第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件

第三節(jié)求數(shù)列的前n項(xiàng)和第三節(jié)求數(shù)列的前n項(xiàng)和備考方向明確方向比努力更重要復(fù)習(xí)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1.等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.等差、等比數(shù)列的求和公式應(yīng)用.(發(fā)展要求)3.常見求數(shù)列前n項(xiàng)和的方法.(1)倒序相加法(2)錯(cuò)位相減法(3)裂項(xiàng)法(4)分組求和法4.特殊數(shù)列求和.1.從求等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式中體現(xiàn)高斯算法(即倒序相加法)的實(shí)質(zhì).2.從求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中體會(huì)錯(cuò)位相減法的作用.3.注意把握各種特殊數(shù)列.比如通項(xiàng)是分式形式,一般采取裂項(xiàng)求和;能轉(zhuǎn)化為等差、等比的可以分組求和等.備考方向明確方向比努力更知識(shí)鏈條完善把散落的知識(shí)連起來網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建一、等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和知識(shí)鏈條完善把散落的知識(shí)連起第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件二、求前n項(xiàng)和1.求和問題的切入口:對(duì)通項(xiàng)公式的分析研究,首先要準(zhǔn)確識(shí)別出是等差數(shù)列還是等比數(shù)列.(1)從通項(xiàng)公式上識(shí)別,若an是關(guān)于n的一次函數(shù),則數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(2)從前n項(xiàng)和公式上識(shí)別,若Sn是關(guān)于n的無常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù),則數(shù)列{an}是等差數(shù)列;若Sn是關(guān)于n的有非零常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù),則從第二項(xiàng)起{an}為等差數(shù)列;若Sn是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之和,且指數(shù)型函數(shù)的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù),則數(shù)列{an}為等比數(shù)列.二、求前n項(xiàng)和2.三種常見求和類型(1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式是由等差數(shù)列與等比數(shù)列之積構(gòu)成的,常用錯(cuò)位相減法求和.(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式是由等差數(shù)列和等比數(shù)列之和構(gòu)成的,常用拆項(xiàng)分組法求和.(3)若數(shù)列的通項(xiàng)是分式結(jié)構(gòu),分母所含因式是等差數(shù)列中相鄰項(xiàng)時(shí),常用裂項(xiàng)相消法求和.2.三種常見求和類型4.2+4+6+…+2n=n2+n.5.1+3+5+7+…+2n-1=n2.四、數(shù)列求和的基本思路1.一般的數(shù)列求和,應(yīng)從通項(xiàng)入手,若無通項(xiàng),則先求通項(xiàng),然后通過對(duì)通項(xiàng)變形,轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具有某種方法適應(yīng)特點(diǎn)的形式,從而選擇合適的方法求和.2.解決非等差、等比數(shù)列的求和,主要有兩種思路:一是轉(zhuǎn)化的思想,即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列,這一思想方法往往通過通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相減來完成;二是不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列,往往通過裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等來求和.等價(jià)轉(zhuǎn)換思想是解決數(shù)列求和問題的基本思想方法,它可將復(fù)雜的數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題來解決.4.2+4+6+…+2n=n2+n.溫故知新1.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,則S17等于(

)(A)9 (B)8 (C)17 (D)16A解析:S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+…+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+…+1=9.故選A.溫故知新1.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1-2+3-4+…+A

A3.3×2-1+4×2-2+5×2-3+…+(n+2)·2-n=

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3.3×2-1+4×2-2+5×2-3+…+(n+2)·2-第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件高頻考點(diǎn)突破在訓(xùn)練中掌握方法考點(diǎn)一分組法求和【例1】

