數字信號處理(三版)課后習題答案全(原題-答案-圖)課件

1.4習題與上機題解答

1.用單位脈沖序列δ(n)及其加權和表示題1圖所示的序列。題1圖1.4習題與上機題解答題1圖解：

x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1)

+2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6)

2．給定信號：

2n+5－4≤n≤－1

6

0≤n≤4

0其它

(1)畫出x(n)序列的波形，標上各序列值；

(2)試用延遲的單位脈沖序列及其加權和表示x(n)序列；(x(n)=解：

x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+（3）令x1(n)=2x(n－2)，試畫出x1(n)波形；（4）令x2(n)=2x(n+2)，試畫出x2(n)波形；（5）令x3(n)=x(2－n)，試畫出x3(n)波形。

解：(1)x(n)序列的波形如題2解圖（一）所示。(2)x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n)+6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4)（3）令x1(n)=2x(n－2)，試畫出x1(n)（3）x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2，畫出圖形如題2解圖（二）所示。

(4)x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2，畫出圖形如題2解圖（三）所示。

(5)畫x3(n)時，先畫x(－n)的波形(即將x(n)的波形以縱軸為中心翻轉180°)，然后再右移2位，x3(n)波形如題2解圖（四）所示。（3）x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再題2解圖（一）題2解圖（一）題2解圖（二）題2解圖（二）題2解圖（三）題2解圖（三）題2解圖（四）題2解圖（四）

3．判斷下面的序列是否是周期的;若是周期的，確定其周期。(1)(2)解：（1）因為ω=

π,所以,這是有理數，因此是周期序列，周期T=14。（2）因為ω=

,所以=16π,這是無理數，因此是非周期序列。3．判斷下面的序列是否是周期的;若是周期的，確定

4．對題1圖給出的x(n)要求：

(1)畫出x(－n)的波形；

(2)計算xe(n)=［x(n)+x(－n)］，并畫出xe(n)波形；

(3)計算xo(n)=［x(n)－x(－n)］，并畫出xo(n)波形;

(4)令x1(n)=xe(n)+xo(n),將x1(n)與x(n)進行比較，你能得到什么結論？4．對題1圖給出的x(n)要求：

(1)畫出

解：（1）x(－n)的波形如題4解圖（一）所示。

(2)將x(n)與x(－n)的波形對應相加，再除以2，得到xe(n)。毫無疑問，這是一個偶對稱序列。xe(n)的波形如題4解圖（二）所示。

(3)畫出xo(n)的波形如題4解圖（三）所示。解：（1）x(－n)的波形如題4解圖（一）所示。題4解圖（一）題4解圖（一）題4解圖（二）題4解圖（二）題4解圖（三）題4解圖（三）

(4)很容易證明：

x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)上面等式說明實序列可以分解成偶對稱序列和奇對稱序列。偶對稱序列可以用題中(2)的公式計算，奇對稱序列可以用題中(3)的公式計算。

5．設系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述，x(n)與y(n)分別表示系統(tǒng)輸入和輸出，判斷系統(tǒng)是否是線性非時變的。（1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2)（2）y(n)=2x(n)+3（3）y(n)=x(n－n0)

n0為整常數（4）y(n)=x(－n)(4)很容易證明：（5）y(n)=x2(n)（6）y(n)=x(n2)（7）y(n)=（8）y(n)=x(n)sin(ωn)

解：（1）令輸入為

x(n－n0)輸出為y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2)

y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2)=y′(n)（5）y(n)=x2(n)故該系統(tǒng)是非時變系統(tǒng)。因為

y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］+3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］

T［ax1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2)

T［bx2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2)所以

T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。故該系統(tǒng)是非時變系統(tǒng)。因為（2）令輸入為

x(n－n0)輸出為

y′(n)=2x(n－n0)+3

y(n－n0)=2x(n－n0)+3=y′(n)故該系統(tǒng)是非時變的。由于

T［ax1(n)+bx2(n)］=2ax1(n)+2bx2(n)+3

T［ax1(n)］=2ax1(n)+3

T［bx2(n)］=2bx2(n)+3

T［ax1(n)+bx2(n)］≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。（2）令輸入為

(3)這是一個延時器，延時器是線性非時變系統(tǒng)，下面證明。令輸入為

x(n－n1)輸出為

y′(n)=x(n－n1－n0)

y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n)故延時器是非時變系統(tǒng)。由于

T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0)

=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故延時器是線性系統(tǒng)。(3)這是一個延時器，延時器是線性非時變系統(tǒng)，下面

(4)y(n)=x(－n)令輸入為

x(n－n0)輸出為

y′(n)=x(－n+n0)

y(n－n0)=x(－n+n0)=y′(n)因此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。由于

T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(－n)+bx2(－n)

=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］因此系統(tǒng)是非時變系統(tǒng)。(4)y(n)=x(－n)（5）y(n)=x2(n)令輸入為

x(n－n0)輸出為

y′(n)=x2(n－n0)

y(n－n0)=x2(n－n0)=y′(n)故系統(tǒng)是非時變系統(tǒng)。由于

T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］=ax21(n)+bx22(n)因此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。（5）y(n)=x2(n)（6）y(n)=x(n2)令輸入為

x(n－n0)輸出為

y′(n)=x((n－n0)2)

y(n－n0)=x((n－n0)2)=y′(n)故系統(tǒng)是非時變系統(tǒng)。由于

T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n2)+bx2(n2)

