管理統(tǒng)計(jì)學(xué) 焦建玲 第05章 區(qū)間估計(jì)

第五章區(qū)間估計(jì)第五章區(qū)間估計(jì)引例

CJW公司是一家專(zhuān)門(mén)經(jīng)營(yíng)體育設(shè)備和器材的郵購(gòu)公司。公司為了向顧客提供盡可能好的服務(wù)，為了跟蹤服務(wù)質(zhì)量，每月選取顧客的郵購(gòu)訂單組成簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，公司與樣本中每位顧客取得聯(lián)系并詢(xún)求顧客關(guān)于服務(wù)水平等一系列問(wèn)題的評(píng)價(jià)。顧客的回答用于計(jì)算顧客的滿(mǎn)意得分，得分值從0（最差等級(jí)）到100（最好等級(jí)），然后計(jì)算樣本滿(mǎn)意得分的均值，并作為CJW所有顧客總體滿(mǎn)意得分的點(diǎn)估計(jì)。第五章區(qū)間估計(jì)引例

以往各月的調(diào)查顯示，雖然每個(gè)月顧客滿(mǎn)意得分的樣本均值都在改變，但是滿(mǎn)意得分的樣本標(biāo)準(zhǔn)差趨于穩(wěn)定在20附近，假定總體標(biāo)準(zhǔn)差為20。最近一次CJW對(duì)顧客滿(mǎn)意程度調(diào)查提供了100名顧客的滿(mǎn)意得分?jǐn)?shù)據(jù)(n=100)，滿(mǎn)意得分的樣本均值=82。第五章區(qū)間估計(jì)引例

總體顧客滿(mǎn)意得分一定正好就是82嗎？還是在一個(gè)范圍內(nèi)波動(dòng)？這個(gè)范圍又是多少？點(diǎn)估計(jì)可以得到總體顧客滿(mǎn)意平均得分為82。第五章區(qū)間估計(jì)5.1總體均值的區(qū)間估計(jì)5.1.1區(qū)間估計(jì)的概念用一個(gè)區(qū)間范圍估計(jì)總體未知參數(shù)的方法第五章區(qū)間估計(jì)5.1總體均值的區(qū)間估計(jì)5.1.2置信區(qū)間【例5-1】假定某所大學(xué)男生的平均身高未知，標(biāo)準(zhǔn)差等于10.2cm，從該總體中隨機(jī)抽取n=100個(gè)男生組成一個(gè)樣本，那么樣本均值與總體均值之間的距離小于2的可能性是多少？第五章區(qū)間估計(jì)5.1總體均值的區(qū)間估計(jì)5.1.2置信區(qū)間【例5-1】解：根據(jù)抽樣分布理論，服從的正態(tài)分布，即分布。因而,第五章區(qū)間估計(jì)5.1總體均值的區(qū)間估計(jì)5.1.2置信區(qū)間【例5-1】解：查表得：上式表明，總體均值落在樣本均值厘米以?xún)?nèi)的可能性為95%，這里的95%稱(chēng)為區(qū)間估計(jì)的置信度或置信水平，一般用表示，區(qū)間稱(chēng)為置信度為的置信區(qū)間。第五章區(qū)間估計(jì)5.1總體均值的區(qū)間估計(jì)5.1.2置信區(qū)間根據(jù)【例5-1】可知思考那么，對(duì)于一次抽樣是否可以說(shuō)總體均值落在區(qū)間的概率是95%？第五章區(qū)間估計(jì)5.1總體均值的區(qū)間估計(jì)5.1.2置信區(qū)間

