數下-工數復習第六章多元函數微分學

第六章元函數微分f(Pf(x，y)

P0(x0y0D的聚點.Ao正數，總存在正數P(x，y)∈DU(P0,(x(xx)2(yy00

|f(P)–A|=|f(x，y)–A|<成立，那么就稱常數Af(x，y)當(x，y)(x0,y0

(x,y)(x0,y0

f(xyAf(x，y)→A((x，y)(x0,y0

f(P)

或f(P)→A(PP0(x,y)(x0,y0

f(x,y)

(x0,y0)

zf(xy)Df(xy)Df(xy)D上的連續(xù)函數f(xy)P0(x0,y0P0(x0,y0f(xy)的間斷點

p

f(P)f(P0)概念z

f(x,y)，z

f(xx,y)f(x, 說 1對x求導視y為常數，幾何意義也說明了這個問z=f(xy)M0x0,y0)的偏導數有下述幾何意義fx(x0y0zf(xyyy0的交線在點M0處的切線M0x軸的斜率.fy(x0y0z

f(x,y)與平面x=x0的交線M0M0Tyy軸的斜率2(x0,y0

時y0可先代入（因此可能簡化函數）x求偏導數存可微 ，偏導數連續(xù)可微

fff=f連

z=f(xy)D內具有偏導數z

f(x,y),z

fy(xyz=f(xy)的二階偏導數。按照對變量求導次序的不同有下列四個二階偏z2z

z 2z

fxx(x,y),yxxy

fxy(x, z

z 2zxyyx

fyx(x,y),yyy2

fyy(x, zf(x,y)，uu(x,y)，vv(x,zfuf

zfuf u

v

u

vd(uv)du

d(uv)udv

duvduv F(x,y,z)

zz(xyzFxz

x y

(x,y,）z

xx0

yy0z

法平面方xt(xx0ytyy0zt(zz0xy y

z

zxx0yy0z 法平面方xx0yyy0z(zz0F(x,z,y)0FxFyyxFzzx0 3）

(1,yx,zxG(x,y,z) GxGyyxGzzx00 切平面Fx|p(xx0Fy|pyy0Fz|p(zz0 xx0

yy0z000000

z

f(x,y)F

f(x,y)zn(fx,f切平面fx(xx0fyyy0zz0xx0yy0z f 1xx(u,*yy(uv)（參數方程形式zz(u,,,ijk切線v1

(y,z)(z,x)(x,y)nv1v2

(u,v),(u,v),(u,v)

uu(x,y, l

xcos

ycos

z

gradul（l方向投影

uuux,y,z

graduux,y,z

ijkdivijk

rotAAzz

f(x,求駐點

駐點2

2z

2z PAx2BxyCy2A0A0

AC0minu3

f(x,y,

Lf(xyz(xyz

(x,y,z)（一）1zf(xyfx(x0y0)0fy(x0y0)0f(xy(x0y0dzx0y0)0f(xy0xx0f(x0yyy0 (C)②④ 2f(xy在點(0,0)

[f(x,y)f(0,0)](x,

f(x,0f(0,0)0，且

f(0,y)f(0,0) y limfx(x,0fx(0,0)0，且limfy(0yfy(0,0

(x,

f(x,y)f(0,0)

yx2x23證明極限y

x3x6x

2證當(xyykx3趨于(0,0)x3 x3 xxy

6

2x0x0

6

26 x01x01xk去不同值而取不同值。故極限x2x2

x3x6x

24z

(x2y2f(x,y)

x2y20, x2y20,（1）討論f(x,y)的連續(xù) （2）求fx(x,y),fy(x,（3）討論fx(x,y),fy(x,y)的連續(xù) （4）求df(x,解:(1)當(xy)0時，顯然連續(xù),x2limf(x,y)lim(x2x2

