專升本輔導(dǎo)-第8講常微分方程課件

第8講常微分方程第8講常微分方程1復(fù)習(xí)要求：理解微分方程的概念，理解微分方程階、解、通解、初始條件和特解的概念.掌握變量可分離微分方程與齊次方程的解法.會(huì)求解一階線性微分方程.復(fù)習(xí)要求：理解微分方程的概念，理解微分方程階、解、通解、初始2其中，為實(shí)常數(shù)，，分別為x的n次，m次多項(xiàng)式)(Ⅱ)，(Ⅰ)f(x)，為x的n次多項(xiàng)式,為實(shí)常數(shù)；其中理解二階常系數(shù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu).會(huì)求解二階常系數(shù)齊線性微分方程.會(huì)求解二階常系數(shù)非齊線性微分方程（非齊次項(xiàng)限定為:其中，為實(shí)常數(shù)，，分別為x的n次，m次多項(xiàng)式)(Ⅱ)，(Ⅰ3

微分方程是精確表示自然科學(xué)中各種基本定律和各種問題的基本工具之一.

現(xiàn)代建立起來的自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的數(shù)學(xué)模型大多都是微分方程.微分方程是精確表示自然科學(xué)中各種基本定律和各種問題的4

在許多物理、力學(xué)、生物等現(xiàn)象中，不能直接找到聯(lián)系所研究的那些量的規(guī)律，但卻容易建立起這些量與它們的導(dǎo)數(shù)或微分間的關(guān)系.

含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式。在許多物理、力學(xué)、生物等現(xiàn)象中，不能直接找到5

第1節(jié)微分方程的基本概念常微分方程方程的階數(shù)線性方程、非線性方程方程的解、通解、特解、所有解初始條件（定解條件）積分曲線（解的幾何意義）初值問題、初值問題的解齊次方程、非齊次方程第1節(jié)微分方程的基本概念常微分方程方程的階數(shù)線性方程6常微分方程含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，稱為微分方程.未知函數(shù)可以不出現(xiàn)，但其導(dǎo)數(shù)一定要出現(xiàn).未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程.未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程，稱為偏微分方程.常微分方程含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，稱為微分方程.7

例常微分方程偏微分方程例常微分方程偏微分方程8常微分方程的階數(shù)微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的最高階數(shù)，稱為微分方程的階數(shù).一階二階一階常微分方程的階數(shù)微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的9線性方程、非線性方程若一個(gè)方程對未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的全體而言是一次的，且系數(shù)只與自變量有關(guān)（與未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)無關(guān)），則稱該方程為線性方程，否則，稱之為非線性方程.一階二階一階非線性線性非線性線性方程、非線性方程若一個(gè)方程對未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的全體而言是10齊次方程、非齊次方程在方程中，不含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)，稱為自由項(xiàng).自由項(xiàng)為零的方程，稱為齊次方程.自由項(xiàng)不為零的方程，稱為非齊次方程.一階齊次非線性方程二階非齊次線性方程一階非齊次非線性方程齊次方程、非齊次方程在方程中，不含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)，稱為11微分方程的一般表示形式微分方程的一般表示形式12方程的解、通解、特解、所有解能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱為方程的解.如果n階微分方程的解中含有n個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù)，則稱此解為n階微分方程的通解.一般說來，不含有任意常數(shù)的解，稱為方程的特解.

通常由一定的條件出發(fā)，確定方程通解中的任意常數(shù)來得到特解。但有些特解不能由通解求出，必須利用其它方法直接由方程解出.所有解＝通解＋不能包含在通解內(nèi)的所有特解.方程的解、通解、特解、所有解能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱13

例解代入方程，得

微分方程的解不一定都能用初等函數(shù)表示出來.

