第43講 用綜合法求角與距離

第43講：用綜合法求角與距離一、課程標(biāo)準(zhǔn)1、理解空間角的概念，理解空間內(nèi)的平行與垂直關(guān)系.2、掌握用傳統(tǒng)方法求空間內(nèi)異面直線所成的角、直線與平面所成的角及二面角的常見方法.二、基礎(chǔ)知識回顧知識梳理異面直線所成的角定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a'〃a，b'〃b，把a(bǔ)'與b'所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.范圍：（。，n.線面角平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳魚，叫做這條直線和這個平面所成的角，當(dāng)一條直線垂直于平面時，規(guī)定它們所成的角是直角.二面角以二面角的公共直線上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于公共直線的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.4?點到平面的距離從平面外一點引平面的垂線，這個點和垂足間的距離，叫做這個點到這個平面的距離三、自主熱身、歸納總結(jié)1、已知正四面體ABCD中，E是AB的中點，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為（）bWc.3【答案】B【解析】如圖，取AD的中點F,連結(jié)EF,CF.因為E為AB的中點，所以EF〃DB，則ZCEF為異面直線BD與CE所成的角.在正四面體ABCD中，因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以CE=CF.設(shè)正四面體的棱長為2a，則EF=a，CE=CF=\!（2a）2-a2=&.在4EF中，由余弦定理得cosZCEF=

CE2+EF2—CF2a2摑1bWc.32CE-EF2x\'3a22、如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A1B1C12x\'3a22、如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A1B1C1D]中，AA1=2AB=2，則異面直線]2A.5B.5C.4D-5AB【答案】D.【解析】如圖，連接BC1，易證BC/AD]，則ZA1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角.ABAB連接A1C1，由AB=]，AA1=2，易得A]C]=V2，A]B=BC]=；5，故cos故cosZA]BC]=5+5—22x%S右44=5，即異面直線A]B與AD]所成角的余弦值為5.故選D.3、在長方體ABCD—A]B]C]D]中，AB=BC=2，AA]=]，則AC]與平面A]B]C]D]所成角的正弦值為（）AB

ABA.32B.3c.2D普【答案】A【解析】連接A]C]，則ZAC1A1為AC1與平面A"pA"pVAB=BC=2，...A|C=AC=2混，又AA、=]，AAC=3，.'.sinZACA=第=].故選A.]]]]]]A^C]34、如圖，已知在長方體ABCDA]B]C]D]中，AB=BC=4,CC]=2,則直線BC]和平面DBB]D]所成角的正弦值為（）35A.—B.C.詢詢5D.]0【答案】C正弦值為（）35A.—B.C.詢詢5D.]0【答案】C【解析】設(shè)A]C]交B]D]于點O,連結(jié)BO.因為在長方體ABCDA]B]C]D]中，AB=BC=4,所以CQLB]D].又因為DD]±平面A]B]C]D]所以DD]±C]O.因為DD]AD]B]=D],DD]c平面DBB]D],D]B]c平面DBB]D]，所以C]OL平面DBB]D]所以直線BC]和平面DBB]D]所成角為ZOBC].在RtABOC]中，CQ=2-.■'2，BC]=2仍，所以sinZOBC]=￥，即直線BC]和平面DBB]D]所成角的正弦值為-^.故選C.5、如圖，在正三棱柱ABCA]B]C]中，各棱長都相等，則二面角A]BCA的平面角的正切值為.$$23【答案】【解析】設(shè)棱長為a,BC的中點為E,連結(jié)A]E,AE,由正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱長都相等，可得TOC\o"1-5"\h\z3….A1EXBC,AEXBC,故二面角A1BCA的平面角為匕A]EA.