0

fy

yf(xy在(0,0)(2)當(xy)(0,0x2x21fx(xx2x21

xf(0,0xx

x2f(xx2x

xx2x21同理fy(x,x2x21

，fy(0,0)x2當(xy)(0,0fx(x,yfy(xy顯然連續(xù)，當(xyx2x2x2xlimf(x,y)x2x2x

f(xyy

y x2x(0,0)fy(xx2x當(xy)(0,0df(x,y)fx(x,y)dxfy(x,x2x2x2x2=x2x2當(xy)(0,0

x2x2

dxx2x2x2x2x2x2由于limf(xyf(0,0)fx(0,0)xx2x2

sin 0x0y

x2所以df(0,0fx(0,0)dxfyx2

x0yf(xy在點(0,0)fx(0,0)2fy(0,0)1(A)df(0,0)2dx(B)f(xy在(0,0)zf(x, 在(0,0)點處切線的方向向量為jx(D)x0y

f(x,y)必存 (選考慮二元函數

f(xy)的下面4個性質①f(xy)在(x0y0)連續(xù)②f(xy)(x0y0)兩個偏導數連續(xù);f(xy在(x0y0)f(xy在(x0y0)(A)(B) (選f(xy)|xy|(xy，其中(x,y在點(0,0)(x,y)在什么條件下，fx(x,y)，fy(x,y)存在 ((x,y)0(x,y)在什么條件下，f(x,y)在(0,0)可微 ((x,y)0 1zf(xy,xx2y(xy2z

t)dtf和

x2

y

tu，則x2y

y

t)dtxy2(u)(du)x2yz

f1yf2

y)(xy2)y2(x2y)2xy2z

f1y(f11xf12x)x2f2fx2(f21xf22x)2y(xy2xy3(xy2)2x(x2y)2x3y(x2

y19x2y20有形如ux 解設ry，則u(rxu

r

y

2uy2

2y (r)

u r1

2u

1 (r)

x

y22y1

y2

2yx2x既 x2x 亦 (1r2)2r

(r)c1arctanr 故 u(x)c1arctanx

（c1,c2為任意常數3zf(x2y22z 2z 1 x2y2xxz

yzx2解:設zf(r)，x2 2

rx dz dz

z

z

dz dr2z

dr

d

r r 同理可求y2dr2z

，解得zc1cosrc2sinrrx2zx2

x2y2x2x2

x2z

f(t,et

，其中 具有一階連續(xù)偏導數,

2z。2 （2xf2x3y(fexyf 已知函數uu(xyx2y2xy0，試確定參數a,b變換u(x,y)V(x,y)eaxby下不出現一階偏導數項 （a1,b1設函數z

f(xy在點(1,1

3(x)

f(x,f(xxd

x

1yy(x)zz(xzxf(xyF(xyz)0所確定的函數,fFdzdy 解:zxf(xyF(xyz)0x

dz(

xf)Fyxfdx

fx(1 )

Fyxf

(Fxf

F(fxf FF F z

Fyxf2設函數u定,求du

f(xyzzz(xyxexyeyzez解:duudxudyx求導, u

fz，exxexzezzez ex

z

ex

u

ey所以xezzezx

fxfzezzez

fyfzez exxex eyyey所以dufxfzezzezdxfyfzezzez 3xyzlnyexz1，根據隱函敵存在定理，存在點(0,l,1)的一個鄰zz(xyy(xzzz(xxxyzzz(xxxyzyy(x4zz(xy

0:c,f(xyf22

f

2

f22

2xyxy(x

y2d2證明:f(x, c為一直線,當且僅當

0f(xyx求導ffdy0dyfxx y

f dy( xy

dx

f

d2 dy d2 fxx2fxydxfyy(dx)fydx2

d2必要性：若(x,

0，由（1）

2

dyxy

(dy)2yy

2

2

2

(f

20

f

(f

f22

f

2

f22

2xyxy(x

y2

d2

2

dyxyd2

(dy)2yy比較（1）式,fy

0fy0

0，即(xy)c5z(xyF(xzyz0xzyzz xF(11zF(z1z0x2y y xyzFx2

xzFy2xzx xF1xzyzz

，由對稱性得yzy xF1

x x二練習1.設函數z

f(u)u(uyp(t)dtuxyf(u),(up(u),(u連續(xù)，且(u)1pyzp(xz 例1求函數uxyezxtyt22ztt3M(1,1,0

t1，曲線在點MM M 其方向余弦為cos

，cos

cos3

coscos 11121 33

12xtyt2zt3x2y3z0垂直的切線方程,ux2y2z2z 解:設切點參數為t0，則s1,2t0,3t0n1,2,3，即00，所以t0切點(1,1,1s1,2,3)x1y1z

