復變函數(shù)與積分變換全套課件

復變函數(shù)工程數(shù)學（第四版）第一章復數(shù)與復變函數(shù)§1復數(shù)及其代數(shù)運算§2復數(shù)的幾何表示§3復數(shù)的乘冪與方根§4區(qū)域§5復變函數(shù)§6復變函數(shù)的極限與連續(xù)性§1復數(shù)及其代數(shù)運算1.復數(shù)的概念2.復數(shù)的代數(shù)運算1.復數(shù)的概念定義：在實數(shù)范圍,方程是無解的.因此引進一個新數(shù)i,稱為虛數(shù)單位,規(guī)定為復數(shù),x,y分別稱為z的實部和虛部,記作兩個復數(shù)相等,是指的它的實部和虛部分別相等.復數(shù)z=0,指實部和虛部都是0.且復數(shù)不能比較大小.對于任意二實數(shù)x,y,稱或當時,稱為純虛數(shù)。2.復數(shù)的代數(shù)運算當z1,z2為實數(shù)時,上二式與實數(shù)的運算一致。復數(shù)的加,法和乘法定義為稱上面二式右端為z1,z2的和,差與積。稱滿足的復數(shù)為z1除以z2的商,記作與實數(shù)一樣，復數(shù)運算也滿足交換律,結合律和分配律:因此共軛復數(shù)把實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個共軛復數(shù)有如下性質：如果，那么。復數(shù)稱為共軛復數(shù),與z共軛的復數(shù)記作。[解]例1

設，求與所以[解]例2

設，求與所以10[解]例求滿足下列條件的復數(shù)z:(1)設則由得故(2)則[證]例3

設,為兩個任意復數(shù)，或證明§2復數(shù)的幾何表示1.復平面2.復球面1.復平面所以復數(shù)的全體與該平面上的點的全體成一一對應關系,此時,x軸稱為實軸,y軸稱為虛軸,兩軸所在的平面稱為復平面或z

平面.這樣,復數(shù)與復平面上的點成一一對應,從而使我們能借助幾何語言和方法研究復變函數(shù)從而復數(shù)可以用該平面上的坐標為的點來表示，這是復數(shù)的一個常用表示方法。由一對有序實數(shù)唯一確定,一個復數(shù)問題。OxyxyqPz=x+iy|z|=r在復平面上,復數(shù)z還與從原點指向點z=x+iy

的平面長度稱為z的?；蚪^對值,記作向量一一對應,因此復數(shù)z也能用向量來表示。向量的顯然,還有下列各式成立在z0的情況,以正實軸為始邊,以表示z的向量OP為終邊這時,有稱為z的輻角,記作的角的弧度數(shù)一個,則為任意整數(shù))給出了z的全部幅角,在的幅角中,滿足的稱為Arg

z的主值,記作幅角不確定。時，arg

z當其中當時,,可由右邊關系確定：是其中的有無窮多個幅角,如果任何一個復數(shù)由復數(shù)運算法則,兩個復數(shù)Oxyz1z2z1+z2且成立不等式加減法一致。如圖(三角不等式),Oxy原點上,還有。一對共軛復數(shù)在復平面內(nèi)和，如果z不在負實軸和Oxy的位置是關于實數(shù)軸對稱的,因而

z1和z2的加減法和相應的向量的利用直角坐標與極坐標的關系：OxyxyqPz=x+iy|z|=r可以將z表示成三角表示式：得指數(shù)表示式：

利用歐拉公式[解]例1

將下列復數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。1)顯然,。又z在第三象限，則因此，z的三角表示式為z的指數(shù)表示式為2)

顯然,,又故z的三角表示式為z的指數(shù)表示式為19[解]例將下列復數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。1)顯然,所以，20[解]例將下列復數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。2)顯然,所以，當時，有[證]例2

設又為兩個任意復數(shù)，證明：所以兩邊開方，應得到所要證明的三角不等式。[解]例3因此，復數(shù)形式的參數(shù)方程為將通過兩點由此得知由取形式的方程來表示。的直線用復數(shù)已知通過點的直線可用參數(shù)方程表示為的直線段的參數(shù)方程可以寫成到，得知線段的中點為23[解]例將下列復數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。1)顯然,所以，24[解]例將下列復數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。2)顯然,所以，當時，有[解]例4設求下列方程所表示的曲線：或1)

從幾何上看，方程表示所有與點－i距離為2，方程可變?yōu)橐簿褪堑狞c的軌跡，即中心為－i，半徑為2的圓。也可用代數(shù)方法求出該圓的直角坐標方程。所以，那么軌跡，所以方程表示的曲線是一條垂直平分線，它的2)

從幾何上看，方程表示到兩點距離相等的點的方程為。也可以用代數(shù)的方法求得。3)

設從而立即可得所求曲線方程為，這是一條平行于x軸的直線。27[解]例求下列方程所表示的曲線：點的軌跡，所以方程表示的曲線是一條垂直平分線，它1)

從幾何上看，方程表示到兩點距離相等的的方程為。也可以用代數(shù)的方法求得。的點的軌跡，所以方程表示的曲線是一條垂直平分線，2)

從幾何上看，方程表示到兩點距離之和為定值它的方程為。也可以用代數(shù)的方法求得。28[解]例求下列方程所表示的曲線：3)

從幾何上看，方程表示z到1的距離與z到的點集是實軸上的閉區(qū)間[－1,1]。－1的距離之和為2，而－1到1的距離也為2。因此z只能在線段[－1,1]上，即滿足條件另一點N。稱N為北極，S為南極。NSOxyPz2.復球面除了復數(shù)的平面表示方法外,還可以用球面上的點來表示復數(shù)。取一個與復平面切于原點的球面,球面上的一點S與原點重合。通過S作垂直于復平面的直線與球面相交于對復平面內(nèi)任一點z,用直線將z與N相連,與球面相交于P點,則球面上除N點外的所有點和復平面上的所有點有一一對應的關系,而N點本身可代表無窮遠點,記作。這樣的球面稱作復球面。于復數(shù)來說，實部、虛部與輻角的概念均無意義，但包括無窮遠點在內(nèi)的復平面稱為擴充復平面。不包括無窮遠點在內(nèi)的復平面稱為有限平面，或稱復平面。對其模規(guī)定為正窮大，即。對于其它復數(shù)z都有關于的四則運算作如下規(guī)定：除法：但可為)加法：至于其它運算，不規(guī)定其意義。乘法：減法：§3復數(shù)的乘冪與方根1.乘積與商2.冪與根設有兩個復數(shù)１.乘積與商于是那么

定理一兩個復數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積,兩個復數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和。從而有用指數(shù)形式表示復數(shù):q2q2z2q1z1z1z21Oxy并旋轉一個角度，如圖所示相當于將z1的模擴大|z2|倍則則定理可以表示為：由定理進一步可證，如果當用向量表示復數(shù)時，

