聲子與聲子課件

§3-3晶格振動量子化與聲子問題的提出：

在簡諧近似下，晶體中存在3NS個獨立的簡諧格波，晶體中任一原子的實際振動狀態(tài)由這3NS個簡諧格波共同決定，那么，

晶格振動的系統(tǒng)能量是否可表示成3NS個獨立諧振子能量之和？

§3-3晶格振動量子化與聲子問題的提出：1一、晶格振動和諧振子

1．系統(tǒng)能量的普遍表示

一維單原子鏈中，平衡時距原點為na的原子，t時刻的絕對位移是q所有可能的N個值的特解的線性疊加：22一、晶格振動和諧振子1．系統(tǒng)能量的普遍表示22其中Aq（t）＝Aqe-iωt。按經(jīng)典力學系統(tǒng)的總能量為動能和勢能之和：該表示式中有（Un+1×Un）的交叉項存在，對建立物理模型和數(shù)學處理都帶來困難。用坐標變換的方法消去交叉項。其中Aq（t）＝Aqe-iωt。按經(jīng)典力學系統(tǒng)的總能量為動32．坐標變換（變量置換）設(shè)（3－51）式中Qq(t)稱為簡正坐標，容易證明：

（3－52）2．坐標變換（變量置換）設(shè)（3－51）式中Qq(t)4證明要點：

q=q’時，顯然成立；

q≠q’時，為等比級數(shù)求和，即可證。

由式（3－51），（3－52）可得

（3－51’）（3－53’）

（3－53）

證明要點：

q=q’時，顯然成立；

53．系統(tǒng)能量的重新表示

由式（3－51）～（3－53’）可得系統(tǒng)勢能(3-54’)式中ω2q=不含交叉項了。（請同學們自行推導）3．系統(tǒng)能量的重新表示6類似地，系統(tǒng)的動能也可寫為

于是系統(tǒng)總能量可寫成不含交叉項的標準式：

(3-56)類似地，系統(tǒng)的動能也可寫為于是系統(tǒng)總能量可寫成不含交叉7復(fù)習：經(jīng)典諧振子能量E＝T＋W＝m+kx2,所以（3－56）式相當于m=1,k=ωq2的以Qq為自變量的諧振子能量?？梢娪蒒個原子組成的一維單原子晶體有N個格波，其晶格振動能量可看成N個諧振子的能量之和。復(fù)習：經(jīng)典諧振子能量8二、能量量子和聲子

（量子力學修正）

把上述經(jīng)典諧振子的能量用量子力學的結(jié)果來表示。量子力學告訴我們，頻率為的諧振子，其能量為

n=0,1,2……（3－57）

二、能量量子和聲子

（量子力學修正）

9這表明諧振子處于不連續(xù)的能量狀態(tài)。當n＝0時，它處于基態(tài)，E0＝,稱為零點能。相鄰狀態(tài)的能量差為,它是諧振子的能量量子，稱它為聲子，正如人們把電磁輻射的能量量子稱為光子一樣。這表明諧振子處于不連續(xù)的能量狀態(tài)。103NS個格波與3NS個量子諧振子一一對應(yīng)因此式（3－57）也是一個頻率為ω的格波的能量。頻率為ωi(q)的格波被激發(fā)的程度，用該格波所具有的能量為ωi(q)的聲子數(shù)n的多少來表征。3NS個格波與3NS個量子諧振子一一對應(yīng)111.聲子是玻色子

一個模式可以被多個相同的聲子占據(jù)，ω和q相同的聲子不可區(qū)分，自旋為零。滿足玻色統(tǒng)計。除碰撞外，不考慮它們之間的相互作用，則可視為近獨立子系，則玻色統(tǒng)計與玻爾茲曼統(tǒng)計一致。

討論1.聲子是玻色子一個模式可以被多個相122.平衡態(tài)聲子是非定域的對等溫平衡態(tài)，格波是非定域的，聲子屬于格波，所以聲子也是非定域的，它屬于整個晶體.粒子數(shù)不守恒，例如溫度升高后聲子數(shù)增加。聲子與聲子，聲子與其它粒子、準粒子互作用，滿足能量守恒。

