2021-2022學(xué)年四川省資陽市外國語實驗學(xué)校高二年級下冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2021-2022學(xué)年四川省資陽市外國語實驗學(xué)校高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．復(fù)數(shù)A．2 B．－2 C．2i D．-2i【答案】A【分析】利用即可得解.【詳解】故選A.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法及乘方運算，屬于基礎(chǔ)題.2．觀察下列算式：，，，，，，，，，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可得的末位數(shù)字是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)的末位數(shù)字以為周期變化可知與的末位數(shù)字相同，由此可得結(jié)果.【詳解】由算式變化規(guī)律可知：末位數(shù)字分別為這個數(shù)字循環(huán)，即以為周期，又，的末位數(shù)字與的末位數(shù)字相同，即其末位數(shù)字為.故選：C.3．已知雙曲線（a＞0）的離心率是則a=A． B．4 C．2 D．【答案】D【分析】本題根據(jù)根據(jù)雙曲線的離心率的定義，列關(guān)于a的方程求解.【詳解】∵雙曲線的離心率，，∴，解得，故選D.【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率的定義，雙曲線中a,b,c的關(guān)系，方程的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.4．拋物線過點，則的準線方程為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】將點代入拋物線方程可得a，根據(jù)拋物線標準方程即可求其準線方程.【詳解】∵拋物線過點，∴，∴，∴其準線方程為y＝－1.故選：B.5．展開式中的第四項是A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：展開式中的第四項是.故選B．【解析】二項式定理．6．乒乓球單打決賽在甲、乙兩名運動員間進行，決賽采用局勝制即先勝局者獲勝，比賽結(jié)束，已知每局比賽中甲獲勝的概率為，則在本次決賽中甲以的比分獲勝的概率為(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】甲以的比分獲勝，甲只能在、、次中失敗次，第次勝，根據(jù)獨立事件概率即可計算．【詳解】甲以的比分獲勝，則甲只能在第、、次中失敗次，第次獲勝，因此所求概率為：．故選：C．7．甲、乙兩名射手一次射擊得分(分別用X1，X2表示)的分布列如下：甲得分：X1123P0.40.10.5乙得分：X2123P0.10.60.3則甲、乙兩人的射擊技術(shù)相比（

）A．甲更好B．乙更好C．甲、乙一樣好D．不可比較【答案】B【分析】分別求兩個隨機變量的數(shù)學(xué)期望，再比較.【詳解】因為E(X1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E(X2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2，所以E(X2)>E(X1)，故乙的射擊技術(shù)更好.故選：B8．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查利用兩個計數(shù)原理與排列組合計算古典概型問題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)計算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，“重卦”中每一爻有兩種情況，基本事件計算是住店問題，該重卦恰有3個陽爻是相同元素的排列問題，利用直接法即可計算．【詳解】由題知，每一爻有2種情況，一重卦的6爻有情況，其中6爻中恰有3個陽爻情況有，所以該重卦恰有3個陽爻的概率為=，故選A．【點睛】對利用排列組合計算古典概型問題，首先要分析元素是否可重復(fù)，其次要分析是排列問題還是組合問題．本題是重復(fù)元素的排列問題，所以基本事件的計算是“住店”問題，滿足條件事件的計算是相同元素的排列問題即為組合問題．9．函數(shù)在處有極值為，那么，的值為（

