雅可比θ的函數(shù)

雅可比θ的函數(shù)雅可比θ的函數(shù)是橢圓的類似物指數(shù)函數(shù),可以用來表達(dá)雅可比橢圓函數(shù)。θ的函數(shù)是quasi-doubly周期,通常表示在現(xiàn)代文本,盡管符號(hào)和(Borwein和Borwein1987)有時(shí)也使用?；菟撕腿A生(1990,第487頁)給出了表總結(jié)符號(hào)使用的各種早期的作家。θ的函數(shù)得到的Wolfram語言通過EllipticTheta(nz,q),并給出其衍生品EllipticThetaPrime(nz,q)。對(duì)理想氣體平動(dòng)配分函數(shù)可以使用橢圓θ的函數(shù)(黃金1961,pp。119年和133年,Melzak1973,p.122;Levine2002,p.838)。θ的函數(shù)可以表達(dá)的省,表示,或者是半周期比,表示,在那里和和是相關(guān)的(1)讓多值函數(shù)被解釋為代表。然后一個(gè)復(fù)數(shù)雅可比θ的函數(shù)被定義為(2)(3)(4)(5)單獨(dú)寫雙無限金額作為無限的資金給稍微不那么對(duì)稱的形式(6)(7)(8)(9)(10)(11)(惠塔克和沃森1990,頁1990-464)。明確寫出系列(12)(13)(14)(15)(Borwein和Borwein1987,52頁,惠塔克和華生1990,p.464)。是一個(gè)奇函數(shù)的甚至,而其他三個(gè)功能

.下面的表說明了quasi-double周期性的雅可比θ的函數(shù)。11在這里,(16)準(zhǔn)周期可以建立如下的具體情況

,(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)雅可比θ彼此的函數(shù)可以寫成:(25)(26)(27)(惠塔克和沃森1990,p.464)。任何雅可比θ的函數(shù)給定的參數(shù)可以用其他兩個(gè)雅可比θ的函數(shù)來表示相同的參數(shù)。的函數(shù)和滿足身份(28)定義(29)雅可比θ的函數(shù)參數(shù),上面繪制。然后雙無限金額(

)(

)特別簡單的形式(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(OEISA089800,A000122,A002448;Borwein和Borwein1987,p.33)。這個(gè)函數(shù)也給出了(37)在哪里是一個(gè)q-Pochhammer象征.這個(gè)函數(shù)(38)(39)(40)有時(shí)是數(shù)論中定義的上下文(達(dá)文波特1980,p.1980)。同樣地,函數(shù)(41)(42)有時(shí)也定義(愛德華茲2001年,p.15)。這個(gè)函數(shù)滿足(43)愛德華茲(雅可比黎曼1828;1828;2001年,15頁),雅可比屬性泊松和遵循的泊松求和公式。也滿足了身份(44)(愛德華茲2001年,p.17)。特殊值包括(45)和(46)在哪里是γ函數(shù),大多數(shù)都是特殊情況的Ramanujanθ的函數(shù).一個(gè)特殊的導(dǎo)數(shù)值由于o.Marichev(per。2008年7月)是由通訊(47)上面的情節(jié)展示了雅可比θ的函數(shù)繪制的函數(shù)參數(shù)和省局限于真實(shí)值。特別美麗的情節(jié),通過檢查真正的和虛部的固定在復(fù)平面,如上圖。雅可比θ的函數(shù)滿足一個(gè)幾乎令人困惑地大量涉及四個(gè)功能的身份,他們的衍生品,他們的論點(diǎn)的倍數(shù),總結(jié)自己的觀點(diǎn)。之間的不同尋常的身份維特克和沃森(1990)(48)(49)(惠塔克和沃森1990,p.464)(50)(51)(惠塔克和沃森1990,p.465),,……4,和。一類身份涉及廣場(chǎng)雅可比θ的函數(shù)(52)(53)(54)(55)(惠塔克和沃森1990,p.466)。采取在(55)給出了特殊情況(56)這種類型的唯一標(biāo)識(shí)。此外,(57)(58)雅可比θ的函數(shù)服從規(guī)則等(59)(60)(61)(62)(63)(64)(65)(66)(惠塔克和沃森1990,p.487),(67)(68)(69)(70)(71)(72)(73)(74)(惠塔克和沃森1990,p.488),和(75)(惠塔克和沃森1990,p.488)。也有一系列的復(fù)制公式:(76)(77)(78)(79)(80)(81)(惠塔克和沃森1990,p.488)。比雅可比θ的函數(shù)導(dǎo)數(shù)函數(shù)本身的簡單形式(82)(83)(84)(85)(86)(87)(88)(89)(惠塔克和沃森1990,p.489)。雅可比θ的函數(shù)可以表示為產(chǎn)品,而不是資金(90)(91)(92)(93)在哪里(94)(惠塔克和沃森1990,頁1990-470)。額外的美麗產(chǎn)品(“歐拉”)表單是由Zucker(1990),部分總結(jié)在下表中,(95)和q-products都寫

