2018-2019版數(shù)學(xué)高二同步系列課堂講義北師大版選修4-4試題：第二章 參數(shù)方程 2.4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§4平擺線和漸開線課后篇鞏固探究A組1。已知圓的漸開線的參數(shù)方程x=cosφ+sinφ,A.1 B.π C.2 D.2π解析:由參數(shù)方程知基圓的半徑為1，故其面積為π.答案:B2.下列各點中,在圓的擺線x=φ-sinφA.（π,0） B。(π,1） C。(2π，2） D。(2π，0)解析：依次將點代入驗證即可。答案：D3.如圖,ABCD是邊長為1的正方形，曲線AEFGH…叫作“正方形的漸開線”，其中AE，EF,FG,GH…的圓心依次按B,C，D，A循環(huán)，它們依次相連接，則曲線AEFGH的長是（）A。3π B。4πC。5π D.6π解析：根據(jù)漸開線的定義可知,AE是半徑為1的14圓周長,長度為π2,繼續(xù)旋轉(zhuǎn)可得EF是半徑為2的14圓周長，長度為π;FG是半徑為3的14圓周長,長度為3π2;GH是半徑為4的14圓周長,長度為答案：C4。導(dǎo)學(xué)號73144041我們知道關(guān)于直線y=x對稱的兩個函數(shù)互為反函數(shù),則圓的平擺線x=r(φ-sinφ),A.x=r(B.x=r(C.x=rsinD。x=r(解析：關(guān)于直線y=x對稱的函數(shù)互為反函數(shù),而求反函數(shù)的過程主要體現(xiàn)了x與y的互換。所以要寫出平擺線方程關(guān)于直線y=x的對稱曲線方程，只需把其中的x與y互換.答案：B5。當(dāng)φ=π2時，圓的平擺線x=4φ-4sinφ答案:（2π-4,4)6。已知一個圓的平擺線方程是x=4φ-4sinφ,y=4答案：16πx=4cosφ+47。已知平擺線的生成圓的直徑為80mm,寫出平擺線的參數(shù)方程，并求其一拱的拱寬和拱高.解∵平擺線的生成圓的半徑r=40mm，∴此平擺線的參數(shù)方程為x=40(t-sint),y=40(1-cost)(t為參數(shù))，它一拱的拱寬為2πr=2π×40=80π8.已知圓的漸開線x=r(cosφ+φsinφ),y=r(sin解把已知點(3，0）代入?yún)?shù)方程得3=r(所以基圓的面積S=πr2=π×32=9π。9。已知圓C的參數(shù)方程是x=1+6cosα,y=-2+6sinα(α為參數(shù))，直線(1）如果把圓心平移到原點O，請問平移后圓和直線有什么關(guān)系?（2）寫出平移后圓的擺線方程.(3)求擺線和x軸的交點。解（1)圓C平移后圓心為O(0，0），圓心到直線x—y—62=0的距離為d=622=6,恰好等于圓的半徑,（2）因為圓的半徑是6，所以可得擺線方程是x=6φ-6sinφ（3)令y=0,得6—6cosφ=0?cosφ=1，所以φ=2kπ(k∈Z）。代入x=6φ—6sinφ，得x=12kπ（k∈Z),即圓的擺線和x軸的交點為(12kπ,0）(k∈Z).B組1.半徑為4的圓的平擺線的參數(shù)方程為（）A。x=4cosφ,B.x=-4cosC。x=4(φD。x=4(1答案:C2。給出下列說法：①圓的漸開線的參數(shù)方程不能轉(zhuǎn)化為普通方程；②圓的漸開線的參數(shù)方程可以轉(zhuǎn)化為普通方程，但是轉(zhuǎn)化后的普通方程比較麻煩，且不容易看出坐標之間的關(guān)系，所以常使用參數(shù)方程研究圓的漸開線問題；③在求圓的平擺線和漸開線方程時，如果建立的坐標系原點和坐標軸選取不同，可能會得到不同的參數(shù)方程；④圓的漸開線和x軸一定有交點而且是唯一的交點。其中正確的說法有（)A。①③ B.②④ C.②③ D.①③④解析：對于一個圓,只要半徑確定,漸開線和平擺線的形狀就是確定的，但是隨著選擇坐標系的不同，其在坐標系中的位置也會不同,相應(yīng)的參數(shù)方程也會有所不同，至于漸開線和坐標軸的交點要看選取的坐標系的位置。答案:C3.已知半徑為3的圓的擺線上某點的縱坐標為0,則其橫坐標可能是()A。π B.2π C.12π D。14π解析:根據(jù)條件可知圓的擺線的參數(shù)方程為x=3φ-3sinφ,y=3-3cosφ（φ為參數(shù)),把y=0代入可得cosφ=1，所以而x=3φ—3sinφ=6kπ(k∈Z).根據(jù)選項可知應(yīng)選C。答案:C4。已知圓的漸開線x=r(cosφ+φsinφ),y=r(sin解把已知點(3,0）代入?yún)?shù)方程得3=r(所以基圓的面積S=πr2=π×32=9π。5.已知一個圓的擺線過一定點(2，0）,請寫出當(dāng)圓的半徑最大時對應(yīng)的圓的漸開線的標準方程。解令y=0,得r(1—cosφ)=0,即得cosφ=1.所以φ=2kπ(k∈Z).代入x=r(2kπ-sin2kπ）=2，即得r=1kπ(k∈Z又由實際可知r>0,所以r=1kπ(k∈N+易知，當(dāng)k=1時,r最大,最大值為1π故圓的漸開線的參數(shù)方程是x=1π(cos6.導(dǎo)學(xué)號73144042一個圓沿著一條定直線作無滑動的滾動時,求圓內(nèi)一定點M的軌跡方程.解取定直線為x軸,點C在x軸上時的一個位置為原點，建立如圖所示的直角坐標系.設(shè)點M（x,y)為軌跡上任一點。取圓的轉(zhuǎn)動角∠ABM=φ為參數(shù)。設(shè)圓半徑為r,點M到圓心的距離為d(d<r).開始時定點位于點M0,滾動φ角后處于圖中點M，此時lAC=rφ，得|OA|=rφ，OB=（rφ,r)由α=3π2—φ，得BM=(dcosα，dsin=d=（-dsinφ，—dcosφ)。由此得OM=OB+BM=(rφ—dsinφ,r—d又O