=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。（6）y(n)=x(n2)（7）y(n)=

x(m)令輸入為

x(n－n0)輸出為

y′(n)=

=0[DD)]x(m-n0)

y(n－n0)=

x(m)≠y′(n)故系統(tǒng)是時變系統(tǒng)。由于

T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(m)+bx2(m)］

=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。（7）y(n)=x(m)（8）y(n)=x(n)sin(ωn)令輸入為

x(n－n0)輸出為

y′(n)=x(n－n0)sin(ωn)

y(n－n0)=x(n－n0)sin［ω(n－n0)］≠y′(n)故系統(tǒng)不是非時變系統(tǒng)。由于

T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n)sin(ωn)+bx2(n)sin(ωn)

=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。（8）y(n)=x(n)sin(ωn)

6．給定下述系統(tǒng)的差分方程，試判定系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系統(tǒng)，并說明理由。

（1）y(n)=

x(n－k)

（2）y(n)=x(n)+x(n+1)

（3）y(n)=

x(k)

（4）y(n)=x(n－n0)

（5）y(n)=ex(n)6．給定下述系統(tǒng)的差分方程，試判定系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定

解：（1）只要N≥1，該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)，因為輸出只與n時刻的和n時刻以前的輸入有關。

如果|x(n)|≤M，則|y(n)|≤M，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。（2）該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)，因為n時間的輸出還和n時間以后（（n+1）時間）的輸入有關。如果|x(n)|≤M,則|y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M,因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。

（3）如果|x(n)|≤M，則|y(n)|≤

|x(k)|≤|2n0+1|M，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的；假設n0>0，系統(tǒng)是非因果的，因為輸出還和x(n)的將來值有關。解：（1）只要N≥1，該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)，因為輸出只（4）假設n0>0，系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，因為n時刻輸出只和n時刻以后的輸入有關。如果|x(n)|≤M,則|y(n)|≤M，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（5）系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，因為系統(tǒng)的輸出不取決于x(n)的未來值。如果|x(n)|≤M,則|y(n)|=|ex(n)|≤e|x(n)|≤eM，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

7．設線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)和輸入序列x(n)如題7圖所示，要求畫出y(n)輸出的波形。

解：解法（一）采用列表法。

y(n)=x(n)*h(n)=

x(m)h(n－m)（4）假設n0>0，系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，因為n時刻輸出只題7圖題7圖y(n)={－2,－1,－0.5,2,1,4.5,2,1;n=－2,－1,0,1,2,3,4,5}y(n)={－2,－1,－0.5,2,1,4.5,2解法（二）采用解析法。按照題7圖寫出x(n)和h(n)的表達式分別為

x(n)=－δ(n+2)+δ(n－1)+2δ(n－3)

h(n)=2δ(n)+δ(n－1)+

δ(n－2)由于

x(n)*δ(n)=x(n)

x(n)*Aδ(n－k)=Ax(n－k)故解法（二）采用解析法。按照題7圖寫出x(n)和h(n

y(n)=x(n)*h(n)

=x(n)*［2δ(n)+δ(n－1)+δ(n－2)］=2x(n)+x(n－1)+

x(n－2)將x(n)的表示式代入上式，得到

y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(n)+2δ(n－1)+δ(n－2)+4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5)y(n)=x(n)*h(n)

8.設線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)和輸入x(n)分別有以下三種情況，分別求出輸出y(n)。（1）h(n)=R4(n),x(n)=R5(n)（2）h(n)=2R4(n),x(n)=δ(n)－δ(n－2)（3）h(n)=0.5nu(n),xn=R5(n)

解：（1）y(n)=x(n)*h(n)=

R4(m)R5(n－m)

先確定求和域。由R4(m)和R5(n－m)確定y（n）對于m的非零區(qū)間如下:

0≤m≤3－4≤m≤n8.設線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)和輸入x(n根據非零區(qū)間，將n分成四種情況求解：①n<0時，y(n)=0②0≤n≤3時，y(n)=

1=n+1③4≤n≤7時，y(n)=

1=8－n④n>7時，y(n)=0根據非零區(qū)間，將n分成四種情況求解：最后結果為

0n<0或n>7

n+10≤n≤3

8－n

4≤n≤7

y(n)的波形如題8解圖（一）所示。

(2)y(n)=2R4(n)*［δ(n)－δ(n－2)］=2R4(n)－2R4(n－2)

=2［δ(n)+δ(n－1)－δ(n+4)－δ(n+5)］

y(n)的波形如題8解圖（二）所示y(n)=最后結果為

題8解圖（一）題8解圖（一）題8解圖（二）題8解圖（二）(3)y(n)=x(n)*h(n)=

R5(m)0.5n－mu(n－m)