,

,,

.θ的函數(shù)斯隆歐拉雅可比矩陣A000122A002448A089798A089799A089800A089801A089802A089805A080995A089806A089807A089810A089811A089812A089813額外的身份包括(96)(97)在這里,(98)(OEISA089814).雅可比θ功能滿足偏微分方程(99)在哪里。比雅可比θ的函數(shù)在分母也滿足微分方程(100)(101)(102)雅可比的虛構(gòu)的轉(zhuǎn)型表達(dá)而言,。有很多美麗的身份涉及雅可比θ的函數(shù)參數(shù)

,

,,和

,

,,相關(guān)的,(103)(104)(105)(106)(惠塔克和沃森1990,頁1990-469,488年和490年)。使用的符號(hào)(107)(108)給出了高達(dá)288的身份表單(109)完整的橢圓積分的第一和第二種可以使用雅可比θ表示函數(shù)。讓(110)和插入(

)(111)現(xiàn)在寫(112)和(113)然后(114)在哪里橢圓模量被定義為(115)定義的補(bǔ)充橢圓模量(116)現(xiàn)在,因?yàn)?117)我們展示了(118)這個(gè)方程的解(119)這是一個(gè)雅可比橢圓函數(shù)與時(shí)間(120)和(121)讓是第一類完全橢圓積分與模量,然后(122)(123)(124)在哪里是互補(bǔ)的模量.雅可比θ函數(shù)提供分析解決許多棘手的問題在數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)物理。例如,雅可比θ功能有關(guān)平方和函數(shù)給的數(shù)量表示通過兩個(gè)正方形(125)(126)(Borwein和Borwein1987,p.34)。一般五次方程是可以解決的雅可比θ的函數(shù),這些函數(shù)提供一種一致收斂的嗎格林函數(shù)一個(gè)矩形區(qū)域(Oberhettinger和馬格努斯1949年)。最后,雅可比θ功能可以使用使均勻所有橢圓曲線。雅可比橢圓函數(shù)也可以用來使均勻一些超橢圓曲線,雖然只有兩個(gè)這樣的例子是已知的。是一個(gè)經(jīng)典的例子伯恩賽德曲線,第二個(gè)是1995年發(fā)現(xiàn)法卡斯和熱淚盈眶。參見:雅可比橢圓函數(shù)雅可比橢圓函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式橢圓函數(shù)。這三個(gè)基本功能是表示

,,,在那里被稱為橢圓模量。他們出現(xiàn)的反演第一類橢圓積分,(1)在哪里

,是橢圓模量,是雅可比振幅,給(2)從這個(gè),它遵循(3)(4)(5)(6)(7)(8)這些函數(shù)是三角函數(shù)的雙周期概括滿意(9)(10)(11)而言,雅可比θ的函數(shù),(12)(13)(14)(惠塔克和沃森1990,p.492),在那里(惠塔克和沃森1990,p.464)和橢圓模量是由(15)雅可比橢圓函數(shù)的比率用結(jié)合的第一個(gè)字母分子與第一個(gè)橢圓函數(shù)分母橢圓函數(shù)。橢圓的乘法逆函數(shù)用扭轉(zhuǎn)兩個(gè)字母的順序。這些組合給共有12個(gè)功能:cd,cn,cs,直流,dn,ds,數(shù)控,nd,ns,sc、sd、錫。這些功能的實(shí)現(xiàn)Wolfram語言作為JacobiSN(z,m)等等。同樣,逆雅可比函數(shù)實(shí)現(xiàn)InverseJacobiSN[v,m]等等。的雅可比振幅定義的通過(16)的參數(shù)是經(jīng)常抑制簡潔如此,例如,可以寫成

