2018-2019版培優(yōu)導(dǎo)學(xué)計(jì)劃數(shù)學(xué)必修5人教B版文檔：第一章 解三角形 1.1.1 第2課時(shí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時(shí)正弦定理的常見變形及應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.熟記并能應(yīng)用正弦定理的有關(guān)變形公式解決三角形中的問題.2。能根據(jù)條件，判斷三角形解的個(gè)數(shù)。3。能利用正弦定理、三角變換解決較為復(fù)雜的三角形問題。知識(shí)點(diǎn)一正弦定理的常見變形1.sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c;2。eq\f(a，sinA)＝eq\f（b,sinB)＝eq\f（c,sinC）＝eq\f（a＋b＋c，sinA＋sinB＋sinC）＝2R；3.a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；4.sinA＝eq\f（a,2R),sinB＝eq\f(b,2R),sinC＝eq\f（c，2R)。知識(shí)點(diǎn)二判斷三角形解的個(gè)數(shù)思考在△ABC中，a＝9,b＝10，A＝60°,判斷三角形解的個(gè)數(shù).答案sinB＝eq\f（b，a)sinA＝eq\f(10，9）×eq\f(\r(3），2）＝eq\f（5\r（3）,9），而eq\f（\r（3)，2）<eq\f（5\r（3）,9)〈1，所以當(dāng)B為銳角時(shí)，滿足sinB＝eq\f（5\r（3),9)的角有60°〈B<90°，故對(duì)應(yīng)的鈍角B有90°〈B〈120°，也滿足A＋B〈180°，故三角形有兩解.梳理已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角，三角形解的個(gè)數(shù)并不一定唯一。求B時(shí)，如果a>b，則有A>B，所以B為銳角，此時(shí)B的值唯一;如果a<b，則有A〈B，所以B為銳角或鈍角，此時(shí)B的值有兩個(gè);當(dāng)sinB＝1時(shí)，B＝90°，此時(shí)B有一解。知識(shí)點(diǎn)三邊角互化思考1在△ABC中，已知acosB＝bcosA。你能把其中的邊a，b化為用角表示嗎（打算怎么用上述條件）？答案可借助正弦定理把邊化成角:2RsinAcosB＝2RsinBcosA，移項(xiàng)后就是一個(gè)三角恒等變換公式sinAcosB－cosAsinB＝0。思考2什么時(shí)候適合用正弦定理進(jìn)行邊角互化？答案盡管正弦定理給出了三角形的邊與對(duì)角的正弦之間的聯(lián)系，但畢竟不是邊等于對(duì)角正弦,這里還涉及到外接圓半徑.故使用時(shí)要么能消掉外接圓半徑(如思考1），要么已知外接圓半徑。梳理一個(gè)公式就是一座橋梁，可以連接等號(hào)兩端。正弦定理的本質(zhì)就是給出了三角形的邊與對(duì)角的正弦之間的聯(lián)系.所以正弦定理的主要功能就是把邊化為對(duì)角的正弦或者反過來(lái).簡(jiǎn)稱邊角互化。類型一判斷三角形解的個(gè)數(shù)例1在△ABC中，角A,B,C分別對(duì)應(yīng)邊a,b，c.已知a＝1，b＝eq\r（3）,A＝30°，解三角形。解根據(jù)正弦定理,sinB＝eq\f（bsinA，a)＝eq\f(\r(3)sin30°,1)＝eq\f(\r(3），2)。∵b＞a，∴B＞A＝30°,∴B＝60°或120°.當(dāng)B＝60°時(shí),C＝180°－（A＋B)＝180°－（30°＋60°)＝90°，∴c＝eq\f(bsinC，sinB）＝eq\f（\r（3),sin60°）＝2；當(dāng)B＝120°時(shí)，C＝180°－（A＋B)＝180°－（30°＋120°）＝30°＝A,∴c＝a＝1.反思與感悟已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，首先求出另一邊的對(duì)角的正弦值，根據(jù)該正弦值求角時(shí)，要根據(jù)已知兩邊的大小情況來(lái)確定該角有一個(gè)值還是兩個(gè)值.或者根據(jù)該正弦值（不等于1時(shí)）在0°～180°范圍內(nèi)求角，一個(gè)銳角,一個(gè)鈍角，只要不與三角形內(nèi)角和定理矛盾，就是所求.跟蹤訓(xùn)練1已知一三角形中a＝2eq\r(3),b＝6，A＝30°,判斷三角形是否有解，若有解，解該三角形。解因?yàn)閍＝2eq\r（3)，b＝6,a〈b，A＝30°〈90°.又因?yàn)閎sinA＝6sin30°＝3,bsinA＜a＜b，所以本題有解，且有兩解，由正弦定理，得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(6sin30°，2\r（3)）＝eq\f(\r(3),2)，因?yàn)閎>a，B〉A(chǔ)，B∈(0°，180°)，所以B＝60°或120°.當(dāng)B＝60°時(shí)，C＝90°,c＝eq\r(a2＋b2）＝4eq\r（3)；當(dāng)B＝120°時(shí)，C＝30°，c＝a＝2eq\r(3)。所以B＝60°，C＝90°，c＝4eq\r（3)或B＝120°,C＝30°,c＝2eq\r(3)。類型二利用正弦定理進(jìn)行邊角互化例2在△ABC中,角A，B,C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知acoseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,2）－A))＝bcoseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π,2）－B)）,試判斷△ABC的形狀。