123s0 123

cos cos 0 0

3x2y2z23上與(1,1,1點處的切平面平行的切平面方程,ux22y23z2在點(1,1,1x2y2z2300n2(Fx,Fy,Fz)(x,y,z)(2x0,2y0,2z0)//(x0,y0,z000n1n2x0y0z0x0y0z0切平面方程

(x1)(y1)(z1)n0

1,1,

333 3333uucosucosu 3

0 0

xyb Lxayz30在平面上，而平面z(1,2,5)，求a,b之值

yx22.函數zx2 （D）可 （選2x22y2z212上求一點,f(xyz)x2y2z2

12

1,021f(xy在點(0,0)y

f(x,y)f(x2y2 1(A)點(0,0)f(xy極值點(B)點(0,0)f(xy(C)點(0,0)是f(x,y)極小值點(D)由條件不能確定(0,0)是否為極值 (選21f(0,0xy時,選例3f(xy預(x,y均為可微函數,且(xy)0，已知(x0y0)f(xy在約束條件(x,y)0下的一個極值點,下列選項正確的是（A）fx(x0y0)0fy(x0y0)（C）fx(x0y0)0fy(x0y0)

（B）fx(x0y0)0fy(x0y0（D）fx(x0y0)0fy(x0y0)例4zf(0,00

f(xy的全增量z2x3)x2y4)y

（1）z的極值；(2)zx2y225（3）zx2y225z2x3z2y4zx23xyzy)2y 所以yy24yc

zx23xy24y

，由f(0,0

，得c0zx23xy24z2x3 x

2z

2z

2z （1）由 A

2，B

0，C zy2y4

y1

ACB240A20z3,26.252（2）L(x,y,)x2y23x4y(x2y2Lx2x32x x3 x3y2y2Ly2y42y0得y2y2x2y225

4，z(3,4)

，及

，z(3,4)例5F(x,yz處處有連續(xù)的偏導數，并且三個偏導數在任何一點不同時等于SF(xyz0不含原點，M(x0y0z0是曲面上距原點最近的點。求證該M(x0,y0,z0)的法線經過原點。證明只須證明曲面在點M(x0,y0,z0)處的法向量平行于OM(x0,y0,z0) 極值問題minf(x,y,z)x2y2F(x,y,z)f(xyzS上任一點(xyz構造輔助函數L(xyz)f(xyzF(xy

按照題意f(xyz)在點M(x0y0z0x0y0z0(x0,y0(x0,y0,z(x0,y0,z0

2

(x0,y0,z0(x0,y0,z0(x0,y0,z0FFF于是向量(x0y0z0與x,y,z

(x,y,z00另一方面，曲面SF(xyz)

在點M(x0y0z0

處的法向量為FFFx,y,z

SM(x0y0z0M(x0y0z0 (x,y,z00與向量OMx0y0z01.設zz(x,y)是由x26xy10y22yzz2180確定的函數,求z(x,y)的極值 (極小值z(9,3)3，極大值z(9,3)3)2.zf(xy的全微分dz2xdx2ydyf(1,12f(xy D(xy|

(f(0,2f(0,22f(1,0f(1,03xoyDxy|x2y2xy75}，小山的高度函數為h(xy75x2y2M(x0y0D上一點，問h(xyg(x0,y0g(x0,y0Dx2y2xy75上找出使（1）g(xy達到(y2x)2(x2y 00 (y2x)i(y2x)2(x2y 00 (x0,y0 x2y22z24.已知曲線Cxy3z

，求Cxoy第七章元數量值函數積分多元數量值函數積分的概念與性nnf(M)d＝I＝d

f(Mi)ii1f(M)在幾何形體f(M)在f(M)在有界閉幾何形體f(M)在上必可積。11dd.2[f(M)g(M)]d

f(M)d

g(M)d 3f(M)df(M)df(M)d

f(M)g(MMmf(M)在閉幾何形體f(M)在閉幾何形體上連續(xù)，則在上至少存在一點M0 f(M)df 二重積 f(x,y)d=limf(,)0iD三重積分f(xyz)dv

f(i,i,i)