此時(shí)可求數(shù)值解故函數(shù)例解代入方程，得微分方程的解不一定都能用初等函數(shù)表示14初始條件（定解條件）

由自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及數(shù)學(xué)本身建立微分方程時(shí)，往往同時(shí)知道微分方程的解應(yīng)滿足某些已知的條件。這些已知條件就稱為微分方程的初始條件或定解條件.常微分方程初始條件稱為初值問題（柯西問題）初始條件（定解條件）由自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及15

例解微分方程初始條件通解特解例解微分方程初始條件通解特解16

例解微分方程初始條件通解特解有何想法？例解微分方程初始條件通解特解有何想法？17積分曲線（解的幾何意義）常微分方程解的幾何圖形稱為它的積分曲線.通解的圖形是一族積分曲線.特解是這族積分曲線中過某已知點(diǎn)的那條曲線.積分曲線（解的幾何意義）常微分方程解的幾何圖形稱為它的積分曲18常微分方程的初等方法介紹常微分方程的解法分離變量法常數(shù)變易法積分因子法變量代換法二階線性常系數(shù)微分方程解法特征值法常微分方程的初等方法介紹常微分方程的解法分離變量法常數(shù)變易法19變量可分離方程一階線性齊方程一階線性非齊方程變量分離常數(shù)變易第2節(jié)一階微分方程齊次方程變量替換變量可分離方程一階線性齊方程一階線性非齊方程變量分離常數(shù)變20變量可分離方程一階線性齊方程一階線性非齊方程變量分離常數(shù)變易變量可分離方程齊次方程變量替換變量可分離方程一階線性齊方程一階線性非齊方程變量分離常數(shù)變21一、變量可分離方程如果一階微分方程可以化為下列形式：則稱原方程為變量可分離的方程.運(yùn)用積分方法即可求得變量可分離方程的通解：其中C為積分后出現(xiàn)的任意常數(shù)。

將一個(gè)方程化為變量分離方程并求出其通解的過程，稱為分離變量法。積分的結(jié)果一、變量可分離方程如果一階微分方程可以化為下列形式：則稱原方22

例解原方程即對上式兩邊積分，得原方程的通解例解原方程即對上式兩邊積分，得原方程的通解23

例解對上式兩邊積分，得原方程的通解隱函數(shù)形式經(jīng)初等運(yùn)算可得到原方程的通解為你認(rèn)為做完了沒有？例解對上式兩邊積分，得原方程的通解隱函數(shù)形式經(jīng)初等運(yùn)算可得24原方程的解為原方程的解為25

例解兩邊同時(shí)積分，得故所求通解為你認(rèn)為還需要討論嗎？為什么？

因?yàn)橹磺笸ń猓圆槐卦儆懻摿?。例解兩邊同時(shí)積分，得故所求通解為你認(rèn)為還需要討論嗎？為什么26

例解原方程即兩邊積分，得故通解為曲線族的包絡(luò)。

工程技術(shù)中解決某些問題時(shí)，需要用到方程的奇解。例解原方程即兩邊積分，得故通解為曲線族的包絡(luò)。27二、齊次方程一階方程

中的函數(shù)可寫成的函數(shù)，即則稱方程為齊次方程，

例如

是齊次方程．二、齊次方程一階方程中的函數(shù)可寫成的函數(shù)，即則稱方程為齊次方28對齊次方程引入新的未知函數(shù)則有對齊次方程引入新的未知函數(shù)則有29原方程化為可分離變量的方程或分離變量，得兩端積分，得求出積分后，再以代替便得所給齊次方程的通解．原方程化為可分離變量的方程或分離變量，得兩端積分，得求出積分30例解方程解原方程寫成令則例解方程解原方程寫成令則31于是原方程為即分離變量，得于是原方程為即分離變量，得32兩端積分，得或以代上式中的得所給方程的通解為兩端積分，得或以代上式中的得所給方程的通解為33三、一階線性微分方程形如的方程稱為一階線性微分方程.方程稱為一階齊次線性方程.方程稱為一階非齊次線性方程.習(xí)慣上，稱為方程所對應(yīng)的齊方程.三、一階線性微分方程形如的方程稱為一階線性微分方程.方程稱為34一階齊線性方程的解運(yùn)用分離變量法，得兩邊積分，得故表示一個(gè)原函數(shù)

