱舜?，此后近近二百年間間的數(shù)學(xué)家家，都不能能滿意地解解釋貝克萊萊提出的悖悖論。19所以，由““無(wú)窮小””引發(fā)的第第二次數(shù)學(xué)學(xué)危機(jī)，實(shí)質(zhì)上是缺缺少嚴(yán)密的的極限概念念和極限理理論作為微微積分學(xué)的的基礎(chǔ)。20牛頓（英，1642-1727））萊布尼茨（德，1646-1716））213．危機(jī)的的解決1）必要性性微積分雖然然在發(fā)展，，但微積分分的邏輯基基礎(chǔ)上存在在的問題是是那樣明顯顯，這畢竟竟是數(shù)學(xué)家家的一塊心心病。22而且，隨著著時(shí)間的推推移，研究究范圍的擴(kuò)擴(kuò)大，類似似的悖論日日益增多。。數(shù)學(xué)家在在研究無(wú)窮窮級(jí)數(shù)的時(shí)時(shí)候，做出出許多錯(cuò)誤誤的證明，，并由此得得到許多錯(cuò)錯(cuò)誤的結(jié)論論。由于沒沒有嚴(yán)格的的極限理論論作為基礎(chǔ)礎(chǔ)。數(shù)學(xué)家家們?cè)谟邢尴夼c無(wú)限之之間任意通通行（不考考慮無(wú)窮級(jí)級(jí)數(shù)收斂的的問題）。。23因此，進(jìn)入入19世紀(jì)紀(jì)時(shí)，一方方面微積分分取得的成就就超出人們們的預(yù)料，，另一方面面,大量的數(shù)學(xué)學(xué)理論沒有有正確、牢牢固的邏輯輯基礎(chǔ)，因此不不能保證數(shù)數(shù)學(xué)結(jié)論是是正確無(wú)誤誤的。歷史要求為為微積分學(xué)學(xué)說(shuō)奠基。。242）嚴(yán)格的的極限理論論的建立到19世紀(jì)紀(jì)，一批杰杰出數(shù)學(xué)家家辛勤、天才的工作作，終于逐逐步建立了了嚴(yán)格的極極限理論，并把把它作為微微積分的基基礎(chǔ)。應(yīng)該指出，，嚴(yán)格的極極限理論的的建立是逐步的、漫漫長(zhǎng)的。25①在18世紀(jì)時(shí)，，人們已經(jīng)經(jīng)建立了極極限理論，，但那是初初步的、粗粗糙的。②達(dá)朗貝貝爾在1754年指指出，必須須用可靠的的理論去代代替當(dāng)時(shí)使使用的粗糙糙的極限理理論。但他他本人未能能提供這樣樣的理論。。③19世世紀(jì)初，捷捷克數(shù)學(xué)家家波爾查諾諾開始將嚴(yán)嚴(yán)格的論證證引入數(shù)學(xué)學(xué)分析，他他寫的《無(wú)無(wú)窮的悖論論》一書中中包含許多多真知灼見見。26④而做出出決定性工工作、可稱稱為分析學(xué)學(xué)的奠基人人的是法國(guó)數(shù)學(xué)家家柯西（A.L.Cauchy,1789——1857）。他在1821—1823年年間出版的的《分析教程程》和《無(wú)無(wú)窮小計(jì)算算講義》是數(shù)學(xué)史上上劃時(shí)代的的著作。他他對(duì)極限給給出比較精精確的定義義，然后用用它定義連連續(xù)、導(dǎo)數(shù)數(shù)、微分、、定積分和和無(wú)窮級(jí)數(shù)數(shù)的收斂性性，已與我我們現(xiàn)在教教科書上的的差不太多多了。27柯西（法，1789-1857））波爾查諾（捷，1781-1848））283）嚴(yán)格的的實(shí)數(shù)理論論的建立①對(duì)以往往理論的再再認(rèn)識(shí)后來(lái)的一些些發(fā)現(xiàn)，使使人們認(rèn)識(shí)識(shí)到，極限限理論的進(jìn)進(jìn)一步嚴(yán)格格化，需要要實(shí)數(shù)理論論的嚴(yán)格化化。微積分分或者說(shuō)數(shù)數(shù)學(xué)分析，，是在實(shí)數(shù)數(shù)范圍內(nèi)研研究的。