彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程-第四版-徐芝綸第五章課件

例題第一節(jié)差分公式的推導(dǎo)第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解第三節(jié)應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例第四節(jié)彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能第五節(jié)位移變分方程第六節(jié)位移變分法習(xí)題的提示和答案教學(xué)參考資料第五章用差分法和變分法解平面問(wèn)題第七節(jié)位移變分法例題例題第一節(jié)差分公式的推導(dǎo)第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解第三節(jié)彈性力學(xué)的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件、形變與位移之間的幾何條件和形變與應(yīng)力之間的物理?xiàng)l件，建立微分方程和邊界條件。近似解法

因此，彈性力學(xué)問(wèn)題屬于微分方程的邊值問(wèn)題。通過(guò)求解，得出函數(shù)表示的精確解答?！?-1差分公式的推導(dǎo)彈性力學(xué)的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件、形變

對(duì)于工程實(shí)際問(wèn)題，由于荷載和邊界較復(fù)雜，難以求出函數(shù)式的解答。為此，人們探討彈性力學(xué)的各種近似解法，主要有變分法、差分法和有限單元法。近似解法對(duì)于工程實(shí)際問(wèn)題，由于荷載和邊界較復(fù)雜，難以

差分法是微分方程的一種數(shù)值解法。它不是去求解函數(shù)，而是求函數(shù)在一些結(jié)點(diǎn)上的值。 fxo差分法 差分法是微分方程的一種數(shù)值解法。它不是去求解函數(shù)

差分法的內(nèi)容是：差分法將微分方程用差分方程（代數(shù)方程）代替，于是，求解微分方程的問(wèn)題化為求解差分方程的問(wèn)題。將導(dǎo)數(shù)用有限差商來(lái)代替，將微分用有限差分來(lái)代替，差分法的內(nèi)容是：差分法將微分方程用差分方程（代數(shù)方

導(dǎo)數(shù)差分公式的導(dǎo)出：導(dǎo)數(shù)差分公式在平面彈性體上劃分等間距h的兩組網(wǎng)格，分別∥x、y軸。網(wǎng)格交點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)，h稱為步長(zhǎng)。 導(dǎo)數(shù)差分公式的導(dǎo)出：導(dǎo)數(shù)差分公式在平面彈性應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)公式將在點(diǎn)展開(kāi)，(a)應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)公式將在點(diǎn)展開(kāi)，(a)1、拋物線差分公式─略去式(a)中以上項(xiàng)，分別用于結(jié)點(diǎn)1、3，拋物線差分公式結(jié)點(diǎn)3：結(jié)點(diǎn)1：1、拋物線差分公式─略去式(a)中以上項(xiàng)，分別用拋物線差分公式式(b)又稱為中心差分公式，并由此可導(dǎo)出高階導(dǎo)數(shù)公式。從上兩式解出o點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)公式，拋物線差分公式式(b)又稱為中心差分公式，并由此可導(dǎo)出高階導(dǎo)

應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)導(dǎo)出差分公式，可得出統(tǒng)一的格式，避免任意性，并可估計(jì)其誤差量級(jí)，式(b)的誤差為。拋物線差分公式應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)導(dǎo)出差分公式，可得出統(tǒng)一的格式，避免任意性2、線性差分公式─在式(a)中僅取一、二項(xiàng)時(shí)，誤差量級(jí)為。線性差分公式式(c)稱為向前差分公式。對(duì)結(jié)點(diǎn)1，得：2、線性差分公式─在式(a)中僅取一、二項(xiàng)時(shí)，誤差量級(jí)為對(duì)結(jié)點(diǎn)3，得：

式(d)稱為向后差分公式。

線性的向前或向后差分公式，主要用于對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的公式中。線性的向前或向后差分公式，主要用于

穩(wěn)定溫度場(chǎng)中的溫度場(chǎng)函數(shù)T(x,y)應(yīng)滿足下列方程和邊界條件：

（在A中）, (a)

（在上）,

(b)

（在上）.

(c)例1 穩(wěn)定溫度場(chǎng)中的溫度場(chǎng)函數(shù)T(x,y)應(yīng)滿足下列方程和穩(wěn)定溫度場(chǎng)的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在上的第一類邊界條件是已知邊界上的溫度值；在上的第二類邊界條件是已知熱流密度值，其中是導(dǎo)熱系數(shù)。穩(wěn)定溫度場(chǎng)的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在上的第

現(xiàn)在我們將式(a)、(b)、(c)轉(zhuǎn)化為差分形式。應(yīng)用圖5－1網(wǎng)格，和拋物線差分公式，彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程-第四版-徐芝綸第五章課件（1）將化為差分公式，得（2）若x邊界516上為第一類邊界條件，則已知。（3）若y邊界627上為第二類邊界條件，已知，則(d)（1）將化為差分公式，得(d)

由于所以得

這時(shí)，邊界點(diǎn)2的是未知的，對(duì)2點(diǎn)須列出式（d）的方程。此方程涉及到值，可將式（e）代入。(e)

由于所以得(e)

例2穩(wěn)定溫度場(chǎng)問(wèn)題的差分解。設(shè)圖中的矩形域?yàn)?m×4m，取網(wǎng)格間距為h=2m，布置網(wǎng)格如圖，各邊界點(diǎn)的已知溫度值如圖所示，試求內(nèi)結(jié)點(diǎn)a、b的穩(wěn)定溫度值。ab40353025322224222017例2ab40353025322224222017解：對(duì)a、b列出方程如下：解出

（度）.（度）.1.比較導(dǎo)數(shù)的拋物線差分公式和線性差分公式的區(qū)別。2.應(yīng)用拋物線差分公式(5-2)，試導(dǎo)出三階導(dǎo)數(shù)的差分公式。思考題1.比較導(dǎo)數(shù)的拋物線差分公式和線性差分公式的區(qū)別。思考題對(duì)于單連體，按應(yīng)力函數(shù)求解時(shí)，應(yīng)滿足:§5-2應(yīng)力函數(shù)的差分解按求解對(duì)于單連體，按應(yīng)力函數(shù)求解時(shí)，應(yīng)滿足:§5（3）求出后，由下式求應(yīng)力（假設(shè)無(wú)體力）:

按求解按求解差分法求解1.應(yīng)力公式(c)的差分表示。對(duì)于o點(diǎn)，

差分法求解：差分法求解1.應(yīng)力公式(c)的差分表示。對(duì)于o點(diǎn)，差分法求相容方程(e)化為：對(duì)每一內(nèi)結(jié)點(diǎn)，為未知，均應(yīng)列出式(e)的方程。2.相容方程(a)的差分表示，相容方程(e)化為：對(duì)每一內(nèi)結(jié)點(diǎn)，為對(duì)邊界內(nèi)一行結(jié)點(diǎn)列式(e)方程時(shí)，需要求出邊界點(diǎn)和邊界外一行結(jié)點(diǎn)（虛結(jié)點(diǎn)）的值。 為了求虛結(jié)點(diǎn)的值，需要求出邊界點(diǎn)的、值。相容方程相容方程

3.應(yīng)用應(yīng)力邊界條件(b)，求出邊界點(diǎn)的、、值。邊界條件 3.應(yīng)用應(yīng)力邊界條件(b)，求出邊界點(diǎn)的、、⑴應(yīng)力邊界條件用表示取出坐標(biāo)的正方向作為邊界線s的正向（圖中為順時(shí)針向），當(dāng)移動(dòng)時(shí)，為正，而為負(fù)，∴外法線的方向余弦為邊界條件⑴應(yīng)力邊界條件用表示邊界條件(f)邊界條件即將上式和式(d)代入式(b)，得(f)邊界條件即將上式和式(d)代入式(b)，得邊界條件式(f)、(g)分別是應(yīng)力邊界條件的微分、積分形式。再將式(f)對(duì)s積分，從固定的基點(diǎn)A到邊界任一點(diǎn)B，得邊界條件式(f)、(g)分別是應(yīng)力邊界條件的微分、積分形通過(guò)分部積分從A到B積分，得邊界條件(h)⑵由全微分求邊界點(diǎn)的