=0.5n

R5(m)0.5－mu(n－m)y（n）對于m

的非零區(qū)間為

0≤m≤4,

m≤n①n<0時，y(n)=0②0≤n≤4時，(3)y(n)=x(n)*h(n)=－(1－0.5－n－1)0.5n=2－0.5n③n≥5時最后寫成統(tǒng)一表達式：

y(n)=(2－0.5n)R5(n)+31×0.5nu(n－5)=－(1－0.5－n－1)0.5n=2－0.5n③n≥5時

9．證明線性卷積服從交換律、結合律和分配律，即證明下面等式成立：（1）x(n)*h(n)=h(n)*x(n)（2）x(n)*(h1(n)*h2(n))=(x(n)*h1(n))*h2(n)（3）x(n)*(h1(n)+h2(n))=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)證明：（1）因為令m′=n－m,則9．證明線性卷積服從交換律、結合律和分配律，即證明(2)利用上面已證明的結果，得到(2)利用上面已證明的結果，得到交換求和號的次序，得到交換求和號的次序，得到

10．設系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)=(3/8)0.5nu(n)，系統(tǒng)的輸入x(n)是一些觀測數據，設x(n)={x0,x1,x2,…,xk,…}，試利用遞推法求系統(tǒng)的輸出y(n)。遞推時設系統(tǒng)初始狀態(tài)為零狀態(tài)。10．設系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)=(3/8)0.5n解：n=0時，n≥0n=1時，解：n=0時，n≥0n=1時，n=2時，最后得到11．設系統(tǒng)由下面差分方程描述：設系統(tǒng)是因果的，利用遞推法求系統(tǒng)的單位脈沖響應。n=2時，最后得到11．設系統(tǒng)由下面差分方程描述：設系解：令x(n)=δ(n),則n=0時，n=1時，解：令x(n)=δ(n),則n=0時，n=1時，n=2時，n=3時，歸納起來，結果為n=2時，n=3時，歸納起來，結果為

12.設系統(tǒng)用一階差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n)描述，初始條件y(-1)=0，試分析該系統(tǒng)是否是線性非時變系統(tǒng)。

解：分析的方法是讓系統(tǒng)輸入分別為δ(n)、δ(n－1)、δ(n)+δ(n－1)時，求它的輸出，再檢查是否滿足線性疊加原理和非時變性。（1）令x(n)=δ(n),這時系統(tǒng)的輸出用y1(n)表示。該情況在教材例1.4.1中已求出，系統(tǒng)的輸出為

y1(n)=anu(n)12.設系統(tǒng)用一階差分方程y(n)=ay(n－1)

(2)令x(n)=δ(n－1)，這時系統(tǒng)的輸出用y2(n)表示。n=0時，n=1時，n=2時，任意n時，(2)令x(n)=δ(n－1)，這時系統(tǒng)的輸出用y最后得到

(3)令x(n)=δ(n)+δ(n－1),系統(tǒng)的輸出用y3(n)表示。n=0時，n=1時，n=2時，最后得到(3)令x(n)=δ(n)+δ(n－1),系n=3時，任意n時，最后得到n=3時，任意n時，最后得到由（1）和（2）得到

y1(n)=T［δ(n)］,y2(n)=T［δ(n－1)］

y1(n)=y2(n－1)因此可斷言這是一個時不變系統(tǒng)。情況（3）的輸入信號是情況（1）和情況（2）輸入信號的相加信號，因此y3(n)=T［δ(n)+δ(n－1)］。觀察y1(n)、y2(n)、y3(n)，得到y(tǒng)3(n)=y1(n)+y2(n)，因此該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。最后得到結論：用差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n),0<a<1描寫的系統(tǒng)，當初始條件為零時，是一個線性時不變系統(tǒng)。由（1）和（2）得到

13．有一連續(xù)信號xa(t)=cos(2πft+j)，式中，f=20Hz,j=π/2。（1）求出xa(t)的周期；（2）用采樣間隔T=0.02s對xa(t)進行采樣，試寫出采樣信號的表達式；（3）畫出對應的時域離散信號（序列）x(n)的波形，并求出x(n)的周期。

解：（1）xa(t)的周期為13．有一連續(xù)信號xa(t)=cos(2πft+j)，（2）（3）x(n)的數字頻率ω=0.8π，故，因而周期N=5，所以

x(n)=cos(0.8πn+π/2)畫出其波形如題13解圖所示。（2）（3）x(n)的數字頻率ω=0.8π，故題13解圖題13解圖14.已知滑動平均濾波器的差分方程為（1）求出該濾波器的單位脈沖響應；（2）如果輸入信號波形如前面例1.3.4的圖1.3.1所示，試求出y(n)并畫出它的波形。解：（1）將題中差分方程中的x(n)用δ(n)代替，得到該濾波器的單位脈沖響應，即14.已知滑動平均濾波器的差分方程為（1）求出該濾（2）已知輸入信號，用卷積法求輸出。輸出信號y(n)為表1.4.1表示了用列表法解卷積的過程。計算時，表中x(k)不動，h(k)反轉后變成h(－k)，h(n－k)則隨著n的加大向右滑動，每滑動一次，將h(n－k)和x(k)對應相乘，再相加和平均，得到相應的y(n)。“滑動平均”清楚地表明了這種計算過程。最后得到的輸出波形如前面圖1.3.2所示。該圖清楚地說明滑動平均濾波器可以消除信號中的快速變化，使波形變化緩慢。（2）已知輸入信號，用卷積法求輸出。輸出信號y(n)為數字信號處理(三版)課后習題答案全(原題-答案-圖)課件

