塑性力學(xué)(第一章)課件

塑性力學(xué)

塑性力學(xué)1第一章簡單應(yīng)力狀態(tài)下的

彈塑性力學(xué)問題

§1.1引言§1.2材料在簡單拉壓時的實驗結(jié)果§1.3應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系簡化模型§1.4軸向拉伸時的塑性失穩(wěn)§1.5簡單桁架的彈塑性分析§1.6強化效應(yīng)的影響§1.7幾何非線性的影響§1.8彈性極限曲線§1.9加載路徑的影響§1.10極限載荷曲線（面）§1.11安定問題第一章簡單應(yīng)力狀態(tài)下的

彈塑性力學(xué)問題2§1.1引言

一、變形彈性變形：物質(zhì)微元的應(yīng)力和應(yīng)變之間具有單一的對應(yīng)關(guān)系

非彈性變形：應(yīng)力和應(yīng)變之間不具有單一的對應(yīng)關(guān)系非彈性變形塑性變形粘性變形（是指物體在除去外力后所殘留下的永久變形）（隨時間而改變，如蠕變、應(yīng)力松弛等）§1.1引言

一、變形彈性變形：物質(zhì)微元的應(yīng)力和應(yīng)變之間3二、塑性與脆性如果變形很小就破壞，便稱是脆性如果經(jīng)受了很大的變形才破壞，材料具有較好的韌性或延性，這時材料的塑性變形能力較強，便稱是塑性。在這種情況下，物體從開始出現(xiàn)永久變形到最終破壞之間仍具有承載能力?！捎脧椥岳碚摲治觥捎盟苄粤W(xué)分析二、塑性與脆性如果變形很小就破壞，便稱是脆性如果經(jīng)受了很大的4研究在哪些條件下可以允許結(jié)構(gòu)中某些部位的應(yīng)力超過彈性極限的范圍，以充分發(fā)揮材料的強度潛力研究物體在不可避免地產(chǎn)生某些塑性變形后，對承載能力和（或）抵抗變形能力的影響研究好何利用材料的塑性性質(zhì)以達到加工成形的目的三、塑性力學(xué)目的研究在哪些條件下可以允許結(jié)構(gòu)中某些部位的應(yīng)力超過彈性極限的范5

塑性力學(xué)是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一個分支，故研究時仍采用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的假設(shè)和基本方法。

四、塑性力學(xué)的方法基本方程:①幾何關(guān)系②守恒定律③本構(gòu)方程塑性力學(xué)是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一個分支，故研究時仍采用連續(xù)介質(zhì)6§1.2材料在簡單拉壓時的實驗結(jié)果

材料：金屬多晶材料受力：單向拉伸或壓縮實驗(名義)應(yīng)力：σ=P/A0(名義)應(yīng)變：ε=（ι-ι0）/ι0

一、實驗描述§1.2材料在簡單拉壓時的實驗結(jié)果

一、實驗描述7二、實驗曲線二、實驗曲線8線彈性階段非線性彈性階段屈服階段強化階段頸縮階段實驗曲線加載過程實驗曲線卸載過程彈性階段：卸載沿原路返回塑性階段：卸載沿直線返回，斜率與彈性階段相同線彈性階段實驗曲線加載過程實驗曲線卸載過程彈性階段9應(yīng)變強化：三、兩種現(xiàn)象包氏效應(yīng)：實驗曲線反向加載：單晶體，其壓縮時的屈服應(yīng)力也有相似的提高(圖2（a）中的M′′點)多晶體，其壓縮屈服應(yīng)力（M′點）一般要低于一開始就反向加載時的屈服應(yīng)力（A′點）。這種由于拉伸時強化影響到壓縮時弱化的現(xiàn)象稱為包氏效應(yīng)（Bauschingereffect）。材料經(jīng)過塑性變形得到強化圖2（a）應(yīng)變強化：三、兩種現(xiàn)象包氏效應(yīng)：實驗曲線反向加載：單晶體，其101、在材料的彈塑性變形過程中，應(yīng)力與應(yīng)變之間已不再具有單一的對應(yīng)關(guān)系。四、實驗總結(jié)加載路徑——σ與ε之間的關(guān)系依賴于加載路徑內(nèi)變量——宏觀參量，用來刻畫加載歷史例如，作為最簡單的近似，可以取內(nèi)變量ξ為塑性應(yīng)變εp，而將簡單受拉（壓）時的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系寫為ε=σ/E+εp（1）——其中E為楊氏模量上式表明，當εP（內(nèi)變量）一定時，σ與ε之間有單一的對應(yīng)關(guān)系。1、在材料的彈塑性變形過程中，應(yīng)力與應(yīng)變之間已不再具112.σ與ε之間的線性關(guān)系ε=σ/E+εp（1）式是有適用范圍的。對于固定的內(nèi)變量εP，σ或ε并不能隨意取值。例如，對處于圖2（a）中的M點，當加載時即應(yīng)力（或應(yīng)變）繼續(xù)增長時，應(yīng)力應(yīng)變曲線將沿AMM1方向延伸，公當卸載時即應(yīng)力（或應(yīng)變）減小時應(yīng)力應(yīng)變曲線才以（1）式的規(guī)律沿MN向下降。為了區(qū)分以上這種加載和卸載所具有的不同規(guī)律，就必須給出相應(yīng)的加卸載準則。圖2（a）2.σ與ε之間的線性關(guān)系ε=σ/E+εp（12五、影響材料性質(zhì)的其它幾個因素1、溫度

當溫度上升時，材料的屈服應(yīng)力將會降低而塑性變形的能力則有所提高。3．靜水壓力

當靜水壓力不太大時，材料體積的變化服從彈性規(guī)律而不產(chǎn)生永久的塑性體積改變。2、應(yīng)變速率

如果實驗時將加載速度提高幾個數(shù)量級，則屈服應(yīng)力也會相應(yīng)地提高，但材料的塑性應(yīng)變形能力會有所下降。當材料有較大的塑性變形時（彈性變形相對地很?。山频卣J為體積是不可壓的。靜水壓力對屈服應(yīng)力的影響也是不大的。