定理二兩個復數(shù)的商的模等于它們的模的商,兩個復數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差。按照商的定義,當時,有由乘積公式有于是由此得如果用指數(shù)形式表示復數(shù)：定理二可簡明地表示為：。根據(jù)復數(shù)乘法，有[解]例1即為所求的頂點已知正三角形的兩個頂點為所以求第三個頂點。如圖，將旋轉類似可得Oxy表示繞或得到另一個向量，它的終點或36。根據(jù)復數(shù)乘法，有[解]例向量，它的終點即為所求的頂點已知等腰直角三角形的兩個底角的點分別為所以，求頂點。如圖，將旋轉類似可得Oxy表示繞或，長度再縮短或得到另一個2.冪與根則對任意正整數(shù)n,有

n個相同復數(shù)z的乘積稱為z的n次冪，記作，即若定義，那么當n為負整數(shù)時上式也成立。時，則有棣莫弗(DeMoivre)公式特別地，當下面用棣莫弗公式求方程的根，其中z為已知復數(shù)。如n為正整數(shù),則一個復數(shù)的n次根不止有一個,而是方根設z為己知,方程的根稱為z的n次根，都記為，即有n個,下面就來求出這個根先不妨令由棣莫弗公式有于是則上式成立，必有由此，可得其中，是算術平方根，所以時，得到n個相異的根：當當k為其他整數(shù)值代入時，這些根又會重復出現(xiàn)。在幾何上,不難看出：z1/n的n個值就是以原點為中心,r1/n為半徑的圓的內(nèi)接正n邊形的n個頂點。例如k=n時，[解]例2求因為即所以這四個根是內(nèi)接于中心在原點，半徑為的圓的正方形的四個頂點，且有42[解]例求因為即所以這四個根是內(nèi)接于中心在原點，半徑為的圓的正方形的四個頂點，且有43[解]例求方程因為即所以的所有根。§4區(qū)域1.區(qū)域的概念2.單連通域與多連通域1.區(qū)域的概念平面上以z0為中心,d(任意的正數(shù))為半徑的圓：dz0內(nèi)部的點的集合稱為z0的鄰域,而稱由不等式所確定的點集為z0的去心鄰域。設G為一平面點集,z0為G中任意一點。內(nèi)點：若存在z0的一個鄰域,該鄰域內(nèi)的所有點都屬于G,則稱z0為G的內(nèi)點開集：如果G內(nèi)的每個點都是它的內(nèi)點,則稱G為開集。區(qū)域：若平面點集D是一個開集，且是連通的，也就是D中任何兩點都可以用完全屬于D的一條折線連接起來，則稱D為一個區(qū)域。但在P的任意小的鄰域內(nèi)總包含有D中的點,邊界點：設D為復平面內(nèi)的一個區(qū)域,如果點P不屬于D,則點P稱為D的邊界點。區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所組成的。邊界：D的所有邊界點組成D的邊界。C3C2zg1g2C1PxyDO如果一個區(qū)域可以被包含在一個以原點為中心的圓里面,即存在正數(shù)M,使區(qū)域D的每個點z都滿足|z|<M,則稱D為有界的,否則稱為無界的。滿足不等式r1<|z-z0|<r2的所有點構成一個區(qū)域,而且是有界的,區(qū)域的邊界由兩個圓周|z-z0|=r1和|z-z0|=r2構成,稱為圓環(huán)域。若在圓環(huán)域內(nèi)去掉一個(或幾個)點,它仍然構成區(qū)域,只是區(qū)域的邊界由兩個圓周和一個(或幾個)孤立的點所構成。區(qū)域D與它的邊界一起稱為閉區(qū)域或閉域,記作。z0r2r1無界區(qū)域的例子xyy上半平面：Im

z>0角形域：0<arg

z<xyjxab帶形域：a<Im

z<b２.單連通域與多連通域在數(shù)學上,常用參數(shù)方程表示各種平面曲線。若x(t)和y(t)是兩個連續(xù)的實變函數(shù),則方程組代表一條平面曲線,稱為連續(xù)曲線。令則此曲線可用一個方程來代表。這就是平面曲線的復數(shù)表示式。且t的每一個值,有這曲線稱為光滑的,由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線,稱為按段光滑曲線。都連續(xù),上和如果區(qū)間連續(xù)不連續(xù)光滑不光滑z(a)=z(b)簡單,閉z(a)z(b)簡單,不閉z(a)=z(b)不簡單,閉不簡單,不閉z(a)z(b)重點的連續(xù)曲線C,稱為簡單曲線或若爾當(Jardan)曲線。如果簡單曲線C的起點與終點閉合,即z(a)=z(b),則曲線C稱為簡單閉曲線。設為一條連續(xù)曲線,與分別為C的起點與終點。對于滿足的t1與t2,當而有時,點稱為曲線C的重點。沒有定義：定義：內(nèi)部外部C任意一條簡單閉曲線C把整個復平面唯一地分成三個互不相交的點集,其中除去C外,一個是有界區(qū)域,稱為C的內(nèi)部,另一個是無界區(qū)域,稱為C的外部,C為它們的公共邊界。單連通域多連通域復平面上的一個區(qū)域B,如果在其中任就稱為單連通域,一個區(qū)域如果不是單連通域,就稱為多連通域。作一條簡單閉曲線,而曲線的內(nèi)部總屬于B,一條簡單閉曲線的內(nèi)部是單連通域。

單連通域B具有這樣的特征：屬于B的任何一條簡單閉曲線，在B內(nèi)可以經(jīng)過連續(xù)的的變形而縮成一點，多連通域則無這個特征。§5復變函數(shù)1.復變函數(shù)的定義2.映射的概念1.復變函數(shù)的定義定義如果z的一個值對應著w的一個值,則函數(shù)f(z)是單值的；

定的法則存在,按照這一法則,對于集合G中的每一個復數(shù)z,就有一個或幾個復數(shù)數(shù)w是復變數(shù)z的函數(shù)(簡稱復變函數(shù)),記作否則就是多值的。集合G稱為f(z)的定義集合,對應于G中所有z對應的一切w值所成的集合G*,稱為函數(shù)值集合。的集合,如果有一個確設G是一個復數(shù)與之對應,則稱復變在以后的討論中,定義集合G常常是一個平面區(qū)域,稱之為定義域,并且,如無特別聲明,所討論的函數(shù)均為單值函數(shù)。由于給定了一個復數(shù)實數(shù)x和y,而復數(shù)u和v,所以復變函數(shù)w和自變量z之間的關系w=f(z)相當它們確定了自變量為x和y的兩個二元實變函數(shù).例如,考察函數(shù)令因而函數(shù)w=z2

