離散型隨機(jī)變量及分布分析課件

第二章離散型隨機(jī)變量及分布第二章離散型隨機(jī)變量及分布本章要點(diǎn)本章引入隨機(jī)變量的概念,討論幾種類型的隨機(jī)變量一、一維離散型隨機(jī)變量及分布二、一維離散型隨機(jī)變量的常用分布及相應(yīng)的分布.主要內(nèi)容有:三、二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合分布與邊緣分布四、隨機(jī)變量的獨(dú)立性五、隨機(jī)變量函數(shù)的分布本章要點(diǎn)本章引入隨機(jī)變量的概念,討論幾種類型的隨一、隨機(jī)變量

1.隨機(jī)變量例1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)為拋硬幣試驗(yàn),我們以符號表示出出現(xiàn)正面,出現(xiàn)反面.現(xiàn)的是正面,符號表示出現(xiàn)的是反面,為了更好的刻畫這類隨機(jī)試驗(yàn),我們

用一個(gè)數(shù)對應(yīng)一個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果，由此引入一個(gè)變量一、隨機(jī)變量1.隨機(jī)變量例1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)例2設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)為一次打靶試驗(yàn),其基本結(jié)果是中與擊中目標(biāo),未擊中目標(biāo).不中.同樣可以引入變量:也有很多試驗(yàn)，其結(jié)果本身就用數(shù)來表示的.例如在一大批產(chǎn)品中有5%的次品，從中抽取10件產(chǎn)品，其中的次品數(shù)在抽取之前是不確定的，我們可以引進(jìn)變量來表示其中的次品數(shù)，其取值為例2設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)為一次打靶試驗(yàn),其基本結(jié)果是例3設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)表示射擊試驗(yàn),以表示首次命中時(shí)所進(jìn)行過的射擊次數(shù).則的取值為將上面的問題一般化,我們引入下面概念.例3設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)表示射擊試驗(yàn),以表示定義設(shè)為隨機(jī)試驗(yàn),為樣本空間,定義在上的函數(shù)稱為上的（一維）隨機(jī)變量.記為定義設(shè)為隨機(jī)試驗(yàn),為樣本空間,定引入了隨機(jī)變量以后,隨機(jī)事件及相應(yīng)的概率可以用隨機(jī)變量方式加以刻畫.記表示“取到的一只產(chǎn)品是不合格品”,再以表例如,某廠生產(chǎn)的燈泡按國家標(biāo)準(zhǔn)其合格品的壽命時(shí)間應(yīng)該不小于小時(shí).此時(shí)示取出的燈泡的壽命,則事件可以表示為對應(yīng)的概率可以表示為引入了隨機(jī)變量以后,隨機(jī)事件及相應(yīng)的概率可以用隨二、概率函數(shù)在上節(jié)的幾個(gè)例子中,我們看到問題中所涉及的幾個(gè)隨機(jī)變量的取值為有限多個(gè)或“可列”多個(gè),這類隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量.二、概率函數(shù)在上節(jié)的幾個(gè)例子中,我們看到問題中所

1.離散型隨機(jī)變量和概率函數(shù)設(shè)為離散型隨機(jī)變量,的可能取值為事件的概率為即:稱⑴式為隨機(jī)變量的分布（分布律）,又稱為概率函⑴數(shù).上式又可用表格的形式給出:滿足1.離散型隨機(jī)變量和概率函數(shù)設(shè)為注：隨機(jī)變量的取值按從小到大的順序排列，概率為零的項(xiàng)不必列出.其中為某一實(shí)數(shù)集.注：隨機(jī)變量的取值按從小到大的順序排列，概率為零的項(xiàng)不必列出例4設(shè)袋中有5球,編號為從袋中隨機(jī)地解以表示取到球的編號,則的取值為因1同理,取一球,以表示取到的球的編號,求的分布.號球只有一個(gè),故例4設(shè)袋中有5球,編號為及從而隨機(jī)變量的分布律為及從而隨機(jī)變量的分布律為例設(shè)袋中有5球,編號分別為機(jī)地取3個(gè)球,以解表示取到的3個(gè)球中的最大編號,求