已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=5,an=2an-1+3n-1(n≥2,n∈N*),bn=an-3n(n∈N*).(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;高頻考點(diǎn)突破在訓(xùn)練中掌握(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.反思?xì)w納分組法求和的常見類型(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}為等差或等比數(shù)列,可采用分組法求{an}的前n項(xiàng)和.反思?xì)w納分組法求和的常見類型遷移訓(xùn)練在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an-n+1(n∈N*),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(1)證明:數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;遷移訓(xùn)練在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an-n+1(2)求Sn;(2)求Sn;(3)證明:Sn+1>Sn+2n+n.(3)證明:Sn+1>Sn+2n+n.考點(diǎn)二錯(cuò)位相減法求和【例2】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)于任意的自然數(shù)an>0,4Sn=(an+1)2.(1)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列,并求通項(xiàng)公式;(1)證明:令n=1,4S1=4a1=(a1+1)2,解得a1=1,由4Sn=(an+1)2,得4Sn+1=(an+1+1)2,兩式相減得4an+1=(an+1+1)2-(an+1)2,整理得(an+1+an)(an+1-an-2)=0,因?yàn)閍n>0,所以an+1-an=2,則數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,an=1+2(n-1)=2n-1.考點(diǎn)二錯(cuò)位相減法求和【例2】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件反思?xì)w納(1)新數(shù)列{cn}={an·bn},其中數(shù)列{an}是等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{cn}前n項(xiàng)和分三步:①寫出數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn=c1+c2+c3+…+cn;②把上述和式等號(hào)左右各項(xiàng)都乘以等比數(shù)列{bn}的公比q得qSn=qc1+qc2+qc3+…+qcn;③把所得兩式相減,注意等號(hào)右邊要錯(cuò)位相減,錯(cuò)位相減部分恰好組成一個(gè)等比數(shù)列的若干項(xiàng)的和式,然后整理化簡(jiǎn).(2)錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和是一種重要方法.在應(yīng)用這種方法時(shí),一定要抓住數(shù)列的特征:數(shù)列的項(xiàng)可以看作是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列.所謂“錯(cuò)位”,就是要找“同類項(xiàng)”相減,要注意的是相減后得到部分等比數(shù)列的和,此時(shí)一定要查清其項(xiàng)數(shù).錯(cuò)位相減法在使用時(shí)由于運(yùn)算量較大,易出現(xiàn)因運(yùn)算不準(zhǔn)確而致錯(cuò)的問題,所以在求解過程中要注意在“兩式相減”“結(jié)果整理”這些環(huán)節(jié)上的檢查,最后可將n=1和n=2代入所得表達(dá)式進(jìn)行檢驗(yàn).反思?xì)w納(1)新數(shù)列{cn}={an·遷移訓(xùn)練(2018·浙江卷)已知等比數(shù)列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中項(xiàng).數(shù)列{bn}滿足b1=1,數(shù)列{(bn+1-bn)an}的前n項(xiàng)和為2n2+n.(1)求q的值;遷移訓(xùn)練(2018·浙江卷)已知等比數(shù)列{an}的公比q>1(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件考點(diǎn)三裂項(xiàng)相消法求和【例3】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,an是Sn和1的等差中項(xiàng),等差數(shù)列{bn}滿足b1+S4=0,b9=a1.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;解:(1)因?yàn)閍n是Sn和1的等差中項(xiàng),所以2an=Sn+1,所以Sn=2an-1.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1,所以an=2an-1,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2a1-1,所以a1=1,考點(diǎn)三裂項(xiàng)相消法求和解:(1)因?yàn)閍n是Sn和1的等差中項(xiàng)第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件反思?xì)w納(1)裂項(xiàng)相消法一般適用分式數(shù)列求和.把數(shù)列的通項(xiàng)分解為兩項(xiàng)的差是這種方法使用的關(guān)鍵所在.使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí),要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng),保留了哪些項(xiàng),切不可漏寫未被消去的項(xiàng),未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn),實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的.(2)裂項(xiàng)相消法的基本思想是把數(shù)列的通項(xiàng)an分拆成an=bn+1-bn或者an=bn-bn+1或者an=bn+2-bn等,從而達(dá)到在求和時(shí)逐項(xiàng)相消的目的,在解題中要善于根據(jù)這個(gè)基本思想變換數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,使之符合裂項(xiàng)相消的條件.反思?xì)w納(1)裂項(xiàng)相消法一般適用分式數(shù)列求和.把數(shù)列的第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件遷移訓(xùn)練遷移訓(xùn)練第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件考點(diǎn)四含絕對(duì)值數(shù)列求和【例4】在公差為d的等差數(shù)列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列.(1)求d,an;考點(diǎn)四含絕對(duì)值數(shù)列求和【例4】在公差為d的等差數(shù)列{an(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件反思?xì)w納(1)有些數(shù)列是因項(xiàng)的正負(fù)分布不同而產(chǎn)生分段.對(duì)于這種數(shù)列,我們就要按參加求和的項(xiàng)是否是同一種符號(hào)的項(xiàng)分為兩類來求和.需要注意的是該數(shù)列的項(xiàng)是按照什么規(guī)律進(jìn)行分類的,只有準(zhǔn)確把握項(xiàng)的正負(fù)分類才能正確地求解.(2)有些數(shù)列是因奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別按照不同規(guī)律而產(chǎn)生分段.對(duì)于這種數(shù)列,我們就要按參加求和的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)是否相同分為兩類來求和.在每一類中,要注意奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別有多少,避免因分類不清而致錯(cuò)的現(xiàn)象產(chǎn)生.反思?xì)w納(1)有些數(shù)列是因項(xiàng)的正負(fù)分布不同而產(chǎn)生分段.遷移訓(xùn)練遷移訓(xùn)練第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件(3)記Sn為數(shù)列{|an+1-an|}的前n項(xiàng)和,證明:Sn<6(n∈N*).(3)記Sn為數(shù)列{|an+1-an|}的前n項(xiàng)和,證明:S解題規(guī)范夯實(shí)在平凡的事情上精益求精裂項(xiàng)相消及錯(cuò)位相減法求和【例題】