3.聲子是一種準粒子2.平衡態(tài)聲子是非定域的對等溫平衡態(tài)，格波是非定域的，聲子屬134.準動量選擇定則不具有通常意義下的動量，常把q稱為聲子的準動量。準動量的確定只能準確到可以附加任何一個倒格矢Ghω(q)=ω(q+Gh)例:二聲子作用q1＋q2＝q3＋Gh

簡寫成：

q1＋q2＝q3＋Gh

4.準動量選擇定則不具有通常意義下的動量，常把q稱為聲子的14

各個格波可能具有不同的聲子數(shù)，在一定溫度的熱平衡態(tài)，一個格波的平均聲子數(shù)有多少呢？由于聲子間相互作用很弱，除了碰撞外，可不考慮它們之間的相互作用，故可把聲子視為近獨立子系，這時玻色－愛因斯坦統(tǒng)計與經(jīng)典的玻爾茲曼統(tǒng)計是一致的。三.平均聲子數(shù)

15在確定的溫度T下，頻率均為ω的N個格波的平均能量

其中：N—頻率為ω的格波總數(shù)，

（并不是晶體的格波總數(shù)）Nn—頻率為ω，能量為En(即聲子數(shù)為n)的格波數(shù)，能量為 的聲子在同ω的格波間均可存在，某一ω的格波具有聲子數(shù)n的狀態(tài)，滿足一定的幾率分布?？衫斫鉃槁曌釉诟癫ㄩg可跳躍。在確定的溫度T下，頻率均為ω的N個格波的平均能量16Nn/N：溫度為T、頻率為ω、能量為En(即n為某確定值)的格波出現(xiàn)的幾率，由玻爾茲曼統(tǒng)計其中：分母為配分函數(shù)gn：能量為En的相格數(shù)，即能量En的簡并度。設(shè)：gn＝1Nn/N：溫度為T、頻率為ω、能量為En(即n為某確定值)的17其中，由（3－57）其中，由（3－57）18

因為

因為19利用等比級數(shù)求和公式、求導、整理可得＋kBT2

（3－58）

（3－58‘)利用等比級數(shù)求和公式、求導、整理可得＋kBT2（3－58）20其中

意義：

頻率為ω的格波溫度為T時的平均聲子數(shù)。當＝kBT時，≈0.6,定性地講，此格波已激發(fā)，以此為界，溫度為T時，只有ω≤kBT的格波才能被激發(fā)。（3－59)其中意義：（3－59)21§3-3晶格振動量子化與聲子問題的提出：

在簡諧近似下，晶體中存在3NS個獨立的簡諧格波，晶體中任一原子的實際振動狀態(tài)由這3NS個簡諧格波共同決定，那么，

晶格振動的系統(tǒng)能量是否可表示成3NS個獨立諧振子能量之和？

§3-3晶格振動量子化與聲子問題的提出：22一、晶格振動和諧振子

1．系統(tǒng)能量的普遍表示

一維單原子鏈中，平衡時距原點為na的原子，t時刻的絕對位移是q所有可能的N個值的特解的線性疊加：223一、晶格振動和諧振子1．系統(tǒng)能量的普遍表示22其中Aq（t）＝Aqe-iωt。按經(jīng)典力學系統(tǒng)的總能量為動能和勢能之和：該表示式中有（Un+1×Un）的交叉項存在，對建立物理模型和數(shù)學處理都帶來困難。用坐標變換的方法消去交叉項。其中Aq（t）＝Aqe-iωt。按經(jīng)典力學系統(tǒng)的總能量為動242．坐標變換（變量置換）設(shè)（3－51）式中Qq(t)稱為簡正坐標，容易證明：

（3－52）2．坐標變換（變量置換）設(shè)（3－51）式中Qq(t)25證明要點：

q=q’時，顯然成立；

q≠q’時，為等比級數(shù)求和，即可證。

由式（3－51），（3－52）可得

（3－51’）（3－53’）

（3－53）

證明要點：

q=q’時，顯然成立；

263．系統(tǒng)能量的重新表示

由式（3－51）～（3－53’）可得系統(tǒng)勢能(3-54’)式中ω2q=不含交叉項了。（請同學們自行推導）3．系統(tǒng)能量的重新表示27類似地，系統(tǒng)的動能也可寫為

