2018-2019數(shù)學新學案同步必修五蘇教版講義：第二章 數(shù)列2.1 第2課時

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時數(shù)列的遞推公式與通項公式學習目標1.理解數(shù)列的幾種表示方法，能從函數(shù)的觀點研究數(shù)列。2.理解遞推公式的含義，能根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項。3。會用累加法、累乘法由遞推公式求通項公式．知識點一遞推公式思考數(shù)列1,2，4，8，…的第n項an與第n＋1項an＋1有什么關(guān)系？答案an＋1＝2an.梳理如果已知數(shù)列的第1項(或前幾項)，且從第二項（或某一項）開始的任一項an與它的前一項an－1（或前幾項）（n≥2）間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式叫做這個數(shù)列的遞推公式．特別提醒：（1）與所有的數(shù)列不一定都有通項公式一樣，并不是所有的數(shù)列都有遞推公式．（2）遞推公式通過賦值逐項求出數(shù)列的項，直至求出數(shù)列的任何一項和所需的項．知識點二數(shù)列的表示方法思考以數(shù)列2，4，6,8,10，12，…為例，你能用幾種方法表示這個數(shù)列？答案①通項公式法：an＝2n。②遞推公式法:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a1＝2,，an＋1＝an＋2，n∈N*.）)③列表法：n123…k…an246…2k…④圖象法：梳理數(shù)列的表示方法有通項公式法、圖象法、列表法、遞推公式法．1．利用an＋1＝2an，n∈N＊可以確定數(shù)列｛an｝．（×)2．有些數(shù)列難以用通項公式和遞推公式表示,但可以用列表法輕松解決．（√)3．遞推公式是表示數(shù)列的一種方法．(√)類型一數(shù)列的表示法例1圖中的三角形圖案稱為謝賓斯基三角形，在四個三角形圖案中，著色的小三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項，請寫出這個數(shù)列的遞推公式和一個通項公式,并在直角坐標系中畫出它的圖象．考點數(shù)列的表示方法題點數(shù)列的表示方法解如題圖，這四個三角形圖案中著色的小三角形第（2）個是第(1)個的3倍,第(3）個是第(2）個的3倍,故有遞推公式a1＝1，an＋1＝3an,n∈N＊，個數(shù)依次為1，3，9,27。則所求數(shù)列的前4項都是3的指數(shù)冪,指數(shù)為序號減1.所以,這個數(shù)列的一個通項公式是an＝3n－1。在直角坐標系中的圖象為一些孤立的點(如圖所示）．反思與感悟求數(shù)列的遞推公式注重觀察數(shù)列項與項的關(guān)系，求通項公式注重觀察項與序號的關(guān)系，圖象法則一如既往地直觀．跟蹤訓練1傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù)．比如，他們將石子擺成如圖所示的三角形點陣，就將其所對應石子的個數(shù)稱為三角形數(shù),則第n個三角形數(shù)比第n－1（n≥2，n∈N＊）個三角形數(shù)多________個石子．考點數(shù)列的遞推公式題點根據(jù)圖形寫出遞推公式答案n解析a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，∴an－an－1＝n.類型二數(shù)列的遞推公式命題角度1由遞推公式求前若干項例2設數(shù)列{an}滿足eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，，an＝1＋\f(1，an－1）n〉1，n∈N*。）)寫出這個數(shù)列的前5項．考點數(shù)列的遞推公式題點由遞推公式求項解由題意可知a1＝1，a2＝1＋eq\f(1,a1)＝2，a3＝1＋eq\f（1,a2）＝eq\f（3,2)，a4＝1＋eq\f（1,a3）＝eq\f(5，3），a5＝1＋eq\f(1,a4)＝1＋eq\f（3，5）＝eq\f(8,5）。引申探究若數(shù)列{an｝滿足a1＝2,an＋1＝eq\f(1＋an，1－an)，求a2018。解a2＝eq\f（1＋a1，1－a1)＝eq\f（1＋2，1－2）＝－3，a3＝eq\f(1＋a2，1－a2)＝eq\f(1－3，1＋3)＝－eq\f（1，2），a4＝eq\f(1＋a3,1－a3）＝eq\f（1－\f（1,2)，1＋\f（1,2）)＝eq\f(1，3），a5＝eq\f（1＋a4，1－a4)＝eq\f（1＋\f(1，3）,1－\f（1,3)）＝2＝a1，∴｛an}是周期為4的數(shù)列，∴a2018＝a4×504＋2＝a2＝－3。