.雅可比橢圓函數(shù)是周期性的和作為(17)(18)(19)在哪里是第一類完全橢圓積分,,(惠塔克???沃森1990,p.503)。的

,,功能也可以被定義為解決微分方程(20)(21)(22)分別。標(biāo)準(zhǔn)雅可比橢圓函數(shù)滿足身份(23)(24)(25)(26)特殊值包括(27)(28)(29)(30)(31)(32)在哪里是一個(gè)第一類完全橢圓積分和是互補(bǔ)的橢圓模量(惠塔克和沃森1990,頁1990-499),和(33)(34)(35)在積分方面,(36)(37)(38)(39)(40)(41)(42)(43)(44)(45)(46)(47)(惠塔克和沃森1990,p.494)。雅可比橢圓函數(shù)加法公式(包括,例如,被編寫為簡潔)(48)(49)(50)延長積分時(shí)間,(51)(52)(53)(54)(55)(56)為復(fù)雜的參數(shù),(57)(58)(59)衍生品雅可比橢圓函數(shù)包括(60)(61)(62)(赴1969年,p.1969;Zwillinger1997,p.136)。Double-period公式涉及包括雅可比橢圓函數(shù)(63)(64)(65)半周期公式涉及包括雅可比橢圓函數(shù)(66)(67)(68)平方公式包括(69)(70)(71)泰勒級(jí)數(shù)的雅可比橢圓函數(shù)被認(rèn)為是埃爾米特(1863),Schett(1977),和杜蒙(1981)(72)(73)(74)1972年(阿布拉莫維茨和Steguneqn。16.22)。參見:雅可比振幅的變量(也表示)中使用橢圓函數(shù)和橢圓積分被稱為振幅(或雅可比振幅)。它可以被定義(1)(2)在哪里是一個(gè)雅可比橢圓函數(shù)與橢圓模量。是很常見的,雅可比橢圓函數(shù),模量通常隱含的簡潔性。雅可比振幅的逆函數(shù)第一類橢圓積分。振幅函數(shù)的實(shí)現(xiàn)Wolfram語言作為JacobiAmplitudem],[u是參數(shù).這是相關(guān)的第一類橢圓積分通過(3)(阿布拉莫維茨和Stegun1972,p.589)。的導(dǎo)數(shù)雅可比的振幅是由(4)或使用的符號(hào)

,(5)振幅函數(shù)的特殊值(6)(7)在哪里是一個(gè)第一類完全橢圓積分。此外,它遵循的身份(8)(9)(10)(11)(12)(13)作為定義雅可比橢圓函數(shù).維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)(或維爾斯特拉斯函數(shù),表示“函數(shù)”)是橢圓函數(shù),不像雅可比橢圓函數(shù),有一個(gè)二階極在。指定完全half-periods(和)或橢圓不變量

(和)必須被指定。這兩種情況是表示和,分別。維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)的實(shí)現(xiàn)Wolfram語言作為WeierstrassP(u,g2,g3]。Half-periods和不變量可以互換使用Wolfram語言命令WeierstrassInvariants[ω,?),WeierstrassHalfPeriods[g2,g3]。維爾斯特拉斯實(shí)現(xiàn)橢圓函數(shù)的導(dǎo)數(shù)WeierstrassPPrime(u,g2,g3),實(shí)現(xiàn)為逆維爾斯特拉斯函數(shù)InverseWeierstrassP[p,g2,g3].InverseWeierstrassP[p,問,g2,g3)發(fā)現(xiàn)的獨(dú)特價(jià)值的和

.上面的情節(jié)顯示維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)和它的衍生物為橢圓不變量和沿著實(shí)軸.上面的圖顯示了維爾斯特拉斯函數(shù)及其衍生品的橢圓不變量