解方法一∵acoseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π，2）－A))＝bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π,2）－B）），∴asinA＝bsinB.由正弦定理可得a·eq\f(a,2R)＝b·eq\f(b，2R）,∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC為等腰三角形。方法二∵acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π，2)－A））＝bcoseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π，2)－B)），∴asinA＝bsinB.由正弦定理可得2Rsin2A＝2Rsin2B，又∵A，B∈（0，π）且A＋B<π，∴sinA＝sinB,∴A＝B（A＋B＝π不合題意，舍去).故△ABC為等腰三角形。反思與感悟利用正弦定理判斷三角形形狀的兩條途徑（1）化角為邊。將題目中的所有條件,利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)多項(xiàng)式的有關(guān)知識(shí)(分解因式、配方等）得到邊的關(guān)系,如a＝b，a2＋b2＝c2等，進(jìn)而確定三角形的形狀，利用的公式為:sinA＝eq\f（a，2R），sinB＝eq\f(b，2R），sinC＝eq\f（c,2R）。(2）跟蹤訓(xùn)練2＝2sinB·cosC，試判斷△ABC的形狀.解由正弦定理得,得sinA＝eq\f（a,2R），sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f（c，2R）.∵sin2A＝sin2B＋sin2C,∴eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（a,2R)）)2＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（b，2R)))2＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（c，2R)））2,即a2＝b2＋c2，故A＝90°.∴C＝90°－B，cosC＝sinB?！?sinB·cosC＝2sin2B＝sinA＝1.∴sinB＝eq\f（\r(2)，2）.∴B＝45°或B＝135°(A＋B＝225°>180°,故舍去）?！唷鰽BC是等腰直角三角形。類型三利用正弦定理求最值或取值范圍例3在銳角△ABC中，角A，B，C分別對(duì)應(yīng)邊a,b，c，a＝2bsinA，求cosA＋sinC的取值范圍。解∵a＝2bsinA，∴由正弦定理，得sinA＝2sinBsinA,又∵A∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0,\f(π,2）)),sinA≠0，∴sinB＝eq\f(1，2)?！連為銳角，∴B＝eq\f（π,6）.令y＝cosA＋sinC＝cosA＋sin［π－（B＋A）]＝cosA＋sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π,6）＋A））＝cosA＋sineq\f（π,6）cosA＋coseq\f(π，6)sinA＝eq\f（3，2)cosA＋eq\f（\r(3)，2)sinA＝eq\r（3)sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(A＋\f（π,3））).由銳角△ABC知,eq\f(π，2)－B<A〈eq\f（π,2)，∴eq\f(π,3)<A<eq\f(π,2）.∵eq\f(2π，3）<A＋eq\f（π，3）〈eq\f(5π，6),∴eq\f(1,2)〈sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π，3)))<eq\f(\r(3）,2)，∴eq\f（\r(3)，2)<eq\r（3)sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)）)〈eq\f（3，2)，即eq\f(\r（3),2）<y〈eq\f（3，2）。∴cosA＋sinC的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r（3)，2),\f（3,2）)）.反思與感悟解決三角形中的取值范圍或最值問題：(1)先利用正弦定理理清三角形中元素間的關(guān)系或求出某些元素。(2)將所求最值或取值范圍的量表示成某一變量的函數(shù)(三角函數(shù)）,從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域或最值問題。跟蹤訓(xùn)練3在△ABC中，角A，B，C分別對(duì)應(yīng)邊a，b，c，若C＝2B，求eq\f(c，b)的取值范圍.解因?yàn)锳＋B＋C＝π，C＝2B,所以A＝π－3B>0,所以0<B〈eq\f（π，3),所以eq\f(1，2）<cosB〈1，所以1〈2cosB〈2,又eq\f（c,b）＝eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(sin2B，sinB)＝2cosB,所以1〈eq\f(c，b）<2。所以eq\f(c,b）的取值范圍是(1，2）。1.在△ABC中，AC＝eq\r(6),BC＝2，B＝60°，則角C的值為()A。