矩陣的分解分析課件

矩陣的分解及其應(yīng)用矩陣的分解及其應(yīng)用1內(nèi)容簡介

矩陣分解對矩陣?yán)碚摷敖烙?jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展起了關(guān)鍵作用

.矩陣分解是把一個矩陣寫成性質(zhì)比較熟悉或結(jié)構(gòu)比較簡單的另一些矩陣的乘積，其本質(zhì)是通過建立相應(yīng)的矩陣分解使有些問題能夠得以簡化和分解，從而更加清晰地得到矩陣的相關(guān)特性.本文的具體安排如下：（1）第一章的主要內(nèi)容是矩陣的概念、分類、運(yùn)算以及矩陣的秩及其特征值和特征向量的等；（2）第二章的主要內(nèi)容是矩陣的三角分解、QR分解、滿秩分解、奇異值分解的具體方法；（3）第三章的主要內(nèi)容是第二章中研究過的四種矩陣分解方法的具體應(yīng)用.內(nèi)容簡介矩陣分解對矩陣?yán)碚摷敖烙?jì)算數(shù)2第一章矩陣

（1）矩陣的概念

（2）矩陣運(yùn)算（3）矩陣的初等行變換與矩陣的秩

（4）逆矩陣的概念第一章矩陣3第二章矩陣的分解

矩陣的三角分解

定義2.1.1如果方陣可分解為一個下三角矩陣和一個上三角矩陣的乘積，則稱可作三角分解或分解.如果是單位下三角矩陣，為上三角矩陣，此時的三角分解為杜利特（Doolittle）分解；若

是下三角矩陣，而是單位上三角矩陣，則稱三角分解為克勞特（Crout）分解.定理2.1.2設(shè)為階方陣，則可以惟一地分解為

的充分必要條件是的前個順序主子式.其中分別是單位下、上三角矩陣，是對角矩陣,

第二章矩陣的分解矩陣的三角分解4矩陣的QR分解

定義2.2.1如果復(fù)（實(shí)）矩陣可分解成一個酉（正交）矩陣與一個復(fù)（實(shí)）的上三角矩陣的乘積，即

則稱上式為矩陣的一個分解.定理2.2.1任何實(shí)的非奇異階矩陣可以分解為正交矩陣和上三角矩陣的乘積，且除去相差一對角元素之絕對值全等于1的對角陣因子外，分解式是惟一的.矩陣的QR分解定義2.2.1如果復(fù)（實(shí)）矩陣5矩陣QR分解的求法

（1）Schmidt正交化法

（2）用初等旋轉(zhuǎn)矩陣左乘矩陣

（3）用初等反射矩陣左乘矩陣矩陣QR分解的求法（1）Schmidt正交化法6矩陣的滿秩分解

定理

2.2.4設(shè)矩陣，.如果存在一個列滿秩矩陣與一個行滿秩矩陣使得則稱上式為矩陣的一個滿秩分解.矩陣的滿秩分解定理2.2.4設(shè)矩陣7滿秩分解的步驟

用矩陣的行最簡形矩陣求滿秩分解的步驟：

（1）對施行初等行變化為行最簡形，得矩陣；

（2）若中的列依次是單位矩陣的第列，則取；

（3）最后得

.滿秩分解的步驟用矩陣的行最簡形矩陣求滿秩分解的步驟：8矩陣的奇異值分解

定義2.2.5

設(shè)，的特征值為

則稱為的奇異值；當(dāng)為零矩陣時，它的奇異值都是0.

定理2.2.6設(shè)

，則存在

階酉陣

和

階

酉矩陣

，

使得（2-2-5）

其中，而

為矩陣

的全部非零奇異值.改寫式（2-2-5）為

（2-2-6）

稱式（2-2-6）為矩陣的奇異值分解.矩陣的奇異值分解定義2.2.5設(shè)9奇異值分解的步驟

（1）求的特征值，并求其對應(yīng)的特征向量，將其單位化為從而得正交矩陣；（2）求的秩，奇異值及（3）計(jì)算，從而得正交矩陣；(4)的奇異值分解為奇異值分解的步驟（1）求的特征值10矩陣分解的應(yīng)用

例1求矩陣

的分解與分解.解：因?yàn)?，所以矩陣的與分解存在.令矩陣分解的應(yīng)用例1求矩陣11矩陣的分解分析課件12于是得到于是得到13從而求出的分解及分解分別從而求出的分解及分解分別14

例5用初等反射矩陣求矩陣的分解.