五、影響材料性質(zhì)的其它幾個因素1、溫度當溫度上升時，材料13§1.3應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系關(guān)系的簡化模型

類似地，上式也可用應(yīng)變表示為：1．理想彈塑性模型適用：強化率較低的材料，在應(yīng)變不太大時可忽略強化效應(yīng)§1.3應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系關(guān)系的簡化模型

142．線性強化彈塑性模型類似地，上式也可用應(yīng)變表示為：適用：材料的強化率較高且在一定范圍內(nèi)變化不大（假定拉伸和壓縮時屈服應(yīng)力的絕對值和強化模量都相同）2．線性強化彈塑性模型類似地，上式也可用應(yīng)變表示為：適用：材15——表示圖5（a）中的線段比

3．一般加載規(guī)律對于一般的單向拉伸曲線，在不卸載時應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：——表示圖5（a）中的線段比3．一般加載規(guī)16注：這種模型在=0處的斜率為無窮大，近似性較差，但在數(shù)學(xué)上比較容易處理。

（8）4．冪次強化模型（其中B>0，0<m<1）注：這種模型在=0處的斜率為無窮大，近似性較差，但在數(shù)17其加載規(guī)律可寫為：

（9）如取就有說明：這對應(yīng)于割線余率為0.7E的應(yīng)力和應(yīng)變，上式中有三個參數(shù)可用來刻畫實際材料的拉伸特性，而在數(shù)學(xué)表達式上也較為簡單。5．Ramberg-Osgood模型其加載規(guī)律可寫為：如取就有說明：18等向強化模型6.等向強化模型及隨動強化模型例如：可取適用：拉伸時的屈服應(yīng)力和壓縮時的屈服應(yīng)力始終是相等的?！强坍嬎苄宰冃螝v史的參數(shù)圖2（a）或該模型不論拉伸還是壓縮都使屈服應(yīng)力提高，對應(yīng)圖2（a）中的和。等向強化模型6.等向強化模型及隨動強化模型例如：可取適用：19隨動強化模型上式在線性強化情形下也可寫為（是塑性應(yīng)變的單調(diào)遞增函數(shù)）適用：考慮包氏效應(yīng)，認為拉伸屈服應(yīng)力和壓縮屈服應(yīng)力的代數(shù)值之差，即彈性響應(yīng)的范圍始終是不變的。是一個常數(shù)（）圖2（a）該模型對應(yīng)圖2（a）中的和。隨動強化模型（是塑性應(yīng)變的單調(diào)遞20§1.4軸向拉伸時的塑性失穩(wěn)

一、拉伸失穩(wěn)的概念1、拉伸失穩(wěn)：注意：拉伸試件在出現(xiàn)頸縮后，試件局部區(qū)域的截面積會有明顯減少，再用名義應(yīng)力和應(yīng)變來描述此時的材料特性是不適當?shù)模ㄒ妶D2）在最高點以后，增加應(yīng)變時應(yīng)力反而下降，在通常意義下稱試件是不穩(wěn)定的。圖2（a）§1.4軸向拉伸時的塑性失穩(wěn)

一、拉伸失穩(wěn)的概念1、拉伸212、真應(yīng)力3、對數(shù)應(yīng)變4、截面積收縮比q=（A0-A）/A02、真應(yīng)力3、對數(shù)應(yīng)變4、截面積收縮比q=（A0-A）/A022假定材料是不可壓縮的：A0l0=Al，并認為名義應(yīng)力達到最高點C時出現(xiàn)頸縮：

二、真應(yīng)力則在頸縮時真應(yīng)力應(yīng)滿足條件拉伸失穩(wěn)分界點的斜率正好和該點的縱坐標值相等。

由結(jié)論：[1]假定材料是不可壓縮的：A0l0=Al，并認為名義應(yīng)力二、23注意到頸縮時的條件也可寫為：即拉伸失穩(wěn)點的斜率為其縱坐標值除以結(jié)論：[2]注意到頸縮時的條件也可寫為：即拉伸失穩(wěn)點的斜率為其24[3]以截面積收縮比q為自變量則由頸縮時的條件拉伸失穩(wěn)時真應(yīng)力所滿足的條件:[3]以截面積收縮比q為自變量則由頸縮時的條件拉伸失穩(wěn)時真應(yīng)25隨著材料的變形，微裂紋和（或）孔洞的生成及匯合也將會造成材料的弱化而導(dǎo)致失穩(wěn)。稱之為應(yīng)變?nèi)趸?。三、材料本身的失穩(wěn)現(xiàn)象例如，在低碳鋼拉伸實驗中由上屈服應(yīng)力突然下降到下屈服應(yīng)力的現(xiàn)象，它與材料變形的內(nèi)部微觀機制的變化有關(guān)。在許多問題（如拉伸失穩(wěn)等）中，以上兩種現(xiàn)象往往是耦合的

隨著材料的變形，微裂紋和（或）孔洞的生成及匯合也將會造成材料26§1.5簡單桁架的彈塑性分析

一、問題的提出以圖示的一次靜不定三桿桁架為例進行彈塑性分析?！?.5簡單桁架的彈塑性分析一、問題的提出以圖示的一次靜27圖中三根桿的截面積均為A，中間第二桿的桿長為，它與相鄰的第一桿和第三桿的夾角均為θ=450，在其交匯點O處作用水平力Q和垂直向下的力P，O點將產(chǎn)生水平位移和垂直位移。二、問題的解答已知：解：如定義第根桿的名義應(yīng)力為,名義應(yīng)變?yōu)?則有如下平衡方程圖中三根桿的截面積均為A，中間第二桿的桿長為，二、問題的28和幾何關(guān)系和協(xié)調(diào)條件為了得到問題的解，還必須補充本構(gòu)方程。我們假定材料是理想彈塑性。和幾何關(guān)系和協(xié)調(diào)條件為了得到問題的解，還必須補充本構(gòu)方程。29(1)Q=0時的彈性解和彈塑性解由彈性解:由1、應(yīng)力(1)Q=0時的彈性解和彈塑性解由彈性解:由1、應(yīng)力30