但但是，下邊邊兩件事，，表明極限限概念、連連續(xù)性、可可微性和收收斂性對(duì)實(shí)實(shí)數(shù)系的依依賴比人們們想象的要要深?yuàn)W得多多。29一件事是，，1874年德國(guó)數(shù)學(xué)家家魏爾斯特特拉斯（K.T.W.Weirstrass，1815—1897）構(gòu)構(gòu)造了一個(gè)個(gè)“點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)續(xù)而點(diǎn)點(diǎn)不不可導(dǎo)的函函數(shù)”。“連續(xù)函數(shù)數(shù)”在直觀觀上是“函函數(shù)曲線沒沒有間斷，，連在一起起”，而““函數(shù)在一一點(diǎn)可導(dǎo)””直觀上是是“函數(shù)曲曲線在該點(diǎn)點(diǎn)有切線””。所以，，在直觀上上“連續(xù)””與“可導(dǎo)導(dǎo)”有密切切的聯(lián)系。。這之前甚至至有人還證證明過(guò)：函函數(shù)在連續(xù)續(xù)點(diǎn)上都可可導(dǎo)（當(dāng)然然是錯(cuò)誤的的）。因此此根本不可可想象，還還會(huì)有“點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)而而點(diǎn)點(diǎn)不可可導(dǎo)的函數(shù)數(shù)”。30魏爾斯特拉拉斯德意志帝國(guó)國(guó)數(shù)學(xué)家。。1815年10月月31日生生于威斯特特法倫州的的奧斯滕費(fèi)費(fèi)爾德，1897年年2月19日卒于柏柏林。1834年入入波恩大學(xué)學(xué)學(xué)習(xí)法律律和財(cái)政。。1838年轉(zhuǎn)學(xué)數(shù)數(shù)學(xué)。1842～1856年年，先后在在幾所中學(xué)學(xué)任教。1854年年3月31日獲得哥哥尼斯堡大大學(xué)名譽(yù)博博士學(xué)位。。1856年10月月受聘為柏柏林大學(xué)助助理教授，，同年成為為柏林科學(xué)學(xué)院成員，，1864年升為教教授。魏爾斯特拉拉斯(德德，1815～1897)31魏爾斯特拉拉斯關(guān)關(guān)于“點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)續(xù)而點(diǎn)點(diǎn)不不可導(dǎo)的函函數(shù)”的例子是其中是是奇數(shù)數(shù)，，，使。。32另一件事是是德國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)家黎曼（（B.Riemann，1826—1866））發(fā)現(xiàn)，柯柯西把定積積分限制于于連續(xù)函數(shù)數(shù)是沒有必必要的。黎曼證明了了，被積函函數(shù)不連續(xù)續(xù)，其定積積分也可能能存在。33黎曼還造出出一個(gè)函數(shù)數(shù)，當(dāng)自變變量取無(wú)理理數(shù)時(shí)它是是連續(xù)的，，當(dāng)自變量量取有理數(shù)數(shù)時(shí)它是不不連續(xù)的。。34黎曼1826年年9月17日，黎曼曼生于德國(guó)國(guó)北部漢諾諾威的布雷雷塞倫茨村村，父親是是一個(gè)鄉(xiāng)村村的窮苦牧牧師。他六六歲開始上上學(xué)，14歲進(jìn)入大大學(xué)預(yù)科學(xué)學(xué)習(xí)，19歲按其父父親的意愿愿進(jìn)入哥廷廷根大學(xué)攻攻讀哲學(xué)和和神學(xué)，1847年年，黎曼轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)到柏林大大學(xué)學(xué)習(xí)，，成為雅可可比、狄利利克萊、施施泰納、艾艾森斯坦的的學(xué)生。