.特定的情況下橢圓不變量和有特殊的名稱總結(jié)在下表中(阿布拉莫維茨和Stegun1972)。真正的半周期equianharmonic案例被稱為omega2-constant.案例名稱01equianharmonic案例10雙紐線的情況0pseudolemniscate案例維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)定義(1)(惠塔克和沃森1990,p.434),總理表示條件的總和為零分母都省略了。寫。這個(gè)可以寫(2)一個(gè)等價(jià)定義,收斂更快(3)(惠塔克和沃森1990,p.434)。是一個(gè)偶函數(shù)自給出了以不同的順序相同的條款。級(jí)數(shù)展開的是由(4)在哪里(5)(6)和(7)為(阿布拉莫維茨和Stegun1972,p.635)。第一個(gè)值為而言,和是由(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(阿布拉莫維茨和Stegun1972,p.636)。維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)描述如何從一個(gè)環(huán)面給出的解決方案橢圓曲線的代數(shù)形式橢圓曲線.維爾斯特拉斯出現(xiàn)橢圓函數(shù)的微分方程可以通過擴(kuò)大找到關(guān)于原點(diǎn)的功能

.(15)但甚至功能和(16)的衍生品(17)(18)(19)(20)所以(21)(22)插入,(23)定義橢圓不變量(24)(25)然后(26)(27)現(xiàn)在多維數(shù)據(jù)集(26)和廣場(chǎng)(27)(28)(29)把(29日)-

(28)抵消了詞,給(30)(31)給(32)但是,從(

)(33)所以可以編寫和(

)(34)但維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)是分析在原點(diǎn),因此在各方面相等的原點(diǎn)。沒有其他地方可能發(fā)生一個(gè)奇點(diǎn),這是一個(gè)函數(shù)橢圓函數(shù)沒有奇異點(diǎn)。通過劉維橢圓函數(shù)定理因此,它是一個(gè)常數(shù)。但是,隨著

,,所以(35)(惠塔克和沃森1990,頁1990-437)。微分方程的解(36)因此,由,提供數(shù)字和滿足方程定義的存在橢圓不變量。寫作的微分方程的根

,,

,(37)(Rainville1971,p.1971),(38)(39)(40)(41)(42)現(xiàn)在(

)除以4+((

)除以4)數(shù)量的平方,(43)(44)這個(gè)詞在右邊的一半Schwarzian導(dǎo)數(shù).的導(dǎo)數(shù)維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)解(45)(46)(47)這是一個(gè)奇函數(shù)這本身就是一個(gè)橢圓函數(shù)與桿的訂單3。的積分是由(48)二階導(dǎo)數(shù)滿足(49)(很有1997年,p.23)。一個(gè)重復(fù)的公式得到如下。(50)(51)(52)(53)(很有1997年,p.24)。一般的加法定理得到如下。鑒于(54)(55)為零和在哪里,找到第三個(gè)零?？紤]。這的訂單三桿,但零的總和()等于兩極的的總和橢圓函數(shù),所以和

.(56)(57)結(jié)合(

),(

)和(

)(58)所以(59)定義在哪里和給出了對(duì)稱形式(60)(惠塔克和沃森1990,p.440)。表達(dá)明確,重新開始(61)在哪里

.(62)但從(

),,所以(63)的解決方案是由(64)但根之和等于系數(shù)的平方項(xiàng)(65)(66)(67)(68)(惠塔克和沃森1990,p.441)。半周期身份包括(69)(70)(71)(72)相乘,(73)(74)這給了(75)(76)惠塔克和沃森(1990,第445頁),(77)函數(shù)是均勻,(78)(79)逆函數(shù),找到和的當(dāng)考慮到。讓

,,根等不是一個(gè)實(shí)數(shù)或。確定半周期比從(80)現(xiàn)在選擇(81)只要,時(shí)間(82)(83)維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)可以表達(dá)的雅可比橢圓函數(shù)通過(84)在哪里(85)(86)(87)和橢圓不變量是(88)(89)在這里,