的分布律.的取值為的分布律為：從袋中隨例設(shè)袋中有5球,編號分別為機(jī)地取3個(gè)球,例

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)表示射擊試驗(yàn),以表示首次命中時(shí)所進(jìn)行過的射擊次數(shù).則的取值為設(shè)每次命中目標(biāo)的概率為0.8，求隨機(jī)變量的分布律及解：分布律為例設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)表示射擊試驗(yàn),以表⑴分布若隨機(jī)變量的取值為0,1,相應(yīng)的概率記為則稱服從分布.記為⑶一個(gè)只有兩個(gè)基本結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn),都可轉(zhuǎn)化為分布.三、常用離散型隨機(jī)變量⑴分布若隨機(jī)變量的習(xí)慣上,分布又常寫成⑷習(xí)慣上,分布又常寫成⑷⑵二項(xiàng)分布在重貝努利試驗(yàn)中,若以表示事件在次試驗(yàn)中⑸分布律為⑹出現(xiàn)的次數(shù).則的取值為相應(yīng)的概率為:⑵二項(xiàng)分布在重貝努利試驗(yàn)中,若以其中為事件發(fā)生的概率.則稱服從參數(shù)為的在概率論中,二項(xiàng)分布是一個(gè)重要的分布.在許多獨(dú)二項(xiàng)分布,記成立重復(fù)試驗(yàn)中,都具有二項(xiàng)分布的形式.分布是二項(xiàng)分布在時(shí)的特殊情況.其中為事件發(fā)生的概率.則稱服從參數(shù)為例6某特效藥的臨床有效率為0.95，今有10人服用，問至少有8人治愈的概率有多少？解設(shè)為10人中治愈的人數(shù)，則例6某特效藥的臨床有效率為0.95，今有10人服用，問至例7已知某公司生產(chǎn)的螺絲釘?shù)拇纹仿蕿?.01,并設(shè)解由條件,以表示包內(nèi)螺絲釘為次品的件數(shù),則包各個(gè)螺絲釘是否為次品是獨(dú)立的.這家公司將10個(gè)螺絲釘包成一包出售,并保證若發(fā)現(xiàn)包內(nèi)多于一個(gè)次品就可退款.問賣出的某包螺釘被退回的概率有多大？被退回意味著故所求的概率為被退回的概率近似等于0.43%.例7已知某公司生產(chǎn)的螺絲釘?shù)拇纹仿蕿?.01,例8設(shè)有保險(xiǎn)公司的某保險(xiǎn)險(xiǎn)種有1000人投保,每個(gè)解以隨機(jī)變量表示在未來一年中這1000個(gè)投保人死人在一年內(nèi)死亡的概率為0.005,且每個(gè)人在一年內(nèi)是否死亡是相互獨(dú)立的.試求在未來一年中這1000個(gè)投保人死亡人數(shù)不超過10個(gè)人的概率.亡的人數(shù),則相應(yīng)的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蟾怕视煽傻美?設(shè)有保險(xiǎn)公司的某保險(xiǎn)險(xiǎn)種有1000人投保,在上式中直接計(jì)算是比較設(shè)當(dāng)很大很小且適中時(shí)有⑻在上例中,取則有困難的,為此我們引入一個(gè)簡便的計(jì)算方法——即二項(xiàng)分布的逼近,稱為泊松定理.在上式中直接計(jì)算即在未來一年中這1000個(gè)投保人死亡人數(shù)不超過10個(gè)人的概率為0.986.即在未來一年中這1000個(gè)投保人死亡人數(shù)不超過10個(gè)人的概率⑶泊松分布設(shè)隨機(jī)變量的取值為相應(yīng)的分布律⑼則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布,記為泊松分布的計(jì)算:查表為⑶泊松分布設(shè)隨機(jī)變量的取值為例9設(shè)求解查表得例10設(shè)某交通道口一分鐘的汽車流量為隨機(jī)變量求在一分鐘內(nèi)至少有2輛車通過的解所求概率為概率。例9設(shè)求解例11設(shè)某小區(qū)有電梯200部,每臺電梯發(fā)生故障的可⑴在同一時(shí)刻恰好有5部電梯發(fā)生故障的概率;⑵在同一時(shí)刻至少有3部電梯發(fā)生故障的概率;⑶至少配備多少維修工人,使能以95%的概率,保證當(dāng)解以表示在同一時(shí)刻發(fā)生故障的電梯數(shù),則由條件取所以能性為0.02,求電梯發(fā)生故障時(shí),有維修工人進(jìn)行維修.得例11設(shè)某小區(qū)有電梯200部,每臺電梯發(fā)生故障的⑴由計(jì)算公式⑻得⑵⑶記配備的維修工人數(shù)為若能有維修工人能進(jìn)行維修,則所以原問題由概率來反映,即為⑴由計(jì)算公式⑻得⑵⑶記配備的維修工人數(shù)為若能有維從而查表得故取即配備8名維修人員,使能以95%的概率,保證當(dāng)電梯發(fā)生故障時(shí),一定有維修工人進(jìn)行維修.從而⑷幾何分布設(shè)隨機(jī)變量的取值為相應(yīng)的概率函數(shù)為稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的幾何分布,記為⑽⑷幾何分布設(shè)隨機(jī)變量的取值為相應(yīng)的概例12某人投籃的命中率為0.4，假定各次投籃是否命中相互獨(dú)立，設(shè)次數(shù)，求表示他首次投中時(shí)累計(jì)已投籃的的分布律，并求取奇數(shù)的概率.解：隨機(jī)變量的分布律為隨機(jī)變量取奇數(shù)的概率為例12某人投籃的命中率為0.4，假定各次投籃是否命中相互(5)超幾何分布產(chǎn)品的抽樣檢驗(yàn)是經(jīng)常遇到的一類實(shí)際問題.假定在件產(chǎn)品中有表示的分布律為：件次品，從中抽取件進(jìn)行檢驗(yàn)，用件中的次品數(shù)，則服從超幾何分布，(5)超幾何分布產(chǎn)品的抽樣檢驗(yàn)是經(jīng)常遇到的一類實(shí)際問題.假定例13設(shè)15件產(chǎn)品中有2件次品，從中任取3件，以表示3件中的次品數(shù)，求解的分布律為的分布律.例13設(shè)15件產(chǎn)品中有2件次品，從中任取3件，以表示3件在上例中，若將無放回抽樣改為有放回抽樣，則3件中的次品數(shù)在上例中，若將無放回抽樣改為有放回抽樣，則3件中的次品數(shù)四、二維隨機(jī)變量及分布設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn),是相應(yīng)的樣本空間,一個(gè)從到的二元函數(shù)即稱為一個(gè)二維隨機(jī)變量.記為稱隨機(jī)變量的取值規(guī)律及相應(yīng)的概率為的二維分布.

