第三節(jié)-求數列的前n項和課件

第三節(jié)求數列的前n項和第三節(jié)求數列的前n項和備考方向明確方向比努力更重要復習目標學法指導1.等差、等比數列的前n項和公式.2.等差、等比數列的求和公式應用.(發(fā)展要求)3.常見求數列前n項和的方法.(1)倒序相加法(2)錯位相減法(3)裂項法(4)分組求和法4.特殊數列求和.1.從求等差數列前n項和公式中體現高斯算法(即倒序相加法)的實質.2.從求等比數列的前n項和公式中體會錯位相減法的作用.3.注意把握各種特殊數列.比如通項是分式形式,一般采取裂項求和;能轉化為等差、等比的可以分組求和等.備考方向明確方向比努力更知識鏈條完善把散落的知識連起來網絡構建一、等差數列與等比數列的前n項和知識鏈條完善把散落的知識連起第三節(jié)-求數列的前n項和課件二、求前n項和1.求和問題的切入口:對通項公式的分析研究,首先要準確識別出是等差數列還是等比數列.(1)從通項公式上識別,若an是關于n的一次函數,則數列{an}是等差數列.(2)從前n項和公式上識別,若Sn是關于n的無常數項的二次函數,則數列{an}是等差數列;若Sn是關于n的有非零常數項的二次函數,則從第二項起{an}為等差數列;若Sn是關于n的指數型函數與常數項之和,且指數型函數的系數與常數項互為相反數,則數列{an}為等比數列.二、求前n項和2.三種常見求和類型(1)若數列的通項公式是由等差數列與等比數列之積構成的,常用錯位相減法求和.(2)若數列的通項公式是由等差數列和等比數列之和構成的,常用拆項分組法求和.(3)若數列的通項是分式結構,分母所含因式是等差數列中相鄰項時,常用裂項相消法求和.2.三種常見求和類型4.2+4+6+…+2n=n2+n.5.1+3+5+7+…+2n-1=n2.四、數列求和的基本思路1.一般的數列求和,應從通項入手,若無通項,則先求通項,然后通過對通項變形,轉化為與特殊數列有關或具有某種方法適應特點的形式,從而選擇合適的方法求和.2.解決非等差、等比數列的求和,主要有兩種思路:一是轉化的思想,即將一般數列設法轉化為等差或等比數列,這一思想方法往往通過通項分解或錯位相減來完成;二是不能轉化為等差或等比數列的數列,往往通過裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等來求和.等價轉換思想是解決數列求和問題的基本思想方法,它可將復雜的數列轉化為等差、等比數列問題來解決.4.2+4+6+…+2n=n2+n.溫故知新1.數列{an}的前n項和Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,則S17等于(

)(A)9 (B)8 (C)17 (D)16A解析:S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+…+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+…+1=9.故選A.溫故知新1.數列{an}的前n項和Sn=1-2+3-4+…+A

A3.3×2-1+4×2-2+5×2-3+…+(n+2)·2-n=

.

3.3×2-1+4×2-2+5×2-3+…+(n+2)·2-第三節(jié)-求數列的前n項和課件第三節(jié)-求數列的前n項和課件高頻考點突破在訓練中掌握方法考點一分組法求和【例1】