在RtAABE中，AE=—^a，所以tanZA1EA=￡§=—」=勺"，即二面角ABCA的平面角的正切值為2了3AE3]32a四、例題選講考點一異面直線所成的角例1在長方體ABCDA]B]C]D]中，AB=BC=]，AA1=;'3,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為（）]5v'5\'2A.三B.貢C.=D.十5652【答案】C【解析】用一個與原長方體相同的長方體拼到原來長方體的前面，如圖所示，^gB]P〃AD],則ZDB]P是異面直線AD],DB]所成的角.連結(jié)DP,易求得DB]=DP=右，B]P=2,在^B]DP中過D作B]P上的高，可得cosNDB]P=*=七5□匚o變式]、如圖，在底面為正方形的四棱錐PABCD中，側(cè)面？人。上底面ABCD,PA±AD,PA=AD，則異面直線PB與AC所成的角為（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】因為平面？人。上底面ABCD,PAXAD，平面PAD1平面ABCD=AD,PAu平面PAD,所以PA

上平面ABCD.分別過點P,D作AD,AP的平行線交于點M,連結(jié)CM,AM.因為PM〃AD,AD〃BC,PM=AD,AD=BC,所以四邊形PBCM是平行四邊形，所以PB〃CM,所以ZACM（或其補(bǔ)角）就是異面直線PB與AC所成的角.因為四邊形PADM,底面ABCD均為正方形，設(shè)PA=AD=a,在三角形ACM中，AM=艘a,AC=\'2a,CM=很a,所以三角形ACM是等邊三角形，所以ZACM等于60°,即異面直線PB與AC所成的角為60°.故選C.方法總結(jié)：用平移法求異面直線所成的角的步驟：一作，即據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；二證，即證明作出的角是異面直線所成的角；三求，解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角.考點二直線與平面所成的角例2如圖，在三棱錐ABCD中，側(cè)面ABD±底面BCD,BC±CD,AB=AD=4,BC=6,BD=4\'3,則直線AC與底面BCD所成角的大小為（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】A【解析】因為平面ABD±底面BCD,AB=AD,取DB的中點O,連結(jié)AO,CO,則AO±BD，貝AO±平面BCD,所以ZACO就是直線AC與底面BCD所成的角.因為BC±CD,BC=6,BD=4應(yīng)，所以CO=2寸3.在RtAADO中，OA=“JaD2—。。2=2,在RtAAOC中，tan/ACO=AC=書3，故直線AC\O^^3與底面BCD所成角的大小為30°.故選A.

變式1、在正方體ABCDA］BiC］D］中BB1與平面ACD1所成角的正弦值為（）D.A-號【答案】B【解析】因為BB/DD］,所以BB］與平面ACD］所成角即為DD］與平面ACD］所成角.設(shè)點D到平面ACD］11]]\'33一一的距離為h,正萬體的邊長為a,則VD]ADC=3X2xaxaxa=6a3變式1、在正方體ABCDA］BiC］D］中BB1與平面ACD1所成角的正弦值為（）D.A-號.］、/3,一一一.、」、，一.hv'3....以另3=虧32卜得h=^a.設(shè)BB］與平面ACD］所成角為0,則、苗0=雨=虧.故選B.變式2、［20］9-杭州模擬］在三棱錐P—ABC中，PAL底面ABC，ZBAC=］20°，AB=AC=］，PA=^2，則直線PA與平面PBC所成角的正弦值為（）,25「225A.B.C.鶯D.3PP【答案】D【解析】,/PA±底面ABC，APAXAB，PA±AC，即ZPAB=ZPAC=90°，XVAB=AC=]，PA=PA=、M，.?.△PAB*PAC，???PB=PC.取BC的中點D，連接AD，PD，PPAPDXBC，AD±BC，丈:PDAAD=D，ABC±平面PAD，：BCu平面PBC，...平面PADL平面PBC，過A作AO±PD于O，易得AOL平面PBC，Z.ZAPD就是直線PA與平面PBC所成的角.在RtAPAD中，AD=1，PA=，?&，則PD=\：‘PA2+AD2=3，則灰?〃匕APD=AD=!故選D.2PD3變式3、如圖，在三棱臺ABC-DEF中，平面BCFEL平面ABC，ZACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.求證：BF±平面ACFD；求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.DFu【證明】(1)證明：延長AD，BE，CF相交于一點K，如圖所示.K:平面BCFEX平面ABC，且AC±BC，.AC±平面BCK，Z.BFXAC.