控制系統(tǒng)復數(shù)域的數(shù)學模型

關(guān)于控制系統(tǒng)復數(shù)域的數(shù)學模型第一頁，共八十八頁，2022年，8月28日定義

傳遞函數(shù)是在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比。

注意:

傳遞函數(shù)是在初始條件為零（或稱零初始條件）時定義的。

控制系統(tǒng)的零初始條件有兩方面的含義:1)系統(tǒng)輸入量及其各階導數(shù)在t=0時的值均為零；2)系統(tǒng)輸出量及其各階導數(shù)在t=0時的值也為零。第二頁，共八十八頁，2022年，8月28日系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式在零初始條件下對上式兩端進行拉氏變換，可得相應(yīng)的代數(shù)方程系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第三頁，共八十八頁，2022年，8月28日!傳遞函數(shù)的直接計算法例2-4試求傳遞函數(shù)第四頁，共八十八頁，2022年，8月28日第五頁，共八十八頁，2022年，8月28日2傳遞函數(shù)的性質(zhì)⑴因為實際物理系統(tǒng)總存在慣性，并且能源功率有限，所以實際系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母階次n總是大于或等于分子階次m,即n≥m。⑵傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，與外作用及初始條件無關(guān)。⑶傳遞函數(shù)只描述系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，不能反映系統(tǒng)的物理組成。⑷傳遞函數(shù)與微分方程有直接聯(lián)系。⑸傳遞函數(shù)的拉氏反變換即為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，因此傳遞函數(shù)能反映系統(tǒng)的運動特性。第六頁，共八十八頁，2022年，8月28日g(t)稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)（權(quán)函數(shù)）系統(tǒng)輸出單位脈沖函數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)傳遞函數(shù)系統(tǒng)動態(tài)特性單位脈沖響應(yīng)第七頁，共八十八頁，2022年，8月28日傳遞函數(shù)是復數(shù)s域中的系統(tǒng)數(shù)學模型。其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入形式無關(guān)。傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的固有特性，即以系統(tǒng)外部的輸入－輸出特性來描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性。若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函數(shù)G(s)決定。結(jié)論第八頁，共八十八頁，2022年，8月28日適用于線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)中的各項系數(shù)和相應(yīng)微分方程中的各項系數(shù)對應(yīng)相等，完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)。傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運動規(guī)律無法描述系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述注意第九頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.3.2典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1.比例環(huán)節(jié)(ProportionalElement)

輸出量與輸入量成比例的環(huán)節(jié)稱為比例環(huán)節(jié),其微分方程為

y(t)=Kx(t)式中，K為比例環(huán)節(jié)的放大系數(shù)（增益或放大倍數(shù)）。第十頁，共八十八頁，2022年，8月28日單位階躍響應(yīng)當r(t)=1(t)時，有得到c(t)=L-1［C(s)］=K第十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日舉例第十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日第十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日第十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.積分環(huán)節(jié)(IntegralElement)

積分就是歲時間積累的意思輸出量與輸入量對時間的積分成正比的環(huán)節(jié)稱為積分環(huán)節(jié)，其微分方程為經(jīng)拉氏變換，并整理可得該環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

式中，T為積分時間常數(shù)。

第十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日積分時間常數(shù)的物理意義

積分環(huán)節(jié)方框圖及響應(yīng)曲線

(a）積分環(huán)節(jié)方框圖；(b）積分環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)的積分時間常數(shù)：積分輸出的信號比輸入信號落后的時間（即輸出要經(jīng)過時間T后，其大小才等于輸入信號。第十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日注意第十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日

舉例第十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日第十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日第二十頁，共八十八頁，2022年，8月28日3.微分環(huán)節(jié)(DerivativeElement)

（1）理想微分環(huán)節(jié)輸出量與輸入量的導數(shù)成正比的環(huán)節(jié)稱為微分環(huán)節(jié),如圖所示，其微分方程為第二十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日采用等速擾動分析理想微分環(huán)節(jié)當輸入量為等速擾動：

輸出y立即躍變到并保持等于T0v0的數(shù)值，而輸入信號x要達到同樣的T0v0值，卻要再經(jīng)過Td的時間。輸出信號比輸入信號超前了Td這段時間第二十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日(2)一階微分環(huán)節(jié)

實際上微分特性總是含有慣性的，實際微分環(huán)節(jié)的微分方程為第二十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日二階復合微分環(huán)節(jié)第二十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日第二十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日舉例第二十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日第二十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日4.慣性環(huán)節(jié)(InertialElement)

含有一個儲能元件和一個耗能元件的環(huán)節(jié)，其輸出量與輸入量的微分方程為第二十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日

圖2-15慣性環(huán)節(jié)方框圖及響應(yīng)曲線

(a）慣性環(huán)節(jié)方框圖；(b）慣性環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)第二十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日當輸入量r(t)=1(t)時，輸出量C(s)為可得其單位階躍響應(yīng)為c(t)=L-1［C(s)］=K(1-e-t/T)第三十頁，共八十八頁，2022年，8月28日