1849年年重回哥廷根大學(xué)攻讀博博士學(xué)位，，成為高斯斯晚年的學(xué)學(xué)生。黎曼（德，，1826-1866）35這些例子使使數(shù)學(xué)家們們?cè)絹?lái)越明明白，在為分分析建立一一個(gè)完善的的基礎(chǔ)方面，還需需要再前進(jìn)進(jìn)一步：即即需要理解和闡明明實(shí)數(shù)系的的更深刻的的性質(zhì)。36②魏爾斯斯特拉斯的的貢獻(xiàn)德國(guó)數(shù)學(xué)家家魏爾斯特特拉斯（KarlWeierstrass，1815——1897）的努力力，終于使使分析學(xué)從完完全依靠運(yùn)運(yùn)動(dòng)學(xué)、直直觀理解和和幾何概念中解放放出來(lái)。。他的成成功產(chǎn)生生了深遠(yuǎn)遠(yuǎn)的影響響，主要表現(xiàn)現(xiàn)在兩方方面，一方面是是建立了了實(shí)數(shù)系系，另一方面面是創(chuàng)造造了精確確的“””語(yǔ)言言。37“””語(yǔ)言言的成功功，表現(xiàn)現(xiàn)在：這一語(yǔ)言言給出極極限的準(zhǔn)準(zhǔn)確描述述，消除除了歷史上上各種模模糊的用用語(yǔ)，諸諸如“最最終比”、““無(wú)限地地趨近于于”，等等等。這樣一來(lái)來(lái)，分析析中的所所有基本本概念都都可以通過(guò)過(guò)實(shí)數(shù)和和它們的的基本運(yùn)運(yùn)算和關(guān)關(guān)系精確地表述述出來(lái)。。384）極限限的“””定義及及“貝克克萊悖論”的的消除①極限限的“””定義義39定義：設(shè)設(shè)函數(shù)在在的的附附近都有有定義，如果果有一個(gè)個(gè)確定的的實(shí)數(shù)（（無(wú)論多么小的正正數(shù)）。都（（都能找到到一個(gè)正正數(shù)，，依賴于），使當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)（滿足不等等式的所有不不等于的的），有（這些對(duì)對(duì)應(yīng)的函函數(shù)值與的的差差小于預(yù)預(yù)先給定定的任意意小的）我們就就說(shuō)“函數(shù)數(shù)在在趨趨近近于時(shí)時(shí)，有極極限””。。記為。40由極限的的這個(gè)““””定義，，可以求求出一些基基本的極極限，并并嚴(yán)格地地建立一一整套豐富的極極限理論論。簡(jiǎn)單單說(shuō)，例例如有兩個(gè)相等等的函數(shù)數(shù)，取極極限后仍仍相等；；兩個(gè)函數(shù)數(shù)，代數(shù)數(shù)和的極極限等于于極限的的代數(shù)和和。等等。由此再建建立嚴(yán)格格的微積積分理論論。41②“貝貝克萊悖悖論”的的消除回到牛頓頓的（*）式上上：（*）這是在（（即即））條條件下，，得到的的等式；；它表明明時(shí)時(shí)間間內(nèi)物體體的平均均速度為為。。（*）式兩兩邊都是是△t的函數(shù)。。然后，，我們把把物體在在時(shí)時(shí)刻的瞬瞬時(shí)速度度定義為為：上述述平均速速度當(dāng)趨趨于0時(shí)的極極限，即即物體在時(shí)時(shí)刻的的瞬時(shí)速速度=。。42下邊我們們對(duì)（*）式的的等號(hào)兩兩邊同時(shí)時(shí)取極限，，根根據(jù)“兩兩個(gè)相等等的函數(shù)數(shù)取極限后仍相相等”，，得瞬時(shí)速度度=再根據(jù)““兩個(gè)函函數(shù)和的的極限等等于極限限的和”，得得然后再求求極限得得43上述過(guò)程程所得結(jié)結(jié)論與牛牛頓原先先的結(jié)論論是一樣的的，但每每一步都都有了嚴(yán)嚴(yán)格的邏邏輯基礎(chǔ)?！