試講課內(nèi)容：理想氣體pVT過程計算

理想氣體pVT變化過程的ΔU、

ΔH、W、Q計算專題2019.5.6 14:00-CCTalk哈哥物化一、理想氣體的pVT變化什么叫pVT變化過程？只有溫度、壓力和體積的改變，不存在相變和化學(xué)反應(yīng)。如無特別說明，以下內(nèi)容均指封閉體系。常規(guī)思路：a.

對于ΔU、ΔH的計算，需求??末態(tài)的溫度，直接代公式。（理想氣體的ΔU、ΔH只和始末態(tài)有關(guān)）b.

對于功和熱的計算，要結(jié)合具體過程（可逆、恒外壓等），

對于特殊的過程，也可轉(zhuǎn)化成對應(yīng)的狀態(tài)函數(shù)的變化量。（如絕熱過程，W

=

ΔU，恒壓無非體積功過程，Q

=

ΔH等。)重點理想氣體的pVT變化1、等溫過程（T1

=

T2

=

Tsur）ΔU

=

ΔH

=

0等溫不可逆過程，Wf

=0恒外壓過程：W

=

-pe(V2

–

V1)Q

=

-W向真空膨脹(焦耳實驗)：W

=

0 Q

=

0等溫可逆過程，

Wf

=0W

=

-Q=

nRTln(p2/p1)=

-nRTln(V2/V1)初學(xué)者尤其注意“預(yù)判”功的正負(fù)理想氣體的pVT變化1、等溫過程關(guān)于等溫過程的一個重要結(jié)論：等溫可逆膨脹（和同始末態(tài)的等溫不可逆膨脹相比），系統(tǒng)對環(huán)境做最大功；等溫可逆壓縮（和同始末態(tài)的等溫不可逆壓縮相比），環(huán)境對系統(tǒng)做最小功。Wr

<

Wir理想氣體的pVT變化1、等溫過程例題：1

mol理想氣體300

K下等溫膨脹，對外做功600

J，僅為到達相同終態(tài)時所做最大功的1/5。則末態(tài)體積是初態(tài)的

倍。解：Wir

=

-600

J，Wmax

=

Wr

=

-3000

J代入公式W=

-nRTln(V2/V1)，可得，V2/V1

=

3.33理想氣體的pVT變化2、等壓過程（p1

=

p2

=

pe）注意?。。∵@兩個公式的適用條件是理想氣體的任意pVT變化過程??！對于理想氣體雙原子理想氣體單原子理想氣體Cp,m-

CV,m

=

RCp,m =

5R/2Cp,m =

7R/2CV,m

=

3R/2(常溫)CV,m

=

5R/2(常溫)理想氣體的pVT變化2、等壓過程（p1

=

p2

=

pe）當(dāng)Wf=

0時，Q

=

ΔH當(dāng)Wf

≠

0時，Q

=

ΔH

–

WfWe

=

-peΔV

=

-nRΔTWfΔU=nCV,mΔTΔH=nCp,mΔTQWe-nRΔT等壓過程各熱力學(xué)量的關(guān)系可以由下圖表示：注意：因為各物理量有正負(fù)，不要用此圖判斷大小關(guān)系。非體積功的大小和有無，只是影響了圖中紅色“隔板”的位置理想氣體的pVT變化2、等壓過程（p1

=

p2

=

pe）例題：用攪拌器對1

mol雙原子理想氣體做攪拌功為41.84

J，并使其溫度在恒壓下升高1

K。若該氣體的Cp,m

=29.28J·mol

-1·K

-1，求該過程的Q，W以及系統(tǒng)的ΔU，ΔH。解：ΔH=

1

*

29.28

*

1

=

29.28

JΔU=

1*

(29.28-8.314)