于是系統(tǒng)總能量可寫成不含交叉項的標準式：

(3-56)類似地，系統(tǒng)的動能也可寫為于是系統(tǒng)總能量可寫成不含交叉28復(fù)習：經(jīng)典諧振子能量E＝T＋W＝m+kx2,所以（3－56）式相當于m=1,k=ωq2的以Qq為自變量的諧振子能量。可見由N個原子組成的一維單原子晶體有N個格波，其晶格振動能量可看成N個諧振子的能量之和。復(fù)習：經(jīng)典諧振子能量29二、能量量子和聲子

（量子力學修正）

把上述經(jīng)典諧振子的能量用量子力學的結(jié)果來表示。量子力學告訴我們，頻率為的諧振子，其能量為

n=0,1,2……（3－57）

二、能量量子和聲子

（量子力學修正）

30這表明諧振子處于不連續(xù)的能量狀態(tài)。當n＝0時，它處于基態(tài)，E0＝,稱為零點能。相鄰狀態(tài)的能量差為,它是諧振子的能量量子，稱它為聲子，正如人們把電磁輻射的能量量子稱為光子一樣。這表明諧振子處于不連續(xù)的能量狀態(tài)。313NS個格波與3NS個量子諧振子一一對應(yīng)因此式（3－57）也是一個頻率為ω的格波的能量。頻率為ωi(q)的格波被激發(fā)的程度，用該格波所具有的能量為ωi(q)的聲子數(shù)n的多少來表征。3NS個格波與3NS個量子諧振子一一對應(yīng)321.聲子是玻色子

一個模式可以被多個相同的聲子占據(jù)，ω和q相同的聲子不可區(qū)分，自旋為零。滿足玻色統(tǒng)計。除碰撞外，不考慮它們之間的相互作用，則可視為近獨立子系，則玻色統(tǒng)計與玻爾茲曼統(tǒng)計一致。

討論1.聲子是玻色子一個模式可以被多個相332.平衡態(tài)聲子是非定域的對等溫平衡態(tài)，格波是非定域的，聲子屬于格波，所以聲子也是非定域的，它屬于整個晶體.粒子數(shù)不守恒，例如溫度升高后聲子數(shù)增加。聲子與聲子，聲子與其它粒子、準粒子互作用，滿足能量守恒。

3.聲子是一種準粒子2.平衡態(tài)聲子是非定域的對等溫平衡態(tài)，格波是非定域的，聲子屬344.準動量選擇定則不具有通常意義下的動量，常把q稱為聲子的準動量。準動量的確定只能準確到可以附加任何一個倒格矢Ghω(q)=ω(q+Gh)例:二聲子作用q1＋q2＝q3＋Gh

簡寫成：

q1＋q2＝q3＋Gh

4.準動量選擇定則不具有通常意義下的動量，常把q稱為聲子的35

各個格波可能具有不同的聲子數(shù)，在一定溫度的熱平衡態(tài)，一個格波的平均聲子數(shù)有多少呢？由于聲子間相互作用很弱，除了碰撞外，可不考慮它們之間的相互作用，故可把聲子視為近獨立子系，這時玻色－愛因斯坦統(tǒng)計與經(jīng)典的玻爾茲曼統(tǒng)計是一致的。三.平均聲子數(shù)

36在確定的溫度T下，頻率均為ω的N個格波的平均能量

其中：N—頻率為ω的格波總數(shù)，

（并不是晶體的格波總數(shù)）Nn—頻率為ω，能量為En(即聲子數(shù)為n)的格波數(shù)，能量為 的聲子在同ω的格波間均可存在，某一ω的格波具有聲子數(shù)n的狀態(tài)，滿足一定的幾率分布?？衫斫鉃槁曌釉诟癫ㄩg可跳躍。在確定的溫度T下，頻率均為ω的N個格波的平均能量37Nn/N：溫度為T、頻率為ω、能量為En(即n為某確定值)的格波出現(xiàn)的幾率，由玻爾茲曼統(tǒng)計其中：分母為配分函數(shù)gn：能量為En的相格數(shù)，即能量En的簡并度。設(shè)：gn＝1Nn/N：溫度為T、頻率為ω、能量為E