1.聯(lián)合概率函數(shù)四、二維隨機(jī)變量及分布設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn),設(shè)為二維隨機(jī)變量,若它的取值為有限多個(gè)或設(shè)為二維隨機(jī)變量,取值為⑾稱⑾式為隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律或聯(lián)合概率函數(shù).可列多個(gè),則稱為二維離散型隨機(jī)變量.相應(yīng)的概率為滿足設(shè)為二維隨機(jī)變量,若它的⑾式又可用分布表的形式給出:注：全為零的行或列不必列出，變量的取值按從小到大的順序排列。⑾式又可用分布表的形式給出:注：全為零的行或列不必列由二維離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)容易求出隨機(jī)變量落在平面上某個(gè)區(qū)域中的概率.事實(shí)上,對給定的平面區(qū)域則有⑿由二維離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)容易求出隨機(jī)變量落在平例12設(shè)袋中有5球,編號為今從袋中取二球解由條件,隨機(jī)變量的可能取值為因號當(dāng)先取號球,此時(shí)還剩4球,其中2號球有2個(gè),故（不放回）,分別以表示第一、二次取到的球的編號,求的分布律.球只有一個(gè),故例12設(shè)袋中有5球,編號為相仿地,有由此得到分布表相仿地,有由此得到分布表離散型隨機(jī)變量及分布分析課件

2.邊緣概率函數(shù)設(shè)為二維離散型隨機(jī)變量,取值為⒀由此,隨機(jī)變量的取值為相應(yīng)的概率⒁為聯(lián)合概率函數(shù)為2.邊緣概率函數(shù)設(shè)為稱其為隨機(jī)變量的邊緣概率函數(shù).同樣定義⒂稱其為隨機(jī)變量的邊緣概率函數(shù).稱其為隨機(jī)變量的邊緣概率函數(shù).同樣定義⒂稱其為隨例13設(shè)二維隨機(jī)變量有概率函數(shù)求邊緣概率函數(shù).解對上表分別作行和及列和,得:例13設(shè)二維隨機(jī)變量有概率函數(shù)求由此得邊緣概率函數(shù)分別為:及由此得邊緣概率函數(shù)分別為:及例14袋中有10個(gè)球,其中紅球8個(gè),白球2個(gè),從袋中隨機(jī)取2次球,每次一個(gè)（不放回）,定義第一次取出的是紅球,第一次取出的是白球,第二次取出的是紅球,第二次取出的是白球,求的聯(lián)合分布律及邊緣分布律.解由要求,二維隨機(jī)變量的可能取值只有四個(gè),例14袋中有10個(gè)球,其中紅球8個(gè),白球2個(gè)又:事件表示第一和第二次取到的都是紅球,因而同理:又:事件表示第一和第二次取到的都是紅球,因而同理:由此得到聯(lián)合分布律為:相應(yīng)的邊緣分布律為:由此得到聯(lián)合分布律為:相應(yīng)的邊緣分布律為:及及五、隨機(jī)變量的獨(dú)立性與條件分布

1.隨機(jī)變量的獨(dú)立性在上一目的例12中,若采用放回抽樣,則聯(lián)合概率函數(shù)和邊緣概率函數(shù)分別為:五、隨機(jī)變量的獨(dú)立性與條件分布1.隨機(jī)變量的獨(dú)立性注意到,此時(shí)對任意的有上式表明事件是獨(dú)立的事件.由此引入下面的定義.注意到,此時(shí)對任意的有上式表明事件是獨(dú)立的事件.定義設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率函數(shù)為如果聯(lián)合概率函數(shù)恰為兩個(gè)邊緣概率函數(shù)的乘積,即則稱隨機(jī)變量與相互獨(dú)立.⒃注：若存在一點(diǎn)則稱隨機(jī)變量與不相互獨(dú)立.定義設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率函數(shù)為如例15設(shè)是二維隨機(jī)變量,相應(yīng)的分布律為解因隨機(jī)變量的邊緣分布分別為判斷是否獨(dú)立.例15設(shè)是二維隨機(jī)變量,相因此隨機(jī)變量不獨(dú)立.因此隨機(jī)變量不獨(dú)立.例16設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為已知求的值，并討論隨機(jī)變量的獨(dú)立性。解不獨(dú)立.例16設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為已知求的值，并討論隨機(jī)變量例拋3次均勻硬幣以表示正面向上的次數(shù)，以表示正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)差的絕對值，求的聯(lián)合分布與邊緣分布，并討論變量之間的獨(dú)立性.例拋3次均勻硬幣以表示正面向上的次數(shù)，以表示正面出現(xiàn)次55隨機(jī)變量的聯(lián)合分布與邊緣分布分別為變量之間是不獨(dú)立的.隨機(jī)變量的聯(lián)合分布與邊緣分布分別為變量之間是不獨(dú)立的.我們可以把兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立的概念推廣到有限個(gè)變量中去.如果n個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率函數(shù)恰為n個(gè)邊緣概率函數(shù)的乘積，則稱這n個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,即對隨機(jī)變量的任意取值上式都成立.我們可以把兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立的概念推廣到有限個(gè)變量中去.如果n57六、隨機(jī)變量函數(shù)的分布

