中學(xué)考試數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題題型歸納

實用文檔實用文檔中考二次函數(shù)綜合壓軸題型歸類、?？键c匯總1、兩點間的距離公式：AByYa Yb2 Xa Xb2、中點坐標(biāo)：線段2、中點坐標(biāo)：線段AB的中點C的坐標(biāo)為:Xa XbYa Yb2 ' 2直線y k直線y k1xb1(k1 0)與y k2x b2(k2(1)兩直線平行 ki k2且bi b20)的位置關(guān)系：(2)兩直線相交ki k2(3)兩直線重合 (3)兩直線重合 k1 k2且b1 b2(4)兩直線垂直 k1k2 13、一元二次方程有整數(shù)根問題，解題步驟如下:①用和參數(shù)的其他要求確定參數(shù)的取值范圍；②解方程，求出方程的根；(兩種形式：分式、二次根式)③分析求解：若是分式，分母是分子的因數(shù)；若是二次根式，被開方式是完全平方式。例：關(guān)于x的一元二次方程例：關(guān)于x的一元二次方程x2-2m1xm2=0有兩個整數(shù)根,m<5且m為整數(shù)，求m的值。試確定方程總試確定方程總4、二次函數(shù)與x軸的交點為整數(shù)點問題。(方法同上)例：若拋物線ymx23m1x3與x軸交于兩個不同的整數(shù)點，且 m為正整數(shù)，此拋物線的解析式。5、方程總有固定根問題，可以通過解方程的方法求出該固定根。舉例如下：已知關(guān)于x的方程mx23(m1)x2m30(m為實數(shù))，求證：無論m為何值,有一個固定的根。

解：當(dāng)m0時，x1；TOC\o"1-5"\h\ztci 2 3m1 , c3 /當(dāng)m0時， m3 0,x ,Xi2一、x21；2m m綜上所述：無論m為何值，方程總有一個固定的根是 1。6、函數(shù)過固定點問題，舉例如下:已知拋物線y2已知拋物線y2Xmxm2（m是常數(shù)），求證：不論m為何值，該拋物線總經(jīng)過一個固定的點，并求出固定點的坐標(biāo)。解：把原解析式變形為關(guān)于2解：把原解析式變形為關(guān)于2m的方程yx2m1x;yx221x0拋物線總經(jīng)過一個固定的點（1,—1）。2（題目要求等價于：關(guān)于2（題目要求等價于：關(guān)于m的萬程yx2m1x不論m為何值，方程恒成立）小結(jié)：關(guān)于x的方程axb有無數(shù)解??7、路徑最值問題（待定的點所在的直線就是對稱軸）（1）如圖，直線11、12,點A在12上，分別在11、12上確定兩點M、N,使得AMMN之和最小。（2）如圖，直線11、12相交，兩個固定點A、B,分別在11、12上確定兩點M、N,使得BMMNAN之和最小。

(3)如圖，A、B是直線l(3)如圖，A、B是直線l同旁的兩個定點，線段a,在直線l上確定兩點E、F(E在F的左側(cè))，使得四邊形AEFB的周長最小。三角形的面積求解常用方法：如右圖， Szpab=1/2 PMX=1/229、函數(shù)的交點問題： 二次函數(shù)(y=ax+bx+c)與一次函數(shù)(y=ax2+bx+c(1)解方程組) 可求出兩個圖象交點的坐標(biāo)。y=kx+hy=ax2+bx+c (2)解方程組 ，即ax+b—kx+c—h=y=kx+h通過可判斷兩個圖象的交點的個數(shù)TOC\o"1-5"\h\z有兩個交點 >0僅有一個交點 0沒有交點 <010、方程法