為屈服應(yīng)力————為垂直方向上的彈性極限載荷為屈服應(yīng)力————為垂直方向上的彈性極限載荷312、位移（14）（17）由（14）、（17）和（18），得——垂直向下位移2、位移（14）（17）由（14）、（17）和（18），得—32載荷-位移曲線則當P由零增至Pe時，在圖9的坐標中為區(qū)間[0，1]上斜率等于1的直線段OA。若令載荷-位移曲線則當P由零增至Pe時，在圖9的坐標中為區(qū)間[033彈塑性解:當P由零逐漸增大到Pe時，第2桿的應(yīng)力也逐漸增大而達到屈服狀態(tài)：如果P的值再繼續(xù)增加，則（17）式已不再適用，相應(yīng)的本構(gòu)方程應(yīng)改寫為由應(yīng)力彈塑性解:當P由零逐漸增大到Pe時，第2桿的應(yīng)力也逐漸增大而34應(yīng)變說明：（1）這時的第2桿雖然已經(jīng)屈服而失去了進一步的承載能力，但由于它還受到第1桿和第3桿彈性變形的制約，其塑性變形不能任意增和，這種狀態(tài)稱為約束塑性變形。（2）直到P值逐漸增大到使時，三根桿將全部進入屈服階段，變形已不再受任何約束，結(jié)構(gòu)才完全喪失進一步的承載能力。這時的載荷P為——稱為塑性極限載荷應(yīng)變說明：（2）直到P值逐漸增大到使35由和位移當P=PS時，或注：（24）式對應(yīng)于圖9中在區(qū)間[1，2]上斜率為的直線段AB當考慮塑性變形時，結(jié)構(gòu)的變形要比純彈性變形為大，但仍屬同一數(shù)量級，而相應(yīng)的承載能力將會有相當?shù)奶岣?。結(jié)論由和位移當P=PS時，或注：（24）式對應(yīng)于圖9中在區(qū)間[136

(2)卸載現(xiàn)將P的值加載到處于Pe<P<Ps范圍內(nèi)的某一值P*，然后再卸載使P的改變量△P<0。由于卸載服從彈性規(guī)律，利用（18）式的增量形式，可知應(yīng)力和應(yīng)變的改變量分別為卸載時的載荷-位移曲線（見圖9）與初始彈性加載時的曲線有相同的斜率。

卸載規(guī)律:(2)卸載現(xiàn)將P的值加載到處于Pe<P<Ps范圍37

應(yīng)力和應(yīng)變:最終的應(yīng)力和應(yīng)變值可由（21）、（25）和（22）、（26）下式的疊加求得：應(yīng)力和應(yīng)變:最終的應(yīng)力和應(yīng)變值可由（21）、（238特別地，當載荷P值全部卸除后，由△P=-P*，便得到桿中的殘余應(yīng)力和殘余應(yīng)變（見圖10）為：殘余應(yīng)力和殘余應(yīng)變:其中節(jié)點O的殘余位移為：特別地，當載荷P值全部卸除后，由△P=-P*，便得到桿中的殘39實際上，第1桿和第3桿其變形規(guī)律始終是彈性的，如果卸去載荷并解除三桿之間約束的話，第1桿和第3桿中的彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變都等于零，而第2桿則有塑性應(yīng)變。故在原有的約束下，就必然地引起內(nèi)應(yīng)力而使這三根桿件的殘余應(yīng)變不等于零。說明：1、殘余應(yīng)力應(yīng)該滿足與零外載相對應(yīng)的平衡方程。2、殘余應(yīng)變由（1）式可分為彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變兩部分之和：3、在超靜定結(jié)構(gòu)中殘余應(yīng)變一般并不等于塑性應(yīng)變。說明：1、殘余應(yīng)力應(yīng)該滿足與零外載相對應(yīng)的平衡方程。2、殘余40§1.6強化效應(yīng)的影響本節(jié)仍討論Q=0的情形，現(xiàn)假定材料是線性強化的。不卸載時其拉伸曲線可寫為（1）當P時，桿中的應(yīng)力值仍由（18）式表示§1.6強化效應(yīng)的影響本節(jié)仍討論Q=0的情形，現(xiàn)假定材料是41（2）當P>Pe時，有將上式與（15）式和（16）式聯(lián)立，可解得（2）當P>Pe時，有將上式與（15）式和（16）式聯(lián)立，可42（3）當P增至使時，第1桿和第3桿也開始屈服。此時的載荷值為1、如取E‘/E=1/10，則P1=1.04Ps。與理想彈塑性材料相比，相應(yīng)的載荷值并沒有很大的增加。這說明采用理想彈塑性模型可得到較好的近似，而計算卻有相當?shù)暮喕?/p>