是一變量可分離的方程一階齊線性方程的解運(yùn)用分離變量法，得兩邊積分，得故表示一個(gè)原35的解存在，且唯一，其通解為的解存在，且唯一，其通解為36

例解故該一階齊線性方程的通解為

套公式！例解故該一階齊線性方程的通解為套公式！37

例解先求此一階齊線性方程的通解：故該初值問題的解為例解先求此一階齊線性方程的通解：故該初值問題的解為38一階非齊線性方程的解比較兩個(gè)方程：請問，你有什么想法？請問，你有什么想法？它們的解的形式應(yīng)該差不多.但差了一點(diǎn)什么東西呢？行嗎?!一階非齊線性方程的解比較兩個(gè)方程：請問，你有什么想法？請問，39怎么辦？故即怎么辦？故即40上式兩邊積分，求出待定函數(shù)

以上的推導(dǎo)過程稱為“常數(shù)變易法”.這種方法經(jīng)常用來由齊次問題推出相應(yīng)的非齊次問題、由線性問題推出相應(yīng)的非線性問題.上式兩邊積分，求出待定函數(shù)以上的推導(dǎo)過程稱為41專升本輔導(dǎo)-第8講常微分方程課件42

例解所以，方程的通解為例解所以，方程的通解為43

例解不是線性方程原方程可以改寫為這是一個(gè)以y

為自變量的一階非齊線性方程，其中故原方程的通解為例解不是線性方程原方程可以改寫為這是一個(gè)以y為自變量的44其中，為實(shí)常數(shù)，，分別為x的n次，m次多項(xiàng)式)(Ⅱ)，(Ⅰ)f(x)，為x的n次多項(xiàng)式,為實(shí)常數(shù)；其中理解二階常系數(shù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu).會(huì)求解二階常系數(shù)齊線性微分方程.會(huì)求解二階常系數(shù)非齊線性微分方程（非齊次項(xiàng)限定為:復(fù)習(xí)要求：其中，為實(shí)常數(shù)，，分別為x的n次，m次多項(xiàng)式)(Ⅱ)，(Ⅰ45第3節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程一、高階線性微分方程的一般理論二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解第3節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程一、高階線性微分方程的一般46一、高階線性微分方程的一般理論n階線性方程的一般形式為一、高階線性微分方程的一般理論n階線性方程的一般形式為47二階線性微分方程的一般形式為通常稱(2)

為

(1)的相對應(yīng)的齊次方程。

我們討論二階線性方程的一般理論，所得結(jié)論可自然推廣至n階線性方程中。二階線性微分方程的一般形式為通常稱(2)為(1481.二階齊次線性微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)(1)疊加原理的解，則它們的線性組合也是方程(2)的解，你打算怎么證明這個(gè)原理？1.二階齊次線性微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)(1)疊加原49證證50的解，則它們的線性組合也是方程(2)的解。推廣的解，則它們的線性組合也是方程(2)的解。推廣51(2)線性無關(guān)、線性相關(guān)(2)線性無關(guān)、線性相關(guān)52專升本輔導(dǎo)-第8講常微分方程課件53

例證由三角函數(shù)知識(shí)可知，這是不可能的，故例證由三角函數(shù)知識(shí)可知，這是不可能的，故54

例證例證55(3)二階齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理1的兩個(gè)線性無關(guān)的解，則是方程(2)的通解。(3)二階齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理1的兩個(gè)線性無關(guān)的562.二階非齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(1)解的性質(zhì)性質(zhì)1的一個(gè)特解，則是原方程的一個(gè)特解。2.二階非齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(1)解的性質(zhì)性質(zhì)57性質(zhì)2的一個(gè)特解，則是方程的一個(gè)特解。性質(zhì)2的一個(gè)特解，則是方程的一個(gè)特解。58性質(zhì)3是其對應(yīng)的齊方程的一個(gè)特解。性質(zhì)3是其對應(yīng)的齊方程的一個(gè)特解。59

