正弦定理和余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)

正弦定理和余弦定理德化三中陳堅(jiān)定這是高三一輪復(fù)習(xí),內(nèi)容是必修5第一章解三角形。本章內(nèi)容準(zhǔn)備復(fù)習(xí)兩課時(shí),本節(jié)課是第一課時(shí)。要求本章的中心內(nèi)容是如何解三角形,正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最后應(yīng)落實(shí)在解三角形的應(yīng)用上。本章內(nèi)容與三角函數(shù)、向量聯(lián)系親密。作為復(fù)習(xí)課一方面將本章知識(shí)作一個(gè)梳理,另一方面經(jīng)過整理歸納幫助學(xué)生進(jìn)一步達(dá)到相應(yīng)的學(xué)習(xí)目標(biāo)。學(xué)生經(jīng)過必修

5的學(xué)習(xí)

,對(duì)正弦定理、余弦定理的內(nèi)容已經(jīng)認(rèn)識(shí)

,但關(guān)于如何靈巧運(yùn)用定理解決實(shí)詰問題

,如何合理選擇定理進(jìn)行邊角關(guān)系轉(zhuǎn)變進(jìn)而解決三角形綜合問題

,學(xué)生還需經(jīng)過復(fù)習(xí)提點(diǎn)有待進(jìn)一步理解和掌握。講課目的：知識(shí)目標(biāo)(1)學(xué)生經(jīng)過對(duì)隨意三角形邊長和角度關(guān)系的研究,掌握正弦、余弦定理的內(nèi)容及其證明方法余弦定理與三角形內(nèi)角和定理,面積公式解斜三角形的兩類基本問題。(2)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題解決三角形綜合問題。

;會(huì)運(yùn)用正、,合理采用定理能力目標(biāo)培育學(xué)生提出問題、正確分析問題、獨(dú)立解決問題的能力,培育學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下辦理解三角形問題的運(yùn)算能力,培育學(xué)生合情推理研究數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想能力。感情目標(biāo)經(jīng)過生活實(shí)例研究回首三角函數(shù)、正余弦定理,表現(xiàn)數(shù)學(xué)根源于生活,并應(yīng)用于生活,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并意會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值,在講課過程中激發(fā)學(xué)生的研究精神。重難點(diǎn)1、正、余弦定理的關(guān)于解解三角形的合理選擇;2、正、余弦定理與三角形的相關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用。講課過程：考試綱領(lǐng)：掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角胸懷問題。考向預(yù)覽：1、能嫻熟利用正弦定理、余弦定理將三角形的邊角轉(zhuǎn)變；2、掌握三角形形狀的判斷，三角形內(nèi)三角函數(shù)的求值及三角恒等式的證明．考情分析年份題型觀察角度分值難度2016解答題第17題正弦定理與余弦定理解三角形12簡單2015填空題第16題正弦定理與余弦定理解三角形5簡單2014填空題第16題正弦定理、余弦定理、三角形面積公式5簡單2013解答題第17題正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)引誘公12簡單式、給值求角問題2012解答題第17題正弦定理、余弦定理、三角形面積公式12適中2011填空題第16題正弦定理、三角函數(shù)求最值5簡單知識(shí)重現(xiàn)：1．正弦定理sinaA＝sinbB＝sincC＝2R，此中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理能夠變形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C.2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理能夠變形：cosA＝b2＋c2－a2，cosB＝a2＋c2－b2，cosC＝a2＋b2－c22bc2ac.2ab3．三角形中常用的面積公式1(1)S＝2ah(h表示邊a上的高)；111(2)S＝2bcsinA＝2acsinB＝2absinC；1(3)S＝2r(a＋b＋c)(r

為三角形的內(nèi)切圓半徑

)．[小題體驗(yàn)]1．(2015廣·東高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a＝2，c＝23，cosA＝3且b＜2c，則b＝()A．3B．22C．2D.3分析：選C由a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4.又b＜c，∴b＝2.2．在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝1，則△ABC的面積為()3A．33B．23C．43D.3答案：C3．(教材習(xí)題改編)在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝20，則a＝________.答案：10(32－6)4．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，則此三角形有()A．無解B．兩解C．一解D．解的個(gè)數(shù)不確立分析：選Bab∵sinA＝sinB，b2422∴sinB＝asinA＝18sin45°，∴sinB＝3.又∵a<b，∴B有兩個(gè)解，即此三角形有兩解．歸納：1．由正弦定理解已知三角形的兩邊和此中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角時(shí)易忽略解的判斷．2．在判斷三角形形狀時(shí)，等式兩邊一般不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，免得漏解．3．利用正、余弦定理解三角形時(shí)，要注意三角形內(nèi)角和定理對(duì)角的范圍的限制．考點(diǎn)一