對應于兩個二元函數(shù):就相當于給定了兩個亦同樣地對應著一對實數(shù)于兩個關系式:，則2.映射的概念定義如用z平面的點表示自變量z的值,而用另一個平面w平面上的點表示函數(shù)w的值,則函數(shù)w=f(z)在幾何上就可看做是把z平面上的一個點集G(定義集合)變到w平面上的一個點集G*(函數(shù)值集合)的映射(或變換)。這個映射通常簡稱為由函數(shù)w=f(z)所構成的映射。如果G中的點z被映射w=f(z)映射成G*中的點w,則w稱為z的象(映象),而z稱為w的原象。例如，函數(shù)所構成的映射，是一個關于實軸的對稱映射，把任一圖形映成關于實軸對稱的全同圖形。再如，函數(shù)所構成的映射，可以把z平面上與正實軸交角為的角形域映射成w平面上與正實軸交角為的角形域。如下頁圖。2axyOuvOz1z2w2z3w3aw1xyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w2函數(shù)函數(shù)假定函數(shù)w=f(z)的定義集合為z平面上的集合G,函數(shù)值集合為w平面上的集合G*,則G*中的每個點w必將對應著G中的一個(或幾個)點。按照函數(shù)的定義,在G*上就確定了一個單值(或多值)函數(shù)反函數(shù),也稱為映射w=f(z)的逆映射。從反函數(shù)的定義可知,對任意的wG*,有當反函數(shù)為單值函數(shù)時,也有，它稱為函數(shù)w=f(z)的今后，不再區(qū)分函數(shù)與映射(變換)。若函數(shù)與它的反函數(shù)都是單值的，那么稱函數(shù)是一一的。也稱集合G與G*是一一對應的?！?復變函數(shù)的極限和連續(xù)性１.函數(shù)的極限２.函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的極限作當zz0時,f(z)A。如圖定義：內(nèi)，如果有一確定的數(shù)A存在,對于任意給定的地必有一正數(shù)則稱A為f(z)當z趨向于z0時的極限,記作設函數(shù)w=f(z)定義在z0的去心鄰域,相應,使得當時有,或記xyOz0dzOuvAef(z)幾何意義：z0的充分小的點f(z)就落A的預先給定的鄰域中。應當注意,z趨向于z0的方式是任意的,無論以何種方式趨向于z0,f(z)都要趨向于同一常數(shù)A。當變點z一旦進入鄰域時,它的象充分必要條件是則[證]必要性:任給，根據(jù)極限的定義有如果,存在,當時，或當這就是說時，因此有定理一

設充分性:如果由極限定義，對于任給，總存在，使當時，而則當時，有即定理二定理一將求復變函數(shù)的極限問題轉化為求兩個二元，則實變函數(shù)的極限問題。由定理一，下面的極限有理運算法則對于復變函數(shù)也成立。如果[證]例證明函數(shù)令由此得，則當時的極限不存在。。讓z沿直線y=kx趨于零時有顯然，它隨k的不同而不同，所以不存在。雖然，但根據(jù)定理一，不存在。此題也可用另一種方法證明。令則2.函數(shù)的連續(xù)性如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處連續(xù),就說f(z)在D內(nèi)連續(xù)。定義如果定理三函數(shù)連續(xù)的充要條件是則說f(z)在z0處連續(xù)。在處處連續(xù)。和在例如，函數(shù)在復平面內(nèi)除原點外處處連續(xù)，因為除原點外是處處連續(xù)的，而是處處連續(xù)的。由定理二和定理三，還可以推得接下來的定理四。其中P(z)和Q(z)都是多項式,在復平面分母不為零的點也是連續(xù)的。由以上定理,可以推得有理整函數(shù)(多項式)對復平面內(nèi)所有的z都是連續(xù)的,而有理分式函數(shù)2)若函數(shù)h=g(z)在z0處連續(xù),函數(shù)w=f(h)在h0=g(z0)連續(xù),則復合函數(shù)w=f[g(z)]在z0處連續(xù)。定理四1)在z0連續(xù)的兩個函數(shù)f(z)與g(z)的和,差,積,商(分母在z0不為零)在z0處連續(xù)；在閉曲線或包括曲線端點在內(nèi)的曲線段上連續(xù)的函數(shù)f(z)，在曲線上是有界的。即存在一正數(shù)M，在曲線上還應指出，所謂函數(shù)f(z)在曲線C上z0點處連續(xù)的意義是指恒有67[解]例求極限68[解]因為例求極限所以有故有復變函數(shù)工程數(shù)學（第四版）第二章解析函數(shù)§1解析函數(shù)的概念§2函數(shù)解析的充要條件§3初等函數(shù)§1解析函數(shù)的概念1.復變函數(shù)的導數(shù)與微分2.解析函數(shù)的概念1.復變函數(shù)的導數(shù)與微分存在,則就說f(z)在z0可導,此極限值就稱為f(z)在z0i)導數(shù)的定義定義設函數(shù)w=f(z)定義于區(qū)域D,z0為D中一點,點的導數(shù),

記作不出D的范圍。如果極限也就是說,對于任給的時,有,存在,使得當應當注意,定義中任意的,定義中極限值存在的要求與無關,也就是說,當都趨于同一個數(shù)。若f(z)在D內(nèi)處處可導,就說f(z)在Ｄ內(nèi)可導。(即)的方式是的方式在區(qū)域D內(nèi)以任何方式趨于z0時,比值所以例1

求f(z)=z2的導數(shù)。[解]因為例2

問f(z)=x+2yi是否可導？[解]設沿著平行于x軸的直線趨向于z，因而這時極限設沿著平行于x軸的直線趨向于z，因而這時極限所以f(z)=x+2yi的導數(shù)不存在。設沿著平行于y軸的直線趨向于z，因而這時極限ii)可導與連續(xù)容易證明,在z0點可導的函數(shù)必定在z0點連續(xù)。事實上,由在z0點可導的定義，對于任給的相應地有一個令則,,使得當時,有由此得所以即在連續(xù)。iii)求導法則與實函數(shù)相同,復變函數(shù)也有類似的求導公式與法則，羅列如下：,其中c為復常數(shù)。,其中n為正整數(shù)。,其中c為復常數(shù)。,其中n為正整數(shù)。。。。。，其中，其中w=f(z)與是兩個互為反函數(shù)的單值函數(shù)，且。iv)微分的概念小量,而設函數(shù)w=f(z)在z0可導,則有其中因此,如果函數(shù)在z0的微分存在,則稱函數(shù)f(z)在z0可微。是的高階無窮的線性部是函數(shù)w=f(z)的改變量分,稱為函數(shù)w=f(z)在點z0的微分,記作即由此可見,函數(shù)w=f(z)在z0可導與在z0可微是等價的。特別,當f(z)=z時,得。于是上式可變?yōu)槿鬴(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可微,則稱f(z)在D內(nèi)可微。2.解析函數(shù)的概念定義如果函數(shù)f(z)在z0及z0的鄰域內(nèi)處處可導,則稱如果f(z)在z0不解析,則稱z0為f(z)的奇點f(z)在z0解析,若f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點解析,則稱f(z)在D內(nèi)解析,或稱f(z)是D內(nèi)的一個解析函數(shù)(全純函數(shù)或由定義可知,函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)可導是等價的。但是,函數(shù)在一點處解析和在一點處可導不等價。即,函數(shù)在一點處可導,不一定在該點處解析。函數(shù)在一正則函數(shù))點處解析比在該點處可導的要求要高得多。例3