解：對的第一列，構(gòu)造初等反射矩陣如下：令，則

對的第1列，構(gòu)造初等旋轉(zhuǎn)矩陣如下：例5用初等反射矩陣求矩陣15令，則最后，取

則有且令，則16

謝謝老師！

17矩陣的分解及其應(yīng)用矩陣的分解及其應(yīng)用18內(nèi)容簡介

矩陣分解對矩陣?yán)碚摷敖烙?jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展起了關(guān)鍵作用

.矩陣分解是把一個矩陣寫成性質(zhì)比較熟悉或結(jié)構(gòu)比較簡單的另一些矩陣的乘積，其本質(zhì)是通過建立相應(yīng)的矩陣分解使有些問題能夠得以簡化和分解，從而更加清晰地得到矩陣的相關(guān)特性.本文的具體安排如下：（1）第一章的主要內(nèi)容是矩陣的概念、分類、運(yùn)算以及矩陣的秩及其特征值和特征向量的等；（2）第二章的主要內(nèi)容是矩陣的三角分解、QR分解、滿秩分解、奇異值分解的具體方法；（3）第三章的主要內(nèi)容是第二章中研究過的四種矩陣分解方法的具體應(yīng)用.內(nèi)容簡介矩陣分解對矩陣?yán)碚摷敖烙?jì)算數(shù)19第一章矩陣

（1）矩陣的概念

（2）矩陣運(yùn)算（3）矩陣的初等行變換與矩陣的秩

（4）逆矩陣的概念第一章矩陣20第二章矩陣的分解

矩陣的三角分解

定義2.1.1如果方陣可分解為一個下三角矩陣和一個上三角矩陣的乘積，則稱可作三角分解或分解.如果是單位下三角矩陣，為上三角矩陣，此時的三角分解為杜利特（Doolittle）分解；若

是下三角矩陣，而是單位上三角矩陣，則稱三角分解為克勞特（Crout）分解.定理2.1.2設(shè)為階方陣，則可以惟一地分解為

的充分必要條件是的前個順序主子式.其中分別是單位下、上三角矩陣，是對角矩陣,

第二章矩陣的分解矩陣的三角分解21矩陣的QR分解

定義2.2.1如果復(fù)（實(shí)）矩陣可分解成一個酉（正交）矩陣與一個復(fù)（實(shí)）的上三角矩陣的乘積，即

則稱上式為矩陣的一個分解.定理2.2.1任何實(shí)的非奇異階矩陣可以分解為正交矩陣和上三角矩陣的乘積，且除去相差一對角元素之絕對值全等于1的對角陣因子外，分解式是惟一的.矩陣的QR分解定義2.2.1如果復(fù)（實(shí)）矩陣22矩陣QR分解的求法

（1）Schmidt正交化法

（2）用初等旋轉(zhuǎn)矩陣左乘矩陣

（3）用初等反射矩陣左乘矩陣矩陣QR分解的求法（1）Schmidt正交化法23矩陣的滿秩分解

定理

2.2.4設(shè)矩陣，.如果存在一個列滿秩矩陣與一個行滿秩矩陣使得則稱上式為矩陣的一個滿秩分解.矩陣的滿秩分解定理2.2.4設(shè)矩陣24滿秩分解的步驟

用矩陣的行最簡形矩陣求滿秩分解的步驟：

（1）對施行初等行變化為行最簡形，得矩陣；

（2）若中的列依次是單位矩陣的第列，則?。?/p>

（3）最后得

.滿秩分解的步驟用矩陣的行最簡形矩陣求滿秩分解的步驟：25矩陣的奇異值分解

定義2.2.5

設(shè)，的特征值為

則稱為的奇異值；當(dāng)為零矩陣時，它的奇異值都是0.

定理2.2.6設(shè)

，則存在

階酉陣

和

階

酉矩陣

，

使得（2-2-5）

其中，而

為矩陣

的全部非零奇異值.改寫式（2-2-5）為

（2-2-6）

稱式（2-2-6）為矩陣的奇異值分解.矩陣的奇異值分解定義2.2.5設(shè)26奇異值分解的步驟

（1）求的特征值，并求其對應(yīng)的特征向量，將其單位化為從而得正交矩陣；（2）求的秩，奇異值及（3）計(jì)算，從而得正交矩陣；(4)的奇異值分解為奇異值分解的步驟（1）求的特征值27矩陣分解的應(yīng)用

例1求矩陣

的分解與分解.解：因?yàn)?，所以矩陣的與分解存在.令矩陣分解的應(yīng)用例1求矩陣28矩陣的分解分析課件29于是得到于是得到30從而求出的分解及分解分別從而求出的分解及分解分別31

例5用初等反射矩陣求矩陣的分解.

解：對的第一列，構(gòu)造初等反射矩陣如下：令