已知等差數(shù)列{an}的公差為2,前n項(xiàng)和為Sn,且S1,S2,S4成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;解題規(guī)范夯實(shí)在平凡的事情上精益求精第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件解題規(guī)范規(guī)范要求:(1)對(duì)bn中的符號(hào)易忽視討論,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)和當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)和是不同的;(2)裂項(xiàng)相消時(shí),要注意消去了哪些項(xiàng),余下哪些項(xiàng);溫馨提示:

(1)第1問實(shí)質(zhì)是基本量的計(jì)算,對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式要得心應(yīng)手;解題規(guī)范規(guī)范要求:(1)對(duì)bn中的符號(hào)易忽視討論,當(dāng)n為偶數(shù)【規(guī)范訓(xùn)練1】(2017·山東卷)已知{xn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式;【規(guī)范訓(xùn)練1】(2017·山東卷)已知{xn}是各項(xiàng)均為正(2)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,依次連接點(diǎn)P1(x1,1),P2(x2,2),…,Pn+1(xn+1,n+1)得到折線P1P2…Pn+1,求由該折線與直線y=0,x=x1,x=xn+1所圍成的區(qū)域的面積Tn.(2)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,依次連接點(diǎn)P1(x1,第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件課堂類題精練在練習(xí)中體會(huì)學(xué)習(xí)的樂趣類型一分組法求和1.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),則S2016等于(

)(A)22016-1 (B)3·21008-3(C)3·21008-1 (D)3·21007-2

B課堂類題精練在練習(xí)中體會(huì)學(xué)習(xí)的樂趣第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件2.有窮數(shù)列1,1+2,1+2+4,…,1+2+4+…+2n-1所有項(xiàng)的和為

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答案:2n+1-n-22.有窮數(shù)列1,1+2,1+2+4,…,1+2+4+…+2n類型二錯(cuò)位相減法求和3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且an=n·2n,則Sn=

