2023高考真題知識(shí)總結(jié)方法總結(jié)題型突破：34 立體幾何中二面角的計(jì)算問(wèn)題(學(xué)生版)

專題34立體幾何中二面角的計(jì)算問(wèn)題【高考真題】1．（2022新高考Ⅰ卷）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．

(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．2．（2022新高考Ⅱ卷）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．【方法總結(jié)】1．二面角(1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝＜eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＞．(2)如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝|cos＜n1，n2＞|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)．2．平面與平面的夾角如圖，平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補(bǔ)角．設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos＜n1，n2＞|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)．3．利用空間向量計(jì)算二面角大小的常用方法(1)找法向量：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大?。?2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大?。绢}型突破】1．(2020·全國(guó)Ⅲ改編)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1．(1)證明：點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi)；(2)若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求平面AEF與平面EFA1夾角的正弦值．2．(2019·全國(guó)Ⅲ)圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖2．(1)證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求圖2中的二面角B－CG－A的大小．3．(2019·全國(guó)Ⅱ)如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1．(1)證明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，求二面角B－EC－C1的正弦值．4．(2019·全國(guó)Ⅰ改編)如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．(1)證明：MN∥平面C1DE；(2)求平面AMA1與平面MA1N夾角的正弦值．5．(2020·全國(guó)Ⅰ)如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE＝AD．△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點(diǎn)，PO＝eq\f(\r(6),6)DO．(1)證明：PA⊥平面PBC；(2)求二面角B－PC－E的余弦值．6．(2021·全國(guó)新Ⅱ)在四棱錐Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝eq\r(5)，QC＝3．(1)證明：平面QAD⊥平面ABCD；(2)求二面角B－QD－A的平面角的余弦值．7．(2021·全國(guó)乙)如圖，四棱錐P—ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M為BC的中點(diǎn)，且PB⊥AM．(1)求BC；(2)求二面角A－PM－B的正弦值．8．(2018·全國(guó)Ⅲ)如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧eq\o\ac(CD,\s\up8(︵))所在平面垂直，M是eq\o\ac(CD,\s\up8(︵))上異于C，D的點(diǎn)．(1)證明：平面AMD⊥平面BMC；(2)當(dāng)三棱錐M－ABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值．9．(2021·全國(guó)新Ⅰ)如圖，在三棱錐A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O為BD的中點(diǎn)．(1)證明：OA⊥CD；(2)若△OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E－BC－D的大小為45°，求三棱錐A－BCD的體積．10．(2021·全國(guó)甲)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱A1B1上的點(diǎn)，BF⊥A1B1．(1)證明：BF⊥DE；(2)當(dāng)B1D為何值時(shí)，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最?。?1．(2021·北京)已知正方體ABCD－A1B1C1D1，點(diǎn)E為A1D1中點(diǎn)，直線B1C1交平面CDE于點(diǎn)F．(1)證明：點(diǎn)F為B1C1的中點(diǎn)；(2)若點(diǎn)M為棱A1B1上一點(diǎn)，且二面角M－CF－E的余弦值為eq\f(\r(5),3)，求eq\f(A1M,A1B1)的值．12．如圖所示的幾何體由平面PECF截棱長(zhǎng)為2的正方體得到，其中P，C為原正方體的頂點(diǎn)，E，F(xiàn)為原正方體側(cè)棱長(zhǎng)的中點(diǎn)，正方形ABCD為原正方體的底面，G為棱BC上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求證：平面APC⊥平面PECF；(2)設(shè)eq\o(BG,\s\up7())＝λeq\o(BC,\s\up7())(0≤λ≤1)，當(dāng)λ為何值時(shí)，平面EFG與平面ABCD所成的角為eq\f(π,3)？13．如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M，N，Q分別是CC1，BC，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線A1B1上運(yùn)動(dòng)，且eq\o(A1P,\s\up6(→))＝λeq\o(A1B1,\s\up6(→))(λ∈[0，1])．(1)證明：無(wú)論λ取何值，總有AM⊥平面PNQ；(2)是否存在點(diǎn)P，使得平面PMN與平面ABC的夾角為60°？若存在，試確定點(diǎn)P的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．已知在四棱錐P－ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥CD，AB＝2，DC＝4，E為PC的中點(diǎn)，PD＝PC，BC＝2eq\r(2)．(1)求證：BE∥平面PAD；(2)若PB與平面ABCD所成角為45°，點(diǎn)P在平面ABCD上的射影為O，問(wèn)：BC上是否存在一點(diǎn)F，使平面POF與平面PAB所成的角為60°？若存在，試求點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．如圖所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝120°，四邊形ACFE為矩形，且CF⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF．(1)求證：EF⊥平面BCF；(2)點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，平面MAB與平面FCB所成的銳二面角最大，并求此時(shí)二面角的余弦值．16．如圖所示，正方形AA1D1D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．(1)求證：BD1∥平面A1DE；(2)設(shè)在線段AB上存在點(diǎn)M，使二面角D1－MC－D的大小為eq\f(π,6)，求此時(shí)AM的長(zhǎng)及點(diǎn)E到平面D1MC的距離．17．(2017·全國(guó)Ⅱ)如圖，四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中點(diǎn)．(1)證明：直線CE∥平面PAB；(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M－AB－D的余弦值．18．如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC＝60°，AB＝2BC＝2CD，四邊形DCEF是正方形，N，G分別是線段AB，CE的中點(diǎn)．(1)求證：NG∥平面ADF；(2)設(shè)二面角A－CD－F的大小為θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)<θ<π))，當(dāng)θ為何值時(shí)，二面角A－BC－E的余弦值為eq\f(\r(13),13)？19．已知三棱錐P－ABC(如圖1)的平面展開(kāi)圖(如圖2)中，四邊形ABCD為邊長(zhǎng)等于eq\r(2)的正方形，△ABE和△BCF均為正三角形．在三棱錐P－ABC中：(1)證明：平面PAC⊥平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱PA上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線BM與平面PAC所成的角最大時(shí)，求二面角P－BC－M的余弦值．20．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)