已知數列{an},{bn}滿足a1=5,an=2an-1+3n-1(n≥2,n∈N*),bn=an-3n(n∈N*).(1)求數列{bn}的通項公式;高頻考點突破在訓練中掌握(2)求數列{an}的前n項和Sn.(2)求數列{an}的前n項和Sn.反思歸納分組法求和的常見類型(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}為等差或等比數列,可采用分組法求{an}的前n項和.反思歸納分組法求和的常見類型遷移訓練在數列{an}中,a1=2,an+1=2an-n+1(n∈N*),數列{an}的前n項和為Sn.(1)證明:數列{an-n}是等比數列,并求數列{an}的通項公式;遷移訓練在數列{an}中,a1=2,an+1=2an-n+1(2)求Sn;(2)求Sn;(3)證明:Sn+1>Sn+2n+n.(3)證明:Sn+1>Sn+2n+n.考點二錯位相減法求和【例2】數列{an}的前n項和為Sn,對于任意的自然數an>0,4Sn=(an+1)2.(1)求證:數列{an}是等差數列,并求通項公式;(1)證明:令n=1,4S1=4a1=(a1+1)2,解得a1=1,由4Sn=(an+1)2,得4Sn+1=(an+1+1)2,兩式相減得4an+1=(an+1+1)2-(an+1)2,整理得(an+1+an)(an+1-an-2)=0,因為an>0,所以an+1-an=2,則數列{an}是首項為1,公差為2的等差數列,an=1+2(n-1)=2n-1.考點二錯位相減法求和【例2】數列{an}的前n項和為Sn第三節(jié)-求數列的前n項和課件反思歸納(1)新數列{cn}={an·bn},其中數列{an}是等差數列,數列{bn}是等比數列,求數列{cn}前n項和分三步:①寫出數列{cn}的前n項和Sn=c1+c2+c3+…+cn;②把上述和式等號左右各項都乘以等比數列{bn}的公比q得qSn=qc1+qc2+qc3+…+qcn;③把所得兩式相減,注意等號右邊要錯位相減,錯位相減部分恰好組成一個等比數列的若干項的和式,然后整理化簡.(2)錯位相減法求數列的前n項和是一種重要方法.在應用這種方法時,一定要抓住數列的特征:數列的項可以看作是由一個等差數列和一個等比數列對應項相乘所得的數列.所謂“錯位”,就是要找“同類項”相減,要注意的是相減后得到部分等比數列的和,此時一定要查清其項數.錯位相減法在使用時由于運算量較大,易出現因運算不準確而致錯的問題,所以在求解過程中要注意在“兩式相減”“結果整理”這些環(huán)節(jié)上的檢查,最后可將n=1和n=2代入所得表達式進行檢驗.反思歸納(1)新數列{cn}={an·遷移訓練(2018·浙江卷)已知等比數列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中項.數列{bn}滿足b1=1,數列{(bn+1-bn)an}的前n項和為2n2+n.(1)求q的值;遷移訓練(2018·浙江卷)已知等比數列{an}的公比q>1(2)求數列{bn}的通項公式.(2)求數列{bn}的通項公式.第三節(jié)-求數列的前n項和課件考點三裂項相消法求和【例3】數列{an}的前n項和為Sn,an是Sn和1的等差中項,等差數列{bn}滿足b1+S4=0,b9=a1.(1)求數列{an},{bn}的通項公式;解:(1)因為an是Sn和1的等差中項,所以2an=Sn+1,所以Sn=2an-1.當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1,所以an=2an-1,當n=1時,a1=S1=2a1-1,所以a1=1,考點三裂項相消法求和解:(1)因為an是Sn和1的等差中項第三節(jié)-求數列的前n項和課件第三節(jié)-求數列的前n項和課件反思歸納(1)裂項相消法一般適用分式數列求和.把數列的通項分解為兩項的差是這種方法使用的關鍵所在.使用裂項相消法求和時,要注意正負項相消時消去了哪些項,保留了哪些項,切不可漏寫未被消去的項,未被消去的項有前后對稱的特點,實質上造成正負相消是此法的根源與目的.(2)裂項相消法的基本思想是把數列的通項an分拆成an=bn+1-bn或者an=bn-bn+1或者an=bn+2-bn等,從而達到在求和時逐項相消的目的,在解題中要善于根據這個基本思想變換數列{an}的通項公式,使之符合裂項相消的條件.反思歸納(1)裂項相消法一般適用分式數列求和.把數列的第三節(jié)-求數列的前n項和課件第三節(jié)-求數列的前n項和課件遷移訓練遷移訓練第三節(jié)-求數列的前n項和課件考點四含絕對值數列求和【例4】在公差為d的等差數列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數列.(1)求d,an;考點四含絕對值數列求和【例4】在公差為d的等差數列{an(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|第三節(jié)-求數列的前n項和課件反思歸納(1)有些數列是因項的正負分布不同而產生分段.對于這種數列,我們就要按參加求和的項是否是同一種符號的項分為兩類來求和.需要注意的是該數列的項是按照什么規(guī)律進行分類的,只有準確把握項的正負分類才能正確地求解.(2)有些數列是因奇數項和偶數項分別按照不同規(guī)律而產生分段.對于這種數列,我們就要按參加求和的奇數項和偶數項的個數是否相同分為兩類來求和.在每一類中,要注意奇數項和偶數項分別有多少,避免因分類不清而致錯的現象產生.反思歸納(1)有些數列是因項的正負分布不同而產生分段.遷移訓練遷移訓練第三節(jié)-求數列的前n項和課件第三節(jié)-求數列的前n項和課件(3)記Sn為數列{|an+1-an|}的前n項和,證明:Sn<6(n∈N*).(3)記Sn為數列{|an+1-an|}的前n項和,證明:S解題規(guī)范夯實在平凡的事情上精益求精裂項相消及錯位相減法求和【例題】