研究函數(shù)[解]和的解析性。由解析函數(shù)的定義與前面的例題可知，在復平面內(nèi)是解析的，而卻是處處不解析的。下面研究的解析性。由于如果，那么當時，上式的極限是零。如果，令沿直線趨于，由于k的任意性，不趨于一個確定的值。所以當?shù)臉O限不存在。時，因此，僅在z=0處可導，而在其他點都不可導，由定義，它在復平面內(nèi)處處不解析。例4

研究函數(shù)[解]的解析性。因為w在復平面內(nèi)除點z=0外處處可導，且所以在除z=0外的復平面內(nèi)，函數(shù)處處解析，而z=0是它的奇點。所有多項式在復平面內(nèi)是處處解析的,任何一個和,差,積,商(除去分母為零的點)在D內(nèi)解析。2)設h=g(z)在z平面上的區(qū)域D內(nèi)解析,w=f(h)在h平面上的區(qū)域G內(nèi)解析。如果對D內(nèi)的每一個點z,g(z)對應值h都屬于G,則復合函數(shù)w=f[g(z)]在D內(nèi)有理分式函數(shù)P(z)/Q(z)在不含分母為零的點的區(qū)域內(nèi)是解析函數(shù),使分母為零的點是它的奇點。根據(jù)求導法則可知：定理

1)在區(qū)域D內(nèi)解析的兩個函數(shù)f(z)與g(z)的解析?！?函數(shù)解析的充要條件在工程中,往往是要用復變函數(shù)來解決實際問題。而實際問題中遇到的復變函數(shù),通常都是某個實變函數(shù)延拓而來的。即,如果原來有一個實變函數(shù)f(x)，自變量是實數(shù),函數(shù)值也是實數(shù),則將x用一個復數(shù)代替，就產(chǎn)生了一個自變量和函數(shù)值都是復數(shù)的復變函數(shù)。事實上我們只關心這樣的復變函數(shù)。比如說實變函數(shù)經(jīng)常就是實變函數(shù)中的基本初等函數(shù)及組合構成的初等函數(shù)延拓到復變函數(shù)。,則相應的延拓的復變函數(shù)就是件。設f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv

(x,y)定義在區(qū)域D內(nèi),且在D內(nèi)一點z=x+iy可導。，有判斷一個函數(shù)是否解析，如果只根據(jù)解析函數(shù)的定義，往往比較困難。因此，需要尋找判斷函數(shù)解析的簡便方法。先考察函數(shù)在一點可導(或可微)應當滿足什么條其中則對于充分小的令。由上式得從而有由于，所以。因此得知u(x,y)和v(x,y)在(x,y)可微，而且滿足方程這就是函數(shù)f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)一點z=x+iy可導的必要條件。而且滿足方程方程稱為柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程

。實際上，這個條件也是充分的。且也有下面的定理：定理一設函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域D內(nèi),而f(z)在D內(nèi)一點z=x+iy可導的充分必要條件是:u(x,y)與v(x,y)在點(x,y)可微,并且在該點滿足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程

。[證]條件的必要性上面已經(jīng)證明,下面證充分性。[充分性]由于這里[充分性]由于又因為u(x,y)與v(x,y)在點(x,y)可微，可知因此根據(jù)柯西-黎曼方程所以或最后兩項都趨于零。因此這就是說,函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點z=x+iy處可導因為，故當趨于零時，上式右端的根據(jù)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的定義及定理一，就可得由定理一可得函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點z=x+iy處的導數(shù)公式：到判斷函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析的一個充要條件。定理二函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定義域D內(nèi)解析的充要條件是u(x,y)與v(x,y)在D內(nèi)可微,并滿足柯西-黎曼方程。這兩個定理是本章的主要定理。不但提供了判斷函數(shù)f(z)在某點是否可導，在區(qū)域內(nèi)是否解析的常用辦法，而且給出了一個簡潔的求導公式。是否滿足柯西-黎曼方程是定理中的主要條件。如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)不滿足柯西-黎曼方程，那么，f(z)在D內(nèi)不解析；如果在D內(nèi)滿足柯西-黎曼方程,且u和v具有一階連續(xù)偏導數(shù),那么,f(z)在D內(nèi)解析。對于f(z)在一點z=x+iy的可導性，也有類似的結論。例1

判斷下列函數(shù)在何處可導,在何處解析：[解]不可導,處處不解析。1)

因為可知柯西-黎曼方程不滿足,所以在復平面內(nèi)處處2)

因為柯西-黎曼方程成立,由于上面四個偏導數(shù)都是連續(xù)的,所以f(z)在復平面內(nèi)處處可導,處處解析,且有從而[解]例1

判斷下列函數(shù)在何處可導,在何處解析：3)

由容易看出，這四個偏導數(shù)處處連續(xù)，但僅當x=y=0時，,得,所以才滿足柯西-黎曼方程，因而函數(shù)僅在z=0可導，但在復平面內(nèi)任何地方都不解析。[解]例1

判斷下列函數(shù)在何處可導,在何處解析：1011)

因為時，柯西-黎曼方程才成立，故此函數(shù)在直線從而僅當[解]例判斷下列函數(shù)在何處可導,在何處解析：上處處可導，而在復平面上處處不解析。1022)

因為時，柯西-黎曼方程才成立，故此函數(shù)在直線從而僅當[解]例判斷下列函數(shù)在何處可導,在何處解析：上處處可導，而在復平面上處處不解析。例2

設函數(shù)問常數(shù)a,b,c,d取何值時,f(z)在復平面內(nèi)處處解析?[解]由于從而要使只需因此,當內(nèi)處處解析,這時時,此函數(shù)在復平面104例設函數(shù)問常數(shù)a,b,c

取何值時,

f(z)在復平面內(nèi)處處解析?[解]先求從而要使只需，因此,所以，有105例設解析函數(shù)的實部[解]由于又函數(shù)解析，則有即對求v關于y的偏導數(shù)，得積分得，那么求f(z)。則即所以有例3

如果所以u=常數(shù),v=常數(shù),因而f(z)在D內(nèi)是常數(shù)。[證]因為在區(qū)域D處處為零,則f(z)在D內(nèi)為故一常數(shù)。例4

如果f(z)=u+iv為一解析函數(shù)，且f'(z)0，則曲線族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2必互相正交，其中c1,c2為[證]由于如果在曲線交點處uy與vy都不為零，由隱函數(shù)求導法則知曲線族中任一條曲線的斜率分別為利用柯西-黎曼方程得和故uy與vy不全為零。常數(shù)。108例4