15*.已知系統(tǒng)的差分方程和輸入信號分別為用遞推法計算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。解：求解程序ex115.m如下：

%程序ex115.m

%調用filter解差分方程y(n)+0.5y(n－1)=x(n)+2x(n－2)

xn=［1，2，3，4，2，1，zeros(1，10)］；

%x(n)=單位脈沖序列，長度N=31

B=［1，0，2］；A=［1，0.5］；%差分方程系數15*.已知系統(tǒng)的差分方程和輸入信號分別為用遞推法計

yn=filter(B，A，xn) %調用filter解差分方程，求系統(tǒng)輸出信號y(n)

n=0：length(yn)－1；

subplot(3，2，1)；stem(n，yn，′.′)；

axis(［1，15，－2，8］)

title(′系統(tǒng)的零狀態(tài)響應′)；xlabel(′n′)；

ylabel(′y(n)′)程序運行結果：yn=filter(B，A，xn) %調用filyn=[1.00001.50004.25005.87505.06256.46880.7656

1.6172-0.80860.4043-0.20210.1011-0.05050.0253

-0.01260.0063-0.00320.0016-0.00080.0004

-0.00020.0001-0.00000.0000-0.00000.0000]

程序運行結果的y(n)波形圖如題15*解圖所示。yn=[1.00001.50004.2500題15*解圖題15*解圖

16*.已知兩個系統(tǒng)的差分方程分別為

（1）y(n)=0.6y(n－1)－0.08y(n－2)+x(n)

（2）y(n)=0.7y(n－1)－0.1y(n－2)+2x(n)－x(n－2)

分別求出所描述的系統(tǒng)的單位脈沖響應和單位階躍響應。

解：（1）系統(tǒng)差分方程的系數向量為

B1=1，A1=［1，－0.6，0.08］

（2）系統(tǒng)差分方程的系數向量為

B2=［2，0，－1］,A2=［1，－0.7，0.1］16*.已知兩個系統(tǒng)的差分方程分別為

（1

2.5習題與上機題解答

1．設X(ejω)和Y(ejω)分別是x(n)和y(n)的傅里葉變換，試求下面序列的傅里葉變換：

(1)x(n－n0)(2)x*(n)

(3)x(－n)(4)x(n)*y(n)

(5)x(n)y(n)(6)nx(n)

(7)x(2n)(8)x2(n)(9)2.5習題與上機題解答(9)解：（1）令n′=n－n0,即n=n′+n0，則（2）解：（1）令n′=n－n0,即n=n′+n0，則（2）（3）令n′=－n，則（4）FT［x(n)*y(n)］=X(ejω)Y(ejω)

下面證明上式成立：（3）令n′=－n，則（4）FT［x令k=n－m,則令k=n－m,則（5）（5）或者（6）因為對該式兩邊ω求導，得到或者（6）因為對該式兩邊ω求導，得到因此（7）令n′=2n，則因此（7）令n′=2n，則數字信號處理(三版)課后習題答案全(原題-答案-圖)課件或者（8）利用（5）題結果，令x(n)=y(n),則或者（8）利用（5）題結果，令x(n)=y(n),則（9）令n′=n/2，則2．已知≤求X(ejω)的傅里葉反變換x(n)。（9）令n′=n/2，則2．已知≤求X(ejω)的傅里葉解：

3.線性時不變系統(tǒng)的頻率響應（頻率響應函數）H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω)，如果單位脈沖響應h(n)為實序列，試證明輸入x(n)=Acos(ω0n+j)的穩(wěn)態(tài)響應為解：3.線性時不變系統(tǒng)的頻率響應（頻率響應函數）H(

解：假設輸入信號x(n)=ejω0n，系統(tǒng)單位脈沖響應為h(n)，則系統(tǒng)輸出為上式說明當輸入信號為復指數序列時，輸出序列仍是復指數序列，且頻率相同，但幅度和相位取決于網絡傳輸函數。利用該性質解此題：解：假設輸入信號x(n)=ejω0n，系統(tǒng)單位脈沖響應數字信號處理(三版)課后習題答案全(原題-答案-圖)課件上式中|H(ejω)|是ω的偶函數，相位函數是ω的奇函數，|H(ejω)|=|H(e-jω)|，θ(ω)=－θ(－ω),故4．設上式中|H(ejω)|是ω的偶函數，相位函數是ω的奇將x(n)以4為周期進行周期延拓，形成周期序列，畫出x(n)和的波形，求出的離散傅里葉級數和傅里葉變換。解：畫出x(n)和的波形如題4解圖所示。將x(n)以4為周期進行周期延拓，形成周期序列，題4解圖題4解圖或者或者數字信號處理(三版)課后習題答案全(原題-答案-圖)課件