通過(guò)分部積分邊界條件(h)⑵由全微分⑶∵A為定點(diǎn)，、和、、均為常數(shù)，而式(h)中，加減x，y的一次式不影響應(yīng)力，∴可取 故邊界結(jié)點(diǎn)的和導(dǎo)數(shù)值，由式(g)、(h)簡(jiǎn)化為邊界條件⑶∵A為定點(diǎn)，、和、

式(i)的物理意義是：第一式表示從A到B邊界上x(chóng)向面力的主矢量；第二式表示從A到B邊界上y向面力的主矢量改號(hào);第三式表示從A到B邊界上面力對(duì)B點(diǎn)的力距，圖中以順時(shí)針向?yàn)檎?。因此，可以按物理意義直接求邊界條件和式(i)的物理意義是：邊界條件和⑷由式(i)的第三式，可求出邊界點(diǎn)的值;由式(i)的前兩式，可求出邊界點(diǎn)的、值，然后再求出邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)的值。邊界條件⑷由式(i)的第三式，可求出邊界點(diǎn)的邊界（1）在邊界上選定基點(diǎn)A，令，然后計(jì)算邊界上各結(jié)點(diǎn)的、、；求解步驟（2）由邊界結(jié)點(diǎn)的、值，求出邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)的值；4.應(yīng)力函數(shù)差分解的步驟（1）在邊界上選定基點(diǎn)A，求解步驟（2）由邊界結(jié)點(diǎn)的（3）對(duì)邊界內(nèi)所有結(jié)點(diǎn)列式(e)的方程，聯(lián)立求各結(jié)點(diǎn)的值；求解步驟（5）按式(d)求各結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。（4）求出邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)的值；（3）對(duì)邊界內(nèi)所有結(jié)點(diǎn)列式(e)的方程，求解步驟（5）按思考題1、將應(yīng)力函數(shù)看成是覆蓋于區(qū)域A和邊界s上的一個(gè)曲面，則在邊界上，各點(diǎn)的值與從A（基點(diǎn)）到B面力的合力距有關(guān)，的一階導(dǎo)數(shù)值與A到B的面力的合力（主矢量）有關(guān)；而在區(qū)域內(nèi)，應(yīng)力分量與曲面的曲率、扭率有關(guān)。思考題§5－3應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例問(wèn)題

此題無(wú)函數(shù)式解答。應(yīng)用差分法求解。

正方形深梁,上邊受均布荷載，下邊兩角點(diǎn)處有支承反力維持平衡，試求其應(yīng)力。§5－3應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例問(wèn)題此題無(wú)函數(shù)式解1.本題具有對(duì)稱性，取y軸如圖，并取以反映對(duì)稱性。取網(wǎng)格如圖。取網(wǎng)格如圖。 首先考慮對(duì)稱性，可以減少未知值數(shù)目，并大量減少計(jì)算工作量。 按照物理意義，求出邊界點(diǎn)上的和其導(dǎo)數(shù)值（如書(shū)中所示）：

首先考慮對(duì)稱性，可以減少未知值數(shù)目，并大量減少計(jì)算工─AB間y向面力主矢量號(hào)，─AB間x向面力主矢量，

─AB間面力對(duì)B點(diǎn)力矩，注意符號(hào)為正.

5.求出應(yīng)力，如AM線上各點(diǎn)應(yīng)力，并繪出分布圖。4.求出邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)的

值。3.對(duì)每一內(nèi)點(diǎn)列差分方程，求出。2.由邊界點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，求出邊界外一行

虛結(jié)點(diǎn)的值。5.求出應(yīng)力，如AM線上各點(diǎn)應(yīng)力，并繪4.求出邊

比較：材料力學(xué)解─AM上為直線分布，彈性力學(xué)解─AM上為曲線分布，

由此又說(shuō)明，材料力學(xué)解法只適用于桿件。比較比較：比較

（1）差分法是解微分方程邊值問(wèn)題和彈性力學(xué)問(wèn)題的有效方法。（2）差分法簡(jiǎn)便易行，且總能求出解答。（3）差分法可配合材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)解法，精確地分析結(jié)構(gòu)的局部應(yīng)力狀 態(tài)。

差分法優(yōu)點(diǎn)：差分法評(píng)價(jià) 差分法優(yōu)點(diǎn)：差分法評(píng)價(jià)（1）對(duì)于曲線邊界和不等間距網(wǎng)格的計(jì)算較麻煩。（2）差分法比較適用于平面問(wèn)題或二維問(wèn)題。（3）凡是近似解，在求導(dǎo)運(yùn)算時(shí)會(huì)降低精度。如的誤差為，則應(yīng)力的誤差為。

缺點(diǎn)：差分法評(píng)價(jià)（1）對(duì)于曲線邊界和不等間距網(wǎng)格的計(jì)算缺點(diǎn)：差分法評(píng)思考題：1.試用線性向前或向后差分公式，導(dǎo)出的差分方程。a（Z向厚度）AyB2FFFxaaa2.用差分法計(jì)算圖中A點(diǎn)的應(yīng)力分量。思考題：a（Z向厚度）AyB2FFFxaaa2.用差§5－4彈性體的形變勢(shì)能

外力勢(shì)能彈性力學(xué)變分法，又稱為能量法。因其中的泛函就是彈性體的能量。泛函─是以函數(shù)為自變量（宗量）的一種函數(shù)。變分法，是研究泛函及其極值的求解方法?！?－4彈性體的形變勢(shì)能

外力勢(shì)能彈性力應(yīng)力變分法─取應(yīng)力函數(shù)為自變量，并以余能極小值條件導(dǎo)出變分方程。本章只介紹位移變分法。位移變分法─取位移函數(shù)為自變量，并以勢(shì)能極小值條件導(dǎo)出變分方程。彈性力學(xué)變分法，是區(qū)別于微分方程邊值問(wèn)題的另一種獨(dú)立解法。其中分為：應(yīng)力變分法─取應(yīng)力函數(shù)為自變量，并以位移變分法─取位移函外力勢(shì)能─外力做了功，必然消耗了相同值的勢(shì)能。當(dāng)取時(shí)的外力功和能為零，則：(b)外力功和外力勢(shì)能1.彈性體上的外力功和外力勢(shì)能外力功：外力勢(shì)能─外力做了功，必然消耗了相同值的勢(shì)能。當(dāng)取形變勢(shì)能（2）∵應(yīng)力和應(yīng)變均從0增長(zhǎng)到，故單位體積上，應(yīng)力所做的功是非線性關(guān)系─線性關(guān)系─（1）作用于微小單元上的應(yīng)力，是鄰近部分物體對(duì)它的作用力，可看成是作用于微小單元上的“外力”。2.應(yīng)力的功和形變勢(shì)能（內(nèi)力勢(shì)能）形變勢(shì)能（2）∵應(yīng)力和應(yīng)變均從0增長(zhǎng)到，（線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系非線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系非線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系（3）對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題或平面應(yīng)變問(wèn)題

單元體積上應(yīng)力所做的功都是

(c)形變勢(shì)能（3）對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題（4）假設(shè)沒(méi)有轉(zhuǎn)化為非機(jī)械能和動(dòng)能，則應(yīng)力所做的功全部轉(zhuǎn)化為彈性體的