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解析:Sn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n,①2Sn=1·22+2·23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,②①-②得-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=-2(1-2n)-n·2n+1=-2+2n+1-n·2n+1=-2-(n-1)·2n+1,所以Sn=2+(n-1)·2n+1.答案:2+(n-1)·2n+1類型二錯(cuò)位相減法求和解析:Sn=1·2+2·22+3·234.已知數(shù)列{an},且an=(2n+1)·3n-1,則其前n項(xiàng)和Sn=

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答案:n·3n4.已知數(shù)列{an},且an=(2n+1)·3n-1,則其前B

B第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件類型四含絕對(duì)值數(shù)列求和8.(2016·浙江卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.(1)求通項(xiàng)公式an;類型四含絕對(duì)值數(shù)列求和(2)求數(shù)列{|an-n-2|}的前n項(xiàng)和.(2)求數(shù)列{|an-n-2|}的前n項(xiàng)和.點(diǎn)擊進(jìn)入課時(shí)訓(xùn)練點(diǎn)擊進(jìn)入課時(shí)訓(xùn)練第三節(jié)求數(shù)列的前n項(xiàng)和第三節(jié)求數(shù)列的前n項(xiàng)和備考方向明確方向比努力更重要復(fù)習(xí)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1.等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.等差、等比數(shù)列的求和公式應(yīng)用.(發(fā)展要求)3.常見求數(shù)列前n項(xiàng)和的方法.(1)倒序相加法(2)錯(cuò)位相減法(3)裂項(xiàng)法(4)分組求和法4.特殊數(shù)列求和.1.從求等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式中體現(xiàn)高斯算法(即倒序相加法)的實(shí)質(zhì).2.從求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中體會(huì)錯(cuò)位相減法的作用.3.注意把握各種特殊數(shù)列.比如通項(xiàng)是分式形式,一般采取裂項(xiàng)求和;能轉(zhuǎn)化為等差、等比的可以分組求和等.備考方向明確方向比努力更知識(shí)鏈條完善把散落的知識(shí)連起來網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建一、等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和知識(shí)鏈條完善把散落的知識(shí)連起第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件二、求前n項(xiàng)和1.求和問題的切入口:對(duì)通項(xiàng)公式的分析研究,首先要準(zhǔn)確識(shí)別出是等差數(shù)列還是等比數(shù)列.(1)從通項(xiàng)公式上識(shí)別,若an是關(guān)于n的一次函數(shù),則數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(2)從前n項(xiàng)和公式上識(shí)別,若Sn是關(guān)于n的無常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù),則數(shù)列{an}是等差數(shù)列;若Sn是關(guān)于n的有非零常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù),則從第二項(xiàng)起{an}為等差數(shù)列;若Sn是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之和,且指數(shù)型函數(shù)的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù),則數(shù)列{an}為等比數(shù)列.二、求前n項(xiàng)和2.三種常見求和類型(1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式是由等差數(shù)列與等比數(shù)列之積構(gòu)成的,常用錯(cuò)位相減法求和.(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式是由等差數(shù)列和等比數(shù)列之和構(gòu)成的,常用拆項(xiàng)分組法求和.(3)若數(shù)列的通項(xiàng)是分式結(jié)構(gòu),分母所含因式是等差數(shù)列中相鄰項(xiàng)時(shí),常用裂項(xiàng)相消法求和.2.三種常見求和類型4.2+4+6+…+2n=n2+n.5.1+3+5+7+…+2n-1=n2.四、數(shù)列求和的基本思路1.一般的數(shù)列求和,應(yīng)從通項(xiàng)入手,若無通項(xiàng),則先求通項(xiàng),然后通過對(duì)通項(xiàng)變形,轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具有某種方法適應(yīng)特點(diǎn)的形式,從而選擇合適的方法求和.2.解決非等差、等比數(shù)列的求和,主要有兩種思路:一是轉(zhuǎn)化的思想,即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列,這一思想方法往往通過通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相減來完成;二是不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列,往往通過裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等來求和.等價(jià)轉(zhuǎn)換思想是解決數(shù)列求和問題的基本思想方法,它可將復(fù)雜的數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題來解決.4.2+4+6+…+2n=n2+n.溫故知新1.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,則S17等于(