5.設題5圖所示的序列x(n)的FT用X(ejω)表示，不直接求出X(ejω)，完成下列運算或工作：題5圖5.設題5圖所示的序列x(n)的FT用X(ejω)表示(1)(2)(3)

(4)確定并畫出傅里葉變換實部Re［X(ejω)］的時間序列xa(n)；(5)(6)(1)(2)(3)(4)確定并畫出傅里葉變換實部Re［X解

(1)(2)(3)（4）因為傅里葉變換的實部對應序列的共軛對稱部分，即解(1)(2)(3)（4）因為傅里葉變換的實部對應序列的按照上式畫出xe(n)的波形如題5解圖所示。題5解圖按照上式畫出xe(n)的波形如題5解圖所示。題5解圖(5)(6)因為因此(5)(6)因為因此

6．試求如下序列的傅里葉變換：

(1)x1(n)=δ(n－3)(2)

(3)x3(n)=anu(n)

0<a<1

(4)x4(n)=u(n+3)－u(n－4)

解(1)6．試求如下序列的傅里葉變換：(2)(3)x3(n(2)(3)(2)(3)(4)(4)或者:或者:

7．設：（1）x(n)是實偶函數，（2）x(n)是實奇函數，分別分析推導以上兩種假設下，其x(n)的傅里葉變換性質。

解：令

(1)因為x(n)是實偶函數，對上式兩邊取共軛，得到7．設：(1)因為x(n)是實偶函數，對上因此

X(ejω)=X*（e－jω）上式說明x(n)是實序列，

X(ejω)具有共軛對稱性質。由于x(n)是偶函數，x(n)sinω是奇函數，那么因此因此由于x(n)是偶函數，x(n)sinω是奇函數，該式說明X(ejω)是實函數，且是ω的偶函數?？偨Y以上,x(n)是實偶函數時，對應的傅里葉變換X(ejω)是實函數，是ω的偶函數。（2）

x(n)是實奇函數。上面已推出，由于x(n)是實序列，X(ejω)具有共軛對稱性質，即

X(ejω)=X*(e－jω)該式說明X(ejω)是實函數，且是ω的偶函數。由于x(n)是奇函數，上式中x(n)cosω是奇函數，那么因此這說明X(ejω)是純虛數，且是ω的奇函數。

8．設x(n)=R4(n)，試求x(n)的共軛對稱序列xe(n)和共軛反對稱序列xo(n)，并分別用圖表示。由于x(n)是奇函數，上式中x(n)cosω是奇函數，

解：xe(n)和xo(n)的波形如題8解圖所示。題8解圖解：xe(n)和xo(n)的波形如題8解圖所示。題8解圖

9．已知x(n)=anu(n),0<a<1，分別求出其偶函數xe(n)和奇函數xo(n)的傅里葉變換。

解：因為xe(n)的傅里葉變換對應X(ejω)的實部，xo(n)的傅里葉變換對應X(ejω)的虛部乘以j，因此9．已知x(n)=anu(n),0<a<1，分別求出數字信號處理(三版)課后習題答案全(原題-答案-圖)課件

10．若序列h(n)是實因果序列，其傅里葉變換的實部如下式：

HR(ejω)=1+cosω求序列h(n)及其傅里葉變換H(ejω)。

解：10．若序列h(n)是實因果序列，其傅里葉變換的實數字信號處理(三版)課后習題答案全(原題-答案-圖)課件

11．若序列h(n)是實因果序列，h(0)=1，其傅里葉變換的虛部為

HI(ejω)=－sinω求序列h(n)及其傅里葉變換H(ejω)。

解：11．若序列h(n)是實因果序列，h(0)=1，其數字信號處理(三版)課后習題答案全(原題-答案-圖)課件

12．設系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)=anu(n),0<a<1，輸入序列為

x(n)=δ(n)+2δ(n－2)完成下面各題：

(1)求出系統(tǒng)輸出序列y(n)；

(2)分別求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里葉變換。

解

(1)12．設系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)=anu(n),0(2)(2)

13．已知xa(t)=2cos(2πf0t)，式中f0=100Hz，以采樣頻率fs=400Hz對xa(t)進行采樣，得到采樣信號和時域離散信號x(n)，試完成下面各題：

（1）寫出的傅里葉變換表示式Xa(jΩ)；

（2）寫出和x(n)的表達式；

（3）分別求出的傅里葉變換和x(n)序列的傅里葉變換。

解：13．已知xa(t)=2cos(2πf0t)，式中上式中指數函數的傅里葉變換不存在，引入奇異函數δ函數，它的傅里葉變換可以表示成：（2）上式中指數函數的傅里葉變換不存在，引入奇異函數δ函數（3）式中（3）式中式中

ω0=Ω0T=0.5πrad上式推導過程中，指數序列的傅里葉變換仍然不存在，只有引入奇異函數δ函數才能寫出它的傅里葉變換表示式。

14．求出以下序列的Z變換及收斂域:

(1)2－nu(n) (2)－2－nu(－n－1)

(3)2－nu(－n) (4)δ(n)

