2021-2022學年上海市松江區(qū)高二年級下冊學期期末數(shù)學試題【含答案】

2021-2022學年上海市松江區(qū)高二下學期期末數(shù)學試題一、單選題1．用數(shù)學歸納法證明等式“”，當時，等式左邊應在的基礎上加上（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由數(shù)學歸納法可知時，左端為，到時，左端，從而可得答案．【詳解】解：用數(shù)學歸納法證明等式時，當左邊所得的項是；假設時，命題成立，左端為；則當時，左端為，當時，等式左邊應在的基礎上加上．故選：C.2．設是正三棱錐，是的重心，是上的一點，且，若，則為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】如圖所示,連接AG1交BC于點M，則M為BC中點,利用空間向量的運算法則求得，即得.【詳解】如圖所示,連接AG1交BC于點M,則M為BC中點，)=,.因為所以=3(),∴

.則，∴

，，，故選：A.3．已知為等比數(shù)列，的前n項和為，前n項積為，則下列選項中正確的是（

）A．若，則數(shù)列單調遞增B．若，則數(shù)列單調遞增C．若數(shù)列單調遞增，則D．若數(shù)列單調遞增，則【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式與通項公式可得與，進而可得、取值同號，即可判斷A、B；舉例首項和公比的值即可判斷C；根據(jù)數(shù)列的單調性可得，進而得到，求出，即可判斷D.【詳解】A：由，得，即，則、取值同號，若，則不是遞增數(shù)列，故A錯誤；B：由，得，即，則、取值同號，若，則數(shù)列不是遞增數(shù)列，故B錯誤；C：若等比數(shù)列，公比，則，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，但，故C錯誤；D：由數(shù)列為遞增數(shù)列，得，所以，即，所以，故D正確.故選：D4．已知曲線，對于命題：①垂直于軸的直線與曲線有且只有一個交點；②若為曲線上任意兩點，則有，下列判斷正確的是（