已知等差數列{an}的公差為2,前n項和為Sn,且S1,S2,S4成等比數列.(1)求數列{an}的通項公式;解題規(guī)范夯實在平凡的事情上精益求精第三節(jié)-求數列的前n項和課件第三節(jié)-求數列的前n項和課件解題規(guī)范規(guī)范要求:(1)對bn中的符號易忽視討論,當n為偶數時和當n為奇數時和是不同的;(2)裂項相消時,要注意消去了哪些項,余下哪些項;溫馨提示:

(1)第1問實質是基本量的計算,對等差數列的通項公式及前n項和公式要得心應手;解題規(guī)范規(guī)范要求:(1)對bn中的符號易忽視討論,當n為偶數【規(guī)范訓練1】(2017·山東卷)已知{xn}是各項均為正數的等比數列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求數列{xn}的通項公式;【規(guī)范訓練1】(2017·山東卷)已知{xn}是各項均為正(2)如圖,在平面直角坐標系xOy中,依次連接點P1(x1,1),P2(x2,2),…,Pn+1(xn+1,n+1)得到折線P1P2…Pn+1,求由該折線與直線y=0,x=x1,x=xn+1所圍成的區(qū)域的面積Tn.(2)如圖,在平面直角坐標系xOy中,依次連接點P1(x1,第三節(jié)-求數列的前n項和課件第三節(jié)-求數列的前n項和課件第三節(jié)-求數列的前n項和課件課堂類題精練在練習中體會學習的樂趣類型一分組法求和1.已知數列{an}滿足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),則S2016等于(

)(A)22016-1 (B)3·21008-3(C)3·21008-1 (D)3·21007-2

B課堂類題精練在練習中體會學習的樂趣第三節(jié)-求數列的前n項和課件2.有窮數列1,1+2,1+2+4,…,1+2+4+…+2n-1所有項的和為

.

答案:2n+1-n-22.有窮數列1,1+2,1+2+4,…,1+2+4+…+2n類型二錯位相減法求和3.已知數列{an}的前n項和為Sn且an=n·2n,則Sn=

.

解析:Sn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n,①2Sn=1·22+2·23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,②①-②得-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=-2(1-2n)-n·2n+1=-2+2n+1-n·2n+1=-2-(n-1)·2n+1,所以Sn=2+(n-1)·2n+1.答案:2+(n-1)·2n+1類型二錯位相減法求和解析:Sn=1·2+2·22+3·234.已知數列{an},且an=(2n+1)·3n-1,則其前n項和Sn=

.

答案:n·3n4.已知數列{an},且an=(2n+1)·3n-1,則其前B

B第三節(jié)-求數列的前n項和課件第三節(jié)-求數列的前n項和課件第三節(jié)-求數列的前n項和課件類型四含絕對值數列求和8.(2016·浙江卷)設數列{an}的前n項和為Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.(1)求通項公式an;類型四含絕對值數列求和(2)求數列{|an-n-2|}的前n項和.(2)求數列{|an-n-2|}的前n項和.點擊進入課時訓練點擊進入課時訓練第三節(jié)求數列的前n項和第三節(jié)求數列的前n項和備考方向明確方向比努力更重要復習目標學法指導1.等差、等比數列的前n項和公式.2.等差、等比數列的求和公式應用.(發(fā)展要求)3.常見求數列前n項和的方法.(1)倒序相加法(2)錯位相減法(3)裂項法(4)分組求和法4.特殊數列求和.1.從求等差數列前n項和公式中體現高斯算法(即倒序相加法)的實質.2.從求等比數列的前n項和公式中體會錯位相減法的作用.3.注意把握各種特殊數列.比如通項是分式形式,一般采取裂項求和;能轉化為等差、等比的可以分組求和等.備考方向明確方向比努力更知識鏈條完善把散落的知識連起來網絡構建一、等差數列與等比數列的前n項和知識鏈條完善把散落的知識連起第三節(jié)-求數列的前n項和課件二、求前n項和1.求和問題的切入口:對通項公式的分析研究,首先要準確識別出是等差數列還是等比數列.(1)從通項公式上識別,若an是關于n的一次函數,則數列{an}是等差數列.(2)從前n項和公式上識別,若Sn是關于n的無常數項的二次函數,則數列{an}是等差數列;若Sn是關于n的有非零常數項的二次函數,則從第二項起{an}為等差數列;若Sn是關于n的指數型函數與常數項之和,且指數型函數的系數與常數項互為相反數,則數列{an}為等比數列.二、求前n項和2.三種常見求和類型(1)若數列的通項公式是由等差數列與等比數列之積構成的,常用錯位相減法求和.(2)若數列的通項公式是由等差數列和等比數列之和構成的,常用拆項分組法求和.(3)若數列的通項是分式結構,分母所含因式是等差數列中相鄰項時,常用裂項相消法求和.2.三種常見求和類型4.2+4+6+…+2n=n2+n.5.1+3+5+7+…+2n-1=n2.四、數列求和的基本思路1.一般的數列求和,應從通項入手,若無通項,則先求通項,然后通過對通項變形,轉化為與特殊數列有關或具有某種方法適應特點的形式,從而選擇合適的方法求和.2.解決非等差、等比數列的求和,主要有兩種思路:一是轉化的思想,即將一般數列設法轉化為等差或等比數列,這一思想方法往往通過通項分解或錯位相減來完成;二是不能轉化為等差或等比數列的數列,往往通過裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等來求和.等價轉換思想是解決數列求和問題的基本思想方法,它可將復雜的數列轉化為等差、等比數列問題來解決.4.2+4+6+…+2n=n2+n.溫故知新1.數列{an}的前n項和Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,則S17等于(