又：EF〃BC，BE=EF=FC=1，BC=2，.△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點，則BF±CK..BF±平面ACFD.(2),:BF±平面ACK，.ZBDF是直線BD與平面ACFD所成的角.4-廠3/口-,'21在RtABFD中，BF=寸3，DF=^，得cos/BDF=*，..?直線BD與平面ACFD所成角的余弦值為尹.方法總結(jié)：求直線與平面所成角的關(guān)鍵是尋找斜線在平面上的射影，要善于根據(jù)題意尋找平面的垂線，通常方法：一、利用題設(shè)中的線線垂直關(guān)系轉(zhuǎn)換為線面垂直；二、找已知平面的垂面，再利用面面垂直的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為線面垂直.有時作面的垂線較繁雜，可以不作面的垂線，利用空間的數(shù)量關(guān)系直接求點到面的距離，進(jìn)而在直角三角中直接求線面角.常見求解步驟是先作圖，證明垂直關(guān)系，交代所求角，再在直角三角形中求得所求角.其易錯點是平面的斜線與平面所成角是銳角考點三二面角例3如圖，已知在三棱錐SABC中，SA=SB=CA=CB=??「,AB=2,SC=也，則二面角SABC的平面角的大小為()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】取AB的中點O,連結(jié)SO,CO.由SA=SB=CA=CB可得AB±SO,ABXCO.XSOACO=O,所以ABL平面SOC,所以二面角SABC的平面角是ZSOC.在3OA中，SO=,JsA2—AO2=<2,同理CO=七2在^SOC中，SO=CO=SC='技，所以ZSOC=60°,即二面角SABC的平面角的大小為60°.變式1、如圖，在三棱柱ABCA]B]C]中，BB]L平面ABC,ZBAC=90°,AC=AB=AA1,E是BC的中點.求證：AE±B]C；求異面直線AE與A]C所成的角的大??；若G為C]C的中點，求二面角CAGE的正切值.【解析】(])因為BB]±平面ABC,AEu平面ABC，所以AE±BB].由AB=AC，E為BC的中點，得AELBC.因為BCABB=B,BC,BBu平面BBCC所以AE±平面BBCC.又因為BCu平面BBCC所以AE±BC.(2)取BC的中占E連結(jié)AEEC則AE〃AE(2)^取B]C]E]，口A]E]，E]C，AE//A]E]，所以ZE1A1C是異面直線AE與A1C所成的角.設(shè)AC=AB=AA]=2,則由ZBAC=90°,可得A]E]=AE=、2,A1C=2頊2,E1C1=EC=2BC=；'2,所以E]C=.'iE]C2+C]C2=\'6..八,2+8—6]在^EqQ中，*匕￡仁占=2.很x2、&=2,n所以異面直線AE與A]C所成的角為亍(3)設(shè)P是AC的中點，過點P作PQLAG于點Q,連結(jié)EP,EQ,則EPXAC.又因為平面ABC±平面ACC]A],平面ABCA平面ACC]A]=AC,EPu平面ABC,所以EP±平面ACC]A].因為AGu平面ACC]A],所以AG±EP.又PQ±AG,EP,PQu平面EPQ,EPAPQ=P,所以AG±平面EPQ.又因為EQu平面EPQ,所以EQLAG,所以ZPQE是二面角CAGE的平面角.由(2)假設(shè)知EP=],AP=],一一一一一CG-AP]RtAACG^RtAAQP,PQ=ag=苓,PE故tan/PQE=pq=%5,所以二面角CAGE的正切值是lW.尋f.變式2如圖，銳二面角alp的棱上有A,B兩點，直線AC,BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于ABB知AB=4,AC=BD=6,CD=8，則銳二面角alp的平面角的余弦值是().1]A.4B.32

C.3D.【答案】B【解析】過點B作BE#AC,且BE=AC.因為ACXAB，所以BEXAB.因為BD±AB,BDABE=B，所以ZDBE是二面角alp的平面角，且ABL平面DBE,所以ABIDE,所以CELDE.因為AB=4,CD=8,.ilBE2+BD2—DE236+36—481〔…所以DE=、寸CD2—CE2=82—42=4、寸3，所以cos/DBE==dyTy.==.故選B.2BE*BD2X6X63變式3、如圖，在四棱錐A-BCDE中，平面BCDEX平面ABC，BE±EC，BC=2，AB=4，ZABC=60°.(1)求證：BE±平面ACE；(2)若直線CE與平面ABC所成的角為45°，求二面角E-AB-C的余弦值.AB2+BC2—AC21【證明】(1)證明：在AACB中，由余弦定理得cosZABC=2AB-BC=2，解得AC=2-..,R，..?AC2+BC2=AB2，AACXBC.