內(nèi)力勢(shì)能，又稱為形變勢(shì)能，或應(yīng)變

能，存貯于物體內(nèi)部。─單位體積的形變勢(shì)能（形變勢(shì)能密度）。形變勢(shì)能（4）假設(shè)沒(méi)有轉(zhuǎn)化為非機(jī)械能和動(dòng)能，則形變勢(shì)能（5）整個(gè)彈性體的形變勢(shì)能是

(d)形變勢(shì)能（5）整個(gè)彈性體的形變勢(shì)能是(d)形變勢(shì)能形變勢(shì)能對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，將，。再將幾何方程代入，可用位移表示為（6）將物理方程代入，平面應(yīng)力問(wèn)題的形變勢(shì)能密度，可用形變表示為形變勢(shì)能對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，將3.形變勢(shì)能的性質(zhì)（1）是應(yīng)變或位移的二次泛函， 故不能應(yīng)用疊加原理。（2）應(yīng)變或位移發(fā)生時(shí)，總是正的，即（3）的大小與受力次序無(wú)關(guān)。（4）對(duì)應(yīng)變的導(dǎo)數(shù)，等于對(duì)應(yīng)的應(yīng)力：

(g)形變勢(shì)能的性質(zhì)3.形變勢(shì)能的性質(zhì)(g)形變勢(shì)能的性質(zhì)

4.彈性體的總勢(shì)能，是外力勢(shì)能和內(nèi)力（形變）勢(shì)能之和，(h) 4.彈性體的總勢(shì)能，是外力勢(shì)能和內(nèi)力(h)1.試證明在線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系下，。2.試由式(e)導(dǎo)出式(g)。3.試列出極坐標(biāo)系中平面應(yīng)力問(wèn)題的形變勢(shì)能公式，并與式(d)、(e)和(f)相比較。思考題1.試證明在線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系下，。思考題§5－5位移變分方程

在位移變分法中，所取泛函為總勢(shì)能，其自變量（宗量）為位移狀態(tài)函數(shù)

，。 現(xiàn)在來(lái)導(dǎo)出位移變分方程。§5－5位移變分方程 在位移變分法中，所取泛函為總勢(shì)能⑴用位移表示的平衡微分方程（在A中）⑵用位移表示的應(yīng)力邊界條件（在上）⑶位移邊界條件（在上）。實(shí)際位移(a)其中⑴、⑵屬于靜力平衡條件，⑶屬于約束條件。 對(duì)于實(shí)際位移，可將⑶看成是必要條件，而⑴、⑵是充分條件。1.實(shí)際平衡狀態(tài)的位移、，必須滿足⑴用位移表示的平衡微分方程（在A中）實(shí)際位移(a)

2.虛位移狀態(tài)

⑴虛位移（數(shù)學(xué)上稱為位移變分），

表示在約束條件允許下，平衡狀態(tài)附近的微小位移增量，如圖所示。 虛位移應(yīng)滿足上的約束邊界條件，即

虛位移(b)（在上）。2.虛位移狀態(tài)虛位移(b)（在上）。

虛位移不是實(shí)際外力作用下發(fā)生的，而是假想由其他干擾產(chǎn)生的。因此，虛位移狀態(tài)

就構(gòu)成實(shí)際平衡狀態(tài)附近的一種鄰近狀態(tài)。(c)虛位移 虛位移不是實(shí)際外力作用下發(fā)生的，而是假想由其他微分─是在同一狀態(tài)下，研究由于位置(坐標(biāo))改變而引起函數(shù)的改變。其中的自變量為坐標(biāo)變量x,y；

而因變量為函數(shù)，如位移，有

(d)⑵變分與微分的比較變分與微分微分─是在同一狀態(tài)下，研究由于位置(d)⑵變分與微分的變分─是在同一點(diǎn)位置上，由于狀態(tài)改變而引起泛函的改變。其中的自變量為狀態(tài)函數(shù)，如位移；

而因變量為泛函，如，，，有

變分與微分(e)變分─是在同一點(diǎn)位置上，由于狀態(tài)改變變分與微分(e)由于微分和變分都是微量，所以a.它們的運(yùn)算方式相同，如式(d)，(e)；b.變分和微分可以交換次序，如

變分與微分(f)由于微分和變分都是微量，所以變分與微分(f)當(dāng)發(fā)生虛位移（位移變分）時(shí)，虛位移上功和能由于虛位移引起虛應(yīng)變，外力勢(shì)能的變分：外力的虛功（外力功的變分）：3.在虛位移上彈性體的功和能

當(dāng)發(fā)生虛位移（位移變分）時(shí)，虛位移上功和能

形變勢(shì)能的變分，即實(shí)際應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功,

由于實(shí)際應(yīng)力在虛應(yīng)變之前已存在,∴作為常力計(jì)算，故無(wú)系數(shù)。虛位移上功和能(j)形變勢(shì)能的變分，即實(shí)際應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功（1）在封閉系統(tǒng)中，假設(shè)沒(méi)有非機(jī)械能的改變，也沒(méi)有動(dòng)能的改變，則按照能量守恒定律，在虛位移過(guò)程中形變勢(shì)能的增加應(yīng)等于外力勢(shì)能的減少（即等于外力所做的虛功）。∴位移變分方程4.彈性力學(xué)中位移變分方程的導(dǎo)出（1）在封閉系統(tǒng)中，假設(shè)沒(méi)有非機(jī)械能的改變，也沒(méi)有動(dòng)能的改變（2）位移變分方程─將式(g)的代入上式,得它表示，在實(shí)際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變分時(shí)，所引起的形變勢(shì)能的變分，等于外力功的變分。位移變分方程（2）位移變分方程─將式(g)的代入上式,得它表位移變分方程它表示，在實(shí)際平衡狀態(tài)發(fā)生虛位移時(shí)，外力在虛位移上所做的虛功等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。（3）虛功方程─將式(j)的代入上式，得位移變分方程它表示，在實(shí)際平衡狀態(tài)發(fā)生虛位移時(shí)，（3）虛功方其中─形變勢(shì)能的變分，如式(j)所示，─外力功的變分，如式(g)所示。位移變分方程（4）最小勢(shì)能原理─式(k)可寫(xiě)成其中U─彈性體的形變勢(shì)能，如§5-4式(d),

W─彈性體的外力功，如§5-4式(a)?？梢宰C明，式(n)可以寫(xiě)成為其中─形變勢(shì)能的變分，如式(j)所示，位移變分方程（證明如下：位移變分方程證明如下：位移變分方程由于彈性體的總勢(shì)能為故式(o)可以表示為

再將總勢(shì)能對(duì)其變量（位移或應(yīng)變）作二次變分運(yùn)算，可得

綜合式(p)，(q)，即得(p)(q)(r)位移變分方程由于彈性體的總勢(shì)能為(p)(q)(r)位移變分方程位移變分方程

這就是最小勢(shì)能原理。它表示在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移狀態(tài)中，實(shí)際存在的一組位移對(duì)應(yīng)于總勢(shì)能為極小值。位移變分方程這就是最小勢(shì)能原理。它表示在給最小勢(shì)能原理：數(shù)學(xué)表示如圖(a)，物理意義如圖(b)uu（實(shí)際位移）(a)(b)最小勢(shì)能原理：uu（實(shí)際位移）(a)(b)（5）位移變分方程的又一形式─式(l)中可化為

又一形式（5）位移變分方程的又一形式─式(l)又一形式應(yīng)用分部積分公式和格林公式（其中s為平面域A的邊界，l，m為邊界外法線的方向余弦），可將進(jìn)行轉(zhuǎn)換。又一形式應(yīng)用分部積分公式又一形式∵在上，虛位移，∴