(1)設(shè)：設(shè)主動點的坐標(biāo)或基本線段的長度(2)表示：用含同一未知數(shù)的式子表示其他相關(guān)的數(shù)量(3)列方程或關(guān)系式11、幾何分析法特別是構(gòu)造“平行四邊形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等圖形時，利用幾何分析法能給解題帶來方便。幾何要求幾何分析涉及公式應(yīng)用圖形跟平行有關(guān)的圖形平移11//l2k尸k2、k *-y2XiX2平行四邊形矩形梯形跟直角有關(guān)的圖形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、對頂角、互余、互補(bǔ)等._ / 2 2AByyA yB Xa Xb直角三角形直角梯形矩形跟線段有關(guān)的圖形利用幾何中的全等、中垂線的性質(zhì)等。._ 2 2 2AByyA yB Xa Xb等腰三角形全等等腰梯形跟角有關(guān)的圖形利用相似、全等、平行、對頂角、互余、互補(bǔ)等【例題精講】P點坐標(biāo)P點坐標(biāo)一基礎(chǔ)構(gòu)圖：y=x22x3（以下幾種分類的函數(shù)解析式就是這個）★和最小，差最大 在對稱軸上找一點P,使得PB+PC的和最小，求出在對稱軸上找一點P,使得PB-PC的差最大，求出P點坐標(biāo)★求面積最大連接AC,在第四象限找一點P,使得ACP面積最大，求出P坐標(biāo)

★討論直角三角連接AC,在對稱軸上找一點P,使得ACP為直角三角形,求出P坐標(biāo)或者在拋物線上求點P,使4ACP是以AC為直角邊的直角三角形.ACP為等腰三角形,★討論等腰三角連接AC,在對稱軸上找一點P,使得求出P坐標(biāo)ACP為等腰三角形,F在拋物線上,★討論平行四邊形 1、點EF在拋物線上,F的坐標(biāo)且以B,A,F,EF的坐標(biāo)二綜合題型例1 (中考變式)如圖，拋物線y2xbxC與x軸交與A(1,0),B(-3,0)兩點，頂點為Do交Y軸于C(1)求該拋物線的解析式與^ABC的面積。(2)在拋物線第二象限圖象上是否存在一點 M,使4MBC是以/BCM為直角的直角三角形，若存在,求出點P的坐標(biāo)。若沒有，請說明理由⑶若E為拋物線B、C兩點間圖象上白^一個動點(不與A、B重合)，過E作EF與X軸垂直，交BC于F,設(shè)E點橫坐標(biāo)為x.EF的長度為L,求L關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式？關(guān)寫出X的取值范圍？當(dāng)E點運(yùn)動到什么位置時，線段 EF的值最大，并求此時E點的坐標(biāo)？(4)在(5)的情況下直線BC與拋物線的對稱軸交于點 H。當(dāng)E點運(yùn)動到什么位置時，以點E、F、D為頂斗的四邊形為平行四邊形?⑸在（5）的情況下點E運(yùn)動到什么位置時，使三角形BCE的面積最大?例2考點:關(guān)于面積最值如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點 A、C的坐標(biāo)分別為（―1,0）、（0,—73）,點B在x軸上.已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B、C三點，且它的對稱軸為直線 x=1,點P為直線BC下方的二次函數(shù)圖象上的一個動點（點P與B、C不重合），過點P作y軸的平行線交BC于點F.圖象上的一個動點（點（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）若設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m,試用含m的代數(shù)式表示線段（3）求4PBC面積的最大值，并求此時點 P的坐標(biāo).例3考點:討論等腰如圖，已知拋物線y=1x2+bx+c與y軸相交于C,與x軸相交于A、B,點A的坐標(biāo)為（2,0）,2(1)求拋物線的解析式；(2)點E是線段AC上一動點，過點E作DE，x軸于點D,連結(jié)DC,當(dāng)4CE的面積最大時，求點D的坐標(biāo)；(3)在直線BC上是否存在一點P,使4ACP為等腰三角形，若存在，求點P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.備用圖P,使得4PBCP,使得4PBC是以P為直角頂點的直角三角形？若存在， 求出所有的點例4考點:討論直角三角⑴如圖，已知點A(—1,0)和點B(1,2),在坐標(biāo)軸上確定點P,使得4ABP為直角三角形，則滿足這樣條件的點 P共有()(A)2個 (B)4個(C) 6個(D)7個⑵已知：如圖一次函數(shù)y=-x+1的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點B；二次函數(shù)y=—x22 21+bx+c的圖象與一次函數(shù)y=-x+1的圖象交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點且D點坐標(biāo)為(1,0)(1)求二次函數(shù)的解析式;(2)求四邊形BDEC的面積S;(3)在x軸上是否存在點P,若不存在，請說明理由.ADQ.是ADQ.是如果例5考點:討論四邊形已知：如圖所示，關(guān)于x的拋物線y=ax2+x+c(a卻)與x軸交于點A(—2,0),點B(6,0),與y軸交于點C.(1)求出此拋物線的解析式，并寫出頂點坐標(biāo)；(2)在拋物線上有一點D,使四邊形ABDC為等腰梯形，寫出點D的坐標(biāo)，并求出直線的解析式；(3)在(2)中的直線AD交拋物線的對稱軸于點M,拋物線上有一動點P,x軸上有一動點否存在以A、M、P、Q為頂點的平行四邊形？如果存在，請直接寫出點 Q的坐標(biāo);不存在，請說明理由.綜合練習(xí)：□平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線yax24ax4ac與x軸交于點A、點B,與y軸的正半軸交于點C,點A的坐標(biāo)為(1,0),OB=OC,拋物線的頂點為Do(1)求此拋物線的解析式；(2)若此拋物線的對稱軸上的點 P滿足/APB=/ACB,求點P的坐標(biāo)；(3)Q為線段BD上一點，點A關(guān)于/AQB的平分線的對稱點為A,若QAQB行，求點Q的坐標(biāo)和此時^QAA的面積。