)(A)9 (B)8 (C)17 (D)16A解析:S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+…+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+…+1=9.故選A.溫故知新1.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1-2+3-4+…+A

A3.3×2-1+4×2-2+5×2-3+…+(n+2)·2-n=

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3.3×2-1+4×2-2+5×2-3+…+(n+2)·2-第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件高頻考點(diǎn)突破在訓(xùn)練中掌握方法考點(diǎn)一分組法求和【例1】

已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=5,an=2an-1+3n-1(n≥2,n∈N*),bn=an-3n(n∈N*).(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;高頻考點(diǎn)突破在訓(xùn)練中掌握(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.反思?xì)w納分組法求和的常見類型(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}為等差或等比數(shù)列,可采用分組法求{an}的前n項(xiàng)和.反思?xì)w納分組法求和的常見類型遷移訓(xùn)練在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an-n+1(n∈N*),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(1)證明:數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;遷移訓(xùn)練在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an-n+1(2)求Sn;(2)求Sn;(3)證明:Sn+1>Sn+2n+n.(3)證明:Sn+1>Sn+2n+n.考點(diǎn)二錯(cuò)位相減法求和【例2】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)于任意的自然數(shù)an>0,4Sn=(an+1)2.(1)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列,并求通項(xiàng)公式;(1)證明:令n=1,4S1=4a1=(a1+1)2,解得a1=1,由4Sn=(an+1)2,得4Sn+1=(an+1+1)2,兩式相減得4an+1=(an+1+1)2-(an+1)2,整理得(an+1+an)(an+1-an-2)=0,因?yàn)閍n>0,所以an+1-an=2,則數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,an=1+2(n-1)=2n-1.考點(diǎn)二錯(cuò)位相減法求和【例2】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件反思?xì)w納(1)新數(shù)列{cn}={an·bn},其中數(shù)列{an}是等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{cn}前n項(xiàng)和分三步:①寫出數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn=c1+c2+c3+…+cn;②把上述和式等號(hào)左右各項(xiàng)都乘以等比數(shù)列{bn}的公比q得qSn=qc1+qc2+qc3+…+qcn;③把所得兩式相減,注意等號(hào)右邊要錯(cuò)位相減,錯(cuò)位相減部分恰好組成一個(gè)等比數(shù)列的若干項(xiàng)的和式,然后整理化簡(jiǎn).(2)錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和是一種重要方法.在應(yīng)用這種方法時(shí),一定要抓住數(shù)列的特征:數(shù)列的項(xiàng)可以看作是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列.所謂“錯(cuò)位”,就是要找“同類項(xiàng)”相減,要注意的是相減后得到部分等比數(shù)列的和,此時(shí)一定要查清其項(xiàng)數(shù).錯(cuò)位相減法在使用時(shí)由于運(yùn)算量較大,易出現(xiàn)因運(yùn)算不準(zhǔn)確而致錯(cuò)的問題,所以在求解過程中要注意在“兩式相減”“結(jié)果整理”這些環(huán)節(jié)上的檢查,最后可將n=1和n=2代入所得表達(dá)式進(jìn)行檢驗(yàn).反思?xì)w納(1)新數(shù)列{cn}={an·遷移訓(xùn)練(2018·浙江卷)已知等比數(shù)列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中項(xiàng).數(shù)列{bn}滿足b1=1,數(shù)列{(bn+1-bn)an}的前n項(xiàng)和為2n2+n.(1)求q的值;遷移訓(xùn)練(2018·浙江卷)已知等比數(shù)列{an}的公比q>1(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件考點(diǎn)三裂項(xiàng)相消法求和【例3】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,an是Sn和1的等差中項(xiàng),等差數(shù)列{bn}滿足b1+S4=0,b9=a1.