2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修四人教B版全國通用版講義：第三章 三角恒等變換3.1.2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3．1.2兩角和與差的正弦學(xué)習(xí)目標1.掌握由兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦公式.2.會用兩角和與差的正、余弦公式進行簡單的三角函數(shù)的求值、化簡、計算等。3.能利用輔助角公式研究形如f(x）＝asinx＋bcosx的函數(shù)的性質(zhì)．知識點一兩角和與差的正弦思考1如何利用兩角差的余弦公式和誘導(dǎo)公式得到兩角和的正弦公式？答案sin（α＋β)＝coseq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(π，2）－α＋β)）＝coseq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π,2)－α)）－β））＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π,2）－α))cosβ＋sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π,2）－α))sinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ.思考2怎樣由兩角和的正弦公式得到兩角差的正弦公式?答案用－β代換β，即可得sin（α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.梳理兩角和與差的正弦公式內(nèi)容兩角和的正弦兩角差的正弦簡記符號Sα＋βSα－β公式形式sin(α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ記憶口訣：“正余余正,符號相同"．知識點二輔助角公式思考1asinx＋bcosx化簡的步驟有哪些？答案（1)提常數(shù),提出eq\r（a2＋b2)得到eq\r（a2＋b2)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（a，\r(a2＋b2)）sinx＋\f（b，\r(a2＋b2)）cosx)).(2）定角度,確定一個角θ滿足:cosθ＝eq\f(a，\r(a2＋b2))，sinθ＝eq\f(b,\r（a2＋b2）)eq\b\lc\（\rc\(\a\vs4\al\co1（或sinθ＝\f(a，\r(a2＋b2))）)，eq\b\lc\\rc\）（\a\vs4\al\co1(cosθ＝\f(b,\r（a2＋b2）)））。一般θ為特殊角eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π，4），\f（π,3）等）)，則得到eq\r（a2＋b2)（cosθsinx＋sinθcosx）（或eq\r（a2＋b2）（sinθsinx＋cosθcosx))．(3）化簡、逆用公式得asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2）sin（x＋θ)（或asinx＋bcosx＝eq\r（a2＋b2)cos(x－θ))．

思考2在上述化簡過程中，如何確定θ所在的象限？答案θ所在的象限由a和b的符號確定．梳理輔助角公式asinx＋bcosx＝eq\r（a2＋b2)sin（x＋φ）＝eq\r(a2＋b2）cos（x－θ）．其中cosφ＝eq\f（a,\r(a2＋b2）)，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2））,sinθ＝eq\f（a,\r（a2＋b2))，cosθ＝eq\f(b,\r（a2＋b2)),φ，θ稱為輔助角，它的終邊所在象限由點（a，b)決定．1．任意角α，β,都有sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ。(√)提示由兩角和的正弦公式知結(jié)論正確．2．存在角α，β,使sin(α－β)≠sinαcosβ－cosαsinβ。（×）提示由兩角差的正弦公式知不存在角α，β,使sin（α－β)≠sinαcosβ－cosαsinβ.3．存在角α，β，使sin（α＋β）＝sinαcosβ－cosαsinβ.（√）提示如α＝β＝0時，sin(α＋β)＝0，sinαcosβ－cosαsinβ＝0。4．輔助角公式asinx＋bcosx＝eq\r（a2＋b2)sin(x＋φ)，其中φ所在的象限由a，b的符號決定，φ與點(a，b）同象限．（√）5．sinx＋eq\r（3）cosx＝2sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6）)）。(×)提示sinx＋eq\r（3)cosx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2)sinx＋\f(\r（3），2）cosx)）＝2sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f(π，3）)）。類型一給角求值例1（1)化簡求值:sin（x＋27°）cos(18°－x)－sin(63°－x)·sin(x－18°)．解原式＝sin(x＋27°）cos（18°－x）－cos（x＋27°）·sin（x－18°)＝sin（x＋27°)cos(18°－x）＋cos(x＋27°）sin(18°－x)＝sin［(x＋27°)＋（18°－x)]＝sin45°＝eq\f(\r(2）,2)。（2)eq\f(sin50°－sin20°cos30°，cos20°)＝________.答案eq\f（1，2)解析原式＝eq\f(sin20°＋30°－sin20°cos30°,cos20°）＝eq\f(sin20°cos30°＋cos20°sin30°－sin20°cos30°，cos20°）＝eq\f（cos20°sin30°,cos20°)＝sin30°＝eq\f（1，2）.反思與感悟（1）解答此類題目一般先要用誘導(dǎo)公式把角化正化小,化切為弦,統(tǒng)一函數(shù)名稱，然后根據(jù)角的關(guān)系和式子的結(jié)構(gòu)選擇公式．(2）解題時應(yīng)注意觀察各角之間的關(guān)系，恰當運用拆角、拼角技巧，以達到正負抵消或可以約分的目的，從而使問題得解．跟蹤訓(xùn)練1計算:（1)sin14°cos16°＋sin76°cos74°；(2)sin（54°－x)cos(36°＋x）＋cos（54°－x）sin（36°＋x)．