反思與感悟遞推公式反映的是相鄰兩項(或n項)之間的關(guān)系．對于通項公式，已知n的值即可得到相應的項；而遞推公式則要已知首項（或前幾項),才可依次求得其他的項．若項數(shù)很大，則應考慮數(shù)列是否有規(guī)律性．跟蹤訓練2已知數(shù)列｛an}中,a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，試寫出a3，a4，a5，a6,a7，a8,你發(fā)現(xiàn)數(shù)列｛an}具有怎樣的規(guī)律？你能否求出該數(shù)列中的第2018項?考點數(shù)列的遞推公式題點周期數(shù)列問題解a1＝1,a2＝2，a3＝1，a4＝－1,a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…。發(fā)現(xiàn)：an＋6＝an，數(shù)列{an｝具有周期性，周期T＝6。證明如下：∵an＋2＝an＋1－an，∴an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an。∴an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an。∴數(shù)列｛an｝是周期數(shù)列，且T＝6.∴a2018＝a336×6＋2＝a2＝2。命題角度2由遞推公式求通項例3(1）對于任意數(shù)列{an}，等式：a1＋（a2－a1)＋(a3－a2）＋…＋(an－an－1)＝an（n≥2，n∈N*)都成立．試根據(jù)這一結(jié)論,完成問題:已知數(shù)列{an｝滿足：a1＝1，an＋1－an＝2,求通項an;(2)若數(shù)列{an}中各項均不為零，則有a1·eq\f（a2,a1）·eq\f(a3，a2）·…·eq\f(an，an－1）＝an(n≥2，n∈N＊）成立．試根據(jù)這一結(jié)論，完成問題：已知數(shù)列｛an}滿足：a1＝1，eq\f(an,an－1)＝eq\f(n－1,n)(n≥2，n∈N*），求通項an?？键c數(shù)列的遞推公式題點由遞推公式求通項公式解（1)當n≥2時，an＝a1＋(a2－a1)＋（a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋＝2(n－1)＋1＝2n－1。a1＝1也符合上式，所以數(shù)列{an｝的通項公式是an＝2n－1。（2)當n≥2時，an＝a1·eq\f(a2，a1）·eq\f（a3，a2）·…·eq\f(an，an－1）＝1·eq\f（1，2)·eq\f(2，3）·…·eq\f（n－1，n）＝eq\f(1，n).a1＝1也符合上式，所以數(shù)列{an｝的通項公式是an＝eq\f（1,n)。反思與感悟形如an＋1－an＝f(n)的遞推公式,可以利用a1＋(a2－a1）＋(a3－a2)＋…＋（an－an－1)＝an(n≥2，n∈N＊)求通項公式;形如eq\f(an＋1，an)＝f(n）的遞推公式,可以利用a1·eq\f(a2，a1）·eq\f（a3,a2）·…·eq\f（an,an－1)＝an（n≥2，n∈N＊)求通項公式．以上方法分別叫累加法和累乘法．跟蹤訓練3已知數(shù)列｛an}滿足a1＝－1,an＋1＝an＋eq\f（1，n）－eq\f(1，n＋1），n∈N*,求數(shù)列的通項公式an。考點數(shù)列的遞推公式題點由遞推公式求通項公式解∵an＋1－an＝eq\f（1,n)－eq\f（1，n＋1），∴a2－a1＝eq\f（1,1）－eq\f（1，2)，a3－a2＝eq\f(1,2)－eq\f(1，3），a4－a3＝eq\f(1，3）－eq\f（1，4)，…,an－an－1＝eq\f（1,n－1）－eq\f（1,n)（n≥2)，∴（a2－a1)＋（a3－a2）＋（a4－a3)＋…＋（an－an－1）＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f(1,2）））＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)－\f(1,3)））＋…＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,n－1)－\f(1,n)))，即an－a1＝1－eq\f(1,n)（n≥2）．∴an＝a1＋1－eq\f（1，n)＝－1＋1－eq\f（1,n)＝－eq\f(1，n）(n≥2)，又當n＝1時，a1＝－1，也符合上式．∴an＝－eq\f（1,n）,n∈N＊.1．數(shù)列1,3，6,10,15,…中an＝an－1＋________(n∈N＊且n>1)．