）A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題【答案】A【分析】化簡曲線方程，畫出圖像判斷①，利用函數(shù)單調減判斷②【詳解】曲線,當當當畫出圖像如圖，易知①正確；易知函數(shù)為減函數(shù)，則人任意兩點斜率，②正確故選：A二、填空題5．已知直線方程為，則該直線的傾斜角為_________.【答案】####45°【分析】求出直線的斜率，進而得到直線的傾斜角.【詳解】直線的斜率為1，設直線的傾斜角為，則，因為，所以.故答案為：.6．已知向量，且，則_________.【答案】1【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積坐標公式列出方程，求出答案.【詳解】由題意得：，故.故答案為：17．已知過拋物線焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，且，則_______.【答案】10【分析】根據(jù)拋物線的定義可得焦點弦長公式為，代入即可.【詳解】根據(jù)拋物線的定義可得，所以.故答案為：10.8．計算：________.【答案】【分析】利用等差數(shù)列求和公式計算即可.【詳解】.故答案為：.9．若直線與直線的夾角為，則實數(shù)的值為_________.【答案】或【分析】結合傾斜角與斜率、兩角和與差的正切公式求得正確答案.【詳解】設直線的傾斜角為、直線的傾斜角為，由于的斜率為，即，所以，由于直線與直線的夾角為，所以直線的傾斜角不是，斜率存在，且斜率為.所以，解得，或，解得.所以實數(shù)的值為或.故答案為：或10．已知向量是直線的一個方向向量，向量是平面的一個法向量，若直線⊥平面，則實數(shù)的值為________.【答案】-1【分析】根據(jù)直線⊥平面，得到與平行，列出方程組，求出的值.【詳解】因為直線⊥平面，則與平行，故，即，解得：，故實數(shù)的值為-1.故答案為：-111．已知數(shù)列前項和滿足，則________.【答案】【分析】先利用對數(shù)運算得到，進而利用求出答案.【詳解】因為，所以，當時，，當時，，因為，故，故答案為：12．在無窮等比數(shù)列中，，公比，記.則________.【答案】【分析】先求得，然后求得.【詳解】，，，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.故答案為：13．等差數(shù)列的前項和為，，，則取得最大值時的值為_____.【答案】5或6【分析】先求得，然后利用求得正確答案.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，，解得，所以，由，解得，又，所以取得最大值時的值為5或6.故答案為：5或614．已知圓與圓相交于，兩點，且滿足，則_________.【答案】【分析】求得兩個圓的圓心和半徑，根據(jù)兩圓相交弦的性質列方程來求得的值.【詳解】圓的圓心為，半徑.圓，即，所以圓心為，半徑.由于，所以，是坐標原點.即兩圓公共弦的垂直平分線過，根據(jù)兩圓相交弦的性質可知，公共弦的垂直平分線，所以，所以，解得.故答案為：15．已知、分別是雙曲線的左、右焦點，動點在雙曲線的左支上，點為圓上一動點，則的最小值為________.【答案】6【分析】結合雙曲線的定義以及圓的幾何性質求得正確答案.【詳解】雙曲線，，，圓的圓心為，半徑，在雙曲線的左支上，，所以，根據(jù)圓的幾何性質可知，的最小值是，所以的最小值是.故答案為：16．已知二次曲線的方程：.當、為正整數(shù)，且時存在兩條曲線、，其交點與點滿足，則________.【答案】8【分析】先得到為橢圓，為雙曲線，結合圖象的幾何性質得到，結合橢圓定義，雙曲線定義及列出方程，求出.【詳解】，，為橢圓，，，，為雙曲線，結合圖象的幾何性質，任意兩橢圓之間無公共點，任意兩雙曲線之間也無公共點，故設，則根據(jù)橢圓，雙曲線定義及可得：，解得：，所以存在這樣的、，且或或.故答案為：8三、解答題17．已知平面內兩點.(1)求的中垂線方程；(2)求與直線平行且與圓相切的直線方程.【答案】(1)；(2)或【分析】（1）根據(jù)中點和斜率求得的中垂線方程.（2）設出平行直線的方程，結合點到直線的距離求得正確答案.【詳解】（1），所以的中垂線的斜率為，線段的中點為，所以的中垂線的方程為，即.（2）設所求直線方程為，圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以所求直線方程為或.18．已知正方體的棱長為2，點分別是棱和的中點.(1)求與所成角的大小；(2)求與平面所成角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)線線角的知識求得正確答案.（2）作出與平面所成角，解三角形求得角的大小.【詳解】（1）由于點分別是棱和的中點，所以，所以與所成角，即與所成角，由于三角形是等邊三角形，所以與所成角為，所以與所成角為.（2）設平面平面，由于，所以，所以，由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以，所以即是與平面所成角，.19．我國某沙漠，曾被稱為“死亡之?！?，截至2018年年底該地區(qū)面積的仍為沙漠，只有為綠洲.計劃從2019年開始使用無人機飛播造林，實現(xiàn)快速播種，這樣每年原來沙漠面積的將被改為綠洲，但同時原有綠洲面積的還會被沙漠化.記該地區(qū)的面積為1個單位，經(jīng)過一年綠洲面積為，經(jīng)過年綠洲面積為.(1)寫出，并證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)截止到哪一年年底，才能使該地區(qū)綠洲面積超過?【答案】(1)，證明見解析；(2)2022年【分析】（1）根據(jù)題意求出，并列出，構造法求出，從而得到為公比為，首項為的等比數(shù)列；（2）在第一問的基礎上得到，列出不等式，求出，結合，且，，從而，得到答案.【詳解】（1），，設，則，從而，解得：，故，故為公比為，首項為的等比數(shù)列；（2）由（1）得：故，令，解得：，顯然單調遞減，當時，，，故，即截止到2022年年底，才能使該地區(qū)綠洲面積超過.20．已知橢圓的離心率為、分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上一點，的周長為.(1)求橢圓的方程；(2)若，求的面積；(3)設為圓上任意一點，過作橢圓的兩條切線，切點分別為，判斷是否為定值?若是，求出定值；若不是，說明理由.【答案】(1)；(2)；(3)是，【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的方程.（2）利用余弦定理求得，從而求得的面積.（3）根據(jù)切線是否與坐標軸平行進行分類討論，結合判別式求得.【詳解】（1）依題意，解得，所以橢圓的方程為.（2）根據(jù)橢圓的定義可知，①，由余弦定理得，即②，由①②得，所以.（3）圓的方程為，橢圓的方程為注意到是圓上的點，過上述四個點中的任意一個作橢圓的切線，則兩條切線垂直，即.當是圓上除去上述四個點外的任意一點時，切線和切線的斜率存在且不為零，設切線方程為，由消去并化簡得，令，整理得，所以，由于，所以，即.綜上所述，是定值，且定值為.21．已知等比數(shù)列的公比為是的前項和.(1)若，求；(2)若有無最值?說明理由；(3)設，若首項和都是正整數(shù)，滿足不等式，且對于任意正整數(shù)有成立，問：這樣的數(shù)列有幾個?【答案】(1)或；(2)當時，有最小值為1，但無最大值；當時，有最大值為1，最小值為；理由見解析(3)232【分析】（1）先求得公比，然后求得.（2）對進行分類討論，從而求得正確結論.（3）求得和的關系式，對分類討論，確定的可能取值，即可求得正確答案.【詳解】（1）依題意，當時，.當時