誰高數(shù)-緒論、第一節(jié)

一、集合1.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.第一章函數(shù)與極限第一節(jié)映射與函數(shù)記為：集合表示：M={x|x所具的特征}2.鄰域:。二、映射定義：設(shè)X、Y是兩個非空集合，若存在使對

X中每個元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，一個法則f

，則稱f為從X到Y(jié)的映射，記作f：X→Y定義設(shè)數(shù)集D,則稱映射f:D→R記作y=f(x)，x∈D為定義在D上的函數(shù)，三、函數(shù)x1-1yo(1)符號函數(shù)幾個特殊的函數(shù)舉例1.函數(shù)概念12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo(2)取整函數(shù)階梯曲線

y=[x][x]表示不超過

x

的最大整數(shù)(3)狄利克雷函數(shù)當(dāng)x>0

時當(dāng)

x≤0時2、函數(shù)的幾種特性（1）函數(shù)的有界性:設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，定義：則稱函數(shù)f(x)在X上有界，否則稱無界。則稱函數(shù)f(x)在X上有上界。有下界。函數(shù)f(x)在X上有界的充要是：

f(x)在X上既有上界又有下界.例3證明有界證有界（2）函數(shù)的單調(diào)性:設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間若對區(qū)間I上的任意兩點(diǎn)x1與x2,當(dāng)x1<x2時，恒有f(x1)<f(x2)，稱y=f(x)在區(qū)間I

上是單調(diào)增加的.xyo減少xyo（3）函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x（或奇函數(shù)）yxox-x奇函數(shù)例4證明兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)證設(shè)f(x)、g(x)都是奇函數(shù)記h(x)=f(x)g(x)故h(x)是偶函數(shù)兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)

證明定義在R上的任意函數(shù)，一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和。都可以表示為證奇函數(shù)偶函數(shù)（4）函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個正數(shù)l則稱f(x)為周期函數(shù)，l稱為f(x)的周期。3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)（1）反函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)

y=f(x)x∈X,若對存在唯一的x∈X,使

y=f(x)成立，則在f(X)中定義了一個函數(shù)稱為

y=f(x)的反函數(shù).例5求的反函數(shù)解反函數(shù)定理1設(shè)函數(shù)

y=f(x)在X上單調(diào)增(減),則設(shè)

y=f(x)必存在反函數(shù)且它在f(X)上也是單調(diào)增(減).（2）復(fù)合函數(shù)定義:,函數(shù)u=g(x)設(shè)函數(shù)y=f(u)的定義域?yàn)?/p>

的定義域?yàn)镈，

則稱函數(shù)y=f(g(x))為由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)

若存在

定義域(-1,1)例5解綜上所述1.常數(shù)函數(shù)基本初等函數(shù)

常函數(shù)的定義域?yàn)?-,+)，圖形為平行于x軸,在y軸上截距為C的直線。

三、初等函數(shù)

冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(0,+)內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過(1,1)點(diǎn)。常見的冪函數(shù)及其圖形：

2.冪函數(shù)3.指數(shù)函數(shù)

定義域?yàn)?-,+)，值域?yàn)?0,+)，都通過點(diǎn)(0,1),當(dāng)a>1時，函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)0<a<1時，函數(shù)單調(diào)減少。4.對數(shù)函數(shù)

對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù),定義域?yàn)?0,+),圖形通過(1,0)點(diǎn),當(dāng)a>1時,函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)0<a<1時,函數(shù)單調(diào)減少。對數(shù)的基本性質(zhì)：換底公式對數(shù)恒等式5.三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)

y

=

sinx與y

=

cosx的定義域均為(-,+)，均以2p為周期。y

=

sinx為奇函數(shù)，y

=

cosx為偶函數(shù)。它們都是有界函數(shù)。定義域:x(2n+1)p/2。周期:p。奇函數(shù)。正切函數(shù)定義域:xnp。周期:p。奇函數(shù)。余切函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)6.反三角函數(shù)定義域：值域：單調(diào)增加函數(shù)；奇函數(shù).定義域：值域：單調(diào)減少函數(shù)；無奇偶性.xy定義域：值域：單調(diào)增加函數(shù)；奇函數(shù).反余切函數(shù)xy定義域：值域：單調(diào)減少函數(shù)；無奇偶性.

由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算得到的一切函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù).初等函數(shù)例如，等等。本課程討論的函數(shù)絕大多數(shù)都是初