考點數(shù)列的表示方法題點數(shù)列的表示方法答案n解析由已知得a2－a1＝2,a3－a2＝3,a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an＋1－an＝n＋1，n∈N*。2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*），則此數(shù)列的通項an＝________.考點數(shù)列的遞推公式題點由遞推公式求通項公式答案3－n解析∵an＋1－an＝－1.∴an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋(an－an－1)＝2＋＝2＋（－1)×（n－1)＝3－n。3．用火柴棒按下圖的方法搭三角形：按圖示的規(guī)律搭下去，則所用火柴棒數(shù)an與所搭三角形的個數(shù)n之間的關(guān)系式可以是______________．考點數(shù)列的通項公式題點根據(jù)圖形寫出通項公式答案an＝2n＋1，n∈N*解析a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9,…，∴an＝2n＋1，n∈N*。4．數(shù)列{xn｝中，若x1＝1,xn＋1＝eq\f(1,xn＋1）－1，則x2018＝______.考點數(shù)列的遞推公式題點周期數(shù)列問題答案－eq\f(1，2）解析∵x1＝1，∴x2＝－eq\f(1，2)，∴x3＝1,∴數(shù)列{xn}的周期為2，∴x2018＝x2＝－eq\f(1，2）。1．｛an｝與an是不同的兩種表示,{an｝表示數(shù)列a1，a2，…,an，…，是數(shù)列的一種簡記形式．而an只表示數(shù)列｛an｝的第n項，an與{an｝是“個體”與“整體”的從屬關(guān)系．2．數(shù)列的表示方法：（1）圖象法；（2）列表法；(3)通項公式法；（4）遞推公式法．3．通項公式和遞推公式的區(qū)別：通項公式直接反映an和n之間的關(guān)系，即an是n的函數(shù),知道任意一個具體的n值，就可以求出該項的值an;而遞推公式則是間接反映數(shù)列的式子，它是數(shù)列任意兩個（或多個)相鄰項之間的推導關(guān)系，不能由n直接得出an。一、填空題1．已知an＋1－an－3＝0，則數(shù)列{an}是遞________數(shù)列．考點數(shù)列的性質(zhì)題點判斷或證明數(shù)列的單調(diào)性答案增解析an＋1－an＝3＞0,故數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列．2．已知數(shù)列{an}的首項a1＝1，且滿足an＋1＝eq\f(1,2）an＋eq\f（1，2n)，則此數(shù)列的第4項是________．考點數(shù)列的遞推公式題點由遞推公式求項答案eq\f（1,2)解析a2＝eq\f（1，2)a1＋eq\f(1，2）＝1;a3＝eq\f(1，2）a2＋eq\f（1，4)＝eq\f(3，4);a4＝eq\f(1,2）a3＋eq\f（1,8)＝eq\f（1,2).3．已知數(shù)列{an}中,an－1＝man＋1（n>1），且a2＝3，a3＝5,則實數(shù)m＝________。考點數(shù)列的遞推公式題點由遞推公式求項答案eq\f(2，5)解析由題意得a2＝ma3＋1，即3＝5m＋1，∴m＝eq\f(2，5).4．已知a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2，n∈N＊），則數(shù)列的通項公式為______________．考點數(shù)列的遞推公式題點由遞推公式求通項公式答案an＝3n－2，n∈N＊解析∵an＝an－1＋3，∴an－an－1＝3?！郺2－a1＝3,a3－a2＝3，a4－a3＝3,…,an－an－1＝3，以上各式兩邊分別相加，得an－a1＝3（n－1），∴an＝a1＋3（n－1）＝1＋3（n－1）＝3n－2。5．若a1＝1，an＋1＝eq\f(an，3an＋1），則給出的數(shù)列{an}的第4項是________．考點數(shù)列的遞推公式題點由遞推公式求項答案eq\f(1,10)解析a2＝eq\f(a1,3a1＋1）＝eq\f(1,3＋1）＝eq\f(1,4），a3＝eq\f(a2,3a2＋1）＝eq\f（\f（1,4）,\f(3，4)＋1)＝eq\f(1,7),a4＝eq\f（a3,3a3＋1)＝eq\f(\f（1，7)，\f（3，7)＋1)＝eq\f（1,10).6．已知數(shù)列｛an｝中，an＝－2n2＋29n＋3，則數(shù)列中最大項的值是________．