對(duì)其余幾項(xiàng)進(jìn)行同樣的轉(zhuǎn)換，并代入式(),可得又一形式的位移變分方程：又一形式例如，對(duì)第一項(xiàng)計(jì)算，(s)又一形式例如，對(duì)第一項(xiàng)計(jì)算，(s)因?yàn)?，都是任意的?dú)立的變分，為了滿足上式,必須有（在A中）(v)（在上）(w)又一形式因?yàn)椋际侨我獾莫?dú)立的變分，為了滿足（在A

由此可見(jiàn)，從位移變分方程可以導(dǎo)出平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件，或者說(shuō)，位移變分方程等價(jià)于平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。由此可見(jiàn)，從位移變分方程可以導(dǎo)出平衡微分方程和⑴實(shí)際平衡狀態(tài)的位移必須滿足

a.上的約束(位移)邊界條件；

b.上的應(yīng)力邊界條件；c.域A中的平衡微分方程。5.結(jié)論結(jié)論⑵位移變分方程可以等價(jià)地代替靜力條件b,c。⑴實(shí)際平衡狀態(tài)的位移必須滿足5.結(jié)論結(jié)論⑵位移變分方程結(jié)論⑶由此得出一種變分解法，即預(yù)先使位移函數(shù)滿足上的位移邊界條件，再滿足位移變分方程，必然也可以找出對(duì)應(yīng)于實(shí)際平衡狀態(tài)的位解答。結(jié)論⑶由此得出一種變分解法，即預(yù)先使位

1.微分和變分各是由什么原因引起的？2.試導(dǎo)出式(u)。3.試比較4.中變分方程

(1)-(5)的不同的物理解釋。4.試證明二階變分。思考題1.微分和變分各是由什么原因引起的？思考題

位移變分法是取位移為基本未知函數(shù)的。位移函數(shù)應(yīng)預(yù)先滿足上的位移邊界條件，然后再滿足位移變分方程?！?-6位移變分法位移變分法是取位移為基本未知函數(shù)的?！?-6位移(a)瑞利-里茨法（1）因位移函數(shù)是未知的，在變分法中采用設(shè)定位移試函數(shù)的方法，令

1.瑞利-里茨法

(a)瑞利-里茨法（1）因位移函數(shù)是未知的，在變分法中采用其中和均為設(shè)定的x，y的函數(shù)，并在邊界上，令

（在上）（在上）(c)(b)瑞利-里茨法其中和均為設(shè)定的x，y的函數(shù)，并在邊界 ∴u，v已滿足了上的位移邊界條件。 而，用來(lái)反映位移狀態(tài)的變化， 故位移的變分為瑞利-里茨法(d) ∴u，v已滿足了上的位移邊界條件。瑞利-里茨法(d)瑞利-里茨法位移的變分通過(guò)，的變分來(lái)反映，故形變勢(shì)能的變分為（2）位移(a)還必須滿足位移變分方程瑞利-里茨法位移的變分通過(guò)，的變將式(d)，(f)代入(e)得因虛位移（位移變分）中的，是完全任意的、獨(dú)立的，為了滿足上式，必須:將式(d)，(f)代入(e)得因虛位移（位移變分）中的瑞利-里茨法式(g)是瑞利-里茨變分方程。它是關(guān)于，的線性代數(shù)方程組，由上式可解出，,從而得到位移的解答。瑞利-里茨法式(g)是瑞利-里茨變分方程。它是關(guān)于，

2.伽遼金法（1）設(shè)定位移試函數(shù)如式(a)所示，但令

u,v

不僅滿足上的位移邊界條件，而且也滿足上的應(yīng)力邊界條件（用u,v表示）。伽遼金法伽遼金法將位移的變分，（式(d)）代入，同樣由于，為完全任意的和獨(dú)立的變分，得到伽遼金法（2）于是，由§5-5中式(u)可見(jiàn)，由于上的應(yīng)力邊界條件已滿足，設(shè)定的位移只需滿足下列變分方程將位移的變分，（式(d)）代入，同樣由于將上式括號(hào)內(nèi)的應(yīng)力用位移來(lái)表示，得伽遼金變分方程:伽遼金法將上式括號(hào)內(nèi)的應(yīng)力用位移來(lái)表示，得伽遼金變分方程:伽遼金法 式(j)也是關(guān)于，的線性代數(shù)方程組，從上式解出，，便得到位移的解答。伽遼金法 式(j)也是關(guān)于，的線性代數(shù)方程伽遼金試從位移函數(shù)的設(shè)定，應(yīng)滿足的變分方程和求解的計(jì)算工作量等方面對(duì)瑞利-里茨法和伽遼金法進(jìn)行比較。思考題試從位移函數(shù)的設(shè)定，應(yīng)滿足的變思考題例1

圖示矩形板a×b，在上邊及右邊受有均布?jí)毫?，而左邊和下邊受有法向連桿的約束。§5-7位移變分法例題例1§5-7位移變分法例題

應(yīng)用瑞利-里茨法，設(shè)定位移滿足兩個(gè)約束邊界條件

例題(a)(b) 應(yīng)用瑞利-里茨法，設(shè)定位移例題(a)(b)其余的應(yīng)力邊界條件及平衡微分方程由下列變分方程代替（其中）：(c)對(duì)式(c)右邊的積分，應(yīng)包含所有的應(yīng)力邊界條件（當(dāng)或處積分為0），例題其余的應(yīng)力邊界條件及平衡微分方程由下列變分方程代替（其中且其中的，應(yīng)代入相應(yīng)的邊界方程。將式(a)代入U(xiǎn)，計(jì)算式(c)的左邊項(xiàng)。共建立兩個(gè)方程，求出和，得位移解答：例題(d)對(duì)于圖示的簡(jiǎn)單問(wèn)題，式(d)正好是其精確解。且其中的，應(yīng)代入相應(yīng)的邊界方程。將式(a)代入例題(e)例2本題全部為位移邊界條件：例題(e)例2本題全部為位移邊界條件：本題以y軸為對(duì)稱軸，∴

u應(yīng)為x的奇函數(shù),

v應(yīng)為x的偶函數(shù)。例題(f)設(shè)定位移勢(shì)函數(shù)為本題以y軸為對(duì)稱軸，∴例題(f)設(shè)定位移勢(shì)函數(shù)為位移(g)已滿足對(duì)稱性條件(f)和全部邊界條件(e)。因全部為位移邊界條件且均已滿足，∴從§5－5式(u)可見(jiàn)，也可應(yīng)用伽遼金變分法。例題位移(g)已滿足對(duì)稱性條件(f)和全部邊界條將位移(g)代入上式，求出得出的位移解答與書(shū)中用瑞利-里茨法給出的結(jié)果相同。因，故伽遼金變分方程為例題(h)將位移(g)代入上式，求出第五章例題例題1例題2例題3例題4例題5例題7例題6例題第五章例題例題1例題2例題3例題4例題5例題7例題6例題例題1設(shè)圖中的矩形域?yàn)?，取網(wǎng)格間距為h=2m,布置網(wǎng)格如圖，各邊界點(diǎn)的已知溫度值（度）如圖所示，試求內(nèi)結(jié)點(diǎn)a,b的穩(wěn)定溫度值。ab40353025322224222017例題1設(shè)圖中的矩形域?yàn)?，取網(wǎng)格間解：對(duì)a,b列出方程如下：解出解：對(duì)a,b列出方程如下：解出例題2用差分法計(jì)算圖中A和B點(diǎn)的應(yīng)力分量。FaBxy3aaaA.71（Z向厚度）F65例題2FaBxy3aaaA.71（Z向厚度）F65解：為反映對(duì)稱性，取A為基點(diǎn)。令

