2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修三蘇教版講義：第3章 概率3.2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§3。2古典概型學(xué)習(xí)目標(biāo)1。理解基本事件的概念并會羅列某一事件包含的所有基本事件。2.理解古典概型的概念及特點(diǎn).3。會應(yīng)用古典概型概率公式解決簡單的概率計(jì)算問題．知識點(diǎn)一基本事件思考一枚硬幣拋一次,可能出現(xiàn)的基本結(jié)果都有哪些？它們發(fā)生的可能性相同嗎？答案正面向上,反面向上，它們發(fā)生的可能性相同．梳理(1)在1次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個基本結(jié)果稱為基本事件．(2）若在1次試驗(yàn)中，每個基本事件發(fā)生的可能性都相同,則稱這些基本事件為等可能基本事件．知識點(diǎn)二古典概型1．古典概型的定義:如果某概率模型具有以下兩個特點(diǎn)：(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個;(2）每個基本事件的發(fā)生都是等可能的．那么我們將具有這兩個特點(diǎn)的概率模型稱為古典概型．2．古典概型的概率公式：對于任何事件A，P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個數(shù)，基本事件的總數(shù)).如果1次試驗(yàn)的等可能基本事件共有n個，那么每一個等可能基本事件發(fā)生的概率都是eq\f(1,n)。如果某個事件A包含了其中m個等可能基本事件,那么事件A發(fā)生的概率為P（A)＝eq\f(m,n).1．古典概型是一種計(jì)算概率的重要模型．(√)2．古典概型有兩個重要條件：①基本事件是有限的．②基本事件的發(fā)生是等可能的．(√)3．同時擲兩枚骰子，則點(diǎn)數(shù)為5的概率問題可以看作古典概型．(√)類型一基本事件的計(jì)數(shù)問題例1一個口袋內(nèi)裝有大小相同的5個球，其中3個白球,2個黑球，從中一次摸出2個球．（1）共有多少個基本事件？(2)2個都是白球包含幾個基本事件?解方法一（1)采用列舉法．分別記白球?yàn)?,2，3號,黑球?yàn)?,5號，則有以下基本事件：(1,2），(1，3），(1，4），(1，5）,(2,3)，（2，4），(2,5）,（3，4)，(3,5）,(4,5）,共10個（其中(1,2）表示摸到1號、2號)．(2)“2個都是白球"包含(1，2），(1,3),（2，3）三個基本事件．方法二(1)采用列表法．設(shè)5個球的編號為a，b，c，d，e，其中a，b,c為白球,d，e為黑球．列表如下：abcdea(a，b）(a，c）（a，d)（a,e）b（b，a)（b，c)(b，d）（b，e）c（c，a)（c,b)(c,d)(c，e）d（d，a)（d，b)(d，c)(d,e)e（e，a）（e，b)（e，c）（e，d）由于每次取2個球,因此每次所得的2個球不相同，而事件（b，a）與(a,b）是相同的事件，故共有10個基本事件．（2)“2個都是白球”包含（a，b），(b，c)，(c,a)三個基本事件．反思與感悟（1)求基本事件的基本方法是列舉法．基本事件具有以下特點(diǎn)：①不可能再分為更小的隨機(jī)事件；②兩個基本事件不可能同時發(fā)生．（2)當(dāng)基本事件個數(shù)較多時還可應(yīng)用列表法或樹形圖法求解．跟蹤訓(xùn)練1做投擲2顆骰子的試驗(yàn)，用（x，y）表示結(jié)果,其中x表示第一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示第2顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．寫出：（1）試驗(yàn)的基本事件；(2)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于8”；(3）事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”；（4)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和等于7”．解(1)這個試驗(yàn)的基本事件共有36個，如下：(1，1)，(1,2），(1,3),（1，4）,(1，5),(1，6），(2，1),(2,2)，(2,3），(2，4），(2,5），(2，6），(3，1），（3，2），(3,3)，(3,4)，(3,5)，（3，6），（4，1），（4，2)，（4，3),（4,4），（4，5)，（4，6），（5,1)，（5，2），(5,3），(5，4)，(5，5)，（5,6），(6,1)，(6,2），（6，3)，（6,4),（6,5)，（6,6)．(2）“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于8"包含以下10個基本事件：（3，6)，(4，5），（4,6）,(5，4)，(5，5),(5,6），(6,3),（6，4）,(6，5）,(6，6）．(3）“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”包含以下6個基本事件:（1，1）,（2,2）,（3，3),（4,4），（5，5），(6，6）．（4）“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和等于7”包含以下6個基本事件：（1,6)，（2，5），(3,4），（4,3）,（5，2），(6,1）．類型二古典概型概率的計(jì)算例2從1，2,3，4,5這5個數(shù)字中任取三個不同的數(shù)字，求下列事件的概率：(1)事件A＝{三個數(shù)字中不含1和5}；(2)事件B＝{三個數(shù)字中含1或5}．解這個試驗(yàn)的基本事件為:(1,2，3)，（1,2,4)，（1，2,5),（1,3，4）,(1,3，5），（1，4，5）,（2,3，4），（2,3，5），（2,4，5），（3，4,5），所以基本事件總數(shù)n＝10。(1）因?yàn)槭录嗀＝{（2,3，4)｝，所以事件A包含的事件數(shù)m＝1.所以P(A)＝eq\f(m,n）＝eq\f(1,10）。(2）因?yàn)槭录﨎＝｛(1,2，3)，(1,2,4），（1，2，5）,(1，3,4)，(1，3,5)，(1,4,5)，（2,3，5）,(2,4,5)，（3，4，5）}，所以事件B包含的基本事件數(shù)m＝9.所以P（B)＝eq\f(m，n)＝eq\f（9,10）.反思與感悟解答概率題要有必要的文字?jǐn)⑹觯话阋米帜冈O(shè)出所求的隨機(jī)事件,要寫出所有的基本事