(5)δ(n－1) (6)2－n［u(n)－u(n－10)］式中解

(1)(2)解(1)(2)(3)

(4)ZT［δ(n)］=1

0≤|z|≤∞

(5)ZT［δ(n－1)］=z－1

0<|z|≤∞

(6)≤(3)(4)ZT［δ(n)］=10≤

15．求以下序列的Z變換及其收斂域，并在z平面上畫出極零點分布圖。

(1)x(n)=RN(n)

N=4

(2)x(n)=Arncos(ω0n+j)u(n)r=0.9,ω0=0.5πrad,j=0.25πrad

(3)≤≤≤≤式中，N=4。15．求以下序列的Z變換及其收斂域，并在z平面上畫出解(1)由z4－1=0，得零點為由z3(z－1)=0，得極點為

z1,2=0,1零極點圖和收斂域如題15解圖(a)所示，圖中,z=1處的零極點相互對消。解(1)由z4－1=0，得零點為由z3(z－1)=0，題15解圖題15解圖(2) (2) 零點為極點為極零點分布圖如題15解圖(b)所示。

(3)令y(n)=R4(n),則

x(n+1)=y(n)*y(n)

zX(z)=［Y(z)］2,X(z)=z－1［Y(z)］2零點為極點為極零點分布圖如題15解圖(b)所示。因為因此極點為z1=0,z2=1零點為在z=1處的極零點相互對消，收斂域為0<|z|≤∞，極零點分布圖如題15解圖(c)所示。因為因此極點為z1=0,z2=1在z=116．已知求出對應X(z)的各種可能的序列表達式。

解：X(z)有兩個極點：z1=0.5,z2=2，因為收斂域總是以極點為界，因此收斂域有三種情況：|z|<0.5，0.5<|z|<2，2<|z|。三種收斂域對應三種不同的原序列。（1）收斂域|z|<0.5：16．已知求出對應X(z)的各種可能的序列表達式。令

n≥0時，因為c內無極點，x(n)=0;

n≤－1時，c內有極點0，但z=0是一個n階極點，改為求圓外極點留數，圓外極點有z1=0.5,z2=2，那么令n≥0時，因為c內無極點，x(n)=0;

(2)收斂域0.5<|z|<2:(2)收斂域0.5<|z|<2:n≥0時，c內有極點0.5，

n<0時，c內有極點0.5、0，但0是一個n階極點，改成求c外極點留數，c外極點只有一個，即2，

x(n)=－Res［F(z),2］=－2·2nu(－n－1)最后得到n≥0時，c內有極點0.5，n<0時，c內有極點0（3）收斂域|z|<2:n≥0時，c內有極點0.5、2，

n<0時，由收斂域判斷，這是一個因果序列，因此x(n)=0；或者這樣分析，c內有極點0.5、2、0，但0是一個n階極點，改求c外極點留數，c外無極點，所以x(n)=0。（3）收斂域|z|<2:n≥0時，c內有極點0.5、最后得到

17．已知x(n)=anu(n),0<a<1。分別求：

(1)x(n)的Z變換；

(2)nx(n)的Z變換；

(3)a－nu(－n)的Z變換。

解：(1)最后得到17．已知x(n)=anu(n),0<a<1(2)(3)18．已知分別求：（1）收斂域0.5<|z|<2對應的原序列x(n)；（2）收斂域|z|>2對應的原序列x(n)。(2)(3)18．已知分別求：解：（1）收斂域0.5<|z|<2:

n≥0時，c內有極點0.5，

x(n)=Res［F(z),0.5］=0.5n=2－nn<0時，c內有極點0.5、0，但0是一個n階極點，改求c外極點留數，c外極點只有2，

x(n)=－Res［F(z),2］=2n解：（1）收斂域0.5<|z|<2:最后得到

x(n)=2－nu(n)+2nu(－n－1)=2－|n|∞<n<－∞

(2)收斂域|z|>2:

n≥0時，c內有極點0.5、2，最后得到

n<0時，c內有極點0.5、2、0，但極點0是一個n階極點，改成求c外極點留數，可是c外沒有極點，因此

x(n)=0最后得到

x(n)=(0.5n－2n)u(n)

19．用部分分式法求以下X(z)的反變換：(1)n<0時，c內有極點0.5、2、0，但極點(2)解：(1)(2)解：(1)數字信號處理(三版)課后習題答案全(原題-答案-圖)課件(2)(2)20．設確定性序列x(n)的自相關函數用下式表示：試用x(n)的Z變換X(z)和x(n)的傅里葉變換X(ejω)分別表示自相關函數的Z變換Rxx(z)和傅里葉變換Rxx(ejω)。20．設確定性序列x(n)的自相關函數用下式表示：試用x解：解法一令m′=n+m,則解：解法一令m′=n+m,則解法二因為x(n)是實序列，X(e－jω)=X*(ejω)，因此解法二因為x(n)是實序列，X(e－jω)=X*(ejω)