)(A)9 (B)8 (C)17 (D)16A解析:S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+…+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+…+1=9.故選A.溫故知新1.數列{an}的前n項和Sn=1-2+3-4+…+A

A3.3×2-1+4×2-2+5×2-3+…+(n+2)·2-n=

.

3.3×2-1+4×2-2+5×2-3+…+(n+2)·2-第三節(jié)-求數列的前n項和課件第三節(jié)-求數列的前n項和課件高頻考點突破在訓練中掌握方法考點一分組法求和【例1】

已知數列{an},{bn}滿足a1=5,an=2an-1+3n-1(n≥2,n∈N*),bn=an-3n(n∈N*).(1)求數列{bn}的通項公式;高頻考點突破在訓練中掌握(2)求數列{an}的前n項和Sn.(2)求數列{an}的前n項和Sn.反思歸納分組法求和的常見類型(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}為等差或等比數列,可采用分組法求{an}的前n項和.反思歸納分組法求和的常見類型遷移訓練在數列{an}中,a1=2,an+1=2an-n+1(n∈N*),數列{an}的前n項和為Sn.(1)證明:數列{an-n}是等比數列,并求數列{an}的通項公式;遷移訓練在數列{an}中,a1=2,an+1=2an-n+1(2)求Sn;(2)求Sn;(3)證明:Sn+1>Sn+2n+n.(3)證明:Sn+1>Sn+2n+n.考點二錯位相減法求和【例2】數列{an}的前n項和為Sn,對于任意的自然數an>0,4Sn=(an+1)2.(1)求證:數列{an}是等差數列,并求通項公式;(1)證明:令n=1,4S1=4a1=(a1+1)2,解得a1=1,由4Sn=(an+1)2,得4Sn+1=(an+1+1)2,兩式相減得4an+1=(an+1+1)2-(an+1)2,整理得(an+1+an)(an+1-an-2)=0,因為an>0,所以an+1-an=2,則數列{an}是首項為1,公差為2的等差數列,an=1+2(n-1)=2n-1.考點二錯位相減法求和【例2】數列{an}的前n項和為Sn第三節(jié)-求數列的前n項和課件反思歸納(1)新數列{cn}={an·bn},其中數列{an}是等差數列,數列{bn}是等比數列,求數列{cn}前n項和分三步:①寫出數列{cn}的前n項和Sn=c1+c2+c3+…+cn;②把上述和式等號左右各項都乘以等比數列{bn}的公比q得qSn=qc1+qc2+qc3+…+qcn;③把所得兩式相減,注意等號右邊要錯位相減,錯位相減部分恰好組成一個等比數列的若干項的和式,然后整理化簡.(2)錯位相減法求數列的前n項和是一種重要方法.在應用這種方法時,一定要抓住數列的特征:數列的項可以看作是由一個等差數列和一個等比數列對應項相乘所得的數列.所謂“錯位”,就是要找“同類項”相減,要注意的是相減后得到部分等比數列的和,此時一定要查清其項數.錯位相減法在使用時由于運算量較大,易出現因運算不準確而致錯的問題,所以在求解過程中要注意在“兩式相減”“結果整理”這些環(huán)節(jié)上的檢查,最后可將n=1和n=2代入所得表達式進行檢驗.反思歸納(1)新數列{cn}={an·遷移訓練(2018·浙江卷)已知等比數列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中項.數列{bn}滿足b1=1,數列{(bn+1-bn)an}的前n項和為2n2+n.(1)求q的值;遷移訓練(2018·浙江卷)已知等比數列{an}的公比q>1(2)求數列{bn}的通項公式.(2)求數列{bn}的通項公式.