解(1)原式＝sin14°cos16°＋sin（90°－14°）cos（90°－16°）＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin（14°＋16°）＝sin30°＝eq\f(1,2)。(2）原式＝sin[（54°－x）＋（36°＋x）]＝sin90°＝1.類型二給值求值(角）例2已知sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3π,4)＋α)）＝eq\f(5,13），coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π，4）－β)）＝eq\f（3，5），且0〈α〈eq\f（π,4)〈β〈eq\f（3π,4)，求cos(α＋β)．解∵0<α<eq\f(π，4）<β<eq\f(3π，4）,∴eq\f(3π，4）<eq\f(3π,4）＋α<π，－eq\f(π，2）〈eq\f（π,4)－β〈0。又∵sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（3π，4)＋α))＝eq\f（5，13），coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π,4)－β）)＝eq\f(3,5），∴coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3π，4）＋α))＝－eq\f（12，13),sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π，4)－β））＝－eq\f（4,5）.∴cos（α＋β）＝sineq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f(π，2）＋α＋β)）＝sineq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(3π,4）＋α））－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,4）－β））））＝sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3π，4)＋α))coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,4）－β））－coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4）＋α））sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π，4)－β))＝eq\f(5，13)×eq\f（3，5）－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（12,13)))×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(4,5）)）＝－eq\f(33，65）。反思與感悟(1)給值(式）求值的策略：①當“已知角”有兩個時,“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式．②當“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角"與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角"變成“已知角”．（2)給值求角本質(zhì)上為給值求值問題,解題時應(yīng)注意對角的范圍加以討論，以免產(chǎn)生增解或漏解．

跟蹤訓(xùn)練2已知α∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f（π,2))），β∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(π，2)，0）），且cos(α－β)＝eq\f(3，5），sinβ＝－eq\f（\r(2),10)，求α的值．解∵α∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f（π，2))），β∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π，2），0）)，∴α－β∈(0,π)．∵cos(α－β)＝eq\f（3，5）,∴sin（α－β）＝eq\f(4,5)?！擀隆蔱q\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（π，2),0))，sinβ＝－eq\f（\r(2),10),∴cosβ＝eq\f（7\r(2)，10）?！鄐inα＝sin[（α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝eq\f(4,5）×eq\f（7\r(2），10)＋eq\f（3,5)×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(\r（2）,10））)＝eq\f(\r（2)，2）。又α∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f（π，2))）,∴α＝eq\f(π，4).類型三輔助角公式例3將下列各式寫成Asin（ωx＋φ）的形式．（1）eq\r(3）sinx－cosx；(2）eq\f（\r(2），4)sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π,4）－x))＋eq\f(\r（6),4)coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π，4)－x))。解(1)eq\r(3）sinx－cosx＝2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（\r(3）,2)sinx－\f(1,2)cosx））＝2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（cos\f（π，6）sinx－sin\f(π,6）cosx）)＝2sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f(π,6)））.