.維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)的加法公式可以推導(dǎo)出如下(維特克和沃森1990,p.1990)。(90)使用(91)所以(92)(93)使用

,(94)(95)但和(96)所以(97)維爾斯特拉斯時(shí)期的橢圓函數(shù)給出如下。當(dāng)和是真正的和,然后

,,是真正的和定義,

.(98)(99)(100)維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)滿足的根源(101)(102)(103)在哪里。的s是根的是不平等的。他們可以找到的關(guān)系(104)(105)(106)參見:平方和函數(shù)代表的數(shù)量通過廣場(chǎng),允許0和區(qū)分信號(hào)和秩序,是表示。的特殊情況對(duì)應(yīng)于兩個(gè)正方形通常是簡單地表示(如。,哈代和賴特1979,p.241;小腿1993,p.162)。例如,考慮多種方式的代表5兩個(gè)正方形的總和:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)所以。同樣的,(9)(10)(11)(12)(13)(14)所以

.的Wolfram語言函數(shù)SquaresR(k,n)。相比之下,函數(shù)PowersRepresentations[n,k,2]給出的列表無序的無符號(hào)表示作為一個(gè)列表廣場(chǎng)。,給作為唯一的“獨(dú)特”表示5。這個(gè)函數(shù)是緊密相連的萊布尼茨系列和高斯圓問題(希爾伯特和Cohn-Vossen1999,頁27-39)。它也是由默比烏斯變換的逆變換序列和(斯隆和普勞夫1995,p.22)。的平均訂單是,但正常秩序是0(哈代1999年,p.55)。雅可比給解析表達(dá)式的情況下、4、6和8(雅可比1829;哈代和賴特1979,p.316;哈迪1999,p.132)。的情況下4和6將被發(fā)現(xiàn)系數(shù)的雅可比θ的函數(shù)

,,。的解決方案和12所發(fā)現(xiàn)劉維爾(1864、1866)和艾森斯坦(哈代和賴特1979年,p.316),和Glaisher(1907)給出了表達(dá)。然而,公式和包含函數(shù)只定義為模塊化的系數(shù)函數(shù),但并不是用算術(shù)方法(哈代和賴特1979年,p.316)。Ramanujan(2000)擴(kuò)展Glaisher的表。Boulyguine(1915)發(fā)現(xiàn)的一般公式每個(gè)函數(shù)都有一個(gè)算術(shù)定義(哈代和賴特1979年,p.316;2005年迪克森,p.317)。被發(fā)現(xiàn)是一個(gè)涉及二次互反性符號(hào)的有限和狄利克雷。和被艾森斯坦發(fā)現(xiàn),史密斯和閔可夫斯基。莫德爾、哈代、Ramanujan已經(jīng)開發(fā)出一種方法適用于奇數(shù)表示的方塊(哈迪1920;莫德爾1920,1920;Estermann1937;哈迪1999)。在有多少種方法一個(gè)正整數(shù)可以表示為一筆嗎這是廣場(chǎng)忽視秩序和跡象,因素(15)在哪里s是質(zhì)數(shù)的形式和s是質(zhì)數(shù)的形式。如果沒有這樣一個(gè)表示整數(shù)嗎因?yàn)橐粋€(gè)或更多的權(quán)力是奇數(shù),那么沒有表示。否則,定義(16)代表的數(shù)量作為兩個(gè)正方形的和忽視秩序,然后給出的跡象(17)(Beiler說1966,頁140-142)。同樣的,為是由(18)一個(gè)正整數(shù)可以表示成兩個(gè)正方形的總和敵我識(shí)別它的每個(gè)主要因素的形式甚至出現(xiàn)作為一個(gè)權(quán)力,因?yàn)樵?738年首次建立了歐拉。在拉格朗日正方形定理拉格朗日證明每一個(gè)正整數(shù)可以寫成的總和最多4個(gè)廣場(chǎng),盡管四個(gè)可能減少到三個(gè)數(shù)字除外的形式

.Diophantus首先研究問題相當(dāng)于找到三個(gè)平方的總和,說這個(gè)問題,不得的形式,這不過是一個(gè)條件不足(迪克森2005年,p.2005)。在1621年,隨后Bachet排除在外和。最后,費(fèi)馬(ca1636)說,Bachet未能排除的條件,149,等等,給正確的充分條件不得的形式,所以不是形式,或等價(jià)