說明：2、當P小于P1時，結(jié)構(gòu)的變形仍屬于彈性變形的量級，而當P超過P1后繼續(xù)增加時，由于強化效應(yīng)，結(jié)構(gòu)并不會進入塑性流動狀態(tài)，但這時的變形將會有較快的增長。（3）當P增至使時，第1桿和第3桿也開始43§1.7幾何非線性的影響一、問題的提出求解基本方程：——是在小變形的假設(shè)下建立的§1.7幾何非線性的影響一、問題的提出求解基本方程：——是44當桿件的塑性變形很大時，結(jié)構(gòu)幾何尺寸的改變將會產(chǎn)生顯著的影響。這時應(yīng)采用真應(yīng)力和對數(shù)應(yīng)變來進行討論。二、問題的解答仍考慮Q=0的情形，假定材料是剛塑性線性強化的：而且滿足不可壓條件：令則由幾何分析于是當桿件的塑性變形很大時，結(jié)構(gòu)幾何尺寸的改變將會產(chǎn)生顯著的影響45在變形后的結(jié)構(gòu)上建立的平衡方程為：其中——為變形后第2桿與第1桿（和第3桿）之間的夾角可見（33）式中有三個未知量在不卸載的情況下，由本構(gòu)方程：得到與之間的非線性關(guān)系在變形后的結(jié)構(gòu)上建立的平衡方程為：其中——為變形后第2桿與第46結(jié)論：隨著的增長，的值將會由于強化效應(yīng)和角的減小而提高，但也會隨著桿件截面積的收縮而下降。故當很大時，結(jié)構(gòu)將可能變成不穩(wěn)定的。結(jié)論：隨著的增長，的值將會由于強化效應(yīng)和47§1.8彈性極限曲線本節(jié)我們將考慮前述桁架同時受垂直載荷P和水平載荷Q作用的情形。如果桁架中的三根桿件都處于彈性階段，則由（13）(14）15）和（17）各式，平衡方程幾何方程協(xié)調(diào)條件本構(gòu)方程§1.8彈性極限曲線本節(jié)我們將考慮前述桁架同時受垂直載荷P48其中，表示只作用水平力時的彈性極限載荷?？汕蟮脳U中應(yīng)力為其中，表示只作用水平力時的49（35）式成立的條件為這相當于對P和Q的限制條件：上式對應(yīng)于圖12中實線六邊形區(qū)域，其中等號則對應(yīng)于該六邊形的邊界，稱為彈性極限曲線，表示至少有一根桿件已達到屈服狀態(tài)。（35）式成立的條件為這相當于對P和Q的限制條件：上式對應(yīng)于50如果作用于結(jié)構(gòu)上的載荷先是超出了彈性極限曲線，然后又完全卸回到零，那么結(jié)構(gòu)中將存在殘余應(yīng)力。由于殘余應(yīng)力與零外載相平衡，故可寫成（27）式的形式：其中是一個可以變化的參數(shù)，其值可由（28）式來表示。在存在殘余應(yīng)力的情況下，如果再重新對結(jié)構(gòu)施加載荷而未能再次屈服，那么結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力值就應(yīng)該是以上的殘余應(yīng)力與（35）式的疊加。如果作用于結(jié)構(gòu)上的載荷先是超出了彈性極限曲線，然后由于殘余應(yīng)51不產(chǎn)生新的塑性變形的限制條件：其中值滿足（37）式對應(yīng)于圖12中虛線所構(gòu)成的六邊形區(qū)域。說明：可見在加載方向一側(cè)屈服載荷有所提高而與加載方向相反的一側(cè)屈服載荷有所降低?？捎脕韺?yīng)變硬化和包氏效應(yīng)等現(xiàn)象做一個比較形象的解釋。不產(chǎn)生新的塑性變形的限制條件：其中值滿足（37）式對應(yīng)52§1.9加載路徑的影響塑性力學(xué)的特點之一就是解對加載路徑的依賴性。[例]計算上述的理想彈塑性三桿桁架在不同加載路徑下O點的最終水平位移和垂直位移。第一種路徑（圖13（a)中的路徑1）當時第一種路徑：（Q，P）先由（0，0）線性地變化為（0，PS），再在垂直位移保持不變的條件下增加Q使達到Qe§1.9加載路徑的影響塑性力學(xué)的特點之一就是解對加載路徑53如保持δy=2δe不變而施加水平方向的載荷Q，使點O有一個水平方向的位移增量，則由幾何關(guān)系（14）式：可知第1桿和第2桿并未卸載而第3桿以彈性規(guī)律卸載于是，由（13）式可求得載荷增量為：即Q與P之間的變化規(guī)律是線性的如保持δy=2δe不變而施加水平方向的載荷Q，使點可知第1桿54當?shù)?桿卸載到σ3=-σs時由△σ3=-2σs得此時三桿同時屈服，即結(jié)構(gòu)再次進入塑性流動狀態(tài)。三桿的應(yīng)力為：水平位移δx可由（38）式求得，垂直位移δy始終不變。因此：當?shù)?桿卸載到σ3=-σs時由△σ3=-2σs得此時三桿同時55第二種路徑：（Q，P）由（0，0）作單調(diào)的比例如載而達到（）第二種路徑（圖13（a）中的路徑②）由于加載時始終有關(guān)系式，故將其代入（35）式可得初始彈性階段的解為：第二種路徑：（Q，P）由（0，0）作第二種路徑（圖13（a）56，——表明隨著P的增長，第1桿最先達到屈服。當各桿的應(yīng)力此時O點的位移值為，——表明隨著P的增長，第1桿最先達到屈服。當各桿的應(yīng)力此時57

如繼續(xù)加載，則第1桿進入屈服階段，即由和（13）式的增量形式——表明第2桿繼續(xù)受拉，第3桿繼續(xù)受壓。各桿的應(yīng)力由（41）式和（43）式計算當三桿同時進入塑性狀態(tài)，即如繼續(xù)加載，則第1桿進入屈服階段，即由和（13）式的增量58