柏愗惪巳R悖悖論”的的焦點(diǎn)“無(wú)窮小小量是是不是0？？”，在這里里給出了了明確的的回答：：。這里也沒沒有“最最終比””或“無(wú)無(wú)限趨近近于”那樣含糊糊不清的的說(shuō)法。。44總之，第第二次數(shù)數(shù)學(xué)危機(jī)機(jī)的核心心是微積積分的基基礎(chǔ)不穩(wěn)穩(wěn)固?？驴挛鞯呢曍暙I(xiàn)在于于，將微微積分建建立在極極限論的的基礎(chǔ)。。魏爾斯斯特拉斯斯的貢獻(xiàn)獻(xiàn)在于，，邏輯地地構(gòu)造了了實(shí)數(shù)系系，建立立了嚴(yán)格格的實(shí)數(shù)數(shù)理論，，使之成成為極限限理論的的基礎(chǔ)。。所以，，建立數(shù)學(xué)學(xué)分析（（或者說(shuō)說(shuō)微積分分）基礎(chǔ)礎(chǔ)的“邏邏輯順序序”是：：實(shí)數(shù)理論論—極限限理論——微積分分。而“歷史史順序””則正好好相反。。45知識(shí)的邏輯順序序與歷史順序序有時(shí)是不同的.46三、第三三次數(shù)學(xué)學(xué)危機(jī)1．“數(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)礎(chǔ)”的曙曙光———集合論論到19世世紀(jì)，數(shù)數(shù)學(xué)從各各方面走走向成熟熟。非歐歐幾何的的出現(xiàn)使使幾何理理論更加加擴(kuò)展和和完善；；實(shí)數(shù)理理論（和和極限理理論）的的出現(xiàn)使使微積分分有了牢牢靠的基基礎(chǔ)；群群的理論論、算術(shù)術(shù)公理的的出現(xiàn)使使算術(shù)、、代數(shù)的的邏輯基基礎(chǔ)更為為明晰，，等等。。人們水水到渠成成地思索索：整個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)的的基礎(chǔ)在在哪里？？正在這這時(shí)，19世紀(jì)紀(jì)末，集集合論出出現(xiàn)了。。人們感感覺到，，集合論論有可能能成為整整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)的基礎(chǔ)礎(chǔ)。47其理由是是：算術(shù)術(shù)以整數(shù)數(shù)、分?jǐn)?shù)數(shù)等為對(duì)對(duì)象，微微積分以以變數(shù)、、函數(shù)為為對(duì)象，，幾何以以點(diǎn)、線線、面及及其組成成的圖形形為對(duì)象象。同時(shí)時(shí)，用集集合論的的語(yǔ)言，，算術(shù)的的對(duì)象可可說(shuō)成是是“以整整數(shù)、分分?jǐn)?shù)等組組成的集合”；微積積分的對(duì)對(duì)象可說(shuō)說(shuō)成是““以函數(shù)數(shù)等組成成的集合”；幾何何的對(duì)象象可說(shuō)成成是“以以點(diǎn)、線線、面等等組成的的集合”。這樣樣一來(lái)，，都是以集集合為對(duì)對(duì)象了。集合成了了更基本本的概念念。48于是，集集合論似似乎給數(shù)數(shù)學(xué)家?guī)?lái)了曙曙光：可可能會(huì)一一勞永逸逸地?cái)[脫脫“數(shù)學(xué)學(xué)基礎(chǔ)””的危機(jī)機(jī)。盡管管集合論論自身的的相容性性尚未證證明，但但許多人人認(rèn)為這這只是時(shí)時(shí)間問題題。