口在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)yax2+2axc的圖像與y軸交于點C0,3,與x軸交于A、B兩點，點B的坐標(biāo)為3,0。(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點D的坐標(biāo)；(2)點M是第二象限內(nèi)拋物線上的一動點，若直線OM把四邊形ACDB分成面積為1:2的兩部分，求出此時點M的坐標(biāo)；(3)點P是第二象限內(nèi)拋物線上的一動點，問：點 P在何處時4CPB的面積最大？最大面積是多少？并求出此時點P的坐標(biāo)。工如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y工如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y—x 2x與x軸負(fù)半軸交于點A,頂點為B,m且對稱軸與x軸交于點C。(1)求點B的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示)；(2)D為OB中點，直線AD交y軸于E,若E(0,2),求拋物線的解析式;(3)在(2)的條件下，點M在直線OB上，且使得AMC的周長最小，P在拋物線上，Q在直線BC上，若以A、M、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點 P的坐標(biāo)。W ri47Jb知關(guān)于x的方程(1m)x2(4m)x30。(1)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍；2(2)右正整數(shù)m滿足82m2,設(shè)二次函數(shù)y(1m)x(4m)x3的圖象與x軸交于A、B兩點，將此圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象；請你結(jié)合這個新的圖象回答：當(dāng)直線ykx3與此圖象恰好有三個公共點時，求出k的值(只需要求出兩個滿足題意的 k值即可)。接CQ.接CQ.當(dāng)4CEQ的面積最大時，求點Q的坐標(biāo);-4-205如圖，拋物線y=ax，2ax+c(a卻)與y軸交于點C(0,4),與x軸交于點A(-4,0)和B.(1)求該拋物線的解析式;(2)點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE//AC,交BC于點E,(3)平行于x軸的動直線1與該拋物線交于點P,與直線AC交于點點D的坐標(biāo)為(-2,0).問是否有直線1,使^ODF是等腰三角形?若存在，請求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說『明理由.三、中考二次函數(shù)代數(shù)型綜合題題型一、拋物線與x軸的兩個交點分別位于某定點的兩側(cè)(X2,0)兩點,例1.已知二次函數(shù)y=x2+(m-1)x+m-2的圖象與x軸相交于A(xi,0),B且xivx2.(X2,0)兩點,(1)若xix2<0,且m為正整數(shù)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)若x1v1,x2>1,求m的取值范圍;(3)是否存在實數(shù)m,(3)是否存在實數(shù)m,使得過A、B兩點的圓與y軸相切于點C(0,2),若存在,求出的值;若不存在，請說明理由;若不存在，請說明理由;(4)若過點D(4)若過點D(0,t)的直線與(1)中的二次函數(shù)圖象相交于M、N兩點，且MDDN求該直線的表達(dá)式.題型二、拋物線與x軸兩交點之間的距離問題例2已知二次函數(shù)y=x2+mx+m-5