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;解:(1)因?yàn)閍n是Sn和1的等差中項(xiàng),所以2an=Sn+1,所以Sn=2an-1.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1,所以an=2an-1,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2a1-1,所以a1=1,考點(diǎn)三裂項(xiàng)相消法求和解:(1)因?yàn)閍n是Sn和1的等差中項(xiàng)第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件反思?xì)w納(1)裂項(xiàng)相消法一般適用分式數(shù)列求和.把數(shù)列的通項(xiàng)分解為兩項(xiàng)的差是這種方法使用的關(guān)鍵所在.使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí),要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng),保留了哪些項(xiàng),切不可漏寫未被消去的項(xiàng),未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn),實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的.(2)裂項(xiàng)相消法的基本思想是把數(shù)列的通項(xiàng)an分拆成an=bn+1-bn或者an=bn-bn+1或者an=bn+2-bn等,從而達(dá)到在求和時(shí)逐項(xiàng)相消的目的,在解題中要善于根據(jù)這個(gè)基本思想變換數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,使之符合裂項(xiàng)相消的條件.反思?xì)w納(1)裂項(xiàng)相消法一般適用分式數(shù)列求和.把數(shù)列的第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件遷移訓(xùn)練遷移訓(xùn)練第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件考點(diǎn)四含絕對(duì)值數(shù)列求和【例4】在公差為d的等差數(shù)列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列.(1)求d,an;考點(diǎn)四含絕對(duì)值數(shù)列求和【例4】在公差為d的等差數(shù)列{an(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件反思?xì)w納(1)有些數(shù)列是因項(xiàng)的正負(fù)分布不同而產(chǎn)生分段.對(duì)于這種數(shù)列,我們就要按參加求和的項(xiàng)是否是同一種符號(hào)的項(xiàng)分為兩類來求和.需要注意的是該數(shù)列的項(xiàng)是按照什么規(guī)律進(jìn)行分類的,只有準(zhǔn)確把握項(xiàng)的正負(fù)分類才能正確地求解.(2)有些數(shù)列是因奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別按照不同規(guī)律而產(chǎn)生分段.對(duì)于這種數(shù)列,我們就要按參加求和的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)是否相同分為兩類來求和.在每一類中,要注意奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別有多少,避免因分類不清而致錯(cuò)的現(xiàn)象產(chǎn)生.反思?xì)w納(1)有些數(shù)列是因項(xiàng)的正負(fù)分布不同而產(chǎn)生分段.遷移訓(xùn)練遷移訓(xùn)練第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件(3)記Sn為數(shù)列{|an+1-an|}的前n項(xiàng)和,證明:Sn<6(n∈N*).(3)記Sn為數(shù)列{|an+1-an|}的前n項(xiàng)和,證明:S解題規(guī)范夯實(shí)在平凡的事情上精益求精裂項(xiàng)相消及錯(cuò)位相減法求和【例題】

已知等差數(shù)列{an}的公差為2,前n項(xiàng)和為Sn,且S1,S2,S4成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;解題規(guī)范夯實(shí)在平凡的事情上精益求精第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件第三節(jié)-求數(shù)列的前n項(xiàng)和課件解題規(guī)范規(guī)范要求:(1)對(duì)bn中的符號(hào)易忽視討論,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)和當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)和是不同的;(2)裂項(xiàng)相消時(shí),要注意消去了哪些項(xiàng),余下哪些項(xiàng);溫馨提示:

(1)第1問實(shí)質(zhì)是基本量的計(jì)算,對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式要得心應(yīng)手;解題規(guī)范規(guī)范要求:(1)對(duì)bn中的符號(hào)易忽視討論,當(dāng)n為偶數(shù)【規(guī)范訓(xùn)練1】(2017·山東卷)已知{xn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式;【規(guī)范訓(xùn)練1】(2017