1.一維隨機(jī)變量函數(shù)的概率函數(shù)設(shè)是離散型隨機(jī)變量,概率函數(shù)為即有分布律六、隨機(jī)變量函數(shù)的分布1.一維隨機(jī)變量函數(shù)的概率函數(shù)若為一已知函數(shù),則隨機(jī)變量的⒅取值為則相應(yīng)的概率函數(shù)為當(dāng)若為一已知函數(shù),則例14設(shè)為離散型隨機(jī)變量,概率函數(shù)為求隨機(jī)變量的分布.解1.因函數(shù)為單調(diào)函數(shù),所以隨機(jī)變量的概率函數(shù)為隨機(jī)變量的取值為例14設(shè)為離散型隨機(jī)變量,概率函數(shù)為求隨機(jī)變

2.的取值為而由此得到相應(yīng)的概率函數(shù)為:2.的取值為例15設(shè)有概率函數(shù)求的概率函數(shù).解的取值為相應(yīng)的分布律為例15設(shè)有概率函數(shù)求設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量,相應(yīng)的分布律為設(shè)為任意一個(gè)二元函數(shù),則隨機(jī)變量的相應(yīng)取值為相應(yīng)的概率為:

2.二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量,⒆⒆例16設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量,分布列為求:⑴⑵⑶的概率函數(shù).解⑴則的取值為相應(yīng)的概率為例16設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量,⑵此時(shí),的取值為得到的概率分布為:⑶此時(shí),的取值為得到的概率分布為:⑵例17設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量,分布列為求:⑴⑵⑶的概率分布.解⑴則的取值為相應(yīng)的概率為例17設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量,同理可計(jì)算其它概率,由此得分布率為⑵此時(shí),的取值為相應(yīng)的分布為同理可計(jì)算其它概率,由此得分布率為⑵⑶此時(shí),的取值為相應(yīng)的概率分布為⑶例20設(shè)二維隨機(jī)變量的兩個(gè)邊緣概率函數(shù)分別為已知與相互獨(dú)立,求下列隨機(jī)變量的概率函數(shù):⑴⑵的聯(lián)合分布律與邊緣分布律.求例20設(shè)二維隨機(jī)變量的兩個(gè)邊解二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率函數(shù)為由獨(dú)立性⑴的取值為且解二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率函數(shù)同理可得其它情況,由此得到概率函數(shù)同理可得其它情況,由此得到概率函數(shù)(2)(2)定理設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,且記則定理設(shè)相互獨(dú)立,⑴當(dāng)時(shí),⑵當(dāng)時(shí),定理設(shè)定理設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,對于任意一個(gè)整數(shù)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立.注意該定理的逆命題并不成立.特殊地，當(dāng)相互獨(dú)立時(shí)也相互獨(dú)立.定理設(shè)七、部分作業(yè)解答七、部分作業(yè)解答2.2試確定常數(shù)使得下列函數(shù)成為概率函數(shù):⑴⑵解⑴因⑵因2.2試確定常數(shù)使得下列函數(shù)成為概率函數(shù):2.4已知隨機(jī)變量的概率函數(shù)如下表:求一元二次方程有實(shí)數(shù)根的概率.解因方程有實(shí)數(shù)根此時(shí)因而相應(yīng)的概率為2.4已知隨機(jī)變量的概率函數(shù)如下表:求一元二次方程有2.6設(shè)隨機(jī)變量已知試求解因即有由此得所以2.6設(shè)隨機(jī)變量已知試求解因即有由此得所以2.10某地有個(gè)人參加了人壽保險(xiǎn),每人繳納保險(xiǎn)金元,年內(nèi)死亡時(shí)家屬可以從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取元.假定該地年內(nèi)人口死亡率為且死亡是相對獨(dú)立的,求該公司年內(nèi)贏利不少于元的概率.解設(shè)表示該地區(qū)一年內(nèi)死亡的人數(shù),則所求概率為此時(shí)所以2.10某地有個(gè)人參加了人壽保險(xiǎn)現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),表示次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的最大者.試求⑴與的聯(lián)合概率函數(shù);⑵與⑶的邊緣概率函數(shù).解⑴因表示擲出的點(diǎn)數(shù)均為所以2.14把一顆骰子獨(dú)立地向上拋次.設(shè)表示第次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),表示次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的最大者.試求⑴同樣所以而為不可能事件,所以注意到表示第一個(gè)點(diǎn)數(shù)為第二個(gè)點(diǎn)數(shù)為表示第一個(gè)點(diǎn)數(shù)為第二個(gè)點(diǎn)可以是或是所以同樣所以而為不可能事件,所以注意到表示第一個(gè)點(diǎn)數(shù)同理可得其它概率,由此得聯(lián)合概率函數(shù):同理可得其它概率,由此得聯(lián)合概率函數(shù):離散型隨機(jī)變量及分布分析課件⑵由上表容易得到:⑶邊緣概率函數(shù)為對角線的和⑵由上表容易得到:⑶邊緣概率函數(shù)為對角線的和離散型隨機(jī)變量及分布分析課件2.17設(shè)與獨(dú)立同分布,它們都服從分布試求的聯(lián)合概率函數(shù).解由條件得與的概率函數(shù)分別為:再由獨(dú)立性得聯(lián)合概率函數(shù)為:2.17設(shè)與獨(dú)立同分布,它們都服離散型隨機(jī)變量及分布分析課件2.18設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率函數(shù)如下表:試問各取何值時(shí),與相互獨(dú)立?解邊緣分布為2.18設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率函數(shù)如下由獨(dú)立性得行和列和由獨(dú)立性得行和列和再由再由2.19已知隨機(jī)變量與的概率函數(shù)為已知⑴試求的聯(lián)合概率函數(shù).⑵是否相互獨(dú)立?為什么?2.19已知隨機(jī)變量與的概率函數(shù)為已知解因所以設(shè)聯(lián)合概率函數(shù)及邊緣概率函數(shù)分別為解因所以設(shè)聯(lián)合概率函數(shù)及邊緣概率函數(shù)分別為由此得由此得所以,聯(lián)合概率函數(shù)為因所以不獨(dú)立.所以,聯(lián)合概率函數(shù)為因所以不獨(dú)立.2.24已知隨機(jī)變量服從集合上的均勻分布,試求與的概率函數(shù).解由條件知的概率函數(shù)為容易得到與的概率函數(shù)分別為2.24已知隨機(jī)變量服從集合上的均勻分布,離散型隨機(jī)變量及分布分析課件2.26設(shè)與的聯(lián)合概率函數(shù)為⑴分別求出的概率函數(shù);⑵試求與的聯(lián)合概率函數(shù).解⑴的可能取值為2.26設(shè)與的聯(lián)合概率函數(shù)為⑴分別求出同理有其它情況,由此得概率函數(shù)的可能取值為同理有其它情況,由此得概率函數(shù)的可能取值為同理有其它情況,由此得概率函數(shù)同理有其它情況,由此得概率函數(shù)⑵注意到:⑵注意到:所以同理可得其它概率,由此得概率函數(shù)所以同理可得其它概率,由此得概率函數(shù)2.29設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,且每個(gè)試求隨機(jī)變量的概率函數(shù).解因因而概率函數(shù)為而的取值為對應(yīng)的概率為2.29設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,且每個(gè)試求隨機(jī)變離散型隨機(jī)變量及分布分析課件第二章離散型隨機(jī)變量及分布第二章離散型隨機(jī)變量及分布本章要點(diǎn)本章引入隨機(jī)變量的概念,討論幾種類型的隨機(jī)變量一、一維離散型隨機(jī)變量及分布二、一維離散型隨機(jī)變量的常用分布及相應(yīng)的分布.主要內(nèi)容有:三、二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合分布與邊緣分布四、隨機(jī)變量的獨(dú)立性五、隨機(jī)變量函數(shù)的分布本章要點(diǎn)本章引入隨機(jī)變量的概念,討論幾種類型的隨一、隨機(jī)變量