思考

以【例5-1】為例，假定一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)家通過(guò)抽取n=100的隨機(jī)樣本均值構(gòu)造置信度為95%的置信區(qū)間。他反復(fù)抽取多次，比如50次，每次抽取100人的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。由于的隨機(jī)性，每次得到的置信區(qū)間的結(jié)果是不一樣的，如圖5-1所示。第五章區(qū)間估計(jì)5.1總體均值的區(qū)間估計(jì)5.1.2置信區(qū)間167169171第一個(gè)區(qū)間第二個(gè)區(qū)間第三個(gè)區(qū)間第四個(gè)區(qū)間思考圖5-1第五章區(qū)間估計(jì)5.1總體均值的區(qū)間估計(jì)5.1.2置信區(qū)間

95%的含義是指，構(gòu)造50個(gè)區(qū)間估計(jì)，其中95%覆蓋了目標(biāo)均值。

思考第五章區(qū)間估計(jì)5.1總體均值的區(qū)間估計(jì)5.1.3總體均值的區(qū)間估計(jì)

1.總體標(biāo)準(zhǔn)差已知解：設(shè)置信區(qū)間為，那么根據(jù)可知，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布第五章區(qū)間估計(jì)5.1總體均值的區(qū)間估計(jì)5.1.3總體均值的區(qū)間估計(jì)

1.總體標(biāo)準(zhǔn)差已知解：置信區(qū)間為當(dāng)抽樣是無(wú)放回的，且n/N>0.05時(shí)，總體均值的置信區(qū)間為：

（5-1）第五章區(qū)間估計(jì)5.1總體均值的區(qū)間估計(jì)5.1.3總體均值的區(qū)間估計(jì)

1.總體標(biāo)準(zhǔn)差已知解：在無(wú)限總體中，即N趨近無(wú)窮，式5-1可簡(jiǎn)化為：（5-2）第五章區(qū)間估計(jì)5.1總體均值的區(qū)間估計(jì)5.1.3總體均值的區(qū)間估計(jì)2.總體標(biāo)準(zhǔn)差未知解：設(shè)置信區(qū)間為，那么：其中，服從自由度為n-1的t分布。第五章區(qū)間估計(jì)5.1總體均值的區(qū)間估計(jì)5.1.3總體均值的區(qū)間估計(jì)2.總體標(biāo)準(zhǔn)差未知解：根據(jù)服從自由度為n-1的t分布，得到：置信度為的置信區(qū)間為：（5-3）第五章區(qū)間估計(jì)5.2兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)5.2.1獨(dú)立樣本兩個(gè)樣本從兩個(gè)總體中獨(dú)立抽取兩個(gè)樣本中的元素互相獨(dú)立第五章區(qū)間估計(jì)5.2兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)5.2.1獨(dú)立樣本1.大樣本情況下的兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)問(wèn)題大樣本是指兩個(gè)樣本容量滿(mǎn)足。此時(shí)，第五章區(qū)間估計(jì)5.2兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)5.2.1獨(dú)立樣本1.大樣本情況下的兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)問(wèn)題兩個(gè)總體的方差都已知，兩個(gè)總體均值之差在置信水平下的置信區(qū)間為：（5-4）第五章區(qū)間估計(jì)5.2兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)5.2.1獨(dú)立樣本1.大樣本情況下的兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)問(wèn)題兩個(gè)總體的方差都未知，兩個(gè)總體均值之差在置信水平下的置信區(qū)間為：（5-5）第五章區(qū)間估計(jì)5.2兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)5.2.1獨(dú)立樣本1.大樣本情況下的兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)問(wèn)題【例5-2】某百貨公司在××市經(jīng)營(yíng)兩個(gè)商城，一個(gè)位于市區(qū)，一個(gè)位于郊區(qū)。該地區(qū)經(jīng)理發(fā)現(xiàn)在一個(gè)商城暢銷(xiāo)的商品在另一個(gè)商城賣(mài)的不一定好。經(jīng)理認(rèn)為這可能歸因于這兩個(gè)地區(qū)人群的差異。顧客可能在年齡、受教育程度、收入等諸方面有差異。第五章區(qū)間估計(jì)5.2兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)5.2.1獨(dú)立樣本1.大樣本情況下的兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)問(wèn)題【例5-2】假定通過(guò)抽樣，取得如下的顧客平均年齡數(shù)據(jù)資料，試求這兩個(gè)商城顧客的平均年齡的差異。第五章區(qū)間估計(jì)5.2兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)5.2.1獨(dú)立樣本1.大樣本情況下的兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)問(wèn)題【例5-2】解：因?yàn)闃颖救萘慷即笥?0，因此可看作大樣本，總體均值之差近似服從正態(tài)分布。因此，在置信水平下的置信區(qū)間為：第五章區(qū)間估計(jì)5.2兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)5.2.1獨(dú)立樣本1.大樣本情況下的兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)問(wèn)題【例5-2】解：代入數(shù)值可知的區(qū)間估計(jì)為即市區(qū)的顧客平均年齡與郊區(qū)的差距大約在3.68和6.32歲之間。第五章區(qū)間估計(jì)5.2兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)5.2.1獨(dú)立樣本2.小樣本情況下的兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)問(wèn)題假設(shè)：兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布兩個(gè)隨機(jī)樣本分別獨(dú)立的抽自?xún)蓚€(gè)總體那么，無(wú)論樣本容量大小，兩個(gè)樣本均值之差均服從正態(tài)分布。第五章區(qū)間估計(jì)5.2兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)5.2.1獨(dú)立樣本2.小樣本情況下的兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)問(wèn)題兩個(gè)總體的方差都已知。兩個(gè)總體均值在置信度下的置信區(qū)間為：第五章區(qū)間估計(jì)5.2兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)5.2.1獨(dú)立樣本2.小樣本情況下的兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)問(wèn)題兩個(gè)總體的方差都未知但相等。此時(shí)，兩樣本均值之差經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后服從自由度為n1+n2-2的t分布第五章區(qū)間估計(jì)5.2兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)5.2.1獨(dú)立樣本2.小樣本情況下的兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)問(wèn)題兩個(gè)總體的方差都未知但相等。在置信度下，的置信區(qū)間為：