可以直接驗(yàn)證性質(zhì)1——性質(zhì)3.可以直接驗(yàn)證性質(zhì)1——性質(zhì)3.60如何求特解？定理3的通解，則是方程(1)的通解。由性質(zhì)1以及通解的概念立即可以得知該定理成立。如何求特解？定理3的通解，則是方程(1)的通解。由性質(zhì)61二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊線性方程二階常系數(shù)非齊線性方程特征方程特征根二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊線性方程二階常系數(shù)非齊線性62二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程形如的方程，稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程，即特征方程二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程形如的方程，稱為二階常系數(shù)齊次63二階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為是方程(1)的兩個(gè)線性無關(guān)的解，故方程(1)的通解為二階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為是方程(1)的兩個(gè)線64二階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為由求根公式二階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為由求根公式65另一個(gè)解為：于是，當(dāng)特征方程有重實(shí)根時(shí)，方程(1)的通解為另一個(gè)解為：于是，當(dāng)特征方程有重實(shí)根時(shí)，方程(1)的66二階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為3)特征方程有一對共軛復(fù)根：是方程(1)的兩個(gè)線性無關(guān)的解，其通解為利用歐拉公式去掉表達(dá)式中虛數(shù)單位i。二階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為3)特征方程有一對共67歐拉公式：由線性方程解的性質(zhì)：均為方程(1)的解，且它們是線性無關(guān)的.歐拉公式：由線性方程解的性質(zhì)：均為方程(1)的解，且68故當(dāng)特征方程有一對共軛復(fù)根時(shí)，原方程的通解可表示為故當(dāng)特征方程有一對共軛復(fù)根時(shí)，原方程的通解可表示為69二階常系數(shù)齊線性微分方程特征方程特征根通解形式二階常系數(shù)齊線性微分方程特征方程特征根通解形式70

例解例解71

例解例解72

例解故所求特解為例解故所求特解為73二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊線性方程二階常系數(shù)非齊線性方程特征方程特征根復(fù)習(xí)二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊線性方程二階常系數(shù)非齊線性74二階常系數(shù)齊線性微分方程特征方程特征根通解形式二階常系數(shù)齊線性微分方程特征方程特征根通解形式75三、二階常系數(shù)非齊線性微分方程形如的方程，稱為二階常系數(shù)非齊線性微分方程，它對應(yīng)的齊方程為我們只討論函數(shù)f(x)的幾種簡單情形下(2)的特解。三、二階常系數(shù)非齊線性微分方程形如的方程，稱為二階常系數(shù)非齊76方程(2)對應(yīng)的齊方程(1)的特征方程及特征根為單根二重根一對共軛復(fù)根

你認(rèn)為方程應(yīng)該有什么樣子的特解？方程(2)對應(yīng)的齊方程(1)的特征方程及特征根為單根77假設(shè)方程有下列形式的特解：則代入方程(2)，得即方程(3)的系數(shù)與方程(2)的特征根有關(guān)。假設(shè)方程有下列形式的特解：則代入方程(2)，得即方程(78由方程(3)及多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有方程(2)有下列形式的特解:由方程(3)及多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有方程(2)有79由多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有方程(2)有下列形式的特解:由多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有方程(2)有下列形式的特解:80由多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有方程(2)有下列形式的特解:由多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有方程(2)有下列形式的特解:81定理1當(dāng)二階常系數(shù)非齊線性方程它有下列形式的特解：其中：

定理1當(dāng)二階常系數(shù)非齊線性方程它有下列形式的特解：其中：82

例1解對應(yīng)的齊方程的特征方程為特征根為對應(yīng)的齊方程的通解為將它代入原方程，得例1解對應(yīng)的齊方程的特征方程為特征根為對應(yīng)的齊方程的通解為83比較兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)，得故原方程有一特解為綜上所述，原方程的通解為比較兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)，得故原方程有一特解為綜上所述，原方程的84

例2解對應(yīng)的齊方程的特征方程為特征根為對應(yīng)的齊方程的通解為將它代入原方程，得例2解對應(yīng)的齊方程的特征方程為特征根為對應(yīng)的齊方程的通解為85上式即故原方程有一特解為綜上所述，原方程的通解為上式即故原方程有一特解為綜上所述，原方程的通解為86