（2)原式＝eq\f（\r（2)，2）eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f（1,2)sin\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π，4)－x))＋\f(\r(3)，2）cos\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π，4)－x）)))＝eq\f(\r(2)，2）eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(sin\f（π,6）sin\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π，4)－x））＋cos\f（π，6）cos\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π,4)－x)）)）＝eq\f(\r（2）,2）coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π，4）－x－\f（π，6)))＝eq\f(\r(2），2）coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π,12)－x)）＝eq\f（\r(2）,2)sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f（5π，12))).反思與感悟輔助角公式asinx＋bcosx＝eq\r（a2＋b2)·sin(x＋φ）可以把含sinx，cosx的一次式化為Asin(ωx＋φ）的形式，其中φ所在象限由點(a，b)決定，大小由tanφ＝eq\f（b,a）確定．研究形如f(x）＝asinx＋bcosx的函數(shù)的性質(zhì)都要用到該公式．跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f（x）＝eq\r（3)cos2x－sin2x，x∈R.(1）求f（x）的最小正周期與值域;（2)求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．解(1)f（x)＝－sin2x＋eq\r（3）cos2x＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）sin2x－\f（\r（3）,2）cos2x）)＝－2eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(sin2xcos\f（π,3)－cos2xsin\f（π，3)))＝－2sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x－\f(π，3))），x∈R?！嘧钚≌芷赥＝eq\f(2π，2)＝π，函數(shù)的值域為［－2,2]．(2）由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x－eq\f（π，3）≤2kπ＋eq\f(3π,2），k∈Z，得kπ＋eq\f(5π，12)≤x≤kπ＋eq\f（11π，12）,k∈Z.∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f（5π,12),kπ＋\f（11π,12）)）（k∈Z）。1．計算eq\r（2）coseq\f(π，12）＋eq\r(6)sineq\f(π，12)的值是（)A。eq\r(2）B．2C．2eq\r(2）D.eq\f(\r(2），2）答案B解析eq\r(2）coseq\f（π,12）＋eq\r（6）sineq\f(π，12）＝2eq\r（2)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,2)cos\f(π,12)＋\f（\r（3),2)sin\f(π，12)))＝2eq\r(2）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（sin\f（π,6）cos\f(π,12）＋cos\f(π，6）sin\f（π,12）））＝2eq\r（2）sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π,6）＋\f（π,12）)）＝2eq\r（2）sineq\f（π,4）＝2。2．sin20°cos10°－cos160°sin10°等于（）A．－eq\f（\r(3），2)B。eq\f(\r(3），2)C．－eq\f（1，2)D.eq\f（1,2)答案D解析sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝eq\f（1,2)。3．計算sin43°cos13°－cos43°sin13°的結(jié)果等于________．答案eq\f（1，2)解析原式＝sin（43°－13°)＝sin30°＝eq\f（1,2)。4．化簡：coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,3）＋α)）＋sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π,6）＋α）)＝________.答案cosα解析coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π,3）＋α）)＋sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π,6）＋α）)＝sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π，6）－α))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π,6)＋α）)＝2sineq\f(π,6）cosα＝cosα.5．化簡：sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,4)－3x))coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π,3)－3x))－coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π，6）＋3x）)·sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π,4）＋3x)).