2021-2022學(xué)年江蘇省常州市前黃高一年級下冊學(xué)期3月期初調(diào)研數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年江蘇省常州市前黃高級中學(xué)高一下學(xué)期3月期初調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算法則進行運算后，再由復(fù)數(shù)的幾何意義得解.【詳解】因為，所以，所以復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點的坐標(biāo)為.故選:D.2．已知，且（

）A．B B． C． D．【答案】D【分析】按照交集和補集直接運算即可.【詳解】由可得.故選：D.3．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式求得的值，再利用二倍角的余弦公式求得的值.【詳解】，，故選：A.【點睛】該題主要考查誘導(dǎo)公式?二倍角的余弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題目.4．函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)零點存在性定理判斷即可．【詳解】，，，故零點所在區(qū)間為故選：B5．函數(shù)的部分圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，由可排除B、D；由當(dāng)時，，可排除C；即可得解.【詳解】令，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，可排除B、D；當(dāng)時，，，所以，故排除C.故選：A.【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的識別，考查了函數(shù)奇偶性與三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角變換化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得正確的選項.【詳解】，，，因為，故.故，故選：C.7．圖1是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制的一幅“勾股圓方圖”（又稱“趙爽弦圖”），它是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形.受其啟發(fā)，某同學(xué)設(shè)計了一個圖形，該圖形是由三個全等的鈍角三角形與中間的一個小正三角形拼成的一個大正三角形，如圖2所示，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在中用余弦定理求出BD長，再由余弦定理計算即可得解.【詳解】在中，設(shè)，依題意，，而，由余弦定理得：，而，解得，再由余弦定理得.故選：B8．已知函數(shù)，若對任意，總存在，使得不等式都恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】探討函數(shù)性質(zhì)，求出最大值，再借助關(guān)于a的函數(shù)單調(diào)性列式計算作答.【詳解】依題意，，則是上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，由奇函數(shù)性質(zhì)知，函數(shù)在上的最大值是，依題意，存在，，令，顯然是一次型函數(shù)，因此，或，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：D二、多選題9．是虛數(shù)單位，下列說法中正確的有（

）A．若復(fù)數(shù)滿足，則B．若復(fù)數(shù)，滿足，則C．若復(fù)數(shù)，則可能是純虛數(shù)D．若復(fù)數(shù)滿足，則對應(yīng)的點在第一象限或第三象限【答案】AD【解析】A選項，設(shè)出復(fù)數(shù)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的相關(guān)計算，即可求出結(jié)果；B選項，舉出反例，根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式，即可判斷出結(jié)果；C選項，根據(jù)純虛數(shù)的定義，可判斷出結(jié)果；D選項，設(shè)出復(fù)數(shù)，根據(jù)題中條件，求出復(fù)數(shù)，由幾何意義，即可判斷出結(jié)果.【詳解】A選項，設(shè)，則其共軛復(fù)數(shù)為，則，所以，即；A正確；B選項，若，，滿足，但不為；B錯；C選項，若復(fù)數(shù)表示純虛數(shù)，需要實部為，即，但此時復(fù)數(shù)表示實數(shù)，故C錯；D選項，設(shè)，則，所以，解得或，則或，所以其對應(yīng)的點分別為或，所以對應(yīng)點的在第一象限或第三象限；D正確.故選：AD.10．若定義在R上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則（

）A．在上單調(diào)遞增 B．為偶函數(shù)C．的最小正周期 D．所有零點的集合為【答案】BCD【分析】題目考察函數(shù)奇偶性，周期性和對稱性的綜合應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)的三個性質(zhì)，根據(jù)時，可以得到函數(shù)在上的函數(shù)性質(zhì)，從而判斷各選項的正確性【詳解】由題得：，令，則，所以，所以的最小正周期，故C正確；當(dāng)時，，因為為定義在R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，因為的最小正周期，所以在上單調(diào)遞減，故A錯誤；當(dāng)時，，結(jié)合周期性可得：，故D正確；由得：圖像關(guān)于對稱，是將圖像向左平移一個單位得到的，所以圖像關(guān)于軸對稱，所以是偶函數(shù)，故B選項正確；故選：BCD11．下列選項其中錯誤的是（