*

1

=

20.966

JWe=

-pΔV

=

-nRΔT=

-

8.314

JW

=

We

+

Wf

=

33.526

JQ

=

ΔU

–

W

=

-

12.56

J或Q

=

ΔH

–

Wf

=

-12.56

JWfΔU=nCV,mΔTΔH=nCp,mΔTQWe-nRΔT理想氣體的pVT變化3、恒容過程（dV

=

0，We

=

0）WfΔU

=

nCV,mΔTQ當(dāng)Wf=

0時，Q

=

ΔU當(dāng)Wf

≠

0時，Q

=

ΔU

–

Wf任意pVT過程恒容過程理想氣體的pVT變化4、絕熱過程（δQ

=

0）求??末態(tài)的狀態(tài)(p2,

V2,

T2)關(guān)鍵是求出氣體的末態(tài)！ΔU

=

nCV,mΔTΔH

=

nCp,mΔTW

=

ΔU理想氣體的pVT變化4、絕熱過程絕熱可逆過程pVγ =C、Tp(1-γ)/γ =

C、TVγ-1

=

C很難記？那就不記了！（理想氣體絕熱可逆過程式）理想氣體的pVT變化ΔS

=

nCp,mln(T2/T1)

+

nRln(p1/p2)=

nCV,mln(T2/T1)

+

nRln(V2/V1)=

nCp,mln(V2/V1)

+

nCV,mln(p2/p1)=04、絕熱過程絕熱可逆過程絕熱可逆過程是恒熵過程，ΔS = 0，因此代入理想氣體熵變公式，并令其等于零：1

、完全包含了絕熱過程方程式的功能；2、更好記；3、更有用。理想氣體的pVT變化4、絕熱過程絕熱不可逆過程向真空膨脹：理想氣體絕熱向真空膨脹溫度不變，

此過程即是等溫過程又是絕熱過程。恒外壓膨脹至平衡態(tài)：-p2(nRT2/p2-

nRT1/p1)

=

nCV,m(T2

–

T1)求??末態(tài)溫度。理想氣體的pVT變化4、絕熱過程不管是絕熱可逆過程，還是絕熱不可逆過程，在求??末態(tài)溫度后，均可代入上述公式求ΔU，ΔH和W。求??末態(tài)的狀態(tài)(p2,

V2,

T2)ΔU

=

nCV,mΔTΔH

=

nCp,mΔTW

=

ΔU??1??1

???2??2 ????(??2

?

??1)??

= =??

?

1 ??

?

1此公式適用于理想氣體的絕熱過程，有些參考書說此公式只適用于絕熱可逆過程，是錯誤的。理想氣體的pVT變化5、指定特殊路線的可逆過程如：沿pT

=

常數(shù)的可逆路徑，沿p/V

=

常數(shù)的可逆路徑，多方過程等等。這種題目求ΔU，ΔH以及之后的其它狀態(tài)函數(shù)的變化量都不

算難，只需將所給路徑的關(guān)系式，和理想氣體狀態(tài)方程聯(lián)立，就可以求??末態(tài)狀態(tài)。主要考點在于功的求算，通常都是考察功的定義式的使用。通用的方法是，把題給的路徑關(guān)系式和理想氣體狀態(tài)方程當(dāng)成一個方程組來解，把p和T當(dāng)成兩個未知數(shù)，把p表示成體積

V

的函數(shù)，代入體積功公式進行積分。理想氣體的pVT變化5、指定特殊路線的可逆過程例題：(2001年四川大學(xué)考研題）設(shè)理想氣體從溫度為400

K，壓力1013.25

kPa，體積為8

dm3的始態(tài)，經(jīng)下列可逆過程達到體積為16

dm3

終態(tài)。(1)

沿著pV

=

常數(shù)的過程；(2)

沿著pT=

常數(shù)的過程已和該氣體CV,m

=

2.5

R，試求上述各個過程的Q、W、ΔU。解:(2)

由pT=C(常數(shù))，且pV＝nRT，可得p2V=nRC，即p

=

(nRC/V)1/2???1??2??e?? d??

，且注意可逆過程p

=

p

，有：??1代入體積功通式：??

= ???2??

= ?

? (????????1)2d??