利用（43）式和（14）式的增量形式便可求出對應(yīng)于時的位移增量：最終位移則是上式和（42）式的疊加：結(jié)論：可知在兩種加載路徑下雖然可得到相同的應(yīng)力值，但各桿的應(yīng)變和O點最終位移值卻是不同的。利用（43）式和（14）式的增量形式便可求出對59§1.10極限載荷曲線（面）一、概念兩個不等式同時取等號時，（P，Q）的值將處于虛線六邊形的頂點。1、塑性極限載荷此時結(jié)構(gòu)變?yōu)橐粋€能產(chǎn)生塑性流動的機構(gòu)而喪失了進一步承載的能力。相應(yīng)的載荷就是塑性極限載荷?！?.10極限載荷曲線（面）一、概念兩個不等式同時取等號時，602、極限載荷曲線隨著γ*的改變，這個極限載荷在（Q，P）平面上的軌跡將形成一條曲線，稱為極限載荷曲線（在多維載荷空間中則稱為極限載荷曲面）。特點：與彈性極限曲線不同，極限載荷曲線是結(jié)構(gòu)的固有屬性，它不依賴于加載歷史。作法：1、求得（Q，P）平面在第一象限內(nèi)的極限載荷曲線；2、根據(jù)Q和P的四種組合和拉、壓屈服應(yīng)力相等的假設(shè)，由對稱性條件來獲得整個平面上的餓極限載荷曲線。2、極限載荷曲線隨著γ*的改變，這個極限載荷在（Q，P）平面61（Q，P）平面在第一象限內(nèi)的極限載荷曲線可由以下方法求得：設(shè)加載是按比例增至極限載荷的很大時，第1桿和第2桿先達到拉伸屈服故由（13）式得其中這對應(yīng)于圖a中的線段FG。1、（Q，P）平面在第一象限內(nèi)的極限載荷曲線可由以下方法求得：設(shè)622、當很小時，第1桿達到拉伸屈服而第3桿達到壓縮屈服：故由（13）式得其中這對應(yīng)于圖a中的線段GH——此時三桿同時進入屈服狀態(tài)2、當很小時，第1桿達到拉伸屈服而第3桿達到壓縮屈服：故63二、極限載荷曲線的性質(zhì)（1）極限載荷曲線（面）是唯一的，它與加載路徑無關(guān)。（2）極限載荷曲線（面）是外凸的。（3）在極限載荷曲線（面）上，與外載荷相對應(yīng)的位移增量的方向指向該曲線（面）的外法向。二、極限載荷曲線的性質(zhì)（1）極限載荷曲線（面）是唯一的，它與64§1.11*安定問題安定狀態(tài):

結(jié)構(gòu)始終呈彈性響應(yīng)結(jié)構(gòu)在經(jīng)過有限次塑性變形而達到一定的殘余應(yīng)力狀態(tài)后，外載荷的繼續(xù)作用將使該結(jié)構(gòu)在此殘余應(yīng)力之上仍然作彈性響應(yīng)不安定：結(jié)構(gòu)中的某些部位總是交替地產(chǎn)生異號的塑性變化，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的塑性循環(huán)（或稱低周疲勞）破壞；結(jié)構(gòu)中的某些部位總要產(chǎn)生同號的塑性變形，經(jīng)過多次重復(fù)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的塑性累積破壞?！?.11*安定問題安定狀態(tài):不安定：65塑性力學(xué)

塑性力學(xué)66第一章簡單應(yīng)力狀態(tài)下的

彈塑性力學(xué)問題

§1.1引言§1.2材料在簡單拉壓時的實驗結(jié)果§1.3應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系簡化模型§1.4軸向拉伸時的塑性失穩(wěn)§1.5簡單桁架的彈塑性分析§1.6強化效應(yīng)的影響§1.7幾何非線性的影響§1.8彈性極限曲線§1.9加載路徑的影響§1.10極限載荷曲線（面）§1.11安定問題第一章簡單應(yīng)力狀態(tài)下的

彈塑性力學(xué)問題67§1.1引言

一、變形彈性變形：物質(zhì)微元的應(yīng)力和應(yīng)變之間具有單一的對應(yīng)關(guān)系

非彈性變形：應(yīng)力和應(yīng)變之間不具有單一的對應(yīng)關(guān)系非彈性變形塑性變形粘性變形（是指物體在除去外力后所殘留下的永久變形）（隨時間而改變，如蠕變、應(yīng)力松弛等）§1.1引言

一、變形彈性變形：物質(zhì)微元的應(yīng)力和應(yīng)變之間68二、塑性與脆性如果變形很小就破壞，便稱是脆性如果經(jīng)受了很大的變形才破壞，材料具有較好的韌性或延性，這時材料的塑性變形能力較強，便稱是塑性。在這種情況下，物體從開始出現(xiàn)永久變形到最終破壞之間仍具有承載能力?！捎脧椥岳碚摲治觥捎盟苄粤W(xué)分析二、塑性與脆性如果變形很小就破壞，便稱是脆性如果經(jīng)受了很大的69研究在哪些條件下可以允許結(jié)構(gòu)中某些部位的應(yīng)力超過彈性極限的范圍，以充分發(fā)揮材料的強度潛力研究物體在不可避免地產(chǎn)生某些塑性變形后，對承載能力和（或）抵抗變形能力的影響研究好何利用材料的塑性性質(zhì)以達到加工成形的目的三、塑性力學(xué)目的研究在哪些條件下可以允許結(jié)構(gòu)中某些部位的應(yīng)力超過彈性極限的范70

塑性力學(xué)是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一個分支，故研究時仍采用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的假設(shè)和基本方法。

四、塑性力學(xué)的方法基本方程:①幾何關(guān)系②守恒定律③本構(gòu)方程塑性力學(xué)是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一個分支，故研究時仍采用連續(xù)介質(zhì)71§1.2材料在簡單拉壓時的實驗結(jié)果