（5-6）第五章區(qū)間估計(jì)5.2兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)5.2.1獨(dú)立樣本2.小樣本情況下的兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)問(wèn)題兩個(gè)總體的方差都未知但相等。其中，第五章區(qū)間估計(jì)5.2兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)5.2.1獨(dú)立樣本2.小樣本情況下的兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)問(wèn)題【例5-3】為對(duì)比某城市2010年A，B兩個(gè)地區(qū)二手房平均價(jià)格的差異，某房地產(chǎn)中介公司分別從兩個(gè)地區(qū)的營(yíng)業(yè)部各抽取8個(gè)交易，得到如下資料：表5-2交易價(jià)格資料地區(qū)交易價(jià)格A75.2626486.87265.558103.5B45.53158.17250.2514996第五章區(qū)間估計(jì)5.2兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)5.2.1獨(dú)立樣本2.小樣本情況下的兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)問(wèn)題【例5-3】假定兩個(gè)地區(qū)的二手房交易價(jià)格數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，且方差相等，試以95%的置信水平估計(jì)這兩個(gè)地區(qū)二手房平均價(jià)格差值的置信區(qū)間。第五章區(qū)間估計(jì)5.2兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)5.2.1獨(dú)立樣本2.小樣本情況下的兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)問(wèn)題解：由題計(jì)算可得：第五章區(qū)間估計(jì)5.2兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)5.2.1獨(dú)立樣本2.小樣本情況下的兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)問(wèn)題解：查t分布表可得：由式（5-6）可知差值的置信區(qū)間為（-2.041,35.591）第五章區(qū)間估計(jì)5.2兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)5.2.1獨(dú)立樣本2.小樣本情況下的兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)問(wèn)題結(jié)果表明：有95%的把握認(rèn)為，總體平均交易價(jià)格差異介于-2.041萬(wàn)到35.591萬(wàn)元之間。由于本例的置信區(qū)間包含了0，說(shuō)明我們沒(méi)有足夠理由認(rèn)為這兩個(gè)地區(qū)二手房平均價(jià)格存在顯著差異。第五章區(qū)間估計(jì)5.2兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)5.2.1獨(dú)立樣本2.小樣本情況下的兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)問(wèn)題兩個(gè)總體的方差未知且不相等時(shí)，如果兩個(gè)總體的樣本容量相等，且都服從正態(tài)分布時(shí)，即n1=n2=n。則置信度為的置信區(qū)間為：（5-7）第五章區(qū)間估計(jì)5.2兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)5.2.1獨(dú)立樣本2.小樣本情況下的兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)問(wèn)題兩個(gè)總體的方差未知且不相等時(shí)，如果兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布，但樣本容量不等時(shí)，即n1≠n2。則置信度為的置信區(qū)間為：