例3解對應(yīng)的齊方程的通解為綜上所述，原方程的通解為例3解對應(yīng)的齊方程的通解為綜上所述，原方程的通解為87二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊線性方程二階常系數(shù)非齊線性方程特征方程特征根復(fù)習(xí)二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊線性方程二階常系數(shù)非齊線性88二階常系數(shù)齊線性微分方程特征方程特征根通解形式二階常系數(shù)齊線性微分方程特征方程特征根通解形式89當(dāng)二階常系數(shù)非齊線性方程它有下列形式的特解：其中：

當(dāng)二階常系數(shù)非齊線性方程它有下列形式的特解：其中：90

你有什么想法沒有？你有什么想法沒有？91歐拉公式：性質(zhì)4的一個(gè)特解。歐拉公式：性質(zhì)4的一個(gè)特解。92專升本輔導(dǎo)-第8講常微分方程課件93或者：如果則設(shè)分別為次多項(xiàng)式，其中或者：如果則設(shè)分別為次多項(xiàng)式，其中94

例1解代入上述方程，得從而，原方程有一特解為例1解代入上述方程，得從而，原方程有一特解為95

例1另解代入上述方程，得從而，原方程有一特解為

例1另解代入上述方程，得從而，原方程有一特解為96

例2解代入上述方程，得比較系數(shù)，得例2解代入上述方程，得比較系數(shù)，得97從而，原方程有一特解為故從而，原方程有一特解為故98

例解由上面兩個(gè)例題立即可得例解由上面兩個(gè)例題立即可得99祝寒假愉快、復(fù)習(xí)順利！祝寒假愉快、復(fù)習(xí)順利！100第8講常微分方程第8講常微分方程101復(fù)習(xí)要求：理解微分方程的概念，理解微分方程階、解、通解、初始條件和特解的概念.掌握變量可分離微分方程與齊次方程的解法.會(huì)求解一階線性微分方程.復(fù)習(xí)要求：理解微分方程的概念，理解微分方程階、解、通解、初始102其中，為實(shí)常數(shù)，，分別為x的n次，m次多項(xiàng)式)(Ⅱ)，(Ⅰ)f(x)，為x的n次多項(xiàng)式,為實(shí)常數(shù)；其中理解二階常系數(shù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu).會(huì)求解二階常系數(shù)齊線性微分方程.會(huì)求解二階常系數(shù)非齊線性微分方程（非齊次項(xiàng)限定為:其中，為實(shí)常數(shù)，，分別為x的n次，m次多項(xiàng)式)(Ⅱ)，(Ⅰ103

微分方程是精確表示自然科學(xué)中各種基本定律和各種問題的基本工具之一.

現(xiàn)代建立起來的自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的數(shù)學(xué)模型大多都是微分方程.微分方程是精確表示自然科學(xué)中各種基本定律和各種問題的104

在許多物理、力學(xué)、生物等現(xiàn)象中，不能直接找到聯(lián)系所研究的那些量的規(guī)律，但卻容易建立起這些量與它們的導(dǎo)數(shù)或微分間的關(guān)系.

含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式。在許多物理、力學(xué)、生物等現(xiàn)象中，不能直接找到105

第1節(jié)微分方程的基本概念常微分方程方程的階數(shù)線性方程、非線性方程方程的解、通解、特解、所有解初始條件（定解條件）積分曲線（解的幾何意義）初值問題、初值問題的解齊次方程、非齊次方程第1節(jié)微分方程的基本概念常微分方程方程的階數(shù)線性方程106常微分方程含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，稱為微分方程.未知函數(shù)可以不出現(xiàn)，但其導(dǎo)數(shù)一定要出現(xiàn).未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程.未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程，稱為偏微分方程.常微分方程含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，稱為微分方程.107