龐加加萊（(JulesHenriPoincaréé，法，，1854-1912）甚至在在1900年巴巴黎國(guó)際際數(shù)學(xué)家家大會(huì)上上宣稱：：“現(xiàn)在在我們可可以說(shuō)，，完全的的嚴(yán)格性性已經(jīng)達(dá)達(dá)到了！！”492．算術(shù)術(shù)的集合合論基礎(chǔ)礎(chǔ)1）人們們按下列列邏輯順順序把全全部數(shù)學(xué)學(xué)的基礎(chǔ)歸結(jié)為為算術(shù)，，即歸結(jié)結(jié)為非負(fù)負(fù)整數(shù)，，即自然然數(shù)集合加上上0———現(xiàn)在我我國(guó)中小小學(xué)就把把這一集集合稱為自然然數(shù)集合合。（算術(shù)））非負(fù)整整數(shù)n→→有理數(shù)數(shù)實(shí)數(shù)復(fù)復(fù)數(shù)圖圖形50因此，全全部數(shù)學(xué)學(xué)似乎都都可歸結(jié)結(jié)為非負(fù)負(fù)整數(shù)了了，或者者說(shuō)，全部數(shù)學(xué)學(xué)都可以以歸結(jié)為為算術(shù)了了。這樣，如如果能把把算術(shù)建建立在集集合論的的基礎(chǔ)上上，就相相當(dāng)于解解決了整整個(gè)“數(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)礎(chǔ)”的問問題。法國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)家、數(shù)數(shù)理邏輯輯先驅(qū)弗雷格（G.Frege,1848—1925））就做了了這樣的的工作。。他寫了了一本名名叫《算術(shù)基基礎(chǔ)》的書。51弗雷格（法,1848—1925））《算術(shù)基基礎(chǔ)》522)弗弗雷格的的《算術(shù)術(shù)基礎(chǔ)》》為了使算算術(shù)建立立在集合合論的基基礎(chǔ)上，，所有的非負(fù)整整數(shù)，都都需要用用集合論論的觀點(diǎn)點(diǎn)和語(yǔ)言言重新定義義。首先從0說(shuō)起。。0是什什么？應(yīng)當(dāng)先回回答0是是什么，，然后才才有表示示“0””的符號(hào)號(hào)。53為此，先先定義““空集”?？占恰安徊缓氐募虾稀薄＠?，““方程程在在實(shí)數(shù)集中的的根的集集合””就是一一個(gè)空集集，再例例如“由最最大的正正整數(shù)組組成的集集合”也也是一個(gè)個(gè)空集。54所有的空空集放在在一起，，作成一一個(gè)集合合的集合合，（為說(shuō)說(shuō)話簡(jiǎn)單單我們把把“集合合的集合合”稱作作類），，這個(gè)類類，就可可以給它它一個(gè)符符號(hào)：0，中國(guó)國(guó)人念““l(fā)ing”，，英國(guó)人人念“Zero”。空集是空空的，但但由所有有空集組組成的類類，它本本身卻是是一個(gè)元元素了，，即，0是一個(gè)個(gè)元素了了。由它它再作成成一個(gè)集集合{0}，則則不是空空集了。。55弗雷格再再定義兩兩個(gè)集合合間的雙射：既是滿滿射又是是單射的的映射叫叫作雙射射，也稱稱可逆映射射；通俗地地說(shuō)，就就是存在在逆映射射的映射射。它可可以在兩兩個(gè)集合合間來(lái)回回地映射射，所以以一般稱稱為“雙雙射”。。弗雷格再再定義兩個(gè)集合合的“等等價(jià)”：，能夠在其其間建立立雙射的的兩個(gè)集集合A、、B稱為為“等價(jià)價(jià)”。56下邊可以以定義““1”了了。把與集合{0}等等價(jià)的所所有集合合放在一一起，作作成一個(gè)個(gè)集合的的集合。。