邊界點(diǎn)的應(yīng)力函數(shù)值：邊界點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值：

由上式及，求出邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)的值：

解：為反映對(duì)稱性，取A為基點(diǎn)。令對(duì)1點(diǎn)列差分方程：代入各值，解出。再求出應(yīng)力分量：

對(duì)1點(diǎn)列差分方程：例題3

正方形的板塊，厚度，受一對(duì)集中力F的作用，如圖。試取，應(yīng)用差分法求解該問(wèn)題的應(yīng)力分量。1098HGEDIJBAChhhh323414323111276xyh=l/4FF例題31098HGEDIJBAChhhh3234143231解：⑴本題具有的兩個(gè)對(duì)稱軸，為了反映對(duì)稱性，在y向外荷載作用下，取

網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖所示。

解：⑴本題具有的兩個(gè)對(duì)稱軸，為了反映對(duì)稱性，在y⑵計(jì)算各邊界結(jié)點(diǎn)處的、、值。在A點(diǎn)及J點(diǎn)，各取布置于兩側(cè)，以反映荷載的對(duì)稱性，按公式（其中即AB之間面力對(duì)B點(diǎn)的力矩，圖中以順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。⑵?jì)算各邊界結(jié)點(diǎn)處的、、值。求出邊界上各結(jié)點(diǎn)的值，如下圖所示。 結(jié)點(diǎn) A B CDEGHI J

00000000讀者可檢驗(yàn)，上述的值反映了邊界結(jié)點(diǎn)和邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)上值的對(duì)稱性。

F/2F/2F/2-Fh/2-Fh/2-Fh求出邊界上各結(jié)點(diǎn)的值，如下圖所示。F/2F/2F/2-Fh/⑶計(jì)算邊界外一行結(jié)點(diǎn)的值。由得到

由得到⑶計(jì)算邊界外一行結(jié)點(diǎn)的值。⑷對(duì)內(nèi)結(jié)點(diǎn)1、2、3、4分別列出下列類型的方程：0點(diǎn)：對(duì)結(jié)點(diǎn)1，對(duì)結(jié)點(diǎn)2，⑷對(duì)內(nèi)結(jié)點(diǎn)1、2、3、4分別列出下列類型對(duì)結(jié)點(diǎn)1，對(duì)結(jié)點(diǎn)3，對(duì)結(jié)點(diǎn)4，解出對(duì)結(jié)點(diǎn)3，解出⑸按照應(yīng)力公式及，求得AJ及EI截面上的應(yīng)力分量：⑸按照應(yīng)力公式例題4

試證明，在同樣的應(yīng)變分量，和下，平面應(yīng)變情況下單位厚度的形變勢(shì)能大于平面應(yīng)力情況下的形變勢(shì)能。例題例題4例題對(duì)于平面應(yīng)變情況，只需將上式中，變換為解：平面應(yīng)力情況下，單位厚度的形變勢(shì)能是：例題(a)對(duì)于平面應(yīng)變情況，只需將上式中，解：平面應(yīng)力情況下代入，得顯然，方括號(hào)內(nèi)將式⑴中的，都作為式(b)的變換，整理后得平面應(yīng)變情況下的形變勢(shì)能公式，

例題(c)代入，得例題(c)從式(c)可見(jiàn)，在平面應(yīng)變情況下，形變勢(shì)能中的第一、二、三項(xiàng)均大于平面應(yīng)力情況下的值，而第四項(xiàng)不變。因此，平面應(yīng)變的形變勢(shì)能大于平面應(yīng)力的形變勢(shì)能U。例題從式(c)可見(jiàn)，在平面應(yīng)變情況下，形變勢(shì)能中例題5圖中表示一板塊，受到鉛直方向均布拉力作用下發(fā)生拉伸變形，并使之兩端固定下來(lái)，若在其中切開(kāi)一小口AB時(shí)，試說(shuō)明板的形變勢(shì)能將發(fā)生什么變化？例題CDEFAB例題5圖中表示一板塊，受到鉛直方向均布拉力作用下發(fā)解：⑴當(dāng)AB線切開(kāi)時(shí)，AB線上的應(yīng)力趨于0。而形變勢(shì)能是正定的，，當(dāng)這部應(yīng)力時(shí)，相應(yīng)的形變勢(shì)能也失去因此，板的總的形變勢(shì)能減少。 ⑵當(dāng)AB線切開(kāi)后，邊界CD和EF仍是固定的，我們可以比較兩種狀態(tài)：例題解：⑴當(dāng)AB線切開(kāi)時(shí)，AB線上的應(yīng)力趨于例題(b)AB線張開(kāi)，出現(xiàn)裂紋。這是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。由于系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡狀態(tài)與鄰近的狀態(tài)相比，總勢(shì)能處于極小值，而(a)、(b)兩種狀態(tài)的外力勢(shì)能不變，因此，(b)的形變勢(shì)能小于(a)，即形變勢(shì)能將減少。例題(a)AB切開(kāi)后，仍然處于閉合狀態(tài)，不發(fā)生張開(kāi)。這是不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；(b)AB線張開(kāi)，出現(xiàn)裂紋。這是穩(wěn)定的平例題例題6單位厚度的深梁，兩側(cè)邊固定，上下邊受均布荷載q作用，如圖所示。試用位移變分法求解其位移。取，。題圖有錯(cuò)：y=-b處的面力應(yīng)指向下。例題qyxbuvbaaoq例題6單位厚度的深梁，兩側(cè)邊固定，解：在圖示荷載作用下，深梁的位移應(yīng)對(duì)稱于x軸，而反對(duì)稱于y軸。因此，位移分量u應(yīng)為、的奇函數(shù)，而v為x、y的偶函數(shù)，xy如圖所示?？梢栽O(shè)定位移勢(shì)函數(shù)如下：解：在圖示荷載作用下，深梁的位移應(yīng)對(duì)稱于x軸，而反對(duì)稱于y軸上式已滿足兩端的約束邊界條件，以及對(duì)稱和反對(duì)稱性條件。以下按瑞利-里茨法進(jìn)行計(jì)算。例題例題假設(shè)只取u，v中一項(xiàng)，即將u和v代入形變勢(shì)能公式（平面應(yīng)力問(wèn)題），得：例題假設(shè)只取u，v中一項(xiàng)，即例題

在本題中體力，在邊界上只有的均布荷載，。由此，瑞利-里茨方程成為

例題再積分求U，例題再積分求U，邊界是，且，從到積分。再將U代入上式，得到兩個(gè)求的方程：邊界是，且當(dāng)取，且時(shí)，上兩式方程簡(jiǎn)化為由此解出,位移分量的解答是例題例題例題7圖中所示的薄板，厚度，三邊固定，一邊受到均布?jí)毫的作用。試用瑞利-里茨的位移變分法求解，其中取，。例題例題7圖中所示的薄板，厚度，三邊固定aabxyqaabxyq解：在瑞利-里茨法中，設(shè)定位移試函數(shù)應(yīng)滿足位移邊界條件，并應(yīng)反映圖示問(wèn)題的對(duì)稱性。取解：在瑞利-里茨法中，設(shè)定位移試函數(shù)應(yīng)滿足位移邊界條件上式已反映了位移對(duì)稱于y軸的要求：v為x的偶函數(shù)，u為x的奇函數(shù)。僅取各一項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算，由于體力，面力只存在于AB邊（），因此求解的位移變分方程為：例題上式已反映了位移對(duì)稱于y軸的要求：v為x的例題當(dāng)，且取泊松系數(shù)時(shí)，形變勢(shì)能簡(jiǎn)化為將u、v代入,例題（a）（b）當(dāng)，且取泊松系數(shù)時(shí)，形形變勢(shì)能U為將U及代入式(a)，(b)，得(c)(d)形變勢(shì)能U為將U及從式(c)、(d)解出例題于是得到位移分量，再求應(yīng)力分量，取，得：從式(c)、(d)解出例題于是得到位移分量，再求應(yīng)力分量例題在對(duì)稱軸上，x=0，,在邊界，,例題在對(duì)稱軸上，x=0，本題中，由于u，v中各只取一項(xiàng)，且取，因此，求出的位移解的精度較低；而由近似解的位移求應(yīng)力時(shí)，其應(yīng)力精度要降低一階，其精度更差些。對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)取更多的項(xiàng)數(shù)進(jìn)行計(jì)算。本題中，由于u，v中各只取一項(xiàng)，且取