0i對弧長的曲線積分

f(x,y)ds＝ f( 0 f(x,y,z)ds f(,,0nf(x,y,z)dS＝limf(i,i,i)Sin

累次積分積之。說明：1（D）12選擇積分次序要合適，若先yxI1

xsinydx322

ex2,cosx2,sinx2sinxx

21計算2

y2 2y

2y y

12

y

dy0

dy0xdx30y 12y2dey21y2ey22

y 26 6

14e4ey221(15e46 0 2計算二重積分dxsinxdy4dx2sinx 2 2 y 2 2 I1

sin2ydx

2)dy

y

dy (2 1xb例3計算

（a,b0

xyyxyy0

b=dxxydydyxydx

dy

ay

a4

xxxD

dxdyDx2y21xy1Dx r(cossin

2dxdy2d

Dx

42(cossin1)d 例5 (|x|D:|x||解：原式4|x|dxdy41dx1xxdyD D16求(xy)dxdyD是圓心(a,bRD(xy)dxdy((xaybab))dxdya 7計算xydxdyD是雙紐線(x2y222xyD解：雙紐線(x2y222xy的極坐標方程為r2sin原式22d

sin

rcosrsinrdr 例8 D:x2y2

1 1 解 xdxdyD:x2y2

ydxdyD:x2y2

(x2D:x2y22

)dxdy2

d0rdr9f(x在0x1f(x)01xf21 1

1f21010f1 證明：只須證明0f(x)dx0xf(x)dx0xf(x)dx0f=1f2(x)dx1yf(y)dy1xf2(x)dx1f(y)dxf2(x)f(y)(y D=f2(y)f(x)(xy)dxdy1f(x)f(y)(yx)(f(x)f(y))d 210求|x2y21|dxdyDx2y29D解Dx2y21D:1x2y2 原式(1x2y2dxdy(x2y21)dxdy 11求emax{x2y200y0x1y解：emax{x2y2}dex2dey2d0x1y

ex

ey

dxe100y

12計算二重積分[xy]dxdyDxy|0x2,0yD解:xyjj1,2,3,4DDk(k1,2,3,4，則[xy]k1k1,2,3,4，因而[xy]dxdy0dxdydxdy2dxdy3dxdy32331

f(x連續(xù),f(0)1F(t)

f(x2y2x2y2t

t0)F000解F(t2dtf(r2rdr2tf(r2rdrF(t2f(t2000F(0)limF(t)F(0)lim2f(t2)2f(0)

t

t2y計算二重積分ydxdyDx2，y0，y22yD （4 2計箅二重積分|yx2|dxdy，其中D{(x,y)||x|1,0y （11 設D={(x,y)|x2y2 2,x0,y0},[1x2y2]表示不超過1x2y2的最大數,計箅二重積分xy[1x2y2]dxdy (3 f(x在[a,bf(x)0，證明bf(x)dxb1dxb aff(x在(0,f(t)e4t2

x2y24t

f

dxdyx2x2f(t

f(t)e4t2(4t2 y2( z2(x,y 投影

f(x,y,z)dvadxy(x)dyz(x,y)

f(x,y,z)dvc2dzf(x,y,z z柱面坐 f(x,y,z)dxdydz＝f(cos,sin,z)dd 球面坐標f(xyz)dxdydzf(rsincosrsinsinrcos)r2sin 一般方法f(xyz)dxdydzF(uvw|J|

V其 F(u,v,w)

Vf(x(uvwy(uvwz(uvw

y21求(x2y2z)dV:由曲線

x

z解:x2y22z4 2 43I (x2y2z)dxdydzd (r2z)rdr 3 Dz:xy2448 dx2y2(x2y2z)dzd rdrr2(r448

z)dz

2563 Dxy:x2y2 R2x2例2計算三重積分(3x25y27z2)dV，R2x21解設x2y2z2R2，則由3x25y27z2z1(3x25y27z2)dV1(3x25y27z21 21由輪換對稱性x2dVy2dV 故原式1(3x25y27z2215(x2y2z22152dsindRr2r2dr2 0P0距離平方成正比(比例常數k>0)，求球體質心位置。0解:設球體為Ω,球心為原點，P(0,0Rx2y2z2R2(xyz

xy zk(x2y2(zR)2 2Rz k(x2y2(zR)2

(x2y2z2RzR22R(x22z2

8

R2dsindRr2r2drR2

4求f(xyz)dV，其中x2y2z2(xyz)2f(x,y,z)