45°B。30°C.75°D。90°答案C解析由正弦定理，得eq\f（2,sinA)＝eq\f(\r（6)，sin60°），∴sinA＝eq\f（\r(2），2)。∵BC＝2〈eq\r（6)＝AC，∴A〈B，∴A為銳角,∴A＝45°，∴C＝75°。2。在△ABC中，若eq\f（a，cosA）＝eq\f（b,cosB）＝eq\f(c,cosC），則△ABC是（）A.直角三角形 B.等邊三角形C。鈍角三角形 D.等腰直角三角形答案B解析由正弦定理，知eq\f(sinA,cosA）＝eq\f（sinB，cosB)＝eq\f(sinC，cosC），∴tanA＝tanB＝tanC，又∵A，B，C∈（0，π），∴A＝B＝C,故三角形為等邊三角形。3。在Rt△ABC中,C＝90°，且A，B，C所對(duì)的邊a,b,c滿足a＋b＝cx，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A.(0，1］ B。(1,eq\r(2)]C.［eq\r（2），eq\r(3)） D。（0，eq\r（2）)答案B解析∵a＋b＝cx,C＝90°，∴sinC＝1，sinB＝cosA，∴x＝eq\f（a＋b，c）＝eq\f(sinA＋sinB，sinC）＝sinA＋cosA＝eq\r(2）sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（A＋\f(π，4)））.∵A∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f（π,2)）)，∴A＋eq\f（π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π，4)，\f（3π,4）））,∴sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)））∈eq\b\lc\(\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f（\r(2）,2)，1）)，∴x∈（1，eq\r（2)]。4。在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b,c,若a∶b∶c＝1∶3∶5,求eq\f（2sinA－sinB,sinC)的值。解由條件得eq\f(a，c）＝eq\f(sinA,sinC）＝eq\f(1,5），∴sinA＝eq\f(1，5)sinC。同理可得sinB＝eq\f（3，5）sinC.∴eq\f(2sinA－sinB,sinC）＝eq\f(2×\f(1，5）sinC－\f(3,5）sinC，sinC)＝－eq\f（1，5）。1.三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的,其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三解函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷.2。判斷三角形的形狀，最終目的是判斷三角形是不是特殊三角形，當(dāng)所給條件含有邊和角時(shí)，應(yīng)利用正弦定理將條件統(tǒng)一為“邊”之間的關(guān)系式或“角"之間的關(guān)系式。一、選擇題1.在△ABC中,若a＝3,cosA＝eq\f(1,2)，則△ABC的外接圓的半徑為(）A。6B.2eq\r（3)C.3D。eq\r（3）答案D解析∵cosA＝eq\f(1，2），∴A∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f(π，2）))，∴sinA＝eq\f(\r(3），2)，由eq\f（a,sinA)＝2R,得R＝eq\r（3)。2。在△ABC中，已知（b＋c）∶(c＋a）∶(a＋b）＝4∶5∶6，則sinA∶sinB∶sinC等于（）A.6∶5∶4 B.7∶5∶3C.3∶5∶7 D.4∶5∶6答案B解析∵(b＋c)∶（c＋a)∶(a＋b）＝4∶5∶6，∴eq\f(b＋c，4)＝eq\f(c＋a，5）＝eq\f(a＋b,6)。令eq\f（b＋c，4）＝eq\f(c＋a，5）＝eq\f（a＋b,6）＝k(k〉0)，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝4k，,c＋a＝5k,，a＋b＝6k，)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝\f(7，2)k,，b＝\f（5,2)k，，c＝\f(3,2）k，）)∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3.3。在△ABC中,a＝2bcosC，則這個(gè)三角形一定是(）A。等腰三角形 B.直角三角形C。等腰直角三角形 D。等腰或直角三角形答案A解析由正弦定理，得sinA＝2sinBcosC，∴sin（B＋C）＝2sinBcosC，∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C）＝0，∵0<B〈π，0〈C<π,∴－π<B－C<π,∴B－C＝0,∴B＝C,故選A。4。在△ABC中,B＝60°,最大邊與最小邊之比為（eq\r(3）＋1）∶2，則最大角為()A。45°B。60°C。75°D。90°答案C解析設(shè)C為最大角,則A為最小角,則A＋C＝120°，∴eq\f(c,a）＝eq\f（sinC，sinA)＝eq\f（sin120°－A，sinA）＝eq\f(sin120°cosA－cos120°sinA，sinA）＝eq\f（\r（3）,2）×eq\f(cosA，sinA）＋eq\f（1，2)＝eq\f（\r(3），2）＋eq\f（1，2），∴eq\f（cosA,sinA）＝1,∴tanA＝1，又∵A為銳角,∴A＝45°,C＝75°。