材料：金屬多晶材料受力：單向拉伸或壓縮實驗(名義)應(yīng)力：σ=P/A0(名義)應(yīng)變：ε=（ι-ι0）/ι0

一、實驗描述§1.2材料在簡單拉壓時的實驗結(jié)果

一、實驗描述72二、實驗曲線二、實驗曲線73線彈性階段非線性彈性階段屈服階段強化階段頸縮階段實驗曲線加載過程實驗曲線卸載過程彈性階段：卸載沿原路返回塑性階段：卸載沿直線返回，斜率與彈性階段相同線彈性階段實驗曲線加載過程實驗曲線卸載過程彈性階段74應(yīng)變強化：三、兩種現(xiàn)象包氏效應(yīng)：實驗曲線反向加載：單晶體，其壓縮時的屈服應(yīng)力也有相似的提高(圖2（a）中的M′′點)多晶體，其壓縮屈服應(yīng)力（M′點）一般要低于一開始就反向加載時的屈服應(yīng)力（A′點）。這種由于拉伸時強化影響到壓縮時弱化的現(xiàn)象稱為包氏效應(yīng)（Bauschingereffect）。材料經(jīng)過塑性變形得到強化圖2（a）應(yīng)變強化：三、兩種現(xiàn)象包氏效應(yīng)：實驗曲線反向加載：單晶體，其751、在材料的彈塑性變形過程中，應(yīng)力與應(yīng)變之間已不再具有單一的對應(yīng)關(guān)系。四、實驗總結(jié)加載路徑——σ與ε之間的關(guān)系依賴于加載路徑內(nèi)變量——宏觀參量，用來刻畫加載歷史例如，作為最簡單的近似，可以取內(nèi)變量ξ為塑性應(yīng)變εp，而將簡單受拉（壓）時的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系寫為ε=σ/E+εp（1）——其中E為楊氏模量上式表明，當εP（內(nèi)變量）一定時，σ與ε之間有單一的對應(yīng)關(guān)系。1、在材料的彈塑性變形過程中，應(yīng)力與應(yīng)變之間已不再具762.σ與ε之間的線性關(guān)系ε=σ/E+εp（1）式是有適用范圍的。對于固定的內(nèi)變量εP，σ或ε并不能隨意取值。例如，對處于圖2（a）中的M點，當加載時即應(yīng)力（或應(yīng)變）繼續(xù)增長時，應(yīng)力應(yīng)變曲線將沿AMM1方向延伸，公當卸載時即應(yīng)力（或應(yīng)變）減小時應(yīng)力應(yīng)變曲線才以（1）式的規(guī)律沿MN向下降。為了區(qū)分以上這種加載和卸載所具有的不同規(guī)律，就必須給出相應(yīng)的加卸載準則。圖2（a）2.σ與ε之間的線性關(guān)系ε=σ/E+εp（77五、影響材料性質(zhì)的其它幾個因素1、溫度

當溫度上升時，材料的屈服應(yīng)力將會降低而塑性變形的能力則有所提高。3．靜水壓力

當靜水壓力不太大時，材料體積的變化服從彈性規(guī)律而不產(chǎn)生永久的塑性體積改變。2、應(yīng)變速率

如果實驗時將加載速度提高幾個數(shù)量級，則屈服應(yīng)力也會相應(yīng)地提高，但材料的塑性應(yīng)變形能力會有所下降。當材料有較大的塑性變形時（彈性變形相對地很?。山频卣J為體積是不可壓的。靜水壓力對屈服應(yīng)力的影響也是不大的。

五、影響材料性質(zhì)的其它幾個因素1、溫度當溫度上升時，材料78§1.3應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系關(guān)系的簡化模型

類似地，上式也可用應(yīng)變表示為：1．理想彈塑性模型適用：強化率較低的材料，在應(yīng)變不太大時可忽略強化效應(yīng)§1.3應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系關(guān)系的簡化模型

792．線性強化彈塑性模型類似地，上式也可用應(yīng)變表示為：適用：材料的強化率較高且在一定范圍內(nèi)變化不大（假定拉伸和壓縮時屈服應(yīng)力的絕對值和強化模量都相同）2．線性強化彈塑性模型類似地，上式也可用應(yīng)變表示為：適用：材80——表示圖5（a）中的線段比

3．一般加載規(guī)律對于一般的單向拉伸曲線，在不卸載時應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：——表示圖5（a）中的線段比3．一般加載規(guī)81注：這種模型在=0處的斜率為無窮大，近似性較差，但在數(shù)學(xué)上比較容易處理。

（8）4．冪次強化模型（其中B>0，0<m<1）注：這種模型在=0處的斜率為無窮大，近似性較差，但在數(shù)82其加載規(guī)律可寫為：

（9）如取就有說明：這對應(yīng)于割線余率為0.7E的應(yīng)力和應(yīng)變，上式中有三個參數(shù)可用來刻畫實際材料的拉伸特性，而在數(shù)學(xué)表達式上也較為簡單。5．Ramberg-Osgood模型其加載規(guī)律可寫為：如取就有說明：83等向強化模型6.等向強化模型及隨動強化模型例如：可取適用：拉伸時的屈服應(yīng)力和壓縮時的屈服應(yīng)力始終是相等的。——是刻畫塑性變形歷史的參數(shù)圖2（a）或該模型不論拉伸還是壓縮都使屈服應(yīng)力提高，對應(yīng)圖2（a）中的和。等向強化模型6.等向強化模型及隨動強化模型例如：可取適用：84隨動強化模型上式在線性強化情形下也可寫為（是塑性應(yīng)變的單調(diào)遞增函數(shù)）適用：考慮包氏效應(yīng)，認為拉伸屈服應(yīng)力和壓縮屈服應(yīng)力的代數(shù)值之差，即彈性響應(yīng)的范圍始終是不變的。是一個常數(shù)（）圖2（a）該模型對應(yīng)圖2（a）中的和。隨動強化模型（是塑性應(yīng)變的單調(diào)遞85§1.4軸向拉伸時的塑性失穩(wěn)

一、拉伸失穩(wěn)的概念1、拉伸失穩(wěn)：注意：拉伸試件在出現(xiàn)頸縮后，試件局部區(qū)域的截面積會有明顯減少，再用名義應(yīng)力和應(yīng)變來描述此時的材料特性是不適當?shù)模ㄒ妶D2）在最高點以后，增加應(yīng)變時應(yīng)力反而下降，在通常意義下稱試件是不穩(wěn)定的。圖2（a）§1.4軸向拉伸時的塑性失穩(wěn)