考點數(shù)列的性質(zhì)題點求數(shù)列的最大項、最小項答案108解析由已知得an＝－2n2＋29n＋3＝－2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（n－\f（29,4）））2＋108eq\f(1,8)，由于n∈N＊，故當n取距離eq\f（29，4)最近的正整數(shù)7時，an取得最大值108.∴數(shù)列｛an}中的最大項的值為a7＝108.7．已知數(shù)列{an｝中，a1＝2，an＝－eq\f（1,an－1)(n≥2），則a2018＝________.考點數(shù)列的遞推公式題點周期數(shù)列問題答案－eq\f（1，2）解析∵a2＝－eq\f（1,a1)＝－eq\f（1,2)，a3＝－eq\f(1，a2)＝2，a4＝－eq\f（1，2)＝a2,∴｛an}的周期為2，∴a2018＝a2＝－eq\f(1，2）。8．若數(shù)列{an}滿足（n－1)an＝（n＋1）an－1，且a1＝1，則a100＝________.考點數(shù)列的遞推公式題點由遞推公式求項答案5050解析由（n－1)an＝(n＋1）an－1，即eq\f（an，an－1）＝eq\f(n＋1，n－1），則a100＝a1·eq\f（a2,a1）·eq\f(a3,a2）·…·eq\f(a100,a99）＝1×eq\f（3，1)×eq\f(4，2）×…×eq\f（101，99）＝5050.9．已知數(shù)列｛an}滿足：an≤an＋1，an＝n2＋λn,n∈N＊,則實數(shù)λ的最小值是________．考點數(shù)列的性質(zhì)題點已知數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍答案－3解析an≤an＋1?n2＋λn≤（n＋1)2＋λ(n＋1）?λ≥－(2n＋1),n∈N＊?λ≥－3。10．根據(jù)下列5個圖形及相應點的個數(shù)的變化規(guī)律,可以得出第n個圖中有________個點．考點數(shù)列的通項公式題點根據(jù)圖形寫出通項公式答案n2－n＋1解析圖(1）只有1個點，無分支；圖（2)除中間1個點外，有2個分支，每個分支有1個點;圖(3）除中間1個點外，有3個分支，每個分支有2個點;圖（4)除中間1個點外，有4個分支,每個分支有3個點;…猜想第n個圖中除中間一個點外，有n個分支，每個分支有(n－1）個點，故第n個圖中點的個數(shù)為1＋n（n－1)＝n2－n＋1.二、解答題11．根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列的前4項,并歸納猜想它的通項公式．（1）a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*）；(2）a1＝1，an＋1＝an＋eq\f(an，n＋1)（n∈N＊);考點數(shù)列的遞推公式題點由遞推公式求通項公式解(1）a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9.猜想an＝(n－1)2（n∈N*）．(2)a1＝1，a2＝eq\f(3,2),a3＝eq\f(4,2）＝2，a4＝eq\f（5,2).猜想an＝eq\f（n＋1,2)（n∈N＊）．12．已知數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(1,2），anan－1＝an－1－an，求數(shù)列｛an}的通項公式．考點數(shù)列的遞推公式題點由遞推公式求通項公式解∵anan－1＝an－1－an，∴eq\f(1,an）－eq\f(1，an－1)＝1.∴當n≥2時，eq\f（1,an)＝eq\f(1,a1)＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，a2）－\f（1,a1））)＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,a3）－\f(1，a2)）)＋…＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，an)－\f(1,an－1)））＝2＋＝n＋1.∴eq\f（1，an）＝n＋1，∴當n≥2時,an＝eq\f(1，n＋1)。a1＝eq\f（1,2）也符合上式，∴an＝eq\f(1，n＋1)（n∈N＊）．13．已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝m（m為正整數(shù)),an＋1＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(an，2）,an為偶數(shù)，，3an＋1,an為奇數(shù)。））若a6＝1，求m所有可能的取值．考點數(shù)列的遞推公式題點遞推公式其他應用解若a5為奇數(shù),則3a5＋1＝1，a5＝0（