1.隨機(jī)變量例1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)為拋硬幣試驗(yàn),我們以符號表示出出現(xiàn)正面,出現(xiàn)反面.現(xiàn)的是正面,符號表示出現(xiàn)的是反面,為了更好的刻畫這類隨機(jī)試驗(yàn),我們

用一個(gè)數(shù)對應(yīng)一個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果，由此引入一個(gè)變量一、隨機(jī)變量1.隨機(jī)變量例1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)例2設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)為一次打靶試驗(yàn),其基本結(jié)果是中與擊中目標(biāo),未擊中目標(biāo).不中.同樣可以引入變量:也有很多試驗(yàn)，其結(jié)果本身就用數(shù)來表示的.例如在一大批產(chǎn)品中有5%的次品，從中抽取10件產(chǎn)品，其中的次品數(shù)在抽取之前是不確定的，我們可以引進(jìn)變量來表示其中的次品數(shù)，其取值為例2設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)為一次打靶試驗(yàn),其基本結(jié)果是例3設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)表示射擊試驗(yàn),以表示首次命中時(shí)所進(jìn)行過的射擊次數(shù).則的取值為將上面的問題一般化,我們引入下面概念.例3設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)表示射擊試驗(yàn),以表示定義設(shè)為隨機(jī)試驗(yàn),為樣本空間,定義在上的函數(shù)稱為上的（一維）隨機(jī)變量.記為定義設(shè)為隨機(jī)試驗(yàn),為樣本空間,定引入了隨機(jī)變量以后,隨機(jī)事件及相應(yīng)的概率可以用隨機(jī)變量方式加以刻畫.記表示“取到的一只產(chǎn)品是不合格品”,再以表例如,某廠生產(chǎn)的燈泡按國家標(biāo)準(zhǔn)其合格品的壽命時(shí)間應(yīng)該不小于小時(shí).此時(shí)示取出的燈泡的壽命,則事件可以表示為對應(yīng)的概率可以表示為引入了隨機(jī)變量以后,隨機(jī)事件及相應(yīng)的概率可以用隨二、概率函數(shù)在上節(jié)的幾個(gè)例子中,我們看到問題中所涉及的幾個(gè)隨機(jī)變量的取值為有限多個(gè)或“可列”多個(gè),這類隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量.二、概率函數(shù)在上節(jié)的幾個(gè)例子中,我們看到問題中所

