數(shù)學(xué)建模 種群模型

關(guān)于數(shù)學(xué)建模種群模型數(shù)學(xué)建模種群模型1第一頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模2種群模型第三講種群模型【主要內(nèi)容】

介紹動(dòng)物群體的種群模型，包括單種群模型、多種群模型?！局饕康摹?/p>

了解微分方程穩(wěn)定性理論在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用。

建模目的是研究充分長時(shí)間以后過程的變化趨勢(shì)——平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。第二頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模3種群模型

單種群模型

本節(jié)介紹Malthus模型、Logistic模型及可開發(fā)的單種群模型，應(yīng)用微分方程的數(shù)學(xué)工具來研究種群的增長與變化規(guī)律。

第三頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模4種群模型

1.1Malthus模型

設(shè)

p(t)——一給定的物種在時(shí)刻t的總數(shù)

r(t,p)——該物種在時(shí)刻t出生率與死亡率之差，稱為自然增長率。假設(shè)r

為常數(shù)，則種群的增長規(guī)律可以用以下微分方程表出

（1）

第四頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模5種群模型

上式稱為單一種群的Malthus模型，若設(shè)初值為

p(t0)=p0,則（1）式的解為

由于其增長形式為指數(shù)形式，故該模型又稱為指數(shù)增長模型。

第五頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模6種群模型1.2Logistic模型

Malthus模型的不合理性在于，它沒有反映出這樣的事實(shí)，即當(dāng)種群群體龐大到一定程度時(shí)，群體中個(gè)體之間要為有限的生存空間及資源而進(jìn)行競爭。因此線性微分方程（1）必須再加上一個(gè)競爭項(xiàng)。有人用某種昆蟲做實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明，單位時(shí)間內(nèi)兩個(gè)成員發(fā)生沖突的次數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均與p2成比例，故這個(gè)競爭項(xiàng)的一個(gè)合理的選擇是-bp2，其中b是常數(shù)。第六頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模7種群模型

此模型稱為阻滯增長模型，是由荷蘭生物數(shù)學(xué)家Verhulst在1837年提出的，又稱為Logistic模型。

當(dāng)初值p(t0)=p0給定時(shí)，（3）的解為

其變化曲線見下圖。

第七頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模8種群模型

注意到

于是，不論初值怎樣，群體規(guī)?？偸切∮诓⑶亿呌跇O限值

r/b,這個(gè)極限值的實(shí)際意義是環(huán)境資源對(duì)該種群的最大容納量，記N=

r/b,則方程（3）可以寫為更常見的形式第八頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模9種群模型

其中r是固有增長率，N是環(huán)境資源對(duì)該種群的最大容量。

有人曾用上述Logistic模型對(duì)

1790～1950年美國人口的數(shù)量作過預(yù)測，與實(shí)際數(shù)據(jù)相當(dāng)吻合，誤差不超過

2.5%。第九頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模10種群模型1.3可開發(fā)的單種群模型考察一個(gè)漁場，我們要建立一個(gè)在有捕撈條件下魚的總量所滿足的方程，并且在穩(wěn)定的前提下討論如何控制捕撈使持續(xù)產(chǎn)量最大。

模型假設(shè)

記t時(shí)刻漁場魚的總量為p(t)，r為固有增長率，N為環(huán)境資源允許的最大魚量。第十頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模11種群模型1)在無捕撈條件下，p(t)服從

Logistic模型

2)單位時(shí)間的捕撈量h與漁場魚量成正比，比例系數(shù)為k

，表示單位時(shí)間捕撈率。于是第十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模12種群模型

模型建立

，則在有捕撈條件下漁場魚量的增長模型為

第十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模13種群模型

模型討論

由本問題的目標(biāo)出發(fā)，我們關(guān)心的是漁場中魚量達(dá)到穩(wěn)定的平衡狀態(tài)時(shí)的情形，而不必知道每一時(shí)刻的魚量變化情況，故不需要解出方程，只需要討論方程

(7)的平衡點(diǎn)并分析其穩(wěn)定性。

平衡點(diǎn)：滿足的點(diǎn)稱為方程

(7)的平衡點(diǎn)。第十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模14種群模型解得

(7)的兩個(gè)平衡點(diǎn)為：容易算出:

第十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模15種群模型

稱平衡點(diǎn)p*

是穩(wěn)定的是指：對(duì)方程

(7)的任一個(gè)解p=p(t)

，恒有

判斷平衡點(diǎn)p*

是否穩(wěn)定，可以通過（8）式判別，但這需要解方程（7）。

另一種判別法是根據(jù)一階近似方程判斷：

第十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模16種群模型

近似方程

(9)的一般解為：于是有下述結(jié)論：，則p*

是穩(wěn)定平衡點(diǎn)。，則p*

不是穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

第十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模17種群模型回到我們的問題，由于所以，?

當(dāng)k<r

時(shí)，是穩(wěn)定平衡點(diǎn),p1不是；?