如果f(z)=u+iv為一解析函數(shù)，且f'(z)0，則曲線族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2必互相正交，其中c1,c2為因此，二曲線族互相正交。如果uy與vy其中有一個為零，則另一個必不為零,此時易知交點的切線一條是垂直,一條是水平,仍然正交。常數(shù)。[證]利用柯西-黎曼方程得§3初等函數(shù)１.指數(shù)函數(shù)２.對數(shù)函數(shù)３.乘冪與冪函數(shù)４.三角函數(shù)與雙曲函數(shù)５.反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)內(nèi)也能定義一個函數(shù)f(z)具有ex的三個性質:i)

f(z)在復平面內(nèi)解析;前面的例題中已經(jīng)知道,函數(shù)是一個在復平面處處解析的函數(shù),且有時,f(z)=ex。f(z)稱為指數(shù)函數(shù)。記作實函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)是很特殊的,希望能夠在復平面ii)

f'(z)=f(z);iii)

當Im(z)=0時,f(z)=ex,其中x=Re(z)。,當y=0等價于關系式：為整數(shù))由上式可知事實上,設z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,按定義有跟ex一樣,expz也服從加法定理：鑒于expz滿足條件iii)，且加法定理也成立，為了方便，往往用ez代替expz。但必須注意，這里的ez

沒有冪的意義，僅僅作為代替expz的符號使用，因此就有由加法定理,可以推出expz的周期性。,即特別,當x=0時,有其中k為任何整數(shù)。這個性質是實變指數(shù)函數(shù)沒有的。它的周期是2.對數(shù)函數(shù)所以和實變函數(shù)一樣，對數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。將滿足方程的函數(shù)w=f(z)稱為對數(shù)函數(shù)。令,則由于Arg

z為多值函數(shù)，所以對數(shù)函數(shù)w=f(z)為多因此值函數(shù)，并且每兩個值相差的整數(shù)倍,記作如果規(guī)定上式中的Arg

z取主值arg

z，則Ln

z為一單值函數(shù)，記作ln

z,稱為Ln

z的主值,因此有表達。對于每一個固定的k，上式為一單值函數(shù),稱為Ln

z的一個分支。而其余各值可由特別,當z=x>0時,Ln

z的主值ln

z=ln

x,就是實變數(shù)對數(shù)函數(shù)。例1

求Ln2,Ln(-1)以及它們相應的主值。[解]因為,所以它的主值就是ln2。而(k為整數(shù)),所以它的主值是。不再成立。而且正實數(shù)的對數(shù)也是無窮多值的。在實變函數(shù)中,負數(shù)無對數(shù),此例說明在復數(shù)范圍內(nèi)利用幅角的性質不難證明，復變數(shù)對函數(shù)函數(shù)保持了實變數(shù)對數(shù)函數(shù)的基本性質：116例求Ln(-i),Ln(-3+4i)以及它們相應的主值。[解]因為所以它的主值就是而(k為整數(shù)),所以它的主值是,但應注意，與第一章中關于乘積和商的輻角等式體是相同的，還應注意的是，等式：不再成立，其中n為大于1的正整數(shù)。一樣，這些等式也應理解為兩端可能取的函數(shù)值的全對數(shù)函數(shù)的解析性就主值ln

z而言,其中l(wèi)n|z|除原點外在其它點都是連續(xù)的，而arg

z在原點與負實軸上都不連續(xù)。所以除去原點與負實軸，在復平面內(nèi)其他點，lnz處處因為若設z=x+iy,則當z<0時,連續(xù)。在區(qū)域數(shù)w=lnz是單值的。由反函數(shù)的求導法則可知：綜上所述，內(nèi)的反函所以,lnz在除去原點及負實軸的平面內(nèi)解析。而且有，Lnz

的各個分支在除去原點及負實軸的平面內(nèi)也解析,并且有相同的導數(shù)值.今后應用對數(shù)函數(shù)Lnz時,指的都是它在除去原點及負實軸的平面內(nèi)的某一單值分支。3.乘冪ab與冪函數(shù)可表示為ab=eblna,現(xiàn)在將它推廣到復數(shù)的情形。設a為不等于0的一個復數(shù),b為任意一個復數(shù),定義乘冪多值的。當b為整數(shù)時,由于在高等數(shù)學中,如果a為正數(shù),b為實數(shù),則乘冪ab由于是多值的,因而ab也是ab為ebLna,即所以這時ab具有單一的值。當b=p/q

(p和q為互質的整數(shù),q>0)時,由于ab具有q個值,即當k=0,1,...,(q-1)時相應的各個值。除此而外,一般而論ab具有無窮多個值。例2

求和的值。[解]由此可見,是正實數(shù)，它的主值是123例求和的值。[解]124例求和的值。[解]時是與a的n次冪及a的n次根的定義是完全一致的。應當指出，定義，當b為正整數(shù)n及分數(shù)i)當b為正整數(shù)n時，根據(jù)定義(指數(shù)n項)(因子n個)(因子n個)ii)

當b為分數(shù)時，有因為ii)當b為分數(shù)時，有其中所以，如果a=z為一復變數(shù)，就得到一般的冪函數(shù)，當b=n與時，就分別得到通常的冪函數(shù)及zn

在復平面內(nèi)是單值解析函數(shù),且(zn)'=nzn-1.對數(shù)函數(shù)Ln

z的各個分支在除去原點和負實軸的復平面內(nèi)是解析的,因而各個分支在除去原點和負實軸的復平面內(nèi)也是解析的，且有冪函數(shù)是一個多值函數(shù)，具有n個分支，又值函數(shù)，當b為無理數(shù)或復數(shù)時，是無窮多值的。同樣的道理，它的各個分支在除去原點和負實軸的復平面冪函數(shù)(除去b=n與兩種情況外)也是一個多內(nèi)也是解析的，并且有4.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)現(xiàn)將其推廣到自變數(shù)取復值的情形,定義當z為實數(shù)時,顯然這與上式完全一致。由歐拉公式有將這兩式相加與相減,分別得到為周期的周期函數(shù),因此cos

z和sinz以由于ez是以也容易推出cos

z是偶函數(shù),sinz是奇函數(shù)：又由指數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式可以求得從公式還易知普遍正確,即對于復數(shù),歐拉公式仍然成立。為周期,即由定義和指數(shù)函數(shù)的加法定理，可知三角函數(shù)許多仍然成立由此得但當z為純虛數(shù)iy時,有但當z為純虛數(shù)iy時,有所以這兩個公式對于計算cos

z與sinz的值有用。當y時，|siniy|和|cosiy|都趨于無窮大，因此，|sinz|1和|cosz|1在復數(shù)范圍內(nèi)不再成立。其它復變數(shù)三角函數(shù)的定義如下：分別稱為雙曲余弦,正弦和正切函數(shù)。與三角函數(shù)密切相關的是雙曲函數(shù),定義sh