解原式＝sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π，4）－3x））coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π，3)－3x））－sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π，3）－3x））·coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π，4）－3x))＝sineq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π,4）－3x))－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－3x）)))＝sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,4）－\f（π，3）)）＝sineq\f(π,4)coseq\f(π,3）－coseq\f(π,4)sineq\f（π,3）＝eq\f(\r（2）,2)×eq\f(1，2)－eq\f（\r(2）,2)×eq\f(\r（3),2)＝eq\f（\r（2）－\r（6)，4）.1．公式的推導(dǎo)和記憶（1)理順公式間的邏輯關(guān)系Cα－βeq\o(→,\s\up7（誘導(dǎo)公式))Sα＋βeq\o（→，\s\up7（以－β代換β））Sα－β.(2）注意公式的結(jié)構(gòu)特征和符號規(guī)律對于公式Cα－β，Cα＋β可記為“同名相乘，符號反"；對于公式Sα－β，Sα＋β可記為“異名相乘，符號同”．(3)符號變化是公式應(yīng)用中易錯的地方,特別是公式Cα－β,Cα＋β，Sα－β，且公式sin（α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，角α，β的“地位”不同也要特別注意．2．應(yīng)用公式需注意的三點（1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正確地找出所給式子與公式右邊的異同,并積極創(chuàng)造條件逆用公式．（2)注意拆角、拼角的技巧，將未知角用已知角表示出來，使之能直接運用公式．（3)注意常值代換：用某些三角函數(shù)值代替某些常數(shù)，使之代換后能運用相關(guān)公式，其中特別要注意的是“1”的代換,如1＝sin2α＋cos2α，1＝sin90°,1＝2cos60°，1＝2sin30°等，再如：0，eq\f（1，2),eq\f(\r（2），2），eq\f(\r(3），2)等均可視為某個特殊角的三角函數(shù)值，從而將常數(shù)換為三角函數(shù).一、選擇題1．已知α∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,2),π）),sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（α＋\f(π，4））)＝eq\f（3,5），則sinα等于（)A.eq\f（\r（2),10) B。eq\f（7\r(2）,10)C．－eq\f(\r（2），10）或eq\f（7\r（2),10) D．－eq\f(7\r(2），10)答案B解析由α∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π，2)，π）),得eq\f(3π,4）〈α＋eq\f(π，4)〈eq\f（5π，4），所以coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\r（1－sin2\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（α＋\f（π，4））))＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3,5))）2)＝－eq\f（4,5)。所以sinα＝sineq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(α＋\f（π，4)))－\f(π，4)）)＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（α＋\f（π，4)））coseq\f（π,4）－coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π，4）))sineq\f（π，4）＝eq\f（\r(2),2)×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3，5）＋\f（4，5）)）＝eq\f（7\r(2)，10)，故選B。2．sin10°cos20°＋sin80°sin20°等于（）A．－eq\f(\r(3),2）B．－eq\f(1，2)C.eq\f（1,2）D。eq\f（\r（3）,2）答案C解析sin10°cos20°＋sin80°sin20°＝sin10°cos20°＋cos10°sin20°＝sin（10°＋20°）＝sin30°＝eq\f（1,2），故選C。3．在△ABC中，A＝eq\f(π，4），cosB＝eq\f(\r（10），10)，則sinC等于(）A。eq\f（2\r(5）,5）B．－eq\f(2\r(5)，5）C.eq\f（\r(5），5)D．－eq\f（\r(5)，5）答案A解析sinC＝sin［π－(A＋B）］＝sin(A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(\r(2），2)（cosB＋eq\r(1－cos2B）)＝eq\f(\r（2)，2)×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(\r（10)，10)＋\f(3\r(10），10）)）＝eq\f(2\r（5)，5）.4．已知0〈α<eq\f（π，2）<β〈π，又sinα＝eq\f(3,5），cos(α＋β）＝－eq\f（4,5）,則sinβ等于(）A．0B．0或eq\f（24,25)C。eq\f（24，25）D．0或－eq\f（24,25）答案C解析∵0〈α〈eq\f(π，2)<β〈π，sinα＝eq\f(3,5），cos（α＋β)＝－eq\f(4,5）,∴cosα＝eq\f(4，5)，sin(α＋β）＝eq\f(3，5)或－eq\f(3，5）.∴sinβ＝sin[(α＋β）－α]＝sin（α＋β)cosα－cos(α＋β）sinα＝eq\f(24，25）或0?！遝q\f（π，2）<β<π，∴sinβ＝eq\f(24,25)。5．在△ABC中,若sinA＝2sinBcosC，則△ABC是（）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形答案D解析∵A＝180°－(B＋C)，∴sinA＝sin（B＋C）＝2sinBcosC.又∵sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，∴sinBcosC－cosBsinC＝sin(B－C)＝0.