當(dāng)k>r

時(shí)，是穩(wěn)定平衡點(diǎn),p0不是；第十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模18種群模型

結(jié)果分析

當(dāng)捕撈適度(即：k<r)時(shí),可使?jié)O場產(chǎn)量穩(wěn)定在

從而獲得持續(xù)產(chǎn)量h(p0)=kp0

。而當(dāng)捕撈過度（即：k>r）時(shí)，漁場產(chǎn)量將減至p1=

0

，破壞性捕撈，從而是不可持續(xù)的。第十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模19種群模型

進(jìn)一步討論

如何控制捕撈強(qiáng)度k,

使得持續(xù)產(chǎn)量

h(p0)=kp0

最大？

第十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模20種群模型對(duì)應(yīng)的

結(jié)論

控制捕撈強(qiáng)度k=r/2

，使?jié)O場產(chǎn)量pm保持在最大魚量N

的一半時(shí)，可以獲得最大的持續(xù)產(chǎn)量hm=rN/4。

第二十頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模21種群模型

多種群模型

多種群模型包含相互競爭模型、相互依存模型及弱肉強(qiáng)食模型，前兩個(gè)模型可以統(tǒng)一用微分方程組描述為

第二十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模22種群模型

在該系統(tǒng)中，α，β的不同取值便決定了這兩個(gè)種群的不同關(guān)系。α，β>0，表示該模型為種群間相互競爭模型；α，β<0，則意味著該模型為種群間相互依存模型。若α·β<0,則該模型可變化為弱肉強(qiáng)食模型，我們?cè)谶@里只討論第三種模型的建立及解的表現(xiàn)。第二十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模23種群模型

先介紹一些微分方程定性理論中的結(jié)論。考慮微分方程組

二元方程組

的根稱為微分方程組（11）的平衡點(diǎn)。

第二十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模24種群模型

設(shè)(x*,y*)

是方程組（11）的一個(gè)平衡點(diǎn)

,令將P(x,y),Q(x,y)

在(x*,y*)

附近展開，略去高階項(xiàng)，可得近似線性系統(tǒng)：

第二十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模25種群模型

設(shè)系數(shù)矩陣

的特征根為λ1，λ

2，則有以下結(jié)論：①λ1

，λ

2是同號(hào)實(shí)數(shù)時(shí)：

λi<0

(x*,y*)

是穩(wěn)定點(diǎn)；

λi>0

(x*,y*)

不是穩(wěn)定點(diǎn)。②λ1

，λ

2是異號(hào)實(shí)數(shù)時(shí)，

(x*,y*)點(diǎn)不是穩(wěn)定點(diǎn)，稱為鞍點(diǎn)。第二十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模26種群模型③λ1

，λ

2是共軛復(fù)數(shù)時(shí)：

λ1

，2

＝

a±bi

a<0(x*,y*)

是穩(wěn)定點(diǎn)；

a>0(x*,y*)不

是穩(wěn)定點(diǎn)。微分方程組（11）的平衡點(diǎn)(x*,y*)

的穩(wěn)定性，可以應(yīng)用上述三條結(jié)論判定。第二十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模27種群模型

弱肉強(qiáng)食模型

弱肉強(qiáng)食模型，生態(tài)學(xué)上稱為食餌（Prey）—捕食者（Predater）系統(tǒng)，簡稱為P—P系統(tǒng)。二十世紀(jì)20年代中期，意大利生物學(xué)家D’Ancona研究魚類種群間的制約關(guān)系。在研究過程中，他偶然注意到了在第一次世界大戰(zhàn)時(shí)期，地中海各個(gè)港口的捕魚資料中，鯊魚等（捕食者）魚類的比例有明顯的提高（見下表）。第二十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模28種群模型

他無法解釋這種現(xiàn)象，于是求助于著名意大利數(shù)學(xué)家V.Volterra，希望他能幫助建立一個(gè)P—P系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，來解釋這種現(xiàn)象。

模型建立（Volterra模型）

設(shè)食餌數(shù)量為x1(t)

，捕食者數(shù)量為x2(t)

。

年份191419151916191719181919192019211922鯊魚比例11.921.422.121.236.427.316.015.914.8第二十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模29種群模型

第一步：只考慮食餌。假定大海的資源非常豐富，食餌之間不存在競爭，則x1(t)

將以固有增長率r1

的速度無限增長，即：x1’=r1

x1.

第二步：考慮到捕食者的存在，食餌的增長將受到限制，設(shè)降低的程度與捕食者數(shù)量成正比,

即：

x1’=x1(r1–α1x2)

(14)比例系數(shù)α1

反映捕食者的捕食能力。第二十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模30種群模型

第三步：捕食者離開食餌無法生存，設(shè)其自然死亡率為r2

(>0)

，則x2’=－r2x2

。而食餌為它提供食物的作用相當(dāng)于使其死亡率降低，促進(jìn)了其增長。設(shè)這個(gè)作用與食餌數(shù)量成正比，于是：

x2’=x2(-r2

＋α2x1)

(15)

比例系數(shù)α2

反映食餌對(duì)捕食者的供養(yǎng)能力。方程（14）、（15）表示在正常的情況下，兩類魚相互之間的影響關(guān)系。第三十頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模31種群模型模型分析

解方程組

x1(r1–α1x2)=0x2(-r2

＋α2x1)=0得到方程組（14）、（15）的平衡點(diǎn)為仍用線性化的方法研究平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。第三十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模32種群模型對(duì)于P1(0,0)點(diǎn)

,

兩個(gè)特征根為異號(hào)實(shí)數(shù)，故P1(0,0)點(diǎn)不穩(wěn)定。第三十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模33種群模型

對(duì)于：特征方程為此時(shí)，兩個(gè)特征根是共軛復(fù)數(shù)，實(shí)部為0，故無法直接判斷平衡點(diǎn)穩(wěn)定性。為分析解的漸進(jìn)行為，一種變通方法是到相空間中去分析解軌跡的圖形。在（14）、（15）中消去dt

，得：

第三十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模34種群模型第三十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模35種群模型定理

當(dāng)x1,x2>0

時(shí)，方程

定義了一族封閉曲線。第三十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模36種群模型

P0T1T2T2T2第三十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模37種群模型軌線是一族以平衡點(diǎn)P0

為中心的封閉曲線,方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向（由導(dǎo)數(shù)符號(hào)確定）。封閉軌線對(duì)應(yīng)著方程(16)的周期解

,所以P0

是不穩(wěn)定的，我們用一個(gè)周期內(nèi)的平均值作為食餌與捕食者的近似值。

第三十七頁，