一、拉伸失穩(wěn)的概念1、拉伸862、真應(yīng)力3、對數(shù)應(yīng)變4、截面積收縮比q=（A0-A）/A02、真應(yīng)力3、對數(shù)應(yīng)變4、截面積收縮比q=（A0-A）/A087假定材料是不可壓縮的：A0l0=Al，并認為名義應(yīng)力達到最高點C時出現(xiàn)頸縮：

二、真應(yīng)力則在頸縮時真應(yīng)力應(yīng)滿足條件拉伸失穩(wěn)分界點的斜率正好和該點的縱坐標值相等。

由結(jié)論：[1]假定材料是不可壓縮的：A0l0=Al，并認為名義應(yīng)力二、88注意到頸縮時的條件也可寫為：即拉伸失穩(wěn)點的斜率為其縱坐標值除以結(jié)論：[2]注意到頸縮時的條件也可寫為：即拉伸失穩(wěn)點的斜率為其89[3]以截面積收縮比q為自變量則由頸縮時的條件拉伸失穩(wěn)時真應(yīng)力所滿足的條件:[3]以截面積收縮比q為自變量則由頸縮時的條件拉伸失穩(wěn)時真應(yīng)90隨著材料的變形，微裂紋和（或）孔洞的生成及匯合也將會造成材料的弱化而導(dǎo)致失穩(wěn)。稱之為應(yīng)變?nèi)趸Ｈ?、材料本身的失穩(wěn)現(xiàn)象例如，在低碳鋼拉伸實驗中由上屈服應(yīng)力突然下降到下屈服應(yīng)力的現(xiàn)象，它與材料變形的內(nèi)部微觀機制的變化有關(guān)。在許多問題（如拉伸失穩(wěn)等）中，以上兩種現(xiàn)象往往是耦合的

隨著材料的變形，微裂紋和（或）孔洞的生成及匯合也將會造成材料91§1.5簡單桁架的彈塑性分析

一、問題的提出以圖示的一次靜不定三桿桁架為例進行彈塑性分析。§1.5簡單桁架的彈塑性分析一、問題的提出以圖示的一次靜92圖中三根桿的截面積均為A，中間第二桿的桿長為，它與相鄰的第一桿和第三桿的夾角均為θ=450，在其交匯點O處作用水平力Q和垂直向下的力P，O點將產(chǎn)生水平位移和垂直位移。二、問題的解答已知：解：如定義第根桿的名義應(yīng)力為,名義應(yīng)變?yōu)?則有如下平衡方程圖中三根桿的截面積均為A，中間第二桿的桿長為，二、問題的93和幾何關(guān)系和協(xié)調(diào)條件為了得到問題的解，還必須補充本構(gòu)方程。我們假定材料是理想彈塑性。和幾何關(guān)系和協(xié)調(diào)條件為了得到問題的解，還必須補充本構(gòu)方程。94(1)Q=0時的彈性解和彈塑性解由彈性解:由1、應(yīng)力(1)Q=0時的彈性解和彈塑性解由彈性解:由1、應(yīng)力95

為屈服應(yīng)力————為垂直方向上的彈性極限載荷為屈服應(yīng)力————為垂直方向上的彈性極限載荷962、位移（14）（17）由（14）、（17）和（18），得——垂直向下位移2、位移（14）（17）由（14）、（17）和（18），得—97載荷-位移曲線則當P由零增至Pe時，在圖9的坐標中為區(qū)間[0，1]上斜率等于1的直線段OA。若令載荷-位移曲線則當P由零增至Pe時，在圖9的坐標中為區(qū)間[098彈塑性解:當P由零逐漸增大到Pe時，第2桿的應(yīng)力也逐漸增大而達到屈服狀態(tài)：如果P的值再繼續(xù)增加，則（17）式已不再適用，相應(yīng)的本構(gòu)方程應(yīng)改寫為由應(yīng)力彈塑性解:當P由零逐漸增大到Pe時，第2桿的應(yīng)力也逐漸增大而99應(yīng)變說明：（1）這時的第2桿雖然已經(jīng)屈服而失去了進一步的承載能力，但由于它還受到第1桿和第3桿彈性變形的制約，其塑性變形不能任意增和，這種狀態(tài)稱為約束塑性變形。（2）直到P值逐漸增大到使時，三根桿將全部進入屈服階段，變形已不再受任何約束，結(jié)構(gòu)才完全喪失進一步的承載能力。這時的載荷P為——稱為塑性極限載荷應(yīng)變說明：（2）直到P值逐漸增大到使100由和位移當P=PS時，或注：（24）式對應(yīng)于圖9中在區(qū)間[1，2]上斜率為的直線段AB當考慮塑性變形時，結(jié)構(gòu)的變形要比純彈性變形為大，但仍屬同一數(shù)量級，而相應(yīng)的承載能力將會有相當?shù)奶岣?。結(jié)論由和位移當P=PS時，或注：（24）式對應(yīng)于圖9中在區(qū)間[1101

(2)卸載現(xiàn)將P的值加載到處于Pe<P<Ps范圍內(nèi)的某一值P*，然后再卸載使P的改變量△P<0。由于卸載服從彈性規(guī)律，利用（18）式的增量形式，可知應(yīng)力和應(yīng)變的改變量分別為卸載時的載荷-位移曲線（見圖9）與初始彈性加載時的曲線有相同的斜率。