當zx23x2x23x23解：原式(x2y2z22xy2yz2xz)dV

4cos

4cos

3sin

r4dr

d2sin3

r3cosdr 例5設函數f(x)連續(xù)且于零f(x2y2z2F(t):x2y2z2t

f(x2y2t，G(t)D:x2y2ttf(x2y2D:x2y2tF(t在區(qū)間(0,2證明當t0F(t)G(t2

f(x2 2dsindtf(r2 2f(r 000（1） 0002dtf(r2 tf(r2tf(tt2F(t)t2

)0f

)r(t0F(t在(0, 0f

)rdrt 20ft

2

tf t2 t2

t2（2）t0F(t)G(tt2

0f

0f

只需證

(t)

tf(rt

)r

tf(rt

f(r

)rdr

0 又(0)0，所以(t)0

(t)

f(t2)0

f(r2)(tr)2dr

:x2y2z2R2

z

及2

1:x2y2z2R211x0y0z01(A)xdV4

ydV4 （C）zdV4 （D）xyzdV4

2.計算f(xyz)dVx2y2za)2a2x2f(x,y,x2

,當zx2,0x2

a41x22x22f幾何解釋：1.

12.第一型曲線積分Lf(xy)dsf(xy0xOyL為zf(x,y)的柱面面積。xy

ds

x2y2

yy(x)dsds1y2(xxr()(dx)2(dy)2rr()(dx)2(dy)2

r2r2x yzy

ds

x2y2z2 z(x

ds

1y2z2dx(此類空間曲線常以隱式方程形式出現xdsdxy

ds x2y2z2 1I(zy)dsc為 xyz解曲線cx2y2z2R2xyz0xyzzdsydsxds1(xyz)ds10ds 3 3y2dsx2dsz2ds1(x2y2z2)ds1R2ds1R22R2 3

3 I(zy2)ds2R3 x2y2z2R2x0y0z0的邊界曲線的質心,

(3

4R

4R

1zz(xy dS

1z2z2 f(x,y,z)dS f(x,y,z(x,y)1z2z2 yy(zx)，則 dS

1y2y2 f(x,y,z)dS f(x,y(z,x),z1y2y2 Dyzxxyz dS（一）

1x2x2 f(x,y,z)dS f(x(y,z),y,z1x2x2 1求(x2y2z2xy2x2yz)dS，其中x2y2

(0z1zx222解：由對稱性，得xy2dS1zx222 原式 (2(x2y2) x2y2)2dxdy Dxy:xy3例2設曲面:|x||y||z|1，則(x|y|)ds (4 333S為球面(xa)2yb)2zc)21(xyS解(xyz)dSxaybzc)]dS(ab 由于球面(xa)2yb)2zc)21xaybzc(xa)dS(yb)dS(zc)dS (xyz)dS＝(abc)dS4(ab 例4計算曲面積分((2x3x2cos2y3y2cos3(z21cos)dsz1x2y2（z0），coscosco為曲面向余弦（cos0z解：設1x2y21原式

(6x22x6y22y6z)dV2

2

1r =6(x

z)dV3

(rz)dz323（二）1S:x2y2z2a2z0SS1

xdS4 （B）xdS4 （C）zdS4 （D）xyzdS4

x2計算曲面的質量其中為錐面z 在柱體x2y22x2任意一點(x,y,z)處的面密度函數為該點到xoy面的距離 （ 29 （4(abc)R2

I(xyS

S:(xa)2(ya)2(za)24.設半徑為R的球面的球心在定球面x2y2z2a2(a0)上，問R為何值時，球面在定球面內部的面積最大？ （R4a）38曲面積向量值函數在有向曲線上的積分第二型曲線積

w|F||l|cosF變力沿曲線運動

dw|F|dsPdxQdy，則WLPdxQdy平面曲線LPdxQdy，空間曲線LPdxQdyRdz，性質LP(x,y)dx＋Q(x,y)dy＝t1{P[x(t),y(t)]x(t)Q[x(t), P

ydxdyLPdxQdyL的取正向的邊界曲線，D為單連通區(qū)域，P，QDLP(x,y),Q(x,y及DLPdxQdy＝0DCLPdxQdy（3）存在u(x,y（3）存在u(x,ydu＝P(x,y)dxQ(x,y)dyPdxQdyduu（4）P