1.離散型隨機(jī)變量和概率函數(shù)設(shè)為離散型隨機(jī)變量,的可能取值為事件的概率為即:稱⑴式為隨機(jī)變量的分布（分布律）,又稱為概率函⑴數(shù).上式又可用表格的形式給出:滿足1.離散型隨機(jī)變量和概率函數(shù)設(shè)為注：隨機(jī)變量的取值按從小到大的順序排列，概率為零的項(xiàng)不必列出.其中為某一實(shí)數(shù)集.注：隨機(jī)變量的取值按從小到大的順序排列，概率為零的項(xiàng)不必列出例4設(shè)袋中有5球,編號為從袋中隨機(jī)地解以表示取到球的編號,則的取值為因1同理,取一球,以表示取到的球的編號,求的分布.號球只有一個(gè),故例4設(shè)袋中有5球,編號為及從而隨機(jī)變量的分布律為及從而隨機(jī)變量的分布律為例設(shè)袋中有5球,編號分別為機(jī)地取3個(gè)球,以解表示取到的3個(gè)球中的最大編號,求

的分布律.的取值為的分布律為：從袋中隨例設(shè)袋中有5球,編號分別為機(jī)地取3個(gè)球,例

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)表示射擊試驗(yàn),以表示首次命中時(shí)所進(jìn)行過的射擊次數(shù).則的取值為設(shè)每次命中目標(biāo)的概率為0.8，求隨機(jī)變量的分布律及解：分布律為例設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)表示射擊試驗(yàn),以表⑴分布若隨機(jī)變量的取值為0,1,相應(yīng)的概率記為則稱服從分布.記為⑶一個(gè)只有兩個(gè)基本結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn),都可轉(zhuǎn)化為分布.三、常用離散型隨機(jī)變量⑴分布若隨機(jī)變量的習(xí)慣上,分布又常寫成⑷習(xí)慣上,分布又常寫成⑷⑵二項(xiàng)分布在重貝努利試驗(yàn)中,若以表示事件在次試驗(yàn)中⑸分布律為⑹出現(xiàn)的次數(shù).則的取值為相應(yīng)的概率為:⑵二項(xiàng)分布在重貝努利試驗(yàn)中,若以其中為事件發(fā)生的概率.則稱服從參數(shù)為的在概率論中,二項(xiàng)分布是一個(gè)重要的分布.在許多獨(dú)二項(xiàng)分布,記成立重復(fù)試驗(yàn)中,都具有二項(xiàng)分布的形式.分布是二項(xiàng)分布在時(shí)的特殊情況.其中為事件發(fā)生的概率.則稱服從參數(shù)為例6某特效藥的臨床有效率為0.95，今有10人服用，問至少有8人治愈的概率有多少？解設(shè)為10人中治愈的人數(shù)，則例6某特效藥的臨床有效率為0.95，今有10人服用，問至例7已知某公司生產(chǎn)的螺絲釘?shù)拇纹仿蕿?.01,并設(shè)解由條件,以表示包內(nèi)螺絲釘為次品的件數(shù),則包各個(gè)螺絲釘是否為次品是獨(dú)立的.這家公司將10個(gè)螺絲釘包成一包出售,并保證若發(fā)現(xiàn)包內(nèi)多于一個(gè)次品就可退款.問賣出的某包螺釘被退回的概率有多大？被退回意味著故所求的概率為被退回的概率近似等于0.43%.例7已知某公司生產(chǎn)的螺絲釘?shù)拇纹仿蕿?.01,例8設(shè)有保險(xiǎn)公司的某保險(xiǎn)險(xiǎn)種有1000人投保,每個(gè)解以隨機(jī)變量表示在未來一年中這1000個(gè)投保人死人在一年內(nèi)死亡的概率為0.005,且每個(gè)人在一年內(nèi)是否死亡是相互獨(dú)立的.試求在未來一年中這1000個(gè)投保人死亡人數(shù)不超過10個(gè)人的概率.亡的人數(shù),則相應(yīng)的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蟾怕视煽傻美?設(shè)有保險(xiǎn)公司的某保險(xiǎn)險(xiǎn)種有1000人投保,在上式中直接計(jì)算是比較設(shè)當(dāng)很大很小且適中時(shí)有⑻在上例中,取則有困難的,為此我們引入一個(gè)簡便的計(jì)算方法——即二項(xiàng)分布的逼近,稱為泊松定理.在上式中直接計(jì)算即在未來一年中這1000個(gè)投保人死亡人數(shù)不超過10個(gè)人的概率為0.986.即在未來一年中這1000個(gè)投保人死亡人數(shù)不超過10個(gè)人的概率⑶泊松分布設(shè)隨機(jī)變量的取值為相應(yīng)的分布律⑼則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布,記為泊松分布的計(jì)算:查表為⑶泊松分布設(shè)隨機(jī)變量的取值為例9設(shè)求解查表得例10設(shè)某交通道口一分鐘的汽車流量為隨機(jī)變量求在一分鐘內(nèi)至少有2輛車通過的解所求概率為概率。例9設(shè)求解例11設(shè)某小區(qū)有電梯200部,每臺電梯發(fā)生故障的可⑴在同一時(shí)刻恰好有5部電梯發(fā)生故障的概率;⑵在同一時(shí)刻至少有3部電梯發(fā)生故障的概率;⑶至少配備多少維修工人,使能以95%的概率,保證當(dāng)解以表示在同一時(shí)刻發(fā)生故障的電梯數(shù),則由條件取所以能性為0.02,求電梯發(fā)生故障時(shí),有維修工人進(jìn)行維修.得例11設(shè)某小區(qū)有電梯200部,每臺電梯發(fā)生故障的⑴由計(jì)算公式⑻得⑵⑶記配備的維修工人數(shù)為若能有維修工人能進(jìn)行維修,則所以原問題由概率來反映,即為⑴由計(jì)算公式⑻得⑵⑶記配備的維修工人數(shù)為若能有維從而查表得故取即配備8名維修人員,使能以95%的概率,保證當(dāng)電梯發(fā)生故障時(shí),一定有維修工人進(jìn)行維修.從而⑷幾何分布設(shè)隨機(jī)變量的取值為相應(yīng)的概率函數(shù)為稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的幾何分布,記為⑽⑷幾何分布設(shè)隨機(jī)變量的取值為相應(yīng)的概例12某人投籃的命中率為0.4，假定各次投籃是否命中相互獨(dú)立，設(shè)次數(shù)，求表示他首次投中時(shí)累計(jì)已投籃的的分布律，并求取奇數(shù)的概率.解：隨機(jī)變量的分布律為隨機(jī)變量取奇數(shù)的概率為例12某人投籃的命中率為0.4，假定各次投籃是否命中相互(5)超幾何分布產(chǎn)品的抽樣檢驗(yàn)是經(jīng)常遇到的一類實(shí)際問題.假定在件產(chǎn)品中有表示的分布律為：件次品，從中抽取件進(jìn)行檢驗(yàn)，用件中的次品數(shù)，則服從超幾何分布，(5)超幾何分布產(chǎn)品的抽樣檢驗(yàn)是經(jīng)常遇到的一類實(shí)際問題.假定例13設(shè)15件產(chǎn)品中有2件次品，從中任取3件，以表示3件中的次品數(shù)，求解的分布律為的分布律.例13設(shè)15件產(chǎn)品中有2件次品，從中任取3件，以表示3件在上例中，若將無放回抽樣改為有放回抽樣，則3件中的次品數(shù)在上例中，若將無放回抽樣改為有放回抽樣，則3件中的次品數(shù)四、二維隨機(jī)變量及分布設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn),是相應(yīng)的樣本空間,一個(gè)從到的二元函數(shù)即稱為一個(gè)二維隨機(jī)變量.記為稱隨機(jī)變量的取值規(guī)律及相應(yīng)的概率為的二維分布.