利用正、余弦定理解三角形例1、

(2015·安徽高考

)在△ABC

3π中，∠A＝4，AB＝6，AC＝32，點(diǎn)

D在

BC

邊上，

AD＝BD，求AD

的長．解：設(shè)△ABC

的內(nèi)角∠BAC，B，C所對(duì)邊的長分別是

a，b，c，由余弦定理得

a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC3π＝(32)2＋62－2×32×6×cos4＝18＋36－(－36)＝90，因此a＝310.又由正弦定理得sinB＝bsin∠BAC＝3＝10，a31010π由題設(shè)知0＜B＜4，21310因此cosB＝1－sinB＝1－10＝10.在△ABD中，由于AD＝BD，因此∠ABD＝∠BAD，因此∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝AB·sinB＝6sinB＝3＝10.sinπ－2B2sinBcosBcosB歸納：(1)解三角形時(shí)，假如式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；假如式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特點(diǎn)都不顯然時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．(2)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確立的，其解是獨(dú)一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形擁有不獨(dú)一性，平常依據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷．考點(diǎn)二

利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀例2、

設(shè)△ABC

的內(nèi)角

A，B，C所對(duì)的邊分別為

a，b，c，若

bcosC＋ccosB＝asinA，則△

ABC的形狀為(

)A．銳角三角形

B．直角三角形

C．鈍角三角形

D．不確立[分析]

由正弦定理得

sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(－πA)＝sin2A，sinA＝sin2A.π∵A∈(0，π)，∴sinA>0，∴sinA＝1，即A＝2.[答案]B[變式

1]母題的條件變成“若

2sinAcosB＝sinC”，那么△

ABC

必定是

(

)A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等腰直角三角形

D．等邊三角形分析：選B法一：由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0，由于－π<A－B<π，因此A＝B.法二：由正弦定理得2acosB＝c，再由余弦定理得a2＋c2－b2＝c?a2＝b2?a＝b.2a·2ac[變式2]母題的條件變成“若a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC”，確立△ABC的形狀．解：法一：利用邊的關(guān)系來判斷：sinCc由正弦定理得sinB＝b，sinCc由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝2sinB＝2b.222b＋c－a又由余弦定理得cosA＝2bc，222cb＋c－a∴＝，2b2bc即c2＝b2＋c2－a2，因此a2＝b2，因此a＝b.又∵a2＋b2－c2＝ab.∴2b2－c2＝b2，因此b2＝c2，∴b＝c，∴a＝b＝c.∴△ABC為等邊三角形．法二：利用角的關(guān)系來判斷：∵A＋B＋C＝180°，∴sinC＝sin(A＋B)，又∵2cosAsinB＝sinC，∴2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sin(A－B)＝0.又∵A與B均為△ABC的內(nèi)角，因此A＝B，又由a2＋b2－c2＝ab，cosC＝a2＋b2－c2ab1由余弦定理，得2ab＝2ab＝2，又0°<C<180°，因此C＝60°，∴△ABC為等邊三角形．[變式3]母題的條件變成“若△

ABC的三個(gè)內(nèi)角知足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13”，則△

ABC(

)A．必定是銳角三角形

B．必定是直角三角形C．必定是鈍角三角形

D．可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形分析：選C在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，∴a∶b∶c＝5∶11∶13，故設(shè)a＝5k，b＝11k，c＝13k(k>0)，由余弦定理可得22222223a＋b－c25k＋121k－169kcosC＝2ab＝2×5×11k2＝－110<0，π又∵C∈(0，π)，∴C∈2，π，∴△ABC為鈍角三角形．練習(xí)：高考真題（2015、全國理一、16）在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是()小結(jié)：1．由正弦定理解已知三角形的兩邊和此中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角時(shí)易忽略解的判斷．2．在判斷三角形形狀時(shí)，等式兩邊一般不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，免得漏解．3