（5-8）第五章區(qū)間估計(jì)5.2兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)5.2.2配對(duì)樣本配對(duì)樣本是指一個(gè)樣本中的數(shù)據(jù)與另一個(gè)樣本中的數(shù)據(jù)相對(duì)應(yīng)。例：某制造公司有兩種方法供員工執(zhí)行某生產(chǎn)任務(wù)。為了使產(chǎn)出最大化，公司試圖確認(rèn)哪種方法的完成時(shí)間最短。即，兩種方法的平均完成時(shí)間差值的置信區(qū)間如何？第五章區(qū)間估計(jì)5.2兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)5.2.2配對(duì)樣本以表示生產(chǎn)方法1的平均完成時(shí)間，以表示生產(chǎn)方法2的平均完成時(shí)間現(xiàn)抽取工人的一個(gè)隨機(jī)樣本，其中每個(gè)工人先用第一種方法，后用第二種方法，這樣每個(gè)工人就有一對(duì)數(shù)據(jù)。那么這樣的一個(gè)隨機(jī)樣本就稱(chēng)為配對(duì)樣本。如下表所示：第五章區(qū)間估計(jì)5.2兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)5.2.2配對(duì)樣本工人方法1的完成時(shí)間方法2的完成時(shí)間完成時(shí)間的差值165.40.6255.2-0.2376.50.546.25.90.3566066.45.80.6表5-3工人生產(chǎn)配對(duì)樣本第五章區(qū)間估計(jì)5.2兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)5.2.2配對(duì)樣本解：在小樣本情形下，假設(shè)兩總體服從正態(tài)分布，差值也服從正態(tài)分布。用表示各個(gè)差值，表示差值的平均值，表示差值的標(biāo)準(zhǔn)差。則，兩個(gè)總體均值在置信度下的置信區(qū)間為:代數(shù)數(shù)值得置信區(qū)間為：（-0.05,0.65）

第五章區(qū)間估計(jì)5.3總體比例的區(qū)間估計(jì)5.3.1單一總體比例的區(qū)間估計(jì)當(dāng)樣本容量很大，且滿(mǎn)足，時(shí)，樣本比例的抽樣分布近似正態(tài)分布。樣本比例p的數(shù)學(xué)期望等于總體比例，且，第五章區(qū)間估計(jì)5.3總體比例的區(qū)間估計(jì)5.3.1單一總體比例的區(qū)間估計(jì)那么，總體比例在置信度下的置信區(qū)間為：（5-9）一般用樣本比例p估計(jì)總體比例，即置信區(qū)間可寫(xiě)為：

（5-10）第五章區(qū)間估計(jì)5.3總體比例的區(qū)間估計(jì)5.3.1單一總體比例的區(qū)間估計(jì)【例5-4】一項(xiàng)民意測(cè)驗(yàn)就美國(guó)國(guó)內(nèi)事務(wù)是否良好問(wèn)題，詢(xún)問(wèn)了814名成年人的看法，其中562人認(rèn)為良好。求成年人總體中認(rèn)為美國(guó)目前狀況良好的人數(shù)所占比例的置信度為95%的置信區(qū)間。第五章區(qū)間估計(jì)5.3總體比例的區(qū)間估計(jì)5.3.1單一總體比例的區(qū)間估計(jì)解：已知n=814，由，查表得到