這個(gè)類類，就可可以給它它一個(gè)符符號(hào)：1。再定義“2””。把與集合{0，，1}等價(jià)的的所有集合放放在一起，作作成一個(gè)集合合的集合。這這個(gè)類，就叫叫：2。然后，把與{0，1，，2}等價(jià)的的集合作成的的類，叫：3。57一般地，在有有了0，1，，2，…，n的定義后，就把把所有與集合{0，，1，2，……，n}等價(jià)的集集合放在一起起，作成集合合的集合，這樣的類類，定義為：：n+1。這種定義概念念的方法，叫叫作“歸納定義”的方法。58這樣，弗雷格格就從空集出發(fā)，，而僅僅用到集合及集合等價(jià)的概念，把全部非負(fù)負(fù)整數(shù)定義出來(lái)來(lái)了。于是根根據(jù)上邊說(shuō)的的“可以把全部數(shù)學(xué)學(xué)歸結(jié)為非負(fù)負(fù)整數(shù)”，就就可以說(shuō)，全部數(shù)學(xué)可以以建立在集合合論的基礎(chǔ)上上了。593．羅素的的“集合論悖悖論”引發(fā)危危機(jī)1）悖論引引起震憾和危危機(jī)正當(dāng)弗雷格即即將出版他的的《算術(shù)基礎(chǔ)》一書的時(shí)時(shí)候，羅素的的集合論悖論論出來(lái)了。這也是龐龐加萊宣布““完全嚴(yán)格的的數(shù)學(xué)已經(jīng)建立起來(lái)來(lái)！”之后剛剛剛兩年，即即1902年。60伯特蘭·羅素素（1872-1970）Russell,BertrandArthurWilliam(ThirdEarlRussell)學(xué)科成就：英國(guó)著名哲學(xué)學(xué)家、數(shù)學(xué)家家、邏輯學(xué)家家，分析學(xué)的的主要?jiǎng)?chuàng)始人人，世界和平平運(yùn)動(dòng)的倡導(dǎo)導(dǎo)者和組織者者。所獲獎(jiǎng)項(xiàng)：1950年年諾貝爾文學(xué)學(xué)獎(jiǎng)。頒獎(jiǎng)詞：當(dāng)代理性和人人道的最杰出出的代言人之之一，西方自自由言論和自自由思想的無(wú)無(wú)畏斗士。羅素（英，1872-1970）61集合論中居然然有邏輯上的的矛盾！傾刻之間，算算術(shù)的基礎(chǔ)動(dòng)動(dòng)搖了，整個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)似似乎也動(dòng)搖了了。這一動(dòng)搖搖所帶來(lái)的震憾是空空前的。許多多原先為集合合論興高采烈的數(shù)學(xué)學(xué)家發(fā)出哀嘆嘆：我們的數(shù)數(shù)學(xué)就是建立在這樣樣的基礎(chǔ)上的的嗎？羅素悖論引發(fā)發(fā)的危機(jī)，就就稱為第三次次數(shù)學(xué)危機(jī)。62羅素把他發(fā)現(xiàn)現(xiàn)的悖論寫信信告訴弗雷格。弗雷格在在他的《算術(shù)術(shù)基礎(chǔ)》一書書的末尾無(wú)可奈何地地寫道：“一個(gè)科學(xué)家家遇到的最不愉快的事事莫過(guò)于，當(dāng)當(dāng)他的工作完完成時(shí)，基礎(chǔ)崩塌塌了。當(dāng)本書書即將印刷時(shí)時(shí)，羅素先生的一封封信就使我陷陷入這樣的尷尷尬境地。”632）羅素悖悖論在敘述羅素悖悖論之前,我我們先注意到到下邊的事實(shí)：：一個(gè)集合或或者是它本身身的成員(元素),或者不是它它本身的成員員(元素)，，兩者必居其一一。羅素把前前者稱為“異常集合”，把后者稱為為“正常集合””。64例如,所有抽抽象概念的集集合，本身還還是抽象概念念。即，它是是這一集合本本身的元素，，所以是“異異常集合”。。但是，所有有人的集合，，不是人，即即，它不是這這一集合本身身的元素，所所以是“正常常集合”。