第五章教學(xué)參考資料

（一）本章學(xué)習(xí)重點(diǎn)及要求

1.彈性力學(xué)的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件，形變和位移之間的幾何條件和形變與應(yīng)力之間的物理?xiàng)l件建立微分方程和邊界條件，并由此求解應(yīng)力、形變和位移。從數(shù)學(xué)上看，彈性力學(xué)問(wèn)題可化為微分方程的邊值問(wèn)題，通過(guò)求解，得出函數(shù)式的精確解答。教學(xué)參考資料第五章教學(xué)參考資料 但是對(duì)于工程實(shí)際問(wèn)題，由于荷載、邊界等較為復(fù)雜，難以求出函數(shù)式的解答。從彈性力學(xué)基本理論建立以來(lái)，為了解決工程實(shí)際問(wèn)題，人們就探討了各種可供應(yīng)用的近似解法。彈性力學(xué)中最主要的近似解法是變分法、差分法和有限單元法分法。教學(xué)參考資料 但是對(duì)于工程實(shí)際問(wèn)題，由于荷載、邊界等較為復(fù)雜，難

2.差分法是微分方程的一種近似數(shù)值解法。在差分法中，將連續(xù)函數(shù)用一些結(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值來(lái)代替，并從而將微分方程及其邊界條件變換為差分(代數(shù))方程，使問(wèn)題易于求解。在這種方法中，采用了將函數(shù)離散的手段。教學(xué)參考資料2.差分法是微分方程的一種近似數(shù)值解教學(xué)參考

3.變分法是彈性力學(xué)中另一獨(dú)立的求解方法。

在變分法中根據(jù)平衡狀態(tài)時(shí)的能量處于極小值的條件，建立變分方程，并進(jìn)行求解。彈性力學(xué)中的變分方程和微分方程是互通的，可以互相導(dǎo)出。 由于變分法得出的常常是近似的解答，所以也將變分法歸入彈性力學(xué)的近似解法。

教學(xué)參考資料教學(xué)參考資料4.有限單元法是20世紀(jì)中期發(fā)展起來(lái)的彈性力學(xué)近似解法。在有限單元法中,首先將區(qū)域離散化，把連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)；然后將連續(xù)體的能量極小值條件應(yīng)用到離散化結(jié)構(gòu)，從而建立求解的方法。有限單元法應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算，可以有效地解決各種復(fù)雜的工程問(wèn)題。教學(xué)參考資料4.有限單元法是20世紀(jì)中期發(fā)展起來(lái)教學(xué)參考資料

5.對(duì)于工程技術(shù)人員來(lái)講，這些彈性力學(xué)的近似解法，是用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的有效手段。因此，讀者不僅要理解，而且要能應(yīng)用這些近似解法。教學(xué)參考資料5.對(duì)于工程技術(shù)人員來(lái)講，這些彈性力學(xué)的近似

1.導(dǎo)數(shù)的差分公式拋物線差分公式,

線性向前差分公式,

線性向后差分公式,教學(xué)參考資料

（二）本章內(nèi)容提要教學(xué)參考資料（二）本章內(nèi)容提要邊界條件

教學(xué)參考資料

2.應(yīng)力函數(shù)的差分解法相容方程邊界條件教學(xué)參考資料2.應(yīng)力函數(shù)的差分解法應(yīng)力公式教學(xué)參考資料應(yīng)力公式教學(xué)參考資料

3.變分法是研究泛函及其極值的求解方法。

彈性力學(xué)中的位移變分法，是取位移函數(shù)為宗量，由總勢(shì)能處于極小值的條件來(lái)導(dǎo)出變分方程，然后進(jìn)行求解的。以下列出平面應(yīng)力問(wèn)題的有關(guān)變分公式及方程。教學(xué)參考資料3.變分法是研究泛函及其極值的求解方法。教學(xué)參考資料4.彈性體的功和能總勢(shì)能外力功外力勢(shì)能形變(內(nèi)力)勢(shì)能教學(xué)參考資料教學(xué)參考資料

5.在虛位移上彈性體的功和能

虛位移(位移變分),是在約束條件允許下，在平衡狀態(tài)附近的微小位移增量。虛位移狀態(tài)

其中u，v為實(shí)際平衡狀態(tài)下的位移。教學(xué)參考資料5.在虛位移上彈性體的功和能教學(xué)參考資料當(dāng)虛位移發(fā)生時(shí)，外力的虛功外力勢(shì)能的變分形變勢(shì)能的變分教學(xué)參考資料當(dāng)虛位移發(fā)生時(shí)，教學(xué)參考資料

6.變分方程⑴在封閉系統(tǒng)中，假定沒(méi)有非機(jī)械能的改變，也沒(méi)有動(dòng)能的改變，則按照能量守恒定律，在虛位移過(guò)程中，形變勢(shì)能的增加應(yīng)等于外力勢(shì)能的減少，即上式也可以改用下列各形式表示和解釋。⑵位移變分方程教學(xué)參考資料6.變分方程教學(xué)參考資料⑶虛功方程⑷最小勢(shì)能原理

其中?；蛘弑硎緸?，教學(xué)參考資料⑶虛功方程教學(xué)參考資料⑸位移變分方程的又一形式教學(xué)參考資料⑸位移變分方程的又一形式教學(xué)參考資料

7.位移變分法⑴瑞利－里茨法：設(shè)定位移試函數(shù)，

預(yù)先滿足上的約束邊界條件，再滿足瑞利－里茨變分方程，教學(xué)參考資料7.位移變分法教學(xué)參考資料⑵伽遼金法：設(shè)定位移勢(shì)函數(shù)預(yù)先滿足上的約束邊界條件和上的應(yīng)力邊界條件，再滿足伽遼金變分方程，教學(xué)參考資料⑵伽遼金法：設(shè)定位移勢(shì)函數(shù)預(yù)先滿足教學(xué)參考資料

8.對(duì)變分法的簡(jiǎn)單評(píng)價(jià)⑴位移變分法適用于具有各種邊界條件的問(wèn)題，因此，它的適用范圍廣泛。⑵變分法中設(shè)定試函數(shù)時(shí)，一般總是局限于某種函數(shù)的范圍內(nèi)，不是完全任意的。因此，變分法得出的通常是近似解。⑶由于位移解答是近似的，在求導(dǎo)運(yùn)算后要降低精度。因此在位移變分法中，應(yīng)力的精度低于位移的精度。教學(xué)參考資料8.對(duì)變分法的簡(jiǎn)單評(píng)價(jià)教學(xué)參考資料⑷用變分法求解實(shí)際問(wèn)題時(shí)，主要的難點(diǎn)在于：a.設(shè)定試函數(shù)必須預(yù)先滿足一定的邊界條件；b.當(dāng)試函數(shù)中所取項(xiàng)數(shù)較多時(shí)，計(jì)算工作量很大。但與求解微分方程的解法相比，變分法具有更容易和更有可能地解決實(shí)際問(wèn)題的能力。因此，變分法得到了廣泛的應(yīng)用。教學(xué)參考資料⑷用變分法求解實(shí)際問(wèn)題時(shí)，主要的難點(diǎn)在于：教學(xué)參考資料例題第一節(jié)差分公式的推導(dǎo)第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解第三節(jié)應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例第四節(jié)彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能第五節(jié)位移變分方程第六節(jié)位移變分法習(xí)題的提示和答案教學(xué)參考資料第五章用差分法和變分法解平面問(wèn)題第七節(jié)位移變分法例題例題第一節(jié)差分公式的推導(dǎo)第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解第三節(jié)彈性力學(xué)的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件、形變與位移之間的幾何條件和形變與應(yīng)力之間的物理?xiàng)l件，建立微分方程和邊界條件。近似解法