21．用Z變換法解下列差分方程：

(1)y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)，y(n)=0n≤－1

(2)y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)，y(－1)=1，y(n)=0

n<－1

(3)y(n)－0.8y(n－1)－0.15y(n－2)=δ(n)

y(－1)=0.2,y(－2)=0.5,y(n)=0,當n≤－3時。

解：

(1)y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)，y(n)=0

n≤－121．用Z變換法解下列差分方程：

(1)y(n≥0時，n<0時，

y(n)=0最后得到

y(n)=［－0.5·(0.9)n+1+0.5］u(n)n≥0時，n<0時，

(2)y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n),y(－1)=1,y(n)=0n<－1(2)y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)n≥0時，n<0時，

y(n)=0最后得到

y(n)=［0.45(0.9)n+0.5］u(n)n≥0時，n<0時，

(3)y(n)－0.8y(n－1)－0.15y(n－2)=δ(n)

y(－1)=0.2,y(－2)=0.5,y(n)=0,當n<－2時Y(z)－0.8z－1［Y(z)+y(－1)z］－0.15z－2［Y(z)+y(－1)z+y(－2)z2］=1(3)y(n)－0.8y(n－1)－0.15y(n－n≥0時，

y(n)=－4.365·0.3n+6.375·0.5nn<0時,

y(n)=0最后得到

y(n)=(－4.365·0.3n+6.375·0.5n)u(n)n≥0時，y(n)=－4.22．設線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數H(z)為（1）在z平面上用幾何法證明該系統(tǒng)是全通網絡，即|H(ejω)|=常數；（2）參數a如何取值，才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定？畫出其極零點分布及收斂域。

解：(1)22．設線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數H(z)為（1）在z極點為a,零點為a－1。設a=0.6，極零點分布圖如題22解圖(a)所示。我們知道|H(ejω)|等于極點矢量的長度除以零點矢量的長度，按照題22解圖(a)，得到因為角ω公用，，且△AOB~△AOC，故，即極點為a,零點為a－1。因為角ω故H(z)是一個全通網絡?；蛘甙凑沼嘞叶ɡ碜C明:故H(z)是一個全通網絡。題22解圖題22解圖（2）只有選擇|a|<1才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定。設a=0.6，極零點分布圖及收斂域如題22解圖(b)所示。

23．設系統(tǒng)由下面差分方程描述：

y(n)=y(n－1)+y(n－2)+x(n－1)

（1）求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數H(z)，并畫出極零點分布圖；

（2）限定系統(tǒng)是因果的，寫出H(z)的收斂域，并求出其單位脈沖響應h(n)；

（3）限定系統(tǒng)是穩(wěn)定性的，寫出H(z)的收斂域，并求出其單位脈沖響應h(n)。

解：

（1）y(n)=y(n－1)+y(n－2)+x(n－1)

將上式進行Z變換，得到

Y(z)=Y(z)z－1+Y(z)z－2+X(z)z－1（2）只有選擇|a|<1才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定。設a=0因此零點為z=0。令z2－z－1=0，求出極點：極零點分布圖如題23解圖所示。因此零點為z=0。令z2－z－1=0，求出極點：題23解圖題23解圖

(2)由于限定系統(tǒng)是因果的，收斂域需選包含∞點在內的收斂域，即。求系統(tǒng)的單位脈沖響應可以用兩種方法，一種是令輸入等于單位脈沖序列，通過解差分方程，其零狀態(tài)輸入解便是系統(tǒng)的單位脈沖響應；另一種方法是求H(z)的逆Z變換。我們采用第二種方法。式中(2)由于限定系統(tǒng)是因果的，收斂域需選包含∞點在內，令，令n≥0時，

h(n)=Res［F(z),z1］+Res［F(z),z2］因為h(n)是因果序列,n<0時，h(n)=0，故n≥0時，因為h(n)是因果序列,n<0時，h(n)

(3)由于限定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，收斂域需選包含單位圓在內的收斂域，即|z2|<|z|<|z1|,n≥0時，c內只有極點z2，只需求z2點的留數，(3)由于限定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，收斂域需選包含單位

n<0時，c內只有兩個極點：z2和z=0，因為z=0是一個n階極點，改成求圓外極點留數，圓外極點只有一個，即z1,那么最后得到n<0時，c內只有兩個極點：z2和z=0，因

24．已知線性因果網絡用下面差分方程描述：

y(n)=0.9y(n－1)+x(n)+0.9x(n－1)（1）求網絡的系統(tǒng)函數H(z)及單位脈沖響應h(n)；（2）寫出網絡頻率響應函數H(ejω)的表達式，并定性畫出其幅頻特性曲線；（3）設輸入x(n)=ejω0n，求輸出y(n)。解：（1）y(n)=0.9y(n－1)+x(n)+0.9x(n－1)

Y(z)=0.9Y(z)z－1+X(z)+0.9X(z)z－124．已知線性因果網絡用下面差分方程描述：令n≥1時，c內有極點0.9，令n≥1時，c內有極點0.9，n=0時，c內有極點0.9，0，最后得到

h(n)=2·0.9nu(n－1)+δ(n)n=0時，c內有極點0.9，0，最后得到（2）極點為z1=0.9,零點為z2=－0.9。極零點圖如題24解圖(a)所示。按照極零點圖定性畫出的幅度特性如題24解圖(b)所示。（3）（2）極點為z1=0.9,零點為z2=－0.9。題24解圖題24解圖