再例如，所有有集合的集合合，本身還是是集合，即，，它是這一集集合本身的元元素，所以是是“異常集合合”。但是，，所有星星的的集合不是星星星，即，它它不是這一集集合本身的元元素，所以是是“正常集合合”。65羅素當(dāng)年的例例子“異常集合””1：不多于29個(gè)個(gè)字母表達(dá)的的句子所構(gòu)成成的集合（這一集合的的定義是“不不多于29個(gè)個(gè)字母表達(dá)的的句子”，它它是這一集合合本身的成員員）“異常集合””2：不是麻雀的東東西所構(gòu)成的的集合（“不是麻雀雀的東西所構(gòu)構(gòu)成的集合””肯定不是麻麻雀，所以它它是這一集合合本身的成員員）66羅素悖論是：：以表表示“是其本本身成員的所有集合的集集合”（所有有異常集合的的集合），而以表表示“不是是它本身成員員的所有集合合的集合”（所有正正常集合的集集合），于是是任一集合或者屬于，，或者者屬于，，兩者必必居其一，且且只居其一。然然后問：集合合是是否是它本本身的成員？（集合合是是否是異常常集合？）67如果是是它本身的的成員，則按按及及的的定義，是是的的成員，而而不是的的成員，，即不不是它本身的成成員，這與假假設(shè)矛盾。即即如果不不是它本本身的成員，，則按及及的定義，是是的的成員員，而不是的的成成員，即是它本身的成成員，這又與與假設(shè)矛盾。。即悖論在于：無(wú)論哪一種情情況，都得出出矛盾。68羅素悖論的通通俗化——“理發(fā)師悖論論”：某村的一個(gè)個(gè)理發(fā)師宣稱稱，他給且只只給村里自己己不給自己刮刮臉的人刮臉臉。問：理發(fā)發(fā)師是否給自自己刮臉？如果他給自己己刮臉，他就就屬于自己給給自己刮臉的的人，按宣稱稱的原則，理理發(fā)師不應(yīng)該該給他自己刮刮臉，這與假假設(shè)矛盾。如如果他不給自自己刮臉，他他就屬于自己己不給自己刮刮臉的，按宣宣稱的原則，，理發(fā)師應(yīng)該該給他自己刮刮臉，這又與與假設(shè)矛盾。。694．危機(jī)的的消除危機(jī)出現(xiàn)以后后，包括羅素素本人在內(nèi)的的許多數(shù)學(xué)家家作了巨大的的努力來(lái)消除除悖論。當(dāng)時(shí)時(shí)消除悖論的的選擇有兩種種，一種是拋拋棄集合論，，再尋找新的的理論基礎(chǔ)，，另一種是分分析悖論產(chǎn)生生的原因，改改造集合論，，探討消除悖悖論的可能。。人們選擇了后后一條路，希希望在消除悖悖論的同時(shí)，，盡量把原有有理論中有價(jià)價(jià)值的東西保保留下來(lái)。70這種選擇的理理由是，原有有的康托集合合論雖然簡(jiǎn)明明，但并不是是建立在明晰晰的公理基礎(chǔ)礎(chǔ)之上的，這這就留下了解解決問題的余余地。羅素等人分析析后認(rèn)為，這這些悖論的共共同特征（悖悖論的實(shí)質(zhì)））是“自我指謂””。即，一個(gè)待定義的的概念，用了了包含該概念念在內(nèi)的一些些概念來(lái)定義義，造成惡性循循環(huán)。例如，悖論中中定義“不屬屬于自身的集集合”時(shí)，涉涉及到“自身身”這個(gè)待定定義的對(duì)象。。71為了消除悖論論，數(shù)學(xué)家們們要將康托“樸素的集合合論”加以公公理化；并且且規(guī)定構(gòu)造集合的原則則，例如，不不允許出現(xiàn)““所有集合的集合””、“一切屬屬于自身的集集合”這樣的集合。721908年，，策梅洛（E.F.F.Zermelo,1871—1953）提出出了由7條公公理組成的集集合論體系，，稱為Z-系系統(tǒng)。1922年，，弗蘭克（A.A.Fraenkel）又加進(jìn)進(jìn)一條公理，，還把公理用用符號(hào)邏輯表表示出來(lái)，形形成了集合論論的ZF-系系統(tǒng)。