z為奇函數(shù)，它們都是復平面內(nèi)的解析函數(shù)，導數(shù)不難證明ch

z和sh

z都是以為周期的函數(shù)，chz為偶函數(shù),及分別為：134例解方程：[解1]即或即所以135例解方程：[解2]即則所以即5.反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)則稱w為z的反余弦函數(shù),記作反三角函數(shù)定義為三角函數(shù)的反函數(shù),設由得二次方程數(shù)。兩端取對數(shù)得它的根為其中應理解為雙值函顯然Arccosz是一個多值函數(shù)，它的多值性正是cos

w的偶性和周期性的反映。用同樣的方法可以定義反正弦和反正切函數(shù),并且重復上述步驟,可以得到它們的表達式：反雙曲函數(shù)定義為雙曲函數(shù)的反函數(shù)。用與推導它們都是多值函數(shù)。反三角函數(shù)表達式完全類似的步驟,可以得到各反雙曲函數(shù)的表達式：反雙曲正弦反雙曲余弦反雙曲正切復變函數(shù)工程數(shù)學（第四版）第三章復變函數(shù)的積分§1復變函數(shù)積分的概念§2柯西－古薩基本定理§3基本定理的推廣———復合閉路定理§4原函數(shù)與不定積分§5柯西積分公式§6解析函數(shù)的高階導數(shù)§7解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系§1復變函數(shù)積分的概念1.積分的定義2.積分存在的條件及其計算法3.積分的性質1.積分的定義如果選定C的兩個可能方向中的一個作為正方向(或正向)，則將C理解為帶有方向的曲線，稱為有向曲線。設曲線C的兩個端點為A與B，如果將A到B的方向作為C的正方向，則從B到A的方向就是C的負方向，。常將兩個端點中一個作為起點，另一個作為終點，則正方向規(guī)定為起點至終點的方向。設C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線。并記作而簡單閉曲線的正方向是指當曲線上的點P順此方向沿該曲線前進時，鄰近P點的曲線內(nèi)部始終位于P點的左方。相反的方向就是曲線的負方向。定義終點為B的一條光滑有向設w=f(z)定義在區(qū)域D內(nèi)，C是D內(nèi)起點為AAz1z1z2z2z3z3...zk-1zkzkDzkBxyO曲線。C任意分成n個弧段，設分點為Az1z1z2z2z3z3...zk-1zkzkDzkBxyO在每個弧段zk-1zk(k=1,2,...,n)上任意取一點k，并作和式的長度，,,記當n無限增加且趨于零，如有唯一極限，則稱其為f(z)沿曲線C的積分，記作容易看出,當C是x軸上的區(qū)間axb,而f(z)=u(x)時,這個積分定義就是一元實函數(shù)定積分的定義。如果C為閉曲線，則沿此閉曲線的積分記作2.積分存在的條件及計算法給出,正方向為參數(shù)增加的方向,參數(shù)a及b對應于起點如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)處處連續(xù)，則u(x,y)及v(x,y)均為D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。設zk=xk+ihk，設光滑曲線C由參數(shù)方程A及終點B,并且

。由于所以，有下面的式子：由于u,v都是連續(xù)函數(shù),根據(jù)線積分的存在定理,當n無限增大而弧段長度的最大值趨于零時,不論對不論對C的分法如何，點(xk,hk

)的取法如何，上式右端的兩個和式的極限都是存在的。因此有上式在形式上可以看作是與所以是比較容易記住的。相乘后求積分得到：而且上式說明了兩個問題：i)當f(z)是連續(xù)函數(shù)而C是光滑曲線時，積分是一定存在的。可以通過兩個二元實變函數(shù)的線積分來計算。根據(jù)線積分的計算方法，有上式右端可以寫成所以今后討論積分，如無特別說明，總假定被積函數(shù)是連續(xù)的，曲線C是按段光滑的。如果C是由C1,C2,...,Cn等光滑曲線首尾連接而成,則定義[解]直線的方程可寫作,其中C為原點到點3+4i的直線段。例1

計算或在C上,。于是又因容易驗證，右邊兩個線積分都與路線C無關，所以的值，不論C是怎樣的連接原點到3+4i的曲線，都等于[解]直線的方程可寫作計算積分例分別沿y=x與在C上,。于是拋物線的方程可寫作在C上,。于是z0rqz-z0=reiqzOxy的正向圓周,n為整數(shù)。例2

計算,其中C為以z0為中心,r為半徑當n=0時，結果為當時，結果為所以[解]C的方程可寫作這個結果以后經(jīng)常要用到,它的特點是與積分路線圓周的中心和半徑無關，應當記住。所以這是因為z1z0=1+iOxyＣ2Ｃ1Ｃ31)

沿原點到點例3

計算的值，其中C為所接成的折線。[解]的直線段2)

沿從原點到點的直線段段，與從到的直線3.積分的性質則(k為常數(shù))設曲線C長度為L，f(z)在C上滿足,復函數(shù)的積分也有下列一些簡單性質，與實變函數(shù)中定積分的性質類似的：線因此便得不等式的第一部分，又因兩端取極限，得兩點之間的弧段的長度，所以事實上，是與兩點之間的距離，為這這里表示連續(xù)函數(shù)(非負的)沿C的曲所以這是不等式的第二部分。絕對值的一個上界。例4設C為從頂點到點3+4i的直線段，試求積分[解]C的方程為。由估值不等式得從而有而，所以在C上，§2柯西-古薩(Cauchy-Goursat)基本定理或沿封閉曲線的積分值為零的條件，可能與被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的單連通性有關。究竟關系如何，不妨先在加強條件下做些初步探討。假設f(z)=u+iv在單連通域B內(nèi)處處解析，且連續(xù)的，且滿足柯西-黎曼方程從上節(jié)的幾個例題中思考，積分的值與路線無關,在B內(nèi)連續(xù)。由于所以u和v以及它們的偏導數(shù)在B內(nèi)都是則有其中C為B內(nèi)任何一條簡單閉曲線，從格林公式與柯西-黎曼方程(路線C取正向)得其中D是C所圍的區(qū)域,所以上式的左端為零。閉曲線的積分為零。實際上，是不必要的。因此有下面一條在解析函數(shù)理論中最基本的定理。因此在上面的假設下，函數(shù)f(z)沿B內(nèi)任何一條在B內(nèi)連續(xù)的假設柯西-古薩基本定理CB內(nèi)處處解析,則在B內(nèi)任何一條封閉曲線C的積分為零:如果函數(shù)f(z)在單連通域B定理中曲線C可以不是簡單曲線。這個定理又稱柯西積分定理。CB柯西-古薩基本定理成立的條件之一是曲線C要屬于區(qū)域B。如果曲線C是B的邊界,函數(shù)f(z)在B內(nèi)與解析，甚至f(z)在B內(nèi)解析,在閉區(qū)域B+C上連續(xù),則f(z)在邊界上C上解析，即在閉區(qū)域B+C上的積分仍然有[解]由積分運算的性質可知的正向例計算積分其中利用柯西－古薩基本定理因此有