D內恒成立 （2）1I[ycosxy]dxy)sinx1]dy，這里yOm OmA是位于連接O(0,0A(,的線段OA下方的任一光滑曲線。且OmA與OA所圍圖2.ABBOB(0,I

(QP Om0(()cosx)dx0(1)dy22 xdy

例2L

x2

L為上半橢圓a2

1(abA(a,0)B(0,b)C(a,0)

y2 (x2y2

x，積分與路徑無關，取l

（上半圓xacos即yasin原式

xdyydx

xdyydx

0(a2cos2ta2sin2t)dtallx2 2 a2all3設(xy),v(xyD:x2y22x2yD D曲線C上u(xy)x,v(xy)yxy)vxyD xy)vxy)u]dxdyuvdxuvdyxydx (yx)dxdy[(y1)(x1)2]dxdy2dxdy 4D為曲線Cr1cosA，C C函數uu(xyDx2y21，證明ndsACn是uDuds(ucosucos)ds(ucosucos)dsudyuC

C

C

C (x2y2)dxdydxdyA20d

rdr 2 2x4例5設f(u)存在連續(xù)的導數，且0f(u)duA0，L為半圓周2x4B(2,0。計算

f(x2y2)(xdxX(xy

f(x2y2)x,Y(x,y)

f(x2y2y，f(x2y2)(xdxydy)

XdxX(xy),Y(xyY2xyf(x2y2) f(x2y2)(xdxydy)＝

f(x2y2)(xdx2f(x2)xdx14f(u)du0

2

(xay)dx(x

為某函數的全微分,求常數a。a計算L

xdyydxL:ABCA(1,0x2y21B(1,04x2到Dxy|0x,0y}LDxesinydyyesinxdxxesinydyyesin xesinydyyesinxdx2L計算曲線積分I

xdybxbxaL

(ab0ab)L是以點(1,1)為中心，2222R(R

2為半徑的圓周，取逆時針方向。R

時I0R

時，I

xdyydxA（常數，其中(xL是繞原點(0,0) y

xdyCC為任一不過原點也不包圍原點的正向閉曲線,證明(xy2C當(1)4時,求(x)及A （(x)4x2,A向量值函數在有向曲面上的積 流量Q|v|Scos(nv)vsdQvdsPdydzQdzdxv(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,vdSPdydzQdzdxS SS S R

x

zdvPdydzQdzdxRdxdy R或x

zdv(PcosQcosRcos 這里是的整個邊界曲面的外測coscoscos是在點(x,yz)向余弦

xdydzydzdx

1I

3(x2y2z2

a2

1PQR0

x2y2z22 I

xdydzydzdxzdxdy

3dv 3

3

xdydz

例2

x2y2

，其中

是由曲面x

R及兩平zRzR(R0解：設123依次為xy

xyxy

xyxy

(R)2dxdyx2y21

x2y22 R2

x2y2R

x2y2R2

x2y2R

x2y2 x2y2

R2

dydz

R2

R2RR2R

2dydz

R2y2

RDyzRR

RR 3If(xyzx)dydz2f(xyzy)dzdxf(xyzz)dxdyfxyz1被坐標面所截部分，上側。F(x,yz)xyz1I((f(x,y,z)x)Fx(2f(x,y,z)y)Fy(f(x,y,z) ((f(x,y,z)x)1(2f(x,y,z)y)1(f(x,y,z) (xyz)dxdydxdy 級數的知識框級數的概念與性1u1＋u2＋u3＋＋un＋＝un sn＝ui稱為部分和,若limsns稱無窮級數un

uns，則kun收斂到ks unvn收斂到s,,則級數(unvn收斂到s

如果級數un(u1un)(un1un)(un1

)

k un收斂,則limun

數項級 小收，小發(fā)大比較法 lim 根植法：limnanl,l1收，l1

f(x)dxf(n) 交錯級數：萊布尼茲判別法，un1un,limun任意項級數

函數項收斂半徑R

（一） n

n 1結論1若an

an（如an

（2

n

1n

n

（3）

a收斂，則

a2收斂（如

(1)n

（4）

a2收斂nn

n

n

nn則n則a3nn （B）24對例2證明若偶函數f(x)x0的某鄰域內有二階導數，且f1

f(0)1，則n n1 f(xf(0

f(x)f(0)f(0)x

f(0)x2o(x2)f11f(0)

o1，

f11

f(0)