）A．， B．，C．，或， D．，【答案】A【分析】由題意可知，由此可求出，并驗證即可求解．【詳解】，由題意可知即，則解得或，當(dāng)時，，在處不存在極值，不符合題意；當(dāng)時，，，，，，符合題意．，故選：A．10．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意得在上恒成立，然后參變分離，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可求出結(jié)果.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，所以函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即實數(shù)m的取值范圍是.故選：B.11．已知拋物線的焦點為，準線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點A和點B，且（為原點），則雙曲線的離心率為A． B． C．2 D．【答案】D【分析】只需把用表示出來，即可根據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心率．【詳解】拋物線的準線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，則有∴，，，∴．故選D．【點睛】本題考查拋物線和雙曲線的性質(zhì)以及離心率的求解，解題關(guān)鍵是求出AB的長度．12．已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】C【解析】先判斷時，在上恒成立；若在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立．【詳解】∵，即，（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，故當(dāng)時，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)函數(shù)單增，當(dāng)函數(shù)單減，故，所以．當(dāng)時，在上恒成立；綜上可知，的取值范圍是，故選C．【點睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進行綜合分析．二、填空題13．曲線在點處的切線方程為______．【答案】【分析】求出代入可得切線斜率，由直線的點斜式方程可得答案.【詳解】，，，所以切線方程為，即．故答案為：．14．如圖，直線是曲線在點處的切線，則的值等于______．【答案】##5.5【分析】由函數(shù)的圖像可得，以及直線過點和，由直線的斜率公式可得直線的斜率，進而由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得的值，將求得的與的值相加即可.【詳解】由函數(shù)的圖像可得，直線過點和，則直線的斜率，又由直線是曲線在點處的切線，則，所以．故答案為：15．的展開式中，的系數(shù)為________．【答案】【分析】根據(jù)，再分別求展開式中的系數(shù)與的系數(shù)即可.【詳解】解：因，故由題設(shè)應(yīng)求展開式中的系數(shù)與的系數(shù).又因，當(dāng)時，當(dāng)時，，故所求系數(shù)為.故答案為：16．已知為坐標原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，若，則的準線方程為______.【答案】【分析】先用坐標表示，再根據(jù)向量垂直坐標表示列方程，解得，即得結(jié)果.【詳解】拋物線：()的焦點,∵P為上一點，與軸垂直，所以P的橫坐標為，代入拋物線方程求得P的縱坐標為,不妨設(shè),因為Q為軸上一點，且，所以Q在F的右側(cè)，又，因為，所以,，所以的準線方程為故答案為：.【點睛】利用向量數(shù)量積處理垂直關(guān)系是本題關(guān)鍵.三、解答題17．已知拋物線的焦點為F，為拋物線C上的點，且.（1）求拋物線C的方程；（2）若直線與拋物線C相交于A，B兩點，求弦長.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)拋物線定義可得，從而得到拋物線C的方程；（2）設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，消去，可得的方程，運用韋達定理和弦長公式，計算可得所求值．【詳解】（1），所以，即拋物線C的方程.（2）設(shè)，由得所以，所以.【點睛】方法點睛：計算拋物線弦長的方法，(1)若直線過拋物線的焦點，則弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)．(2)若直線不過拋物線的焦點，則用|AB|＝·|x1－x2|求解．18．已知三次函數(shù)的極大值是，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點，如圖所示，求(1)，，的值；(2)若函數(shù)有三個零點，求的取值范圍．【答案】(1)，，；(2).【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷原函數(shù)的極值點，再利用代入法求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)零點的定義，通過數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.【詳解】（1）由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點，于是有，由，所以有；（2）由（1）函數(shù)的極小值為，極大值為，而知函數(shù)的圖象如下圖所示因為函數(shù)有三個零點，所以函數(shù)的圖象與直線有三個不同的交點，所以.19．某公司為招聘新員工設(shè)計了一個面試方案：應(yīng)聘者從道備選題中一次性隨機抽取道題，按照題目要求獨立完成．規(guī)定：至少正確完成其中道題便可通過．已知道備選題中應(yīng)聘者甲有道題能正確完成，道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響．(1)求甲正確完成兩個面試題的概率；(2)求乙正確完成面試題數(shù)的分布列．【答案】(1)；(2)答案見解析.【分析】設(shè)考生甲正確完成題數(shù)為，則取值分別為，，，；乙正確完成題數(shù)，取值分別為，，，求出取每個值時的概率，即得分布列．【詳解】（1）設(shè)甲正確完成面試的題數(shù)為，則的取值范圍是．.（2）設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為，則取值范圍是．，，，．應(yīng)聘者乙正確完成題數(shù)的分布列為20．已知一個口袋中裝有n個紅球(n≥1且n∈N＋)和2個白球，從中有放回地連續(xù)摸三次，每次摸出2個球，若2個球顏色不同則為中獎，否則不中獎．(1)當(dāng)n＝3時，設(shè)三次摸球中中獎的次數(shù)為X，求隨機變量X的分布列；(2)記三次摸球中恰有兩次中獎的概率為P，求當(dāng)n取多少時，P的值最大．【答案】（1）見解析；（2）1或2【分析】（1）當(dāng)n=3時，每次摸出兩個球，中獎的概率，設(shè)中獎次數(shù)為ζ，則ζ的可能取值為0，1，2，3．分別求出由此能求出ζ的分布列和Eζ．（2）設(shè)每次摸獎中獎的概率為p，則三次摸球（每次摸球后放回）恰有兩次中獎的概率為，，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出n為1或2時，P有最大值．【詳解】（1）當(dāng)n=3時，每次摸出兩個球，中獎的概率，；

；；；ξ分布列為：ξ0123p（2）設(shè)每次摸獎中獎的概率為p，則三次摸球（每次摸獎后放回）恰有兩次中獎的概率為：，，，在上P為增函數(shù)，在上P為減函數(shù)，當(dāng)時P取得最大值．又，故，解得：或，故為1或2時，有最大值．21．在①，②，③軸時，這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答．問題：已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且______．（1）求拋物線的標準方程．（2）若直線與拋物線交于，兩點，求的面積．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】條件選擇見解析（1）；（2）．【分析】方案一選擇條件①．（1）由拋物線焦半徑公式可得，解得，即可求得拋物線的標準方程為；（2）設(shè)，，，由（1）可知．聯(lián)立和可得，利用韋達定理結(jié)合弦長公式，求面積即可得解.方案二選擇條件②．（1）將，代入拋物線方程可得，所以拋物線的標準方程為；（2）同方案一；方案三

選擇條件③．（1）當(dāng)軸時，，可得，故拋物線的標準方程為；（2）同方法一.【詳解】方案一

選擇條件①．（1）由拋物線的定義可得．因為，所以，解得．

故拋物線的標準方程為．

（2）設(shè)，，，由（1）可知．由，得，則，，所以，故．

因為點到直線的距離，所以的面積為．方案二

選擇條件②．（1）因為，所以，，因為點在拋物線上，所以，即，解得，

所以拋物線的標準方程為．

（2）設(shè)，，由（1）可知．

由，得，則，，所以，故．

因為點到直線的距離，所以的面積為．

方案三

選擇條件③．（1）當(dāng)軸時，，所以．

故拋物線的標準方程為．

（2）設(shè)，，由（1）可知．由，得，則，，所以，故．

因為點到直線的距離，所以的面積為．22．已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若對于任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）的單調(diào)遞增區(qū)間是；的單調(diào)遞減區(qū)間是（3）.【解析】（1）先求得導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，再求得切點坐標，即可由點斜式得切線方程；（2）求得導(dǎo)函數(shù)，并令求得極值點，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號即可判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（3）將不等式變形，并分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)，求得并令求得極值點，結(jié)合極值點左右兩側(cè)的單調(diào)性和端點求得最值，即可確定的取值范圍.【詳解】（1）因