§3基本定理的推廣———復合閉路定理在上一節(jié)中，討論了柯西-古薩定理是在單連通域里，現(xiàn)將柯西-古薩基本定理推廣到多連通域的情況。設函數(shù)f(z)在多連通域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)的任意一條簡單閉曲線，當C的內(nèi)部不完全含于D時，沿C的積分設C及C1為D內(nèi)任方向)簡單閉曲線,C1就不一定為零。意兩條(正向為逆時針在C內(nèi)部,且以C及C1為邊界的區(qū)域D1全含于D。DCC1AA'BB'D1FEE'F'其中A,B在C上,A'B'D內(nèi)的簡單閉曲線。如右圖，及在C1上構成兩條全在作兩條不相交的弧線,分析，得知將上面兩等式相加,得DCC1AA'BB'D1FEE'F'DCC1AA'BB'D1FEE'F'將上面兩式相加,得即或上式說明在區(qū)域內(nèi)的一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值,只要在變形過程中不經(jīng)過函數(shù)閉路變形原理。看成一條復合閉路G,其正向為:上式說明如果將C及順時針,則沿C逆時針,沿D變形過程中不能夠經(jīng)過f(z)不解析的點一重要事實，稱為

f(z)不解析的點。這閉曲線,C1,C2,...,Cn是在C內(nèi)部的簡單閉曲線,它們互不包含也互不相交,并且以C,C1,C2,...,Cn為邊界的區(qū)域全含于D。如果f(z)在D內(nèi)解析,則設C為多連通域D內(nèi)的一條簡單定理(復合閉路定理)均取正方向；，其中C與為由C及Ck(k=1,2,...,n)DCC1C2C3所組成的復合閉路(C按順時針,Ck按逆時針)。例如從本章§1的例2知:當C為以z0為中心的正向所以，根據(jù)閉路變形原理，對于包含z0的任何一條正向簡單曲線都有：圓周時,[解]函數(shù)的任何正向簡單閉曲線。是處處解析的。線,因此,它也包含這兩個奇點。在G內(nèi)作兩個互不包含也互不相交的正向圓周C1與C2，C1只例計算的值,為包含圓周|z|=1在內(nèi)在復平面內(nèi)除z=0和z=1兩個奇點外由于是包含著圓周|z|=1在內(nèi)的任何正向簡單閉曲xyO1GC1C2包含奇點z=0，C2只包含奇點z=1。則根據(jù)復合閉路定理可得從這個例子可以看到：借助于復合閉路定理，有些比較復雜的函數(shù)的積分可以化為比較簡單的函數(shù)的積分來計算它的值。這是計算積分常用的一種方法。xyO1GC1C2[解]函數(shù)的正向。外是處處解析的。C內(nèi)作三個互不包含也互不相交的正向圓周C1，C2，C3，C1只包含例計算在復平面內(nèi)除z=0,i,-i三個奇點由于C是圓周|z-3|=1,它包含這三個奇點。因此在奇點z=0，C2只包含奇點z=i，xyOiCC1C2C3-iC3只包含奇點z=-i。則根據(jù)復合閉路定理可得xyOiCC1C2C3-i[解]函數(shù)的正向。外是處處解析的。C內(nèi)作三個互不包含也互不相交的正向圓周C1，C2，C3，C1只包含例計算在復平面內(nèi)除z=0,i,-i三個奇點由于C是圓周|z-3|=1,它包含這三個奇點。因此在奇點z=0，C2只包含奇點z=i，xyOiCC1C2C3-iC3只包含奇點z=-i。則根據(jù)復合閉路定理可得xyOiCC1C2C3-i§4原函數(shù)與不定積分z1z2BC1C2z1z2C1C2B定理一如果函數(shù)f(z)在單連通域B內(nèi)處處解析,則積分與連接起點及終點的路線C無關。由定理一可知,解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點z0和終點z1有關,如圖所示,有z1z2BC1C2z1z2C1C2B固定z0，讓z1在B內(nèi)變動，令z1=z，則積分在B內(nèi)確定了一個單值函數(shù)對這個函數(shù)我們有下面的定理。[證]從導數(shù)的定義出發(fā)來證。設z為B內(nèi)任意一點,以z為中心作一含于B內(nèi)的小圓K,取定理二如果f(z)在單連通域B內(nèi)處處解析,則函數(shù)F(z)必為B內(nèi)的一個解析函數(shù),并且在K內(nèi)。于是可得充分小使z+DzzKzz0z+DzzKzz0,存在,當即時,總有又任給又因從而有因此根據(jù)積分的估值性質有這就是說即這個定理跟微積分學中的對變上限積分的求導定理完全類似在此基礎上，也可以得出類似于微積分學中的基本定理和牛頓-萊布尼茲公式。先引入原函數(shù)的概念。容易證明，f(z)的任何兩個原函數(shù)相差一個常數(shù)。設G(z)和H(z)是

f(z)的何任兩個原函數(shù),則定義如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的導數(shù)等于f(z),,則稱為f(z)在區(qū)域B內(nèi)的原函數(shù)。定理二表明是f(z)的一個原函數(shù)。所以c為任意常數(shù)。因此,如果函數(shù)f(z)在區(qū)域B內(nèi)有一個原函數(shù)F(z),即則，它就有無窮多個原函數(shù),而且具有一般表達式F(z)+c，c為任意常數(shù)。可推得跟牛頓-萊布尼茲公式類似的解析函數(shù)積分計跟在微積分學中一樣，定義：f(z)的原函數(shù)的一般形式F(z)+c(其中c為任意常數(shù))為f(z)的不定積分,利用任意兩個原函數(shù)之差為一常數(shù)這一性質，記作算公式。[證]因為也是f(z)的原函數(shù),所以或當z=z0時,根據(jù)柯西-古薩基本定理,，因此有f(z)的的一個原函數(shù),則如果f(z)在單連通域B內(nèi)處處解析,G(z)為這里z0,z1為域B內(nèi)的兩點。定理三[解]原函數(shù)為zsin

z+cos

z。所以例1

求積分的值函數(shù)zcos

z在全平面內(nèi)解析,容易求得它有一個有了原函數(shù)、不定積分和積分計算公式，復變函數(shù)的積分就可用跟微積分學中類似的方法去計算。在所設區(qū)域內(nèi)解析。它的一個原函例2