例常微分方程偏微分方程例常微分方程偏微分方程108常微分方程的階數(shù)微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的最高階數(shù)，稱為微分方程的階數(shù).一階二階一階常微分方程的階數(shù)微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的109線性方程、非線性方程若一個(gè)方程對未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的全體而言是一次的，且系數(shù)只與自變量有關(guān)（與未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)無關(guān)），則稱該方程為線性方程，否則，稱之為非線性方程.一階二階一階非線性線性非線性線性方程、非線性方程若一個(gè)方程對未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的全體而言是110齊次方程、非齊次方程在方程中，不含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)，稱為自由項(xiàng).自由項(xiàng)為零的方程，稱為齊次方程.自由項(xiàng)不為零的方程，稱為非齊次方程.一階齊次非線性方程二階非齊次線性方程一階非齊次非線性方程齊次方程、非齊次方程在方程中，不含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)，稱為111微分方程的一般表示形式微分方程的一般表示形式112方程的解、通解、特解、所有解能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱為方程的解.如果n階微分方程的解中含有n個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù)，則稱此解為n階微分方程的通解.一般說來，不含有任意常數(shù)的解，稱為方程的特解.

通常由一定的條件出發(fā)，確定方程通解中的任意常數(shù)來得到特解。但有些特解不能由通解求出，必須利用其它方法直接由方程解出.所有解＝通解＋不能包含在通解內(nèi)的所有特解.方程的解、通解、特解、所有解能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱113

例解代入方程，得

微分方程的解不一定都能用初等函數(shù)表示出來.

此時(shí)可求數(shù)值解故函數(shù)例解代入方程，得微分方程的解不一定都能用初等函數(shù)表示114初始條件（定解條件）

由自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及數(shù)學(xué)本身建立微分方程時(shí)，往往同時(shí)知道微分方程的解應(yīng)滿足某些已知的條件。這些已知條件就稱為微分方程的初始條件或定解條件.常微分方程初始條件稱為初值問題（柯西問題）初始條件（定解條件）由自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及115

例解微分方程初始條件通解特解例解微分方程初始條件通解特解116

例解微分方程初始條件通解特解有何想法？例解微分方程初始條件通解特解有何想法？117積分曲線（解的幾何意義）常微分方程解的幾何圖形稱為它的積分曲線.通解的圖形是一族積分曲線.特解是這族積分曲線中過某已知點(diǎn)的那條曲線.積分曲線（解的幾何意義）常微分方程解的幾何圖形稱為它的積分曲118常微分方程的初等方法介紹常微分方程的解法分離變量法常數(shù)變易法積分因子法變量代換法二階線性常系數(shù)微分方程解法特征值法常微分方程的初等方法介紹常微分方程的解法分離變量法常數(shù)變易法119變量可分離方程一階線性齊方程一階線性非齊方程變量分離常數(shù)變易第2節(jié)一階微分方程齊次方程變量替換變量可分離方程一階線性齊方程一階線性非齊方程變量分離常數(shù)變120變量可分離方程一階線性齊方程一階線性非齊方程變量分離常數(shù)變易變量可分離方程齊次方程變量替換變量可分離方程一階線性齊方程一階線性非齊方程變量分離常數(shù)變121一、變量可分離方程如果一階微分方程可以化為下列形式：則稱原方程為變量可分離的方程.運(yùn)用積分方法即可求得變量可分離方程的通解：其中C為積分后出現(xiàn)的任意常數(shù)。

將一個(gè)方程化為變量分離方程并求出其通解的過程，稱為分離變量法。積分的結(jié)果一、變量可分離方程如果一階微分方程可以化為下列形式：則稱原方122

例解原方程即對上式兩邊積分，得原方程的通解例解原方程即對上式兩邊積分，得原方程的通解123

例解對上式兩邊積分，得原方程的通解隱函數(shù)形式經(jīng)初等運(yùn)算可得到原方程的通解為你認(rèn)為做完了沒有？例解對上式兩邊積分，得原方程的通解隱函數(shù)形式經(jīng)初等運(yùn)算可得124原方程的解為原方程的解為125

