134最短路徑問題課件

13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題復(fù)習(xí)回顧如圖，從A點到B點有三條線路，哪條最短？依據(jù)：兩點之間，線段最短。復(fù)習(xí)回顧如圖，從A點到B點有三條線路，哪條最短？依據(jù)：兩點之復(fù)習(xí)回顧如圖，點A是直線

l

外一點，點A到直線的所有線路中，最短的是？依據(jù)：垂線段最短。復(fù)習(xí)回顧如圖，點A是直線l外一點，點A到直線的所有線路中復(fù)習(xí)回顧如圖，點A，點B是直線l兩側(cè)的點，請在直線l上找一點C,使AC+BC最短。復(fù)習(xí)回顧如圖，點A，點B是直線l兩側(cè)的點，請在直線l上找一點新知探究

問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：

從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？BAl新知探究問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有新知探究精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題．這個問題后來被稱為“將軍飲馬”。你能將這個問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？BAl新知探究精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答新知探究追問1

這是一個實際問題，你打算首先做什么？將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線．B··Al新知探究追問1這是一個實際問題，你打算首先做什么？新知探究追問2

你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？BAlC如圖，在直線l上找一點C，使AC+BC最短。新知探究追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思，B新知探究問題轉(zhuǎn)化

如圖，點A，B在直線l的同側(cè)，點C是直線上的一個動點，當(dāng)點C在l的什么位置時，AC與CB的和最?。緽·lA·新知探究問題轉(zhuǎn)化如圖，點A，B在直線l的同側(cè)，點新知探究作法：（1）作點B關(guān)于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．問題2

如圖，點A，B在直線l的同側(cè)，點C是直線上的一個動點，當(dāng)點C在l的什么位置時，AC與CB的和最?。緽·lA·B′C新知探究作法：問題2如圖，點A，B在直線l的新知探究追問3

你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′C新知探究追問3你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？新知探究若直線l上任意一點（與點C不重合）與A，B兩點的距離和都大于AC+BC，就說明AC+BC最?。瓸·lA·B′CC′追問4

證明AC+BC最短時，為什么要在直線l上任取一點C′（與點C不重合），證明AC+BC＜AC′+BC′？這里的“C′”的作用是什么？新知探究若直線l上任意一點（與點B·lA·B′CC′運用新知練習(xí)如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請畫出旅游船的最短路徑．ABCPQ山河岸大橋運用新知練習(xí)如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山新課推進(jìn)問題2如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）BA新課推進(jìn)問題2如圖，A和B兩地在一條河的兩新課推進(jìn)BA追問1如圖假定任選位置造橋ＭＮ，連接ＡＭ和ＢＮ，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？ＭＮ追問2利用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？如何解決？新課推進(jìn)BA追問1如圖假定任選位置造橋新課推進(jìn)BAA1MN解：如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連接A1Ｂ交河岸于Ｎ作橋ＭＮ，此時路徑ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作橋Ｍ１Ｎ１，連接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性質(zhì)可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由線段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN新課推進(jìn)BAA1MN解：如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬歸納小結(jié)在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把已知問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇。歸納小結(jié)在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題復(fù)習(xí)回顧如圖，從A點到B點有三條線路，哪條最短？依據(jù)：兩點之間，線段最短。復(fù)習(xí)回顧如圖，從A點到B點有三條線路，哪條最短？依據(jù)：兩點之復(fù)習(xí)回顧如圖，點A是直線

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外一點，點A到直線的所有線路中，最短的是？依據(jù)：垂線段最短。復(fù)習(xí)回顧如圖，點A是直線l外一點，點A到直線的所有線路中復(fù)習(xí)回顧如圖，點A，點B是直線l兩側(cè)的點，請在直線l上找一點C,使AC+BC最短。復(fù)習(xí)回顧如圖，點A，點B是直線l兩側(cè)的點，請在直線l上找一點新知探究

問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：

從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？BAl新知探究問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有新知探究精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題．這個問題后來被稱為“將軍飲馬”。你能將這個問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？BAl新知探究精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答新知探究追問1

這是一個實際問題，你打算首先做什么？將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線．B··Al新知探究追問1這是一個實際問題，你打算首先做什么？新知探究追問2

你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？BAlC如圖，在直線l上找一點C，使AC+BC最短。新知探究追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思，B新知探究問題轉(zhuǎn)化

如圖，點A，B在直線l的同側(cè)，點C是直線上的一個動點，當(dāng)點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小？B·lA·新知探究問題轉(zhuǎn)化如圖，點A，B在直線l的同側(cè)，點新知探究作法：（1）作點B關(guān)于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．問題2

如圖，點A，B在直線l的同側(cè)，點C是直線上的一個動點，當(dāng)點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小？B·lA·B′C新知探究作法：問題2如圖，點A，B在直線l的新知探究追問3

你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′C新知探究追問3你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？新知探究若直線l上任意一點（與點C不重合）與A，B兩點的距離和都大于AC+BC，就說明AC+BC最小．B·lA·B′CC′追問4

證明AC+BC最短時，為什么要在直線l上任取一點C′（與點C不重合），證明AC+BC＜AC′+BC′？這里的“C′”的作用是什么？新知探究若直線l上任意一點（與點B·lA·B′CC′運用新知練習(xí)如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請畫出旅游船的最短路徑．ABCPQ山河岸大橋運用新知練習(xí)如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山新課推進(jìn)問題2如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）BA新課推進(jìn)問題2如圖，A和B兩地在一條河的兩新課推進(jìn)BA追問1如圖假定任選位置造橋ＭＮ，連接ＡＭ和ＢＮ，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？ＭＮ追問2利用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？如何解決？新課推進(jìn)BA追問1如圖假定任選位置造橋新課推進(jìn)BAA1MN解：如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連接A1Ｂ交河岸于Ｎ作橋ＭＮ，此時路徑ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作橋Ｍ１Ｎ１，連接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性質(zhì)可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