第三節(jié)-求數列的前n項和課件考點三裂項相消法求和【例3】數列{an}的前n項和為Sn,an是Sn和1的等差中項,等差數列{bn}滿足b1+S4=0,b9=a1.(1)求數列{an},{bn}的通項公式;解:(1)因為an是Sn和1的等差中項,所以2an=Sn+1,所以Sn=2an-1.當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1,所以an=2an-1,當n=1時,a1=S1=2a1-1,所以a1=1,考點三裂項相消法求和解:(1)因為an是Sn和1的等差中項第三節(jié)-求數列的前n項和課件第三節(jié)-求數列的前n項和課件反思歸納(1)裂項相消法一般適用分式數列求和.把數列的通項分解為兩項的差是這種方法使用的關鍵所在.使用裂項相消法求和時,要注意正負項相消時消去了哪些項,保留了哪些項,切不可漏寫未被消去的項,未被消去的項有前后對稱的特點,實質上造成正負相消是此法的根源與目的.(2)裂項相消法的基本思想是把數列的通項an分拆成an=bn+1-bn或者an=bn-bn+1或者an=bn+2-bn等,從而達到在求和時逐項相消的目的,在解題中要善于根據這個基本思想變換數列{an}的通項公式,使之符合裂項相消的條件.反思歸納(1)裂項相消法一般適用分式數列求和.把數列的第三節(jié)-求數列的前n項和課件第三節(jié)-求數列的前n項和課件遷移訓練遷移訓練第三節(jié)-求數列的前n項和課件考點四含絕對值數列求和【例4】在公差為d的等差數列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數列.(1)求d,an;考點四含絕對值數列求和【例4】在公差為d的等差數列{an(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|第三節(jié)-求數列的前n項和課件反思歸納(1)有些數列是因項的正負分布不同而產生分段.對于這種數列,我們就要按參加求和的項是否是同一種符號的項分為兩類來求和.需要注意的是該數列的項是按照什么規(guī)律進行分類的,只有準確把握項的正負分類才能正確地求解.(2)有些數列是因奇數項和偶數項分別按照不同規(guī)律而產生分段.對于這種數列,我們就要按參加求和的奇數項和偶數項的個數是否相同分為兩類來求和.在每一類中,要注意奇數項和偶數項分別有多少,避免因分類不清而致錯的現象產生.反思歸納(1)有些數列是因項的正負分布不同而產生分段.遷移訓練遷移訓練第三節(jié)-求數列的前n項和課件第三節(jié)-求數列的前n項和課件(3)記Sn為數列{|an+1-an|}的前n項和,證明:Sn<6(n∈N*).(3)記Sn為數列{|an+1-an|}的前n項和,證明:S解題規(guī)范夯實在平凡的事情上精益求精裂項相消及錯位相減法求和【例題】

已知等差數列{an}的公差為2,前n項和為Sn,且S1,S2,S4成等比數列.(1)求數列{an}的通項公式;解題規(guī)范夯實在平凡的事情上精益求精第三節(jié)-求數列的前n項和課件第三節(jié)-求數列的前n項和課件解題規(guī)范規(guī)范要求:(1)對bn中的符號易忽視討論,當n為偶數時和當n為奇數時和是不同的;(2)裂項相消時,要注意消去了哪些項,余下哪些項;溫馨提示:

(1)第1問實質是基本量的計算,對等差數列的通項公式及前n項和公式要得心應手;解題規(guī)范規(guī)范要求:(1)對bn中的符號易忽視討論,當n為偶數【規(guī)范訓練1】(2017·山東卷)已知{xn}是各項均為正數的等比數列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求數列{xn}的通項公式;【規(guī)范訓練1】(2017