當K=1時，慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖2-15(b)所示。對慣性環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)曲線進行分析，可得C(0)=0，C(T)=0.632,C(3T)=0.95，C(4T)=0.982，C(∞)→1。因此，慣性環(huán)節(jié)在輸入量突變時，輸出量不能突變，只能隨著時間的推移按指數(shù)規(guī)律變化，這表明該環(huán)節(jié)具有慣性特點。第三十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日第三十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日5.振蕩環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)也稱二階環(huán)節(jié)，它的微分方程通常表達為：第三十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日對式作拉氏變換，可得

T2s2C(s)+2ζTsC(s)+C(s)=R(s)移項整理有第三十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日第三十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日圖2-20振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線第三十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日

根據(jù)ζ的不同取值，該二階系統(tǒng)可形成如下單位階躍響應(yīng)uc(t)的過程：（1）當ζ=0，即R=0時，響應(yīng)uc(t)為等幅振蕩過程。（2）當0<ζ<1，即0<R<2時，響應(yīng)uc(t)為衰減振蕩過程。（3）當ζ=1，即R=2時，響應(yīng)uc(t)為臨界振蕩過程。（4）當ζ>1，即R>2時，響應(yīng)uc(t)為非周期（振蕩）過程，此時該二階系統(tǒng)為二階慣性環(huán)節(jié)。第三十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日6.純延遲環(huán)節(jié)第三十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0~τ時間內(nèi)沒有輸出，但t=τ之后，輸出完全等于輸入。慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要求的輸出值。第三十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日第四十頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖的組成控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖由四種基本圖形符號組成：函數(shù)方塊、信號線、分支點(引出點)和綜合點(比較點或求和點)。

(a)函數(shù)方塊；(b)信號線；第四十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日(c)引出點；(d)比較點2.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的建立第四十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.4結(jié)構(gòu)圖的等效變換“等效”應(yīng)使變換前后輸入量與輸出量之間的傳遞函數(shù)保持不變。1.串聯(lián)連接(SeriesConnection)

環(huán)節(jié)間的串聯(lián)連接是指環(huán)節(jié)間輸入信號和輸出信號的串聯(lián)傳遞關(guān)系，如圖所示。前一個環(huán)節(jié)的輸出即為后一環(huán)節(jié)的輸入，第一個環(huán)節(jié)的輸入作為整個環(huán)節(jié)組的輸入，最后一個環(huán)節(jié)的輸出作為整個環(huán)節(jié)組的輸出。

第四十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日圖2-22環(huán)節(jié)串聯(lián)連接的方框圖第四十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日

設(shè)各串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)分別為G1(s),G2(s),…,Gn(s)，那么各環(huán)節(jié)串聯(lián)后總的傳遞函數(shù)（等效傳遞函數(shù)）G(s)為(2-58)即若干個環(huán)節(jié)串聯(lián)后的總傳遞函數(shù)等于各個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。第四十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.并聯(lián)連接(ParallelConnection)

環(huán)節(jié)的并聯(lián)連接方式如圖。在并聯(lián)連接中，各環(huán)節(jié)的輸入相同，而總的輸出為各個環(huán)節(jié)輸出的代數(shù)和。第四十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日

設(shè)有三個環(huán)節(jié)并聯(lián)連接（見圖2-23），各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)分別為則并聯(lián)后總的傳遞函數(shù)為第四十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日對于n個環(huán)節(jié)的并聯(lián)連接，總的傳遞函數(shù)為(2-59)即環(huán)節(jié)并聯(lián)后的總傳遞函數(shù)等于各個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的代數(shù)和。第四十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日3.反饋連接(FeedbackConnection)

兩個環(huán)節(jié)的反饋連接方式如圖所示。兩個環(huán)節(jié)相互作用形成一個閉環(huán)系統(tǒng)。設(shè)系統(tǒng)的輸入信號為R(s)，輸出信號為C(s)，前向環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G1(s)，反饋環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為H(s)。兩個環(huán)節(jié)反饋連接時的傳遞函數(shù)G(s)=C(s)/R(s)可以從圖的關(guān)系中求出。第四十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日1）負反饋的情況

當反饋信號B(s)與輸入信號R(s)相減時，稱為負反饋，此時C(s)=G1(s)［R(s)-H(s)C(s)］

整理后得

因此，負反饋連接的總傳遞函數(shù)為:第五十頁，共八十八頁，2022年，8月28日2）正反饋的情況當反饋信號B(s)與輸入信號R(s)相加時，稱為正反饋，此時C(s)=G1(s)［R(s)+H(s)C(s)］整理后得因此，正反饋連接的總傳遞函數(shù)為

(2-61)第五十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日

綜合負反饋和正反饋兩種情況，閉環(huán)系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)G(s)為(2-62)

從式（2-62）中，可以看到一個很有意義的現(xiàn)象，如果前向環(huán)節(jié)放大倍數(shù)很大，則反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)就簡化為(2-63)第五十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日