例解兩邊同時(shí)積分，得故所求通解為你認(rèn)為還需要討論嗎？為什么？

因?yàn)橹磺笸ń?，所以不必再討論了。例解兩邊同時(shí)積分，得故所求通解為你認(rèn)為還需要討論嗎？為什么126

例解原方程即兩邊積分，得故通解為曲線族的包絡(luò)。

工程技術(shù)中解決某些問題時(shí)，需要用到方程的奇解。例解原方程即兩邊積分，得故通解為曲線族的包絡(luò)。127二、齊次方程一階方程

中的函數(shù)可寫成的函數(shù)，即則稱方程為齊次方程，

例如

是齊次方程．二、齊次方程一階方程中的函數(shù)可寫成的函數(shù)，即則稱方程為齊次方128對齊次方程引入新的未知函數(shù)則有對齊次方程引入新的未知函數(shù)則有129原方程化為可分離變量的方程或分離變量，得兩端積分，得求出積分后，再以代替便得所給齊次方程的通解．原方程化為可分離變量的方程或分離變量，得兩端積分，得求出積分130例解方程解原方程寫成令則例解方程解原方程寫成令則131于是原方程為即分離變量，得于是原方程為即分離變量，得132兩端積分，得或以代上式中的得所給方程的通解為兩端積分，得或以代上式中的得所給方程的通解為133三、一階線性微分方程形如的方程稱為一階線性微分方程.方程稱為一階齊次線性方程.方程稱為一階非齊次線性方程.習(xí)慣上，稱為方程所對應(yīng)的齊方程.三、一階線性微分方程形如的方程稱為一階線性微分方程.方程稱為134一階齊線性方程的解運(yùn)用分離變量法，得兩邊積分，得故表示一個(gè)原函數(shù)

是一變量可分離的方程一階齊線性方程的解運(yùn)用分離變量法，得兩邊積分，得故表示一個(gè)原135的解存在，且唯一，其通解為的解存在，且唯一，其通解為136

例解故該一階齊線性方程的通解為

套公式！例解故該一階齊線性方程的通解為套公式！137

例解先求此一階齊線性方程的通解：故該初值問題的解為例解先求此一階齊線性方程的通解：故該初值問題的解為138一階非齊線性方程的解比較兩個(gè)方程：請問，你有什么想法？請問，你有什么想法？它們的解的形式應(yīng)該差不多.但差了一點(diǎn)什么東西呢？行嗎?!一階非齊線性方程的解比較兩個(gè)方程：請問，你有什么想法？請問，139怎么辦？故即怎么辦？故即140上式兩邊積分，求出待定函數(shù)

以上的推導(dǎo)過程稱為“常數(shù)變易法”.這種方法經(jīng)常用來由齊次問題推出相應(yīng)的非齊次問題、由線性問題推出相應(yīng)的非線性問題.上式兩邊積分，求出待定函數(shù)以上的推導(dǎo)過程稱為141專升本輔導(dǎo)-第8講常微分方程課件142

例解所以，方程的通解為例解所以，方程的通解為143

例解不是線性方程原方程可以改寫為這是一個(gè)以y

為自變量的一階非齊線性方程，其中故原方程的通解為例解不是線性方程原方程可以改寫為這是一個(gè)以y為自變量的144其中，為實(shí)常數(shù)，，分別為x的n次，m次多項(xiàng)式)(Ⅱ)，(Ⅰ)f(x)，為x的n次多項(xiàng)式,為實(shí)常數(shù)；其中理解二階常系數(shù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu).會(huì)求解二階常系數(shù)齊線性微分方程.會(huì)求解二階常系數(shù)非齊線性微分方程（非齊次項(xiàng)限定為:復(fù)習(xí)要求：其中，為實(shí)常數(shù)，，分別為x的n次，m次多項(xiàng)式)(Ⅱ)，(Ⅰ145第3節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程一、高階線性微分方程的一般理論二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解第3節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程一、高階線性微分方程的一般146一、高階線性微分方程的一般理論n階線性方程的一般形式為一、高階線性微分方程的一般理論n階線性方程的一般形式為147二階線性微分方程的一般形式為通常稱(2)