再后來(lái)來(lái)，還有改進(jìn)進(jìn)的ZFC-系統(tǒng)。這樣，大體完完成了由樸素集合論論到公理集合合論的發(fā)展過(guò)過(guò)程，悖論消消除了。73但是，新的系系統(tǒng)的相容性性尚未證明。。因此，龐加加萊在策梅洛洛的公理化集集合論出來(lái)后后不久，形象象地評(píng)論道：：“為了防狼，，羊群已經(jīng)用用籬笆圈起來(lái)來(lái)了，但卻不不知道圈內(nèi)有有沒有狼”。。這就是說(shuō)，第第三次數(shù)學(xué)危危機(jī)的解決，，并不是完全全令人滿意的的。74四、三次數(shù)數(shù)學(xué)危機(jī)與““無(wú)窮”的聯(lián)聯(lián)系我們過(guò)去就說(shuō)說(shuō)過(guò)，無(wú)窮與與有窮有本質(zhì)質(zhì)的區(qū)別?，F(xiàn)在我們可以以總結(jié)說(shuō)，三三次數(shù)學(xué)危機(jī)機(jī)都與無(wú)窮有關(guān)關(guān)，也與人們們對(duì)無(wú)窮的認(rèn)認(rèn)識(shí)有關(guān)。75第一次數(shù)學(xué)危危機(jī)的要害是是不認(rèn)識(shí)無(wú)理理數(shù)，而無(wú)理理數(shù)是無(wú)限不不循環(huán)小數(shù)，，它可以看成成是無(wú)窮個(gè)有有理數(shù)組成的的數(shù)列的極限限。由于當(dāng)時(shí)尚未未真正認(rèn)識(shí)無(wú)無(wú)窮，所以那那時(shí)對(duì)第一次次數(shù)學(xué)危機(jī)的的解決并不徹徹底；第一次次數(shù)學(xué)危機(jī)的的徹底解決，，是在危機(jī)產(chǎn)產(chǎn)生二千年后后的19世紀(jì)紀(jì)，建立了極極限理論和實(shí)實(shí)數(shù)理論之后后。實(shí)際上，，它差不多是是與第二次數(shù)數(shù)學(xué)危機(jī)同時(shí)時(shí)才被徹底解解決的。76第二次數(shù)學(xué)危危機(jī)的要害，，是極限理論論的邏輯基礎(chǔ)礎(chǔ)不完善，而而極限正是““有窮過(guò)渡到到無(wú)窮”的重重要手段。貝貝克萊的責(zé)難難，也集中在在“無(wú)窮小量量”上。由于無(wú)窮與有有窮有本質(zhì)的的區(qū)別，所以以，極限的嚴(yán)嚴(yán)格定義，極極限的存在性性，無(wú)窮級(jí)數(shù)數(shù)的收斂性，，這樣一些理理論問題就顯顯得特別重要要。77第三次數(shù)學(xué)危危機(jī)的要害，，是“所有不不屬于自身的的集合”這樣樣界定集合的的說(shuō)法有毛病病。而且這里里可能涉及到到無(wú)窮多個(gè)集集合，人們犯犯了“自我指指謂”、“惡惡性循環(huán)”的的錯(cuò)誤。以上事實(shí)告訴訴我們，由于于人們習(xí)慣于于有窮，習(xí)慣慣于有窮情況況下的思維，，所以一旦遇到無(wú)窮窮時(shí)，要格外外地小心；而而高等數(shù)學(xué)則則是經(jīng)常與無(wú)無(wú)窮打交道的的。78本節(jié)結(jié)束謝謝謝799、靜夜四無(wú)鄰鄰，荒居舊業(yè)業(yè)貧。。12月-2212月-22Saturday,December24,202210、雨中黃葉樹樹，燈下白頭頭人。。05:47:5905:47:5905:4712/24/20225:47:59AM11、以我獨(dú)沈沈久，愧君君相見頻。。。12月-2205:47:5905:47Dec-2224-Dec-2212、故人江海海別，幾度度隔山川。。。05:47:5905: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