因此，彈性力學(xué)問(wèn)題屬于微分方程的邊值問(wèn)題。通過(guò)求解，得出函數(shù)表示的精確解答?！?-1差分公式的推導(dǎo)彈性力學(xué)的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件、形變

對(duì)于工程實(shí)際問(wèn)題，由于荷載和邊界較復(fù)雜，難以求出函數(shù)式的解答。為此，人們探討彈性力學(xué)的各種近似解法，主要有變分法、差分法和有限單元法。近似解法對(duì)于工程實(shí)際問(wèn)題，由于荷載和邊界較復(fù)雜，難以

差分法是微分方程的一種數(shù)值解法。它不是去求解函數(shù)，而是求函數(shù)在一些結(jié)點(diǎn)上的值。 fxo差分法 差分法是微分方程的一種數(shù)值解法。它不是去求解函數(shù)

差分法的內(nèi)容是：差分法將微分方程用差分方程（代數(shù)方程）代替，于是，求解微分方程的問(wèn)題化為求解差分方程的問(wèn)題。將導(dǎo)數(shù)用有限差商來(lái)代替，將微分用有限差分來(lái)代替，差分法的內(nèi)容是：差分法將微分方程用差分方程（代數(shù)方

導(dǎo)數(shù)差分公式的導(dǎo)出：導(dǎo)數(shù)差分公式在平面彈性體上劃分等間距h的兩組網(wǎng)格，分別∥x、y軸。網(wǎng)格交點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)，h稱為步長(zhǎng)。 導(dǎo)數(shù)差分公式的導(dǎo)出：導(dǎo)數(shù)差分公式在平面彈性應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)公式將在點(diǎn)展開(kāi)，(a)應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)公式將在點(diǎn)展開(kāi)，(a)1、拋物線差分公式─略去式(a)中以上項(xiàng)，分別用于結(jié)點(diǎn)1、3，拋物線差分公式結(jié)點(diǎn)3：結(jié)點(diǎn)1：1、拋物線差分公式─略去式(a)中以上項(xiàng)，分別用拋物線差分公式式(b)又稱為中心差分公式，并由此可導(dǎo)出高階導(dǎo)數(shù)公式。從上兩式解出o點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)公式，拋物線差分公式式(b)又稱為中心差分公式，并由此可導(dǎo)出高階導(dǎo)

應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)導(dǎo)出差分公式，可得出統(tǒng)一的格式，避免任意性，并可估計(jì)其誤差量級(jí)，式(b)的誤差為。拋物線差分公式應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)導(dǎo)出差分公式，可得出統(tǒng)一的格式，避免任意性2、線性差分公式─在式(a)中僅取一、二項(xiàng)時(shí)，誤差量級(jí)為。線性差分公式式(c)稱為向前差分公式。對(duì)結(jié)點(diǎn)1，得：2、線性差分公式─在式(a)中僅取一、二項(xiàng)時(shí)，誤差量級(jí)為對(duì)結(jié)點(diǎn)3，得：

式(d)稱為向后差分公式。

線性的向前或向后差分公式，主要用于對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的公式中。線性的向前或向后差分公式，主要用于

穩(wěn)定溫度場(chǎng)中的溫度場(chǎng)函數(shù)T(x,y)應(yīng)滿足下列方程和邊界條件：

（在A中）, (a)

（在上）,

(b)

（在上）.

(c)例1 穩(wěn)定溫度場(chǎng)中的溫度場(chǎng)函數(shù)T(x,y)應(yīng)滿足下列方程和穩(wěn)定溫度場(chǎng)的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在上的第一類邊界條件是已知邊界上的溫度值；在上的第二類邊界條件是已知熱流密度值，其中是導(dǎo)熱系數(shù)。穩(wěn)定溫度場(chǎng)的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在上的第

現(xiàn)在我們將式(a)、(b)、(c)轉(zhuǎn)化為差分形式。應(yīng)用圖5－1網(wǎng)格，和拋物線差分公式，彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程-第四版-徐芝綸第五章課件（1）將化為差分公式，得（2）若x邊界516上為第一類邊界條件，則已知。（3）若y邊界627上為第二類邊界條件，已知，則(d)（1）將化為差分公式，得(d)

由于所以得

這時(shí)，邊界點(diǎn)2的是未知的，對(duì)2點(diǎn)須列出式（d）的方程。此方程涉及到值，可將式（e）代入。(e)

由于所以得(e)

例2穩(wěn)定溫度場(chǎng)問(wèn)題的差分解。設(shè)圖中的矩形域?yàn)?m×4m，取網(wǎng)格間距為h=2m，布置網(wǎng)格如圖，各邊界點(diǎn)的已知溫度值如圖所示，試求內(nèi)結(jié)點(diǎn)a、b的穩(wěn)定溫度值。ab40353025322224222017例2ab40353025322224222017解：對(duì)a、b列出方程如下：解出

（度）.（度）.1.比較導(dǎo)數(shù)的拋物線差分公式和線性差分公式的區(qū)別。2.應(yīng)用拋物線差分公式(5-2)，試導(dǎo)出三階導(dǎo)數(shù)的差分公式。思考題1.比較導(dǎo)數(shù)的拋物線差分公式和線性差分公式的區(qū)別。思考題對(duì)于單連體，按應(yīng)力函數(shù)求解時(shí)，應(yīng)滿足:§5-2應(yīng)力函數(shù)的差分解按求解對(duì)于單連體，按應(yīng)力函數(shù)求解時(shí)，應(yīng)滿足:§5（3）求出后，由下式求應(yīng)力（假設(shè)無(wú)體力）:

按求解按求解差分法求解1.應(yīng)力公式(c)的差分表示。對(duì)于o點(diǎn)，

差分法求解：差分法求解1.應(yīng)力公式(c)的差分表示。對(duì)于o點(diǎn)，差分法求相容方程(e)化為：對(duì)每一內(nèi)結(jié)點(diǎn)，為未知，均應(yīng)列出式(e)的方程。2.相容方程(a)的差分表示，相容方程(e)化為：對(duì)每一內(nèi)結(jié)點(diǎn)，為對(duì)邊界內(nèi)一行結(jié)點(diǎn)列式(e)方程時(shí)，需要求出邊界點(diǎn)和邊界外一行結(jié)點(diǎn)（虛結(jié)點(diǎn)）的值。 為了求虛結(jié)點(diǎn)的值，需要求出邊界點(diǎn)的、值。相容方程相容方程