為

(1)的相對應(yīng)的齊次方程。

我們討論二階線性方程的一般理論，所得結(jié)論可自然推廣至n階線性方程中。二階線性微分方程的一般形式為通常稱(2)為(11481.二階齊次線性微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)(1)疊加原理的解，則它們的線性組合也是方程(2)的解，你打算怎么證明這個(gè)原理？1.二階齊次線性微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)(1)疊加原149證證150的解，則它們的線性組合也是方程(2)的解。推廣的解，則它們的線性組合也是方程(2)的解。推廣151(2)線性無關(guān)、線性相關(guān)(2)線性無關(guān)、線性相關(guān)152專升本輔導(dǎo)-第8講常微分方程課件153

例證由三角函數(shù)知識(shí)可知，這是不可能的，故例證由三角函數(shù)知識(shí)可知，這是不可能的，故154

例證例證155(3)二階齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理1的兩個(gè)線性無關(guān)的解，則是方程(2)的通解。(3)二階齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理1的兩個(gè)線性無關(guān)的1562.二階非齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(1)解的性質(zhì)性質(zhì)1的一個(gè)特解，則是原方程的一個(gè)特解。2.二階非齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(1)解的性質(zhì)性質(zhì)157性質(zhì)2的一個(gè)特解，則是方程的一個(gè)特解。性質(zhì)2的一個(gè)特解，則是方程的一個(gè)特解。158性質(zhì)3是其對應(yīng)的齊方程的一個(gè)特解。性質(zhì)3是其對應(yīng)的齊方程的一個(gè)特解。159

可以直接驗(yàn)證性質(zhì)1——性質(zhì)3.可以直接驗(yàn)證性質(zhì)1——性質(zhì)3.160如何求特解？定理3的通解，則是方程(1)的通解。由性質(zhì)1以及通解的概念立即可以得知該定理成立。如何求特解？定理3的通解，則是方程(1)的通解。由性質(zhì)161二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊線性方程二階常系數(shù)非齊線性方程特征方程特征根二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊線性方程二階常系數(shù)非齊線性162二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程形如的方程，稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程，即特征方程二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程形如的方程，稱為二階常系數(shù)齊次163二階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為是方程(1)的兩個(gè)線性無關(guān)的解，故方程(1)的通解為二階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為是方程(1)的兩個(gè)線164二階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為由求根公式二階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為由求根公式165另一個(gè)解為：于是，當(dāng)特征方程有重實(shí)根時(shí)，方程(1)的通解為另一個(gè)解為：于是，當(dāng)特征方程有重實(shí)根時(shí)，方程(1)的166二階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為3)特征方程有一對共軛復(fù)根：是方程(1)的兩個(gè)線性無關(guān)的解，其通解為利用歐拉公式去掉表達(dá)式中虛數(shù)單位i。二階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為3)特征方程有一對共167歐拉公式：由線性方程解的性質(zhì)：均為方程(1)的解，且它們是線性無關(guān)的.歐拉公式：由線性方程解的性質(zhì)：均為方程(1)的解，且168故當(dāng)特征方程有一對共軛復(fù)根時(shí)，原方程的通解可表示為故當(dāng)特征方程有一對共軛復(fù)根時(shí)，原方程的通解可表示為169二階常系數(shù)齊線性微分方程特征方程特征根通解形式二階常系數(shù)齊線性微分方程特征方程特征根通解形式170

例解例解171

例解例解172

例解故所求特解為例解故所求特解為173二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊線性方程二階常系數(shù)非齊線性方程特征方程特征根復(fù)習(xí)二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊線性方程二階常系數(shù)非齊線性174二階常系數(shù)齊線性微分方程特征方程特征根通解形式二階常系數(shù)齊線性微分方程特征方程特征根通解形式175三、二階常系數(shù)非齊線性微分方程形如的方程，稱為二階常系數(shù)非齊線性微分方程，它對應(yīng)的齊方程為我們只討論函數(shù)f(x)的幾種簡單情形下