1.聯(lián)合概率函數(shù)四、二維隨機(jī)變量及分布設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn),設(shè)為二維隨機(jī)變量,若它的取值為有限多個(gè)或設(shè)為二維隨機(jī)變量,取值為⑾稱⑾式為隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律或聯(lián)合概率函數(shù).可列多個(gè),則稱為二維離散型隨機(jī)變量.相應(yīng)的概率為滿足設(shè)為二維隨機(jī)變量,若它的⑾式又可用分布表的形式給出:注：全為零的行或列不必列出，變量的取值按從小到大的順序排列。⑾式又可用分布表的形式給出:注：全為零的行或列不必列由二維離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)容易求出隨機(jī)變量落在平面上某個(gè)區(qū)域中的概率.事實(shí)上,對給定的平面區(qū)域則有⑿由二維離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)容易求出隨機(jī)變量落在平例12設(shè)袋中有5球,編號為今從袋中取二球解由條件,隨機(jī)變量的可能取值為因號當(dāng)先取號球,此時(shí)還剩4球,其中2號球有2個(gè),故（不放回）,分別以表示第一、二次取到的球的編號,求的分布律.球只有一個(gè),故例12設(shè)袋中有5球,編號為相仿地,有由此得到分布表相仿地,有由此得到分布表離散型隨機(jī)變量及分布分析課件

2.邊緣概率函數(shù)設(shè)為二維離散型隨機(jī)變量,取值為⒀由此,隨機(jī)變量的取值為相應(yīng)的概率⒁為聯(lián)合概率函數(shù)為2.邊緣概率函數(shù)設(shè)為稱其為隨機(jī)變量的邊緣概率函數(shù).同樣定義⒂稱其為隨機(jī)變量的邊緣概率函數(shù).稱其為隨機(jī)變量的邊緣概率函數(shù).同樣定義⒂稱其為隨例13設(shè)二維隨機(jī)變量有概率函數(shù)求邊緣概率函數(shù).解對上表分別作行和及列和,得:例13設(shè)二維隨機(jī)變量有概率函數(shù)求由此得邊緣概率函數(shù)分別為:及由此得邊緣概率函數(shù)分別為:及例14袋中有10個(gè)球,其中紅球8個(gè),白球2個(gè),從袋中隨機(jī)取2次球,每次一個(gè)（不放回）,定義第一次取出的是紅球,第一次取出的是白球,第二次取出的是紅球,第二次取出的是白球,求的聯(lián)合分布律及邊緣分布律.解由要求,二維隨機(jī)變量的可能取值只有四個(gè),例14袋中有10個(gè)球,其中紅球8個(gè),白球2個(gè)又:事件表示第一和第二次取到的都是紅球,因而同理:又:事件表示第一和第二次取到的都是紅球,因而同理:由此得到聯(lián)合分布律為:相應(yīng)的邊緣分布律為:由此得到聯(lián)合分布律為:相應(yīng)的邊緣分布律為:及及五、隨機(jī)變量的獨(dú)立性與條件分布