5。在△ABC中，eq\f（a,cosB)＝eq\f(b，cosA）,則△ABC一定是（)A。等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D。等腰三角形或直角三角形答案D解析在△ABC中，∵eq\f（a,cosB）＝eq\f（b,cosA），∴acosA＝bcosB，由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.又∵A，B∈(0°，180°),∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，∴A＝B或A＋B＝90°.故△ABC為等腰三角形或直角三角形。6。在△ABC中，若tanA＝eq\f（1，3)，C＝150°，BC＝1，則AB等于（)A。2B.eq\f(\r（10），3)C.eq\f（\r（10），2)D。4答案C解析∵tanA＝eq\f（1，3）,A∈(0°，180°），∴sinA＝eq\f(\r(10）,10).由正弦定理，知eq\f（BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)，∴AB＝eq\f(BCsinC，sinA)＝eq\f（1×sin150°，\f（\r(10),10）)＝eq\f(\r(10),2).二、填空題7。在△ABC中，若b＝1，c＝eq\r(3），C＝eq\f（2π,3)，則a＝.答案1解析由正弦定理,得eq\f（\r（3)，sin

\f（2π，3)）＝eq\f（1，sinB)，∴sinB＝eq\f(1，2)?！逤為鈍角,∴B必為銳角,∴B＝eq\f(π,6），∴A＝eq\f(π,6），∴a＝b＝1.8。在△ABC中，A＝60°,a＝4eq\r(3）,b＝4eq\r(2)，則B＝。答案45°解析由正弦定理eq\f(a，sinA）＝eq\f(b，sinB)，得sinB＝eq\f（\r(2）,2），∵a〉b，∴A〉B,∴B只有一解，∴B＝45°。9.在△ABC中，cosA＝eq\f（3，5）,cosB＝eq\f(4,5)，BC＝4，則AB＝。答案5解析∵A，B∈（0，π)，∴sinA＝eq\r（1－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3,5)）)2）＝eq\f(4,5），sinB＝eq\r（1－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(4，5）))2）＝eq\f(3,5）.∴sinC＝sin（A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f（4,5)×eq\f(4，5)＋eq\f（3，5)×eq\f（3,5)＝1，∴C＝eq\f(π,2)，∴AB＝eq\f（BC，sinA）＝eq\f(4，\f（4,5))＝5.10。已知c＝50,b＝72,C＝135°，則三角形解的個(gè)數(shù)為。答案0解析∵c<b，∴C〈B，∴B＋C>180°，故三角形無(wú)解。三、解答題11。在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b,c，求證:eq\f（a－ccosB,b－ccosA）＝eq\f(sinB，sinA)。證明因?yàn)閑q\f（a，sinA）＝eq\f(b,sinB)＝eq\f（c，sinC）＝2R，所以左邊＝eq\f(2RsinA－2RsinCcosB,2RsinB－2RsinCcosA）＝eq\f(sinB＋C－sinCcosB,sinA＋C－sinCcosA）＝eq\f（sinBcosC，sinAcosC)＝eq\f（sinB,sinA）＝右邊.所以等式成立.12.已知△ABC的內(nèi)角A，B,C的對(duì)邊分別為a，b，c,已知A－C＝90°，a＋c＝eq\r（2）b，求C.解由A－C＝90°,得A為鈍角且sinA＝cosC，利用正弦定理，a＋c＝eq\r(2)b可變形為sinA＋sinC＝eq\r（2)sinB,又∵sinA＝cosC，∴sinA＋sinC＝cosC＋sinC＝eq\r（2)sin（C＋45°)＝eq\r(2）sinB，又A,B，C是△ABC的內(nèi)角，故C＋45°＝B或（C＋45°)＋B＝180°（舍去），∴A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°）＋C＝180°?！郈＝15°。13.在△ABC中，角A，B,C的對(duì)邊分別為a，b,c，bsinB＝csinC且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷三角形的形狀。解由bsinB＝csinC及正弦定理，得b2＝c2,∴b＝c，∴△ABC為等腰三角形,由sin2A＝sin2B＋sin2C得a2＝b2＋c2，∴△ABC為直角三角形，∴△ABC為等腰直角三角形。四、探究與拓展14。在△ABC中,角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a2tanB＝b2tanA,試判斷△ABC的形狀。解在△ABC中，由正弦定理eq\f（a，sinA)＝eq\f（b,sinB),得eq\f(a，b)＝eq\f(sinA,sinB),∴eq\f（a2，b2)＝eq\f（sin2A，sin2B)。又∵a2tanB＝b2tanA，∴eq\f（a2，b2)＝eq\f（tanA，tanB)，∴eq\f（tanA,tanB)＝eq\f（sin2A,sin2B），∴sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq\f（π，2)?！唷鰽BC為等腰三角形或直角三角形。15.在△AB