）A．對于△，若，則△為銳角三角形B．對于△，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則C．P在△所在平面內(nèi)，若，則P是△的重心D．設(shè)，為非零向量，若，則，的夾角為銳角【答案】AD【分析】A、B應(yīng)用正余弦定理的邊角關(guān)系即可判斷正誤；C若為中點，易得，結(jié)合已知可得的關(guān)系，進而判斷P是△的何種心；D當(dāng)，同向共線時也成立.【詳解】A：由知：，由正弦定理知：，由余弦定理易知：，即，故錯誤；B：由及正弦定理知：，根據(jù)三角形中大邊對大角可知：，正確；C：若為中點，則，又知：，即共線且，即P是△的重心，正確；D：當(dāng)非零向量，同向共線時，，此時，的夾角為0，錯誤.故選：AD12．高斯是德國著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，.已知函數(shù)，函數(shù)，則（）A．函數(shù)的值域是 B．函數(shù)是周期函數(shù)C．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱 D．方程只有一個實數(shù)根【答案】AD【分析】先研究函數(shù)的奇偶性，作出函數(shù)的圖象，作出函數(shù)的圖象判斷選項ABC的正確性，再分類討論判斷方程的根的個數(shù)得解.【詳解】由題得函數(shù)的定義域為,，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以函數(shù)的圖象如圖所示，所以函數(shù)的圖象如圖所示，所以函數(shù)的值域是，故選項A正確；由函數(shù)的圖象得到不是周期函數(shù)，故選項B不正確；由函數(shù)的圖象得到函數(shù)的圖象不關(guān)于對稱，故選項C不正確；對于方程，當(dāng)時，，方程有一個實數(shù)根；當(dāng)時，，此時，此時方程沒有實數(shù)根；當(dāng)時，，此時，此時方程沒有實數(shù)根；故方程只有一個實數(shù)根，故選項D正確.故選：AD【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確作出函數(shù)的圖象，研究函數(shù)的問題，經(jīng)常要利用數(shù)形結(jié)合的思想分析解答.三、填空題13．已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則________.【答案】【分析】先計算復(fù)數(shù)，再計算復(fù)數(shù)的模.【詳解】故答案為【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計算，屬于簡單題.14．已知銳角的內(nèi)角，，對邊的邊長分別是，，，且，，，則的面積為______.【答案】【分析】由三角函數(shù)恒等公式求得，用正弦定理求出第二條邊，然后再由三角形面積公式求得面積．【詳解】∵的內(nèi)角，，都是銳角，∴，，，，又，∴，同理，，由得，∴．故答案為：【點睛】本題考查正弦定理，考查三角形面積公式，考查三角函數(shù)的恒等變換，解題關(guān)鍵是選用恰當(dāng)?shù)墓竭M行計算．15．在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則的取值范圍為____．【答案】【分析】先由得，然后利用正弦定理得，再由，求出角的范圍，從而可得的取值范圍.【詳解】解：在中，因為，所以，所以．由正弦定理及題設(shè)得，由得，故，所以的取值范圍為．故答案為：【點睛】本小題考查解三角形等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力；考查數(shù)學(xué)運算、直觀想象等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性，屬于基礎(chǔ)題．16．已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程有6個實根，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【分析】作出函數(shù)圖像，求的值域，利用換元法轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像交點問題，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可.【詳解】當(dāng)或時不合題意，當(dāng)時，，當(dāng)時，函數(shù)的圖像如下：，設(shè)方程，當(dāng)時方程有3根，，，其中，，所以當(dāng)分別有2根，有6根.當(dāng)或時，不合題意.故答案為:四、解答題17．已知復(fù)數(shù).（1）求復(fù)數(shù)z的模；（2）若（m，），求m和n的值.【答案】（1）5；（2）．【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運算及復(fù)數(shù)的模的計算公式求解即可；（2）由（1）知，由此可得，解出即可．【詳解】解：（1），則；（2）由（1）知，，∴，即，∴，解得．【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算，考查復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．18．已知向量，，其中，函數(shù)，若函數(shù)圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象先向左平移個單位長度，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時，求函數(shù)的值域．【答案】（1）(k∈Z)；（2）．【分析】（1）根據(jù)題意，代入數(shù)量積公式表示出，然后化簡得，利用周期計算得，利用整體法計算單調(diào)增區(qū)間；（2）利用平移變換得函數(shù)的解析式，利用整體法計算值域.