1.隨機(jī)變量的獨(dú)立性在上一目的例12中,若采用放回抽樣,則聯(lián)合概率函數(shù)和邊緣概率函數(shù)分別為:五、隨機(jī)變量的獨(dú)立性與條件分布1.隨機(jī)變量的獨(dú)立性注意到,此時(shí)對任意的有上式表明事件是獨(dú)立的事件.由此引入下面的定義.注意到,此時(shí)對任意的有上式表明事件是獨(dú)立的事件.定義設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率函數(shù)為如果聯(lián)合概率函數(shù)恰為兩個(gè)邊緣概率函數(shù)的乘積,即則稱隨機(jī)變量與相互獨(dú)立.⒃注：若存在一點(diǎn)則稱隨機(jī)變量與不相互獨(dú)立.定義設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率函數(shù)為如例15設(shè)是二維隨機(jī)變量,相應(yīng)的分布律為解因隨機(jī)變量的邊緣分布分別為判斷是否獨(dú)立.例15設(shè)是二維隨機(jī)變量,相因此隨機(jī)變量不獨(dú)立.因此隨機(jī)變量不獨(dú)立.例16設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為已知求的值，并討論隨機(jī)變量的獨(dú)立性。解不獨(dú)立.例16設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為已知求的值，并討論隨機(jī)變量例拋3次均勻硬幣以表示正面向上的次數(shù)，以表示正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)差的絕對值，求的聯(lián)合分布與邊緣分布，并討論變量之間的獨(dú)立性.例拋3次均勻硬幣以表示正面向上的次數(shù)，以表示正面出現(xiàn)次159隨機(jī)變量的聯(lián)合分布與邊緣分布分別為變量之間是不獨(dú)立的.隨機(jī)變量的聯(lián)合分布與邊緣分布分別為變量之間是不獨(dú)立的.我們可以把兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立的概念推廣到有限個(gè)變量中去.如果n個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率函數(shù)恰為n個(gè)邊緣概率函數(shù)的乘積，則稱這n個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,即對隨機(jī)變量的任意取值上式都成立.我們可以把兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立的概念推廣到有限個(gè)變量中去.如果n161六、隨機(jī)變量函數(shù)的分布

1.一維隨機(jī)變量函數(shù)的概率函數(shù)設(shè)是離散型隨機(jī)變量,概率函數(shù)為即有分布律六、隨機(jī)變量函數(shù)的分布1.一維隨機(jī)變量函數(shù)的概率函數(shù)若為一已知函數(shù),則隨機(jī)變量的⒅取值為則相應(yīng)的概率函數(shù)為當(dāng)若為一已知函數(shù),則例14設(shè)為離散型隨機(jī)變量,概率函數(shù)為求隨機(jī)變量的分布.解1.因函數(shù)為單調(diào)函數(shù),所以隨機(jī)變量的概率函數(shù)為隨機(jī)變量的取值為例14設(shè)為離散型隨機(jī)變量,概率函數(shù)為求隨機(jī)變

2.的取值為而由此得到相應(yīng)的概率函數(shù)為:2.的取值為例15設(shè)有概率函數(shù)求的概率函數(shù).解的取值為相應(yīng)的分布律為例15設(shè)有概率函數(shù)求設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量,相應(yīng)的分布律為設(shè)為任意一個(gè)二元函數(shù),則隨機(jī)變量的相應(yīng)取值為相應(yīng)的概率為:

2.二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量,⒆⒆例16設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量,分布列為求:⑴⑵⑶的概率函數(shù).解⑴則的取值為相應(yīng)的概率為例16設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量,⑵此時(shí),的取值為得到的概率分布為:⑶此時(shí),的取值為得到的概率分布為:⑵例17設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量,分布列為求:⑴⑵⑶的概率分布.解⑴則的取值為相應(yīng)的概率為例17設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量,同理可計(jì)算其它概率,由此得分布率為⑵此時(shí),的取值為相應(yīng)的分布為同理可計(jì)算其它概率,由此得分布率為⑵⑶此時(shí),的取值為相應(yīng)的概率分布為⑶例20設(shè)二維隨機(jī)變量的兩個(gè)邊緣概率函數(shù)分別為已知與相互獨(dú)立,求下列隨機(jī)變量的概率函數(shù):⑴⑵的聯(lián)合分布律與邊緣分布律.求例20設(shè)二維隨機(jī)變量的兩個(gè)邊解二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率函數(shù)為由獨(dú)立性⑴的取值為且解二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率函數(shù)同理可得其它情況,由此得到概率函數(shù)同理可得其它情況,由此得到概率函數(shù)(2)(2)定理設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,且記則定理設(shè)相互獨(dú)立,⑴當(dāng)