又?.?平面BCDE±平面ABC，平面BCDEA平面ABC=BC，ACu平面ABC，.?.ACL平面BCDE.又BEu平面BCDE，AACXBE.又BE±EC，AC，CEu平面ACE，且ACACE=C，.?.BEL平面ACE.(2)V直線CE與平面ABC所成的角為45°，平面BCDEL平面ABC，平面BCDEA平面ABC=BC，.ZBCE=45°，.△EBC為等腰直角三角形.取BC的中點F，連接EF，過點F作FGLAB于點G，連接EG，門則ZEGF為二面角―qE-AB-C的平面角.易得EF=BF=1，F(xiàn)G="3.A在RtAEFG中，由勾股定理，得EG=\'EF2+FG2=27，:.cosZEGF==2，?.?二面角E-AB-C的余弦值為號.變式4、如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB〃CD，AB=2，BC=CD=1，頂點D1在底面ABCD內(nèi)的射影恰為點C.求證：AD1±BC；n若直線DD1與直線AB所成的角為3，求平面ABC1D1與平面ABCD所成角(銳角)的余弦值.n.Ali【證明】(1)連接DQ，則D1C±平面ABCD，AD1C±BC.在等腰梯形ABCD中，連接AC，VAB=2，BC=CD=1，AB#CD，ABCXAC，ABC±平面AD1C，AAD1±BC.(2)?「AB〃CD，.?.ZD1DC=n，VCD=1，AD1C=：3.在底面ABCD中作CMLAB，連接D1M，則D1MLAB，???ZD1MC為平面ABC1D1與平面ABCD所成角的一個平面角.在RtAD1CM中，CM=￥，D1C='3，?.D]M=\」CM2+D1C2=^~2~，?cosZD]MC=言，即平面ABC1D1即平面ABC1D1與平面ABCD面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角考點四點到平面的距離例4、若正四棱柱ABCDA1B1C1D]的底面邊長為1，AB1與底面ABCD所成角的大小為60°，則A1C1到底面ABCD的距離為()A.B.1C.2D.指【答案】D【解析】由題意得ZB]AB=60°,所以B]B=ABtan60°=、?3又A]C]〃平面ABCD,所以A]C]到底面ABCD的距離為B]B=.'3.變式]、已知正方體ABCDA]B]C]D]的棱長為6,P是AA]的中點，Q是△BDC]內(nèi)的動點，若PQ±BC],則點Q到平面A]B]C]D]的距離的取值范圍是()A.[3,5]B.9,6C.[4,5]D.[2仍，6]【答案】B【解析】如圖，在正方體中取BB]、BD中點P]、O，及BC]的四等分點M,因為PP]±BC],P]M±BC],P]MnPP]=P],P]M,PP]U平面PP]M，所以BC]±平面PP]M，則BC]±PM.又OMLBC],OMAPM=M,故BC]±平面POM，所以當(dāng)點Q在線段OM上時，PQLBC]，則點Q到平面A]B]C]D]的距離最大為6，?,,39“.，，…_,,一小…、,「91，一最小為6x4=2，所以點Q到平面A]B]C]D1的距離的取值范圍為|_2,6」.故選B.變式2、如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=]，PA±平面ABCD，E，F(xiàn)分別是線段AB，BC的中點.(])證明：PFLFD；(2)若PA=]，求點E到平面PFD的距離.p【解】(1)證明：連接AF，則AF=V，，又DF=*'5，AD=2，.?.DF2+AF2=AD2，ADFXAF.VPA上平面ABCD，.DF±PA，又PAAAF=A，.DF±平面PAF，又PFu平面PAF，ADFXPF.P(2)連接EP，ED，EF.TOC\o"1-5"\h\z----?53Si=S—S—S—S=2—=—,?°AEFD矩形ABCDABEFaade%cdf441_.131、..?V三棱錐p_efd=3Saefd'PA=3x4x1=4-設(shè)點E到平面PFD的距離為h，則由V三棱錐e_pfd=V三棱錐「_efd得3SAPFD'h=3^26'h=4，解得h=46，即點E到平面PFD的距離為*.變式3、如圖所示的五面體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，且ZDAB=60°，EA=ED=AB=2EF=2，EF〃AB，M為BC的中點.求證：FM〃平面BDE；若平面ADE±平面ABCD，求點F到平面BDE的距離.【解析】(1)證明：取BD的中點O,連接OM，OE，E7VO，M分別為BD，BC的中點，.??OM〃CD，且OM=?CD.