=

?2 ??????( ??2

? ??1)

=

?6715

J由p

=

(nRC/V)1/2可求??末態(tài)壓力：p2

=

716.5

kPaΔU

=

nCV,m(T2

–

T1)

=

2.5*(nRT2

–nRT1)

=

2.5*(p2V2

–

p1V1)

=

8395

JQ

=

ΔU

–W

=

15110

J理想氣體的pVT變化5、指定特殊路線的可逆過程練習(xí)題（17年蘇州大學(xué)考研題）：1

mol單原子分子理想氣體，始態(tài)p1 = 2p?，T1 = 273 K。沿可逆途徑p/V= 常數(shù)至終態(tài)p2 =

4p?。計算此途徑的Q，W及氣體沿此途徑的摩爾熱容Cm。假

定Cm與T無關(guān)，該氣體的等容摩爾熱容CV,m

=(3/2)R。答案見本人公眾號：物理化學(xué)每周一題理想氣體的pVT變化6、理想氣體混合過程由于理想氣體分子之間沒有作用力，因此可對每種組分分別使用pVT變化過程的ΔU和ΔH公式，再進行加和。最常見的混合過程有兩種，恒容絕熱混合和恒壓絕熱混合。（如果不絕熱，系統(tǒng)溫度最終將和環(huán)境溫度相同，更加好算）理想氣體的pVT變化6、理想氣體混合過程恒容絕熱混合：混合前后體積不變。恒壓絕熱混合：混合前每種組分的壓力(p1,

p2,

…)均等于混合后的總壓力。理想氣體的pVT變化6、理想氣體混合過程對于恒容絕熱且沒有非體積功的過程，因為Q=0，W=0，

因此有ΔU

=0。則：n1CV,m(A)(Tm-T1)

+

n2CV,m(B)(Tm-T2)=0即可求??混合后的溫度Tm。還可由理想氣體狀態(tài)方程求??末態(tài)壓力pm。再由ΔH

=n1Cp,m(A)(Tm-T1)

+

n2Cp,m(B)(Tm-T2)，可計算??過程的ΔH。理想氣體的pVT變化6、理想氣體混合過程對于恒壓絕熱且沒有非體積功的過程，有ΔH

=

0。則n1Cp,m(A)(Tm-T1)

+

n2Cp,m(B)(Tm-T2)=

0可求??混合后的溫度Tm。再由ΔU

=

n1CV,m(A)(Tm-T1)+

n2CV,m(B)(Tm-T2)，可計算??過程的ΔU。且有W

=

ΔU。理想氣體的pVT變化6、理想氣體混合過程例題(中國科技大學(xué)2016年真題):

在一帶活塞的絕熱容器中有一絕熱隔板，隔板兩側(cè)分別為0

oC的2

mol單原子理想氣體A

及100oC的5

mol雙原子理想氣體B，兩氣體的壓力為100

kPa，活塞外的壓力維持100

kPa不變。今將容器內(nèi)的絕熱隔板撤去，

使兩種氣體混合達到平衡態(tài)。求末態(tài)的溫度T及過程的Q，W，

ΔU和ΔH。解題關(guān)鍵：恒壓絕熱混合，ΔH

=

02*2.5R*(Tm-273

K)+5*3.5R*(Tm-373

K)=0Tm

=

350.8

K(以下略)理想氣體的pVT變化7、多步過程/pVT均變化的過程一般來說，計算ΔU和ΔH，只需求??最終的溫度即可。求W和Q則需要視具體過程而定。例題(華南理工大學(xué)2018年真題):將5

mol理想氣體(CV,m

=

5R/2)先等熵從25

oC、100

kPa壓縮到700

kPa，然后等容變溫至50

oC，求整個過程的Q、W、ΔU、ΔH

、ΔS。5

mol25

oC，100

kPa5

molT，700

kPa5

mol50

oC，p絕熱可逆ΔS=0,

Q=0等容W=0理想氣體的pVT變化7、多步過程將5

mol理想氣體(CV,m

=

5R/2)先等熵從25

oC、100kPa壓縮到700kPa，

然后等容變溫至50

oC，求整個過程的Q、W、ΔU、ΔH

、ΔS。解：此過程分兩步，但是計算ΔU、ΔH只需要知道末態(tài)T即可。ΔU

= 5*5R/2*(50-25)

=

2598

J

ΔH

=

5*