∴B＝C，故△ABC為等腰三角形．6．已知coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f（π,6）））＋sinα＝eq\f（4\r（3）,5)，則sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(α＋\f（7π，6)))的值為()A．－eq\f(2\r(3）,5) B.eq\f（2\r(3),5)C．－eq\f(4,5) D。eq\f(4，5）答案C解析∵coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(α－\f（π,6)）)＋sinα＝eq\f(4\r(3），5），∴cosαcoseq\f（π，6）＋sinαsineq\f（π,6）＋sinα＝eq\f（4\r（3),5），∴eq\f（\r(3),2）cosα＋eq\f（3,2)sinα＝eq\f（4\r（3),5)，即eq\f（1,2）cosα＋eq\f（\r（3）,2)sinα＝eq\f(4，5),∴sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π,6)＋α))＝eq\f（4，5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（α＋\f(7π,6))）＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))）＝－eq\f(4,5).二、填空題7．sin15°＋sin75°的值是________．答案eq\f（\r(6），2)解析sin15°＋sin75°＝sin（45°－30°)＋sin（45°＋30°）＝2sin45°cos30°＝eq\f（\r（6),2)。8．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f（π，3）))＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(α－\f（π，3)）)，則tanα＝________。答案19．定義運算eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（ab，cd))＝ad－bc。若cosα＝eq\f(1,7）,eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（sinαsinβ,cosαcosβ））＝eq\f（3\r(3）,14)，0＜β＜α＜eq\f（π,2），則β＝________。答案eq\f（π，3）解析由題意,得sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f（3\r（3），14)，∴sin（α－β)＝eq\f(3\r(3),14)?！?＜β＜α＜eq\f(π,2），∴cos（α－β)＝eq\r（1－\f（27，196)）＝eq\f(13,14).又由cosα＝eq\f(1，7),得sinα＝eq\f(4\r（3)，7).∴cosβ＝cos[α－（α－β)]＝cosαcos（α－β)＋sinαsin（α－β)＝eq\f(1,7）×eq\f（13,14)＋eq\f(4\r(3），7)×eq\f(3\r（3）,14)＝eq\f(1,2）.∴β＝eq\f(π，3)。10.eq\f（sin27°＋cos45°sin18°，cos27°－sin45°sin18°）＝________。答案1解析原式＝eq\f(sin45°－18°＋cos45°sin18°，cos45°－18°－sin45°sin18°）＝eq\f（sin45°cos18°－cos45°sin18°＋cos45°sin18°,cos45°cos18°＋sin45°sin18°－sin45°sin18°)＝tan45°＝1。11．函數(shù)f（x）＝sin（x＋2φ)－2sinφcos（x＋φ)的最大值為________．答案1解析因為f（x）＝sin(x＋2φ)－2sinφcos（x＋φ）＝sin［(x＋φ）＋φ］－2sinφcos（x＋φ)＝sin（x＋φ)cosφ＋cos（x＋φ）sinφ－2sinφcos(x＋φ)＝sin（x＋φ）cosφ－cos(x＋φ）sinφ＝sin[(x＋φ)－φ]＝sinx，所以f（x)的最大值為1。三、解答題12．已知sinα＝eq\f（\r(5）,5），sin（α－β)＝－eq\f（\r(10),10），α，β均為銳角,求β的值．解∵α為銳角，sinα＝eq\f（\r(5),5),∴cosα＝eq\f（2\r（5），5）.∵－eq\f（π,2）〈α－β<eq\f（π，2）且sin(α－β)＝－eq\f(\r(10），10），∴cos（α－β)＝eq\f(3\r(10),10）,∴sinβ＝sin[（β－α）＋α]＝sin（β－α)cosα＋cos（β－α）sinα＝eq\f（\r（10），10）×eq\f(2\r（5),5）＋eq\f(3\r（10），10)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f（\r（2），2）。又∵β為銳角，∴β＝eq\f(π，4）。13．已知sin（α－β）cosα－cos(β－α）sinα＝eq\f(4，5）,β是第三象限角，求sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(β＋\f（π,4)））的值．解∵sin(α－β)cosα－cos(β－α）sinα＝sin(α－β）cosα－cos（α－β)sinα＝sin(α－β－α)＝sin（－β）＝－sinβ＝eq\f（4，5)，∴sinβ＝－eq\f（4,5）。又β是第三象限角，∴cosβ＝－eq\r(1－sin2β）＝－eq\f(3，5)。∴sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（β＋\f（π,4)））＝sinβcoseq\f(π,4）＋cosβsineq\f(π,4）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（4,5）)）×eq\f(\r(2），2）＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（3,5）))×eq\f（\r(2),2）＝－eq\f(7\r(2)，10).

四、探究與拓展14．已知A（3，0)，B（0,3）,C(cosα，sinα)．若eq\o（AC,\s\up6(→）)·eq\o（BC，\s\up6(→)）＝－1，則sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(α＋\f