【詳解】（1）由題意可得，，.由題意知，，得，則，由，解得，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）將的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，得到的圖象．∵，∴，故函數(shù)的值域為.【點睛】關(guān)于三角函數(shù)解析式的化簡問題，首先需要利用和差公式或者誘導(dǎo)公式展開化為同角，其次利用降冪公式進行降次，最后利用輔助角公式進行合一變換，最終得到的形式.19．在①，②，③三個條件中，任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解答．中，，___________，M為內(nèi)部一點，（1）判斷的形狀．（2）求的值．注：如果選擇多個條件分別解答，按照第一個解答計分【答案】選擇見解析；（1）直角三角形；（2）．【分析】選條件①：（1）把整理得到，求出，即可求解；（2）設(shè)，則.在中，利用余弦定理結(jié)合已知條件，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解；選條件②：（1）把用正弦定理轉(zhuǎn)化為：,求出，即可求解.（2）設(shè)，則.在中，利用余弦定理結(jié)合已知條件，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解；選條件③：（1）把利用正弦定理轉(zhuǎn)化為：，求出，即可求解.（2）設(shè)，則.在中，利用余弦定理結(jié)合已知條件，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解；【詳解】選條件①：（1）.則，即，所以，所以,即,所以，所以，所以，所以為直角三角形；（2）設(shè)，則.在中，利用余弦定理可得：因為，故，因為，所以，代入化簡得：，所以，解得：因為，所以.選條件②：（1）.利用正弦定理得：,即，所以或.因為，所以，所以，即，所以為直角三角形；（2）設(shè)，則.在中，利用余弦定理可得：因為，故，因為，所以，代入化簡得：，所以，解得：因為，所以.選條件③：（1）.利用正弦定理可得：,即，化簡得：.所以，所以，所以，所以為直角三角形；（2）設(shè)，則.在中，利用余弦定理可得：因為，故，因為，所以，代入化簡得：，所以，解得：因為，所以.20．已知函數(shù)為偶函數(shù).(1)求實數(shù)的值；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)的零點為，求證：.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義求得的值.（2）利用分離常數(shù)法，結(jié)合換元法、函數(shù)的單調(diào)性來求得的取值范圍.（3）先求得的取值范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證得不等式成立.【詳解】（1），由于為偶函數(shù)，所以，即，所以，.（2）依題意關(guān)于的不等式恒成立，即，，令，當(dāng)時等號成立，由于是單調(diào)遞增函數(shù)，，即，所以.（3）函數(shù)的零點為，即，函數(shù)在上遞增，，，所以，對任意，，其中，所以，即在上遞增，所以，即.21．由于年月份國內(nèi)疫情爆發(fā)，經(jīng)濟活動大范圍停頓，餐飲業(yè)受到重大影響月份復(fù)工復(fù)產(chǎn)工作逐步推進，居民生活逐步恢復(fù)正常．李克強總理在月日考察山東煙臺一處老舊小區(qū)時提到，地攤經(jīng)濟、小店經(jīng)濟是就業(yè)崗位的重要來源，是人間的煙火，和“高大上”一樣，是中國的生機．某商場經(jīng)營者陳某準(zhǔn)備在商場門前“擺地攤”，經(jīng)營冷飲生意，已知該商場門前是一塊角形區(qū)域，如圖所示，其中，且在該區(qū)域內(nèi)點處有一個路燈，經(jīng)測量點到區(qū)域邊界、的距離分別為，，（為長度單位）．陳某準(zhǔn)備過點修建一條長椅（點、分別落在、上，長椅的寬度及路燈的粗細忽略不計），以供購買冷飲的人休息．(1)求點到點的距離；(2)為優(yōu)化經(jīng)營面積，當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r，該三角形區(qū)域面積最小？并求出面積的最小值．【答案】(1)(2)當(dāng)時，三角形區(qū)域面積取最小值【分析】（1）連接、，計算出，利用余弦定理可求得的長；計算出，可得出，利用正弦定理可求得的長，再利用勾股定理可求得的長；（2）利用三角形的面積公式可得出，利用基本不等式可求得的最小值，即可求得面積的最小值.【詳解】（1）解：連接、，在中，因為，，則，由余弦定理可得：，所以，.在中，由余弦定理可得，．在中，，由正弦定理可得，解得．在直角中，，所以，.（2）解：因為，．因為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，．22．布勞威爾不動點定理是拓撲學(xué)里一個非常重要的不動點定理，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾，簡單地講就是對于滿足一定條件的連續(xù)實函數(shù)，存在一個點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點"函數(shù)，而稱為該函數(shù)的一個不動點．現(xiàn)新定義：若滿足，則稱為的次不動點．(1)判斷函數(shù)是否是“不動點”函數(shù)，若是，求出其不動點；若不是，請說明理由(2)已知函數(shù)，若是的次不動點，求實數(shù)的值：(3)若函數(shù)在上僅有一個不動點和一個次不動點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)是“不動點”函數(shù)，不動點是2和；(2)；(3).【分析】(1)根據(jù)不動點定義列出方程，求解方程即可作答.(2)根據(jù)次不動點定義列出方程，求解方程即可作