3.應(yīng)用應(yīng)力邊界條件(b)，求出邊界點(diǎn)的、、值。邊界條件 3.應(yīng)用應(yīng)力邊界條件(b)，求出邊界點(diǎn)的、、⑴應(yīng)力邊界條件用表示取出坐標(biāo)的正方向作為邊界線s的正向（圖中為順時(shí)針向），當(dāng)移動(dòng)時(shí)，為正，而為負(fù)，∴外法線的方向余弦為邊界條件⑴應(yīng)力邊界條件用表示邊界條件(f)邊界條件即將上式和式(d)代入式(b)，得(f)邊界條件即將上式和式(d)代入式(b)，得邊界條件式(f)、(g)分別是應(yīng)力邊界條件的微分、積分形式。再將式(f)對(duì)s積分，從固定的基點(diǎn)A到邊界任一點(diǎn)B，得邊界條件式(f)、(g)分別是應(yīng)力邊界條件的微分、積分形通過(guò)分部積分從A到B積分，得邊界條件(h)⑵由全微分求邊界點(diǎn)的

通過(guò)分部積分邊界條件(h)⑵由全微分⑶∵A為定點(diǎn)，、和、、均為常數(shù)，而式(h)中，加減x，y的一次式不影響應(yīng)力，∴可取 故邊界結(jié)點(diǎn)的和導(dǎo)數(shù)值，由式(g)、(h)簡(jiǎn)化為邊界條件⑶∵A為定點(diǎn)，、和、

式(i)的物理意義是：第一式表示從A到B邊界上x(chóng)向面力的主矢量；第二式表示從A到B邊界上y向面力的主矢量改號(hào);第三式表示從A到B邊界上面力對(duì)B點(diǎn)的力距，圖中以順時(shí)針向?yàn)檎Ｒ虼耍梢园次锢硪饬x直接求邊界條件和式(i)的物理意義是：邊界條件和⑷由式(i)的第三式，可求出邊界點(diǎn)的值;由式(i)的前兩式，可求出邊界點(diǎn)的、值，然后再求出邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)的值。邊界條件⑷由式(i)的第三式，可求出邊界點(diǎn)的邊界（1）在邊界上選定基點(diǎn)A，令，然后計(jì)算邊界上各結(jié)點(diǎn)的、、；求解步驟（2）由邊界結(jié)點(diǎn)的、值，求出邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)的值；4.應(yīng)力函數(shù)差分解的步驟（1）在邊界上選定基點(diǎn)A，求解步驟（2）由邊界結(jié)點(diǎn)的（3）對(duì)邊界內(nèi)所有結(jié)點(diǎn)列式(e)的方程，聯(lián)立求各結(jié)點(diǎn)的值；求解步驟（5）按式(d)求各結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。（4）求出邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)的值；（3）對(duì)邊界內(nèi)所有結(jié)點(diǎn)列式(e)的方程，求解步驟（5）按思考題1、將應(yīng)力函數(shù)看成是覆蓋于區(qū)域A和邊界s上的一個(gè)曲面，則在邊界上，各點(diǎn)的值與從A（基點(diǎn)）到B面力的合力距有關(guān)，的一階導(dǎo)數(shù)值與A到B的面力的合力（主矢量）有關(guān)；而在區(qū)域內(nèi)，應(yīng)力分量與曲面的曲率、扭率有關(guān)。思考題§5－3應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例問(wèn)題

此題無(wú)函數(shù)式解答。應(yīng)用差分法求解。

正方形深梁,上邊受均布荷載，下邊兩角點(diǎn)處有支承反力維持平衡，試求其應(yīng)力。§5－3應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例問(wèn)題此題無(wú)函數(shù)式解1.本題具有對(duì)稱性，取y軸如圖，并取以反映對(duì)稱性。取網(wǎng)格如圖。取網(wǎng)格如圖。 首先考慮對(duì)稱性，可以減少未知值數(shù)目，并大量減少計(jì)算工作量。 按照物理意義，求出邊界點(diǎn)上的和其導(dǎo)數(shù)值（如書(shū)中所示）：

首先考慮對(duì)稱性，可以減少未知值數(shù)目，并大量減少計(jì)算工─AB間y向面力主矢量號(hào)，─AB間x向面力主矢量，

─AB間面力對(duì)B點(diǎn)力矩，注意符號(hào)為正.

5.求出應(yīng)力，如AM線上各點(diǎn)應(yīng)力，并繪出分布圖。4.求出邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)的

值。3.對(duì)每一內(nèi)點(diǎn)列差分方程，求出。2.由邊界點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，求出邊界外一行

虛結(jié)點(diǎn)的值。5.求出應(yīng)力，如AM線上各點(diǎn)應(yīng)力，并繪4.求出邊

比較：材料力學(xué)解─AM上為直線分布，彈性力學(xué)解─AM上為曲線分布，

由此又說(shuō)明，材料力學(xué)解法只適用于桿件。比較比較：比較

（1）差分法是解微分方程邊值問(wèn)題和彈性力學(xué)問(wèn)題的有效方法。（2）差分法簡(jiǎn)便易行，且總能求出解答。（3）差分法可配合材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)解法，精確地分析結(jié)構(gòu)的局部應(yīng)力狀 態(tài)。

差分法優(yōu)點(diǎn)：差分法評(píng)價(jià) 差分法優(yōu)點(diǎn)：差分法評(píng)價(jià)（1）對(duì)于曲線邊界和不等間距網(wǎng)格的計(jì)算較麻煩。（2）差分法比較適用于平面問(wèn)題或二維問(wèn)題。（3）凡是近似解，在求導(dǎo)運(yùn)算時(shí)會(huì)降低精度。如的誤差為，則應(yīng)力的誤差為。

缺點(diǎn)：差分法評(píng)價(jià)（1）對(duì)于曲線邊界和不等間距網(wǎng)格的計(jì)算缺點(diǎn)：差分法評(píng)思考題：1.試用線性向前或向后差分公式，導(dǎo)出的差分方程。a（Z向厚度）AyB2FFFxaaa2.用差分法計(jì)算圖中A點(diǎn)的應(yīng)力分量。思考題：a（Z向厚度）AyB2FFFxaaa2.用差§5－4彈性體的形變勢(shì)能

外力勢(shì)能彈性力學(xué)變分法，又稱為能量法。因其中的泛函就是彈性體的能量。泛函─是以函數(shù)為自變量（宗量）的一種函數(shù)。變分法，是研究泛函及其極值的求解方法?！?－4彈性體的形變勢(shì)能

外力勢(shì)能彈性力應(yīng)力變分法─取應(yīng)力函數(shù)為自變量，并以余能極小值條件導(dǎo)出變分方程。本章只介紹位移變分法。位移變分法─取位移函數(shù)為自變量，并以勢(shì)能極小值條件導(dǎo)出變分方程。彈性力學(xué)變分法，是區(qū)別于微分方程邊值問(wèn)題的另一種獨(dú)立解法。其中分為：應(yīng)力變分法─取應(yīng)力函數(shù)為自變量，并以位移變分法─取位移函外力勢(shì)能─外力做了功，必然消耗了相同值的勢(shì)能。當(dāng)取時(shí)的外力功和能為零，則：(b)外力功和外力勢(shì)能1.彈性體上的外力功和外力勢(shì)能外力功：外力勢(shì)能─外力做了功，必然消耗了相同值的勢(shì)能。當(dāng)取形變勢(shì)能（2）∵應(yīng)力和應(yīng)變均從0增長(zhǎng)到，故單位體積上，應(yīng)力所做的功是非線性關(guān)系─線性關(guān)系─（1）作用于微小單元上的應(yīng)力，是鄰近部分物體對(duì)它的作用力，可看成是作用于微小單元上的“外力”。2.應(yīng)力的功和形變勢(shì)能（內(nèi)力勢(shì)能）形變勢(shì)能（2）∵應(yīng)力和應(yīng)變均從0增長(zhǎng)到，（線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系非線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系非線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系（3）對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題或平面應(yīng)變問(wèn)題