.1636年,費(fèi)馬表示,沒有整數(shù)的形式是三個(gè)理性的和廣場(chǎng),1638年,笛卡爾證明這個(gè)整數(shù)平方。1658年,費(fèi)馬隨后斷言(但沒能證明),在那里是主要的形式嗎(即。,任何主要的形式)是三個(gè)平方的總和。1775年,費(fèi)馬斷言拉格朗日取得了一些進(jìn)展,但并不能完全證明了這一點(diǎn)。1785年,勒讓德說,費(fèi)馬的說法也適用于所有奇數(shù)(不僅僅是質(zhì)數(shù)),然后給了一個(gè)不完整的證明每個(gè)數(shù)字或其是三個(gè)正方形的總和的兩倍。Beguelin(1774)認(rèn)為每個(gè)整數(shù)相等的1,2,3,5或6(mod8)一筆三個(gè)正方形,但沒有足夠的證據(jù)(迪克森2005年,p.15)。1798年勒讓德的理論des數(shù)量,勒讓德證明了每一個(gè)正整數(shù)的形式或一筆三個(gè)廣場(chǎng)沒有公因數(shù)(Nagell1951,p.1951;井194,pp。48、56個(gè);哈迪1999,p。12;Savin2000)。為0時(shí)有一個(gè)'除數(shù)的形式到一個(gè)奇怪的權(quán)力,雙打到達(dá)一個(gè)新的'的形式。最初幾個(gè)值是1,4,404,80,0,4,4,80,0,0,0,4、8、4080,0,0,0,12日80,0,…(OEISA004018)。一個(gè)蘭伯特系列是由(19)(哈代和賴特1979,p.258)。的生成函數(shù)為是由(20)(21)(22)在哪里是一個(gè)雅可比橢圓函數(shù)和是一個(gè)q-Pochhammer象征.它顯式地給出(23)(24)(25)在哪里的數(shù)量是因數(shù)的的形式(希爾伯特和Cohn-Vossen1999,頁37-38;哈迪1999,p。12)。遵守意想不到的身份(26)為

,(27)和(28)(哈代1999,p.82)。最初幾個(gè)summatory函數(shù)的值(例如,哈代和賴特1979,p.270)定義的(29)是0、4、8、8、12、20、20、20、24、28歲,36歲,…(OEISA014198),修改后的函數(shù)定義的小腿(1993)(30)(31)明確的價(jià)值觀10幾個(gè)國家在下表中給出(米切爾1966;小腿1993,pp。165年和234年)。051372317年33149年431417年5314197年63141549831415905310314159254571231415926496251431415926535058漸近結(jié)果包括(32)(33)在哪里是一個(gè)常數(shù)稱為Sierpiński常數(shù)。左邊上面的情節(jié)(34)與說明了彎曲的信封,和圖所示(35)的值表示作為堅(jiān)實(shí)的水平線。解決方案的數(shù)量(36)對(duì)于一個(gè)給定的沒有限制的跡象或相對(duì)大小

,,是由。高斯證明,如果是squarefree和,然后(37)(1992年阿諾),是類數(shù)的

.的生成函數(shù)為是由(38)(39)一般而言,(40)為

,(41)身份為,是由(42)(43)在哪里和(44)史密斯(1829年雅可比,§40-42;1965;哈代和賴特1979,p.314)。為

,(45)在哪里(46)(47)(48)這個(gè)方程為是由劉維爾(1864,1864)。(49)(50)(51)在哪里(52)(53)是一個(gè)所謂的奇異系列,是τ函數(shù).類似的表達(dá)存在較大甚至τ函數(shù)一個(gè)函數(shù)有關(guān)除數(shù)函數(shù),有時(shí)也稱為Ramanujanτ函數(shù)。這是通過定義傅里葉級(jí)數(shù)的模塊化的判別為,在那里是半平面上,通過(1)(很有1997年,p.20)。τ函數(shù)也是的HYPERLINK"javascript