o1

f(0)n

n2 n

n2

|u

f11~f(0)

f1即 n n2， n 絕對收斂 n1 3設{un}，{cn}，滿足cu

0

1發(fā)散，則u n n1n n1u

n n，滿足cnncn1a（常數a0，且 收斂，則un也收un

c

c

n1u

n（1）

n

n n

11

n

n

ccunnn（2）由條件 unn

a0，得

c

cu，所以uc1u1un

n

n

n n

1 nc1收斂，則uc n1

n

n 4設正項數列{an}單調減少且

an發(fā)散，證明

n

n

an{a}單調減少且(1)nalim

a0n有

an a

n1

n 所以un1n1 n1

(anan1，而(anan1

nSna1an1a1ann例5xnnx10nxnaa1時。級數xnfn(1)n

nn(x)xnnx1，x(0,f(x)nxn1n0n

fn(0)10xnnx10

(0,1

0x

1f n1

1xn n

n6設an和bnn1n1bn收斂時，n

n

n

n 也收斂；當anbnn

nan1bn1 a2b2,a3b3,,

b1

a1

an

a

ban

1 有比較法知，當bnan也收斂；當anbnn

n

n

n

7設正項數列{a}單調減少，且(1)na發(fā)散，試問

n

n1an解由于an0{an}limanan

a0n若a0，則由萊布尼茲判別法有(1)na收斂，與假 ，故a0。于nn 1 1 1，從而 a a a

a

，而a

1

（二） a0p0limnpen1a1，若級數a （p2

n

n設annn

n

ununn

n

(u2n

)n

un1

0設an4tann0（1）求n

nan

1（2）證明：對任意的常數0，級數n

1 1

設a12an12an

15.y5.

nyx

且y(0)且

n1

n

y111散性

n1

n nn討論級數p的斂散性nn|a|1時，級數發(fā)散；當a1時，若0p1p1級數收斂；當a1時，若0p1p1時級數絕對收斂) 兩個正項級數anbnnn（n1,2,，討論兩個級數斂散n

n

an

（當an發(fā)散時，bn必發(fā)散；當bn收斂時，an必收斂n

n

n

ny2exsin

（x0）x

e1關于冪級n

R22(RR內ax（且內閉一致收斂nnf(n)(0) f(n)(x f(x)~ x或 0(xx0n n 1）1

1xx2x3(1)nxn

1x12）1

1xx2x3xn1xe

1x22

xnn

(x3sinxx3

x(2n

(x2cosx12

x4

x2n

(x2ln(1x)x22

3

4

n

(1x(1x)m1mxm(m1)x2m(m1)(mn1)xn (1x變換之后使用公式，求導，積分公式可和型和式求導（或積分）于原式結合1求n

(xn

1，即當|x3|12x4x2n

發(fā)散，故收斂域為[2,4n nn2設axnx2處條件收斂，則nn

(x1)2nx0n n（A）（B）（C）（D）斂散性由具體{an}13f(xx23x4x111

1

1x23x

5x

x11 1 1

(x1)n，xx

(x1)

31x13

3n 1 1 1

(x1)n，xx

(x1)

21x12

2n 1 (1)n n0x23x453n1n04（1）求n

2n

(x

，xR1|x|1S(x)nxn1nS(x)dx

x

nxn1dx

xn

，故S(x)

x

，|x|xx

0

1x

n（2）求nn R1x[1,1S(x)x，則S(x

xn1n1

n

1xS(x)S(xS(0)x

，1xS0 n（3）求nn

1 解：在（2）中，令x 2

n

n

S()ln25求n

(1)nn1x2n1(2n解：收斂域(,S(x)n

(1)nn1x2n1(2n 1 20S(x)dx 2n

1從而S(x) (sinxxcos12

x x2nn例8求135(2n1n x2nn解：收斂域(,S(x)135(2n1n

2x41S(x)1xS即

xS(x)e2

xe2xS(0) x（二）n若冪級數ann

R0，則liman11n

n limn1不存在，則冪級數an

n

n 若冪級數axn收斂域為[1,1，則冪級數naxn的收斂域為[1,1nn

n若冪級數n

aax收斂域為[1,1，則冪級數nn

anxn的收斂域為[1,1（D）n1 nf(x)arctan12xx的冪級數，并求級數2n1n (1)n

2n