代入公式（5-10）可得置信區(qū)間：（65.87%，72.21%）?！纠?-4】第五章區(qū)間估計(jì)5.3總體比例的區(qū)間估計(jì)5.3.2兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì)當(dāng)兩個(gè)樣本容量足夠大時(shí)，從兩個(gè)二項(xiàng)分布總體中抽出兩個(gè)獨(dú)立的樣本，則兩個(gè)樣本比例之差的抽樣分布服從正態(tài)分布；標(biāo)準(zhǔn)化后變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。由此第五章區(qū)間估計(jì)5.3總體比例的區(qū)間估計(jì)5.3.2兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì)用樣本比例分別代替總體比例，可以得到兩個(gè)總體比例之差在置信度下的置信區(qū)間為：（5-11）第五章區(qū)間估計(jì)5.3總體比例的區(qū)間估計(jì)5.3.2兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì)【例5-5】在某個(gè)電視節(jié)目的收視率調(diào)查中，農(nóng)村隨機(jī)調(diào)查了400人，有32%的人收看了該節(jié)目；城市隨機(jī)調(diào)查了500人，有45%的人收看了該節(jié)目。試以90%的置信水平估計(jì)城市與農(nóng)村收視率之差的置信區(qū)間。第五章區(qū)間估計(jì)5.3總體比例的區(qū)間估計(jì)5.3.2兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì)解：已知n1=500，n2=400，p1=45%，p2=32%，1-α=95%，zα/2=1.961-2置信度為95%的置信區(qū)間為：說(shuō)明城市與農(nóng)村收視率之差的95%置信區(qū)間為(6.68%,19.32%)。第五章區(qū)間估計(jì)5.4總體方差的區(qū)間估計(jì)【例5-6】某企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取25袋，測(cè)得每袋重量如表5-4所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以95%的置信水平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間。第五章區(qū)間估計(jì)5.4總體方差的區(qū)間估計(jì)25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3表5-4袋裝食品資料表【例5-6】第五章區(qū)間估計(jì)5.4總體方差的區(qū)間估計(jì)解：已知n＝25，1-α=95%根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：s2=93.21查表得：將數(shù)值代入式（5-12）得，置信度為95%的置信區(qū)間為：（56.83,180.39）?！纠?-6】第五章區(qū)間估計(jì)5.5樣本容量的確定再，通過(guò)抽樣允許的誤差范圍計(jì)算公式推算所需的樣本容量。樣本容量的確定方法首先，確定估計(jì)的置信度和允許的抽樣誤差范圍然后，結(jié)合經(jīng)驗(yàn)值或抽樣數(shù)據(jù)估計(jì)總體的方差第五章區(qū)間估計(jì)5.5樣本容量的確定假定E是在一定置信水平下允許的誤差范圍，那么：從而推導(dǎo)出：5.5.1總體均值區(qū)間估計(jì)時(shí)樣本容量的確定一般用樣本方差s2作為其估計(jì)值第五章區(qū)間估計(jì)5.5樣本容量的確定【例5-7】擁有工商管理學(xué)位的大學(xué)畢業(yè)生每年年薪的標(biāo)準(zhǔn)差大約為2000元。假定希望得到每年平均年薪95%的置信區(qū)間，在允許誤差為500元時(shí)，樣本容量應(yīng)為多大？5.5.1總體均值區(qū)間估計(jì)時(shí)樣本容量的確定第五章區(qū)間估計(jì)5.5樣本容量的確定解：已知查表得根據(jù)公式5-13，得需要的樣本容量：5.5.1總體均值區(qū)間估計(jì)時(shí)樣本容量的確定61.4656由于人數(shù)不能為分?jǐn)?shù)，所以至少要抽取容量為62的樣本?！纠?-7