..?四邊形ABCD為菱形，.??CD〃AB，又EF〃AB，...CD〃EF，又AB=CD=2EF，.EF=|CD，.OM#EF，且OM=EF，A.??四邊形OMFE為平行四邊形，.??MF〃OE.又OEu平面BDE，MFC平面BDE，.MF〃平面BDE.(2)由(1)得FM〃平面BDE，.?.點F到平面BDE的距離等于點M到平面BDE的距離.取AD的中點H，連接EH，BH，VEA=ED，四邊形ABCD為菱形，且ZDAB=60°，.EH±AD，BH±AD..??平面ADE±平面ABCD，平面ADEA平面ABCD=AD，EHu平面ADE，?EH±平面ABCD，.EH±BH，易得EH=BH=、J§，.?.BE=%/6，?.?‘△BDE=2x^6x\/22—（乎｝=斗5設(shè)點F到平面BDE的距離為h，、……11<3\'3…、連接DM，則Sabdm=2Sabcd=2x4X4=2，連接EM，由V三棱錐e—bdm=V三棱錐m—bde得3^3^23得3^3^23=3Xh^25，解得h=W5，即點F到平面BDE的距離妒尹.方法總結(jié)：求點到平面的距離，方法一：根據(jù)面面垂直的性質(zhì)直接作出距離求解，方法二：利用等體積法換頂點來求解.五、優(yōu)化提升與真題演練1、(2018-全國□高考)在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=；1，則異面直線AD1與DB]TOC\o"1-5"\h\z所成角的余弦值為()1委y5拒A.三B.%C.%D.羊5652第1題圖【答案】C【解析】如圖，將長方體ABCD-A1B1C1D1補(bǔ)成長方體ABCD-A2B2C2D2，使AA1=A1A2，易知AD1#B1C2，AZDB1C2或其補(bǔ)角為異面直線AD1與DB1所成的角.易知B]C2=AD]=2，DB]="\/12+12+(l/5)2=l：5，DC2=寸DC2+CC2=寸12+2^2=V13.4上工人_F,DB2+BC2—DC25+4-13?啟在ADB1C2中，由余弦定理，得cosZDBiC2=2DB1-B1C2=2x*x2=-T，..?異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為55.故選C.2>(2018-天津高考)如圖，在四面體ABCD中，^ABC是等邊三角形，平面ABC±平面ABD，點M為棱AB的中點，AB=2，AD=2寸3，ZBAD=90°.求證：AD±BC；求異面直線BC與MD所成角的余弦值；求直線CD與平面ABD所成角的正弦值.L【解】(1)證明：由平面ABC±平面ABD，平面ABCA平面ABD=AB，AD±AB，可得ADL平面ABC，故AD±BC.I(2)如圖，取棱AC的中點N，連接MN，ND.又?「M為棱AB的中點，.??MN〃BC.

/.ZDMN(或其補(bǔ)角)為異面直線BC與MD所成的角.在RtADAM中，AM=1，故DM=%'AD2+AM2=\../T3.在RtADAN中，AN故DN=\/AD2+AN2=在RtADAN中，AN故DN=\/AD2+AN2='屈.在等腰三角形DMN中MN=12MN還(2)若點M在棱BC上，且MC可得cos2MN還(2)若點M在棱BC上，且MC..?異面直線BC與MD所成角的余弦值為芋