即反饋系統(tǒng)的動態(tài)特性主要決定于反饋環(huán)節(jié)的動態(tài)特性?？偟膫鬟f函數(shù)近似為反饋環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的倒數(shù)，而與前向環(huán)節(jié)的特性無關(guān)。若前向環(huán)節(jié)的放大倍數(shù)趨向無限大，則反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為(2-64)

反饋系統(tǒng)的動態(tài)特性僅僅決定于反饋環(huán)節(jié)。這種反饋系統(tǒng)稱為極限系統(tǒng)，它在調(diào)節(jié)儀表中得到了廣泛應(yīng)用。第五十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.4.2方框圖的等效變換及化簡1.方框圖的等效變換規(guī)則方框圖的等效變換基本規(guī)則如表2-3所示。這里要說明以下幾點：

(1)環(huán)節(jié)前后比較點的移動:根據(jù)保持比較點移動前后系統(tǒng)的輸入/輸出關(guān)系不變的等效原則，可以將比較點向環(huán)節(jié)前或后移動。第五十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日(2)環(huán)節(jié)前后引出點的移動:根據(jù)保持引出點移動前后系統(tǒng)的輸入/輸出關(guān)系不變的等效原則，可以將引出點向環(huán)節(jié)前或后移動。(3)連續(xù)比較點、連續(xù)引出點的移動:由于信號具有線性性質(zhì)，它們的相加次序可以任意交換,因而它們的引出點也可以任意交換。第五十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日表2-3方框圖的等效變換基本規(guī)則第五十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日第五十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.方框圖的化簡舉例系統(tǒng)方框圖的化簡過程，一般可分為以下幾步：

(1)根據(jù)研究目的確定系統(tǒng)的輸入和輸出。輸入、輸出確定后，從輸入至輸出的通道就成為前向通道。

(2)串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接的環(huán)節(jié)由等效環(huán)節(jié)代替。

(3)把閉環(huán)系統(tǒng)簡化成最基本的方框圖形式，并求出其總的傳遞函數(shù)。

第五十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日【例1】化簡圖2-25中的交叉反饋系統(tǒng)，并求出它的傳遞函數(shù)。解:交叉反饋系統(tǒng)是一種較復雜的多環(huán)系統(tǒng)，它的基本形式如圖2-25（a）所示（為簡化起見，傳遞函數(shù)中的(s)省去）。第五十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日圖2-25交叉反饋系統(tǒng)的化簡第六十頁，共八十八頁，2022年，8月28日

由圖2-25(a)可見，該系統(tǒng)的兩個回環(huán)的反饋通道是互相交叉的。對這類系統(tǒng)的化簡，主要是運用引出點和比較點的移動來解除回路的交叉，使之成為一般的不交叉的多回路系統(tǒng)。在圖2-25(a)中，只要將引出點1后移，即可解除交叉，成為如圖2-25(b)所示的形式。由圖2-25(b)再引用求閉環(huán)傳遞函數(shù)的公式即可得到圖2-25(c)和圖2-25(d)，從而得到系統(tǒng)總的閉環(huán)傳遞函數(shù)GB(s)為:第六十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日

以上雖然是一個典型的例子，但從中可以引申出一般交叉反饋系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的求取公式：GB(s)=前向通道各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積(每一負反饋回環(huán)的各傳遞函數(shù)的乘積)(2-65)式中，n為反饋回環(huán)的個數(shù)。第六十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日3.自動控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的求取自動控制系統(tǒng)的典型框圖如圖2-26所示。圖中R(s)為輸入量，C(s)為輸出量，N(s)為擾動量。圖2-26自動控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)第六十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日1)在輸入量R(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)和系統(tǒng)的輸出若僅考慮輸入量R(s)的作用，則可暫略去擾動量N(s)。由圖2-27(a)可得輸出量C(s)對輸入量的閉環(huán)傳遞函數(shù)GBr(s)為(2-66)第六十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日此時系統(tǒng)的輸出量（拉氏式）Ｃr(s)為(2-67)第六十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日2)在擾動量N(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)和系統(tǒng)的輸出若僅考慮擾動量N(s)的作用，則可暫略去輸入量R(s)，這時圖2-26可變換成圖2-27(b)的形式（在進行圖形變換時，負反饋環(huán)節(jié)中的負號仍需保留）。這樣輸出量Cn(s)對擾動量N(s)的閉環(huán)傳遞函數(shù)GBn(s)為(2-68)第六十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日此時系統(tǒng)輸出量（拉氏式）Cn(s)為(2-69)第六十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日

圖2-27僅考慮一個作用量時的系統(tǒng)方框圖

(a）僅考慮給定量R(s)的作用;(b）僅考慮擾動量N(s)的作用第六十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日3)在輸入量和擾動量同時作用下系統(tǒng)的總輸出由于設(shè)定此系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，因此可以應(yīng)用疊加原理,即當輸入量和擾動量同時作用時，系統(tǒng)的輸出可看成兩個作用量分別作用的疊加。于是有:(2-70)

第六十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日第七十頁，共八十