卸載規(guī)律:(2)卸載現(xiàn)將P的值加載到處于Pe<P<Ps范圍102

應(yīng)力和應(yīng)變:最終的應(yīng)力和應(yīng)變值可由（21）、（25）和（22）、（26）下式的疊加求得：應(yīng)力和應(yīng)變:最終的應(yīng)力和應(yīng)變值可由（21）、（2103特別地，當載荷P值全部卸除后，由△P=-P*，便得到桿中的殘余應(yīng)力和殘余應(yīng)變（見圖10）為：殘余應(yīng)力和殘余應(yīng)變:其中節(jié)點O的殘余位移為：特別地，當載荷P值全部卸除后，由△P=-P*，便得到桿中的殘104實際上，第1桿和第3桿其變形規(guī)律始終是彈性的，如果卸去載荷并解除三桿之間約束的話，第1桿和第3桿中的彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變都等于零，而第2桿則有塑性應(yīng)變。故在原有的約束下，就必然地引起內(nèi)應(yīng)力而使這三根桿件的殘余應(yīng)變不等于零。說明：1、殘余應(yīng)力應(yīng)該滿足與零外載相對應(yīng)的平衡方程。2、殘余應(yīng)變由（1）式可分為彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變兩部分之和：3、在超靜定結(jié)構(gòu)中殘余應(yīng)變一般并不等于塑性應(yīng)變。說明：1、殘余應(yīng)力應(yīng)該滿足與零外載相對應(yīng)的平衡方程。2、殘余105§1.6強化效應(yīng)的影響本節(jié)仍討論Q=0的情形，現(xiàn)假定材料是線性強化的。不卸載時其拉伸曲線可寫為（1）當P時，桿中的應(yīng)力值仍由（18）式表示§1.6強化效應(yīng)的影響本節(jié)仍討論Q=0的情形，現(xiàn)假定材料是106（2）當P>Pe時，有將上式與（15）式和（16）式聯(lián)立，可解得（2）當P>Pe時，有將上式與（15）式和（16）式聯(lián)立，可107（3）當P增至使時，第1桿和第3桿也開始屈服。此時的載荷值為1、如取E‘/E=1/10，則P1=1.04Ps。與理想彈塑性材料相比，相應(yīng)的載荷值并沒有很大的增加。這說明采用理想彈塑性模型可得到較好的近似，而計算卻有相當?shù)暮喕?/p>

說明：2、當P小于P1時，結(jié)構(gòu)的變形仍屬于彈性變形的量級，而當P超過P1后繼續(xù)增加時，由于強化效應(yīng)，結(jié)構(gòu)并不會進入塑性流動狀態(tài)，但這時的變形將會有較快的增長。（3）當P增至使時，第1桿和第3桿也開始108§1.7幾何非線性的影響一、問題的提出求解基本方程：——是在小變形的假設(shè)下建立的§1.7幾何非線性的影響一、問題的提出求解基本方程：——是109當桿件的塑性變形很大時，結(jié)構(gòu)幾何尺寸的改變將會產(chǎn)生顯著的影響。這時應(yīng)采用真應(yīng)力和對數(shù)應(yīng)變來進行討論。二、問題的解答仍考慮Q=0的情形，假定材料是剛塑性線性強化的：而且滿足不可壓條件：令則由幾何分析于是當桿件的塑性變形很大時，結(jié)構(gòu)幾何尺寸的改變將會產(chǎn)生顯著的影響110在變形后的結(jié)構(gòu)上建立的平衡方程為：其中——為變形后第2桿與第1桿（和第3桿）之間的夾角可見（33）式中有三個未知量在不卸載的情況下，由本構(gòu)方程：得到與之間的非線性關(guān)系在變形后的結(jié)構(gòu)上建立的平衡方程為：其中——為變形后第2桿與第111結(jié)論：隨著的增長，的值將會由于強化效應(yīng)和角的減小而提高，但也會隨著桿件截面積的收縮而下降。故當很大時，結(jié)構(gòu)將可能變成不穩(wěn)定的。結(jié)論：隨著的增長，的值將會由于強化效應(yīng)和112§1.8彈性極限曲線本節(jié)我們將考慮前述桁架同時受垂直載荷P和水平載荷Q作用的情形。如果桁架中的三根桿件都處于彈性階段，則由（13）(14）15）和（17）各式，平衡方程幾何方程協(xié)調(diào)條件本構(gòu)方程§1.8彈性極限曲線本節(jié)我們將考慮前述桁架同時受垂直載荷P113其中，表示只作用水平力時的彈性極限載荷?？汕蟮脳U中應(yīng)力為其中，表示只作用水平力時的114（35）式成立的條件為這相當于對P和Q的限制條件：上式對應(yīng)于圖12中實線六邊形區(qū)域，其中等號則對應(yīng)于該六邊形的邊界，稱為彈性極限曲線，表示至少有一根桿件已達到屈服狀態(tài)。（35）式成立的條件為這相當于對P和Q的限制條件：上式對應(yīng)于115如果作用于結(jié)構(gòu)上的載荷先是超出了彈性極限曲線，然后又完全卸回到零，那么結(jié)構(gòu)中將存在殘余應(yīng)力。由于殘余應(yīng)力與零外載相平衡，故可寫成（27）式的形式：其中是一個可以變化的參數(shù)，其值可由（28）式來表示。在存在殘余應(yīng)力的情況下，如果再重新對結(jié)構(gòu)施加載荷而未能再次屈服，那么結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力值就應(yīng)該是以上的殘余應(yīng)力與（35）式的疊加。如果作用于結(jié)構(gòu)上的載荷先是超出了彈性極限曲線，然后由于殘余應(yīng)116不產(chǎn)生新的塑性變形的限制條件：其中值滿足（37）式對應(yīng)于圖12中虛線所構(gòu)成的六邊形區(qū)域。說明：可見在加載方向一側(cè)屈服載荷有所提高而與加載方向相反的一側(cè)屈服載荷有所降低。可用來對應(yīng)變硬化和包氏效應(yīng)等現(xiàn)象做一個比較形象的解釋。不產(chǎn)生新的塑性變形的限制條件：其中值滿足（37）式對應(yīng)117§1.9加載路徑的影響塑性力學(xué)的特點之一就是解對加載路徑的依賴性。[例]計算上述的理想彈塑性三桿桁架在不同加載路徑下O點的最終水平位移和垂直位移。第一種路徑（圖13（a)中的路徑1）當時第一種路徑：（Q，P）先由（0，0）線性地變化為（0，PS），再在垂直位移保持不變的條件下增加Q使達到Qe§1.9加載路徑的影響塑性力學(xué)的特點之