(1)求證：不論m(1)求證：不論m取何值時，拋物線總與(2)求當(dāng)m取何值時，拋物線與x軸兩交點之間的距離最短.題型三、拋物線方程的整數(shù)解問題2 2例1.已知拋物線yx2(m1)xm0與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且 m<5,則整數(shù)m的值為例2.已知二次函數(shù)y=x2—2mx+4m—8.(1)當(dāng)x<2時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，求m的取值范圍；(2)以拋物線y=x2—2mx+4m—8的頂點A為一個頂點作該拋物線的內(nèi)接正 AMN(M,N題型四、拋物線與對稱，包括：點與點關(guān)于原點對稱、拋物線的對稱性、數(shù)形結(jié)合例1.已知拋物線yx2bxc(其中b>0,c#0)與y軸的交點為A,點A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為B(m,n),且AB=2.⑴求m,b的值(2)如果拋物線的頂點位于x軸的下方，且BO=7200求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式(友情提醒：請畫圖思考)題型五、拋物線中韋達(dá)定理的廣泛應(yīng)用(線段長、定點兩側(cè)、點點關(guān)于原點對稱、等等)2例1.已知：二次函數(shù)yx4xm的圖象與x軸交于不同的兩點A(x1，0)、B(x2,0)(x1<x2),其頂點是點C,對稱軸與x軸的交于點D.(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)如果(4+1)(x2+1)=8,求二次函數(shù)的解析式；(3)把(2)中所得的二次函數(shù)的圖象沿 y軸上下平移，如果平移后的函數(shù)圖象與 x軸交于點A、Bi,頂點為點C1,且^ABiCi是等邊三角形，求平移后所得圖象的函數(shù)解析式.綜合提升.已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C(0,4),且|AB|=2>/3,圖象的對稱軸為x=1.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若二次函數(shù)的圖象都在直線y=x+m的下方，求m的取值范圍..已知二次函數(shù)y=-x2+mx-m+2.(1)若該二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點A、B分別在原點的兩側(cè)，并且AB=45,求m的值;(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象與y軸的交點為C,二次函數(shù)圖象上存在關(guān)于原點對稱的兩點 M、N,且S玉nc=27,求m的值..已知關(guān)于x的一元二次方程x2—2(k+1)x+k2=0有兩個整數(shù)根，k<5且k為整數(shù).(1)求k的值；(2)當(dāng)此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2—2(k+1)x+k2的圖象沿x軸向左平移4個單位，求平移后的二次函數(shù)圖象的解析式;(3)根據(jù)直線y=x+b與(2)中的兩個函數(shù)圖象交點的總個數(shù)，求b的取值范圍..已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(1,0)和點B(2,1),且與y軸交點的縱坐標(biāo)為m.(1)若m為定值，求此二次函數(shù)的解析式；(2)若二次函數(shù)的圖象與x軸還有異于點A的另一個交點，求m的取值范圍；(3)若二次函數(shù)的圖象截直線y=-x+1所得線段的長為2、/2,求m的值.四、中考二次函數(shù)定值問題.如圖，已知二次函數(shù)Li:y=x2-4x+3與x軸交于A.B兩點(點A在點B左邊)，與y軸交于點C.(1)寫出二次函數(shù)L1的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)；(2)研究二次函數(shù)L2：y=kx2-4kx+3k(k卻).①寫出二次函數(shù)L2與二次函數(shù)L1有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；②若直線y=8k與拋物線L2交于E、F兩點，問線段EF的長度是否發(fā)生變化？如果不會，請求出EF的長度；如果會，請說明理由.

O的直.如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于 A(—2,O)、B(2,0)、C(0,—l)O的直線y=kx與拋物線交于M、N兩點.