25．已知網絡的輸入和單位脈沖響應分別為

x(n)=anu(n),

h(n)=bnu(n)0<a<1,0<b<1（1）試用卷積法求網絡輸出y(n)；（2）試用ZT法求網絡輸出y(n)。

解：（1）用卷積法求y(n)。n≥0時，25．已知網絡的輸入和單位脈沖響應分別為n≥0時，

n<0時，

y(n)=0最后得到（2）用ZT法求y(n)。，n<0時，（2）用ZT法求y(n)。，令n≥0時，c內有極點：a、b,因此令n≥0時，c內有極點：a、b,因此因為系統(tǒng)是因果系統(tǒng),所以n<0時，y(n)=0。最后得到

26．線性因果系統(tǒng)用下面差分方程描述：

y(n)－2ry(n－1)cosθ+r2y(n－2)=x(n)式中，x(n)=anu(n),0<a<1,0<r<1,θ=常數，試求系統(tǒng)的響應y(n)。

解：將題中給出的差分方程進行Z變換，因為系統(tǒng)是因果系統(tǒng),所以n<0時，y(n)=0。式中，因為是因果系統(tǒng)，收斂域為|z|>max(r,|a|)，且n<0時，y(n)=0，故式中，因為是因果系統(tǒng)，收斂域為|z|>max(r,c包含三個極點，即a、z1、z2。c包含三個極點，即a、z1、z2。數字信號處理(三版)課后習題答案全(原題-答案-圖)課件

27．如果x1(n)和x2(n)是兩個不同的因果穩(wěn)定實序列，求證：式中，X1(ejω)和X2(ejω)分別表示x1(n)和x2(n)的傅里葉變換。解：FT［x1(n)*x2(n)］=X1(ejω)X2(ejω)進行IFT，得到27．如果x1(n)和x2(n)是兩個不同的因果穩(wěn)定實令n=0,則由于x1(n)和x2(n)是實穩(wěn)定因果序列，因此(1)(2)令n=0,則由于x1(n)和x2(n)是實穩(wěn)定因果序列，(3)由（1）、（2）、（3）式，得到

28．若序列h(n)是因果序列，其傅里葉變換的實部如下式：求序列h(n)及其傅里葉變換H(ejω)。(3)由（1）、（2）、（3）式，得到28．若序列解：求上式的Z的反變換，得到序列h(n)的共軛對稱序列he(n)為解：求上式的Z的反變換，得到序列h(n)的共軛對稱序列因為h(n)是因果序列，

he(n)必定是雙邊序列，收斂域?。篴<|z|<a－1。

n≥1時，c內有極點：a，因為h(n)是因果序列，he(n)必定是雙邊序列，n=0時，c內有極點：a、0，n=0時，c內有極點：a、0，因為he(n)=he(－n)，所以因為he(n)=he(－n)，所以

29．若序列h(n)是因果序列，h(0)=1，其傅里葉變換的虛部為求序列h(n)及其傅里葉變換H(ejω)。解：29．若序列h(n)是因果序列，h(0)=1，其傅令z=ejω,有jHI(ejω)對應h(n)的共軛反對稱序列ho(n)，因此jHI(z)的反變換就是ho(n),因為h(n)是因果序列，ho(n)是雙邊序列，收斂域取:a<|z|<a－1。令z=ejω,有jHI(ejω)對應h(n)的共軛反對稱序n≥1時，c內有極點：a,n=0時，

c內有極點：a、0，n≥1時，c內有極點：a,n=0時，c內有極點：a因為hI(n)=－h(huán)(－n),所以因為hI(n)=－h(huán)(－n),所以數字信號處理(三版)課后習題答案全(原題-答案-圖)課件教材第3章習題與上機題解答

1．計算以下序列的N點DFT，在變換區(qū)間0≤n≤N－1內，序列定義為

(1)x(n)=1

(2)x(n)=δ(n)

(3)x(n)=δ(n－n0)0<n0<N

(4)x(n)=Rm(n)0<m<N

(5)

(6)教材第3章習題與上機題解答

(7)x(n)=ejω0nRN(n)

(8)x(n)=sin(ω0n)RN(n)

(9)x(n)=cos(ω0n)RN(N)

(10)x(n)=nRN(n)

解：(1)(7)x(n)=ejω0nRN(n)(1)（2）（3）(4)（2）（3）(4)(5)0≤k≤N－1(5)0≤k≤N－1(6)(6)0≤k≤N－1(7)0≤k≤N－1(7)或（8）解法一直接計算：或（8）解法一直接計算：解法二由DFT的共軛對稱性求解。因為所以所以解法二由DFT的共軛對稱性求解。所以所以即結果與解法一所得結果相同。此題驗證了共軛對稱性。

(9)解法一直接計算:即結果與解法一所得結果相同。此題驗證了共軛對稱性。

解法二由DFT共軛對稱性可得同樣結果。因為解法二由DFT共軛對稱性可得同樣結果。（10）解法一上式直接計算較難，可根據循環(huán)移位性質來求解X(k)。