試沿區(qū)域數(shù)為，所以內(nèi)的圓弧|z|=1,計算的值。積分[解]函數(shù)[解]例求下列積分的值:或[解]例1

求下列積分的值:[解]例1

求下列積分的值:§5柯西積分公式都是相同的?，F(xiàn)在來求這個積分的值。設B為一單連通域，為B中一點。若f(z)在B內(nèi)解形原理，這積分的值沿任何一條圍繞的簡單閉曲線析，則函數(shù)在不解析。所以在B內(nèi)圍繞的一條閉曲線C的積分一般不為零。又根據(jù)閉路變則取以z0為中心，半徑為δ的很小的圓周既然沿圍繞z0的任何簡單閉曲線積分值都相同。(取其正向)作為積分曲線C。由于f(z)的連續(xù)性，在C上的函數(shù)f(z)的值將隨著的值也將隨著d的縮小而接近于其實兩者是相等的,即因此有下面的定理。δ的縮小而逐漸接近于它在圓心z0處的值,從而可以猜想析，C為D內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線,它的內(nèi)部完全含于D，z0為C內(nèi)的任一點，則如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處解定理(柯西積分公式)DCKzz0R周K:|z-z0|=R全部在C的內(nèi)部,時,,存在,當[證]由于f(z)在z0連續(xù),任給設以z0為中心,R為半徑的圓且。那么有對上式右邊第二個式子整理可得這表明不等式右端積分的?？梢匀我庑?只要R足夠小就行了,根據(jù)閉路變形原理,該積分的值與R無關,所以只有在對所有的R積分值為零才有可能,因此,上式即為要證的式子。上式稱為柯西積分公式。如果f(z)在簡單閉曲線C所圍成的區(qū)域內(nèi)及C上解析，那么公式仍然成立。即即,解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值。如果C是圓周,則定理可變?yōu)閇解]由公式有例求下列積分(沿圓周方向)的值：[解]由公式有例求下列積分(沿圓周方向)的值：[解]例求下列積分(沿圓周方向)的值：[解]被積函數(shù)例計算積分C分別為：有兩個奇點：(1)在內(nèi)有奇點，故[解]被積函數(shù)例計算積分C分別為：有兩個奇點：(2)在內(nèi)有奇點，故[解]被積函數(shù)例計算積分C分別為：有兩個奇點：(3)由復合閉路定理，有§6解析函數(shù)的高階導數(shù)一個解析函數(shù)不僅有一階導數(shù)，而且有各高階導數(shù)，它的值也可用函數(shù)在邊界上的值用積分來表示。這一點和實變函數(shù)完全不同。一個實變函數(shù)在某一區(qū)間上可導，它的導數(shù)在這區(qū)間上是否連續(xù)也不一定，更不要說它有高階導數(shù)存在了。其中C為在函數(shù)f(z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任何一條[證]設z0為D內(nèi)任意一點,先證n=1的情形,即正向簡單曲線,而且它的內(nèi)部全含于D。關于解析函數(shù)的高階導數(shù)有下面的定理。定理解析函數(shù)f(z)的導數(shù)仍為解析函數(shù),它的n階導數(shù)為：先按定義有因此就是要證在時也趨向于零。從而有令則時I0,而現(xiàn)要證當又因為f(z)在C上連續(xù),則有界,設界為M,則在C上|f(z)|M。d為z0到C上各點，則,小使其滿足所以Dz0dC適當?shù)氐淖疃叹嚯x,則取再利用同樣的方法去求極限：便可得L是C的長度。時,I0,也就證這就證得了當這也就證明了一個解析函數(shù)的導數(shù)仍然是解析函數(shù)。得了依此類推,用數(shù)學歸納法可以證明：此公式可以這樣記憶：把柯西積分公式的兩邊對z0求n階導數(shù)，右邊求導在積分號下進行，求導時把被積函數(shù)看作是z0的函數(shù),而把z看作常數(shù)。在于通過求導來求積分。高階導數(shù)公式的作用，不在于通過積分來求導,而[解]1)

函數(shù)在C內(nèi)的z=1處不解析,但在C內(nèi)卻是處處解析的。有例1

求下列積分的值,其中C為正向圓周:|z|=r>1。[解]OC1C2Ci-ixy2)

函數(shù)在C內(nèi)的C內(nèi)以i和閉路定理,－i為中心作兩個正向圓周。則此函數(shù)在由C，和所圍成的區(qū)域內(nèi)是解析的。根據(jù)復合處不解析。在由定理有同樣可得因此[解]1)

函數(shù)在C內(nèi)的z=0處不解析,但在C內(nèi)卻是處處解析的。有例

求下列積分的值,其中C為正向圓周：|z|=1。[解]2)

函數(shù)在C內(nèi)的z=0處不解析,但在C內(nèi)卻是處處解析的。有例求下列積分的值,其中C為正向圓周：|z|=1。[解]3)

函數(shù)在C內(nèi)的z=0處不解析,但在C內(nèi)卻是處處解析的。有例求下列積分的值,其中C為正向圓周：|z|=1。[解]被積函數(shù)例計算積分C分別為：有兩個奇點：(1)在內(nèi)有奇點，故[解]被積函數(shù)例計算積分C分別為：有兩個奇點：(2)在內(nèi)有奇點，故[解]被積函數(shù)例計算積分C分別為：有兩個奇點：(3)在內(nèi)有奇點，故例2

設函數(shù)f(z)在單連通域B內(nèi)連續(xù)，且對于B內(nèi)任[證]在B內(nèi)取定一點，z為B內(nèi)任意一點，根據(jù)已知然后還可以用證明定理二相同的方法，證明函數(shù)的導數(shù)仍為解析函數(shù)，故f(z)為解析函數(shù)。所以F(z)是B內(nèi)的一個解析函數(shù)，再根據(jù)上面定理知解析何一條簡單閉曲線C都有,證明f(z)在B內(nèi)條件，知積分的值與連接與z的路線無關，它定義了一個z的單值函數(shù)：解析(Morera)?！?

解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系問題：則和的二階偏導有在區(qū)域D內(nèi)解析,若什么性質？即在內(nèi)滿足拉普拉斯(Laplace)方程：分析：故有同理設在區(qū)域內(nèi)解析，得問題：則和的二階偏導在區(qū)域D內(nèi)解析,若有什么性質？

這里是一種運算記號，稱為拉普拉斯算子。則稱為區(qū)域內(nèi)的調和函數(shù)。連續(xù)偏導數(shù)，且滿足拉普拉斯(Laplace)方程即定義如果二元實函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有二階定理若在區(qū)域內(nèi)解析，必為(共軛)調和函數(shù)。[證]設為D的一個解析函數(shù)，那么從而則根據(jù)解析函數(shù)高階導數(shù)定理，u與v具有任意階的連續(xù)偏導數(shù)，所以

因此u與v都是調和函數(shù)。同理從而根據(jù)解析函數(shù)高階導數(shù)定理，u與v具有任意階的連續(xù)偏導數(shù)，所以設u(x,y)為區(qū)域D內(nèi)給定的調和函數(shù)，把使u+iv在D內(nèi)構成解析函數(shù)的調和函數(shù)v(x,y)稱為u(x,y)的共軛調和函數(shù)。換句話話，在D內(nèi)滿足柯西-黎曼方程利用柯西-黎曼方程求得它的共軛調和函數(shù)v，從而構成應當指出，如果已知一個調和函數(shù)u，那么就可以于解析函數(shù)的理論解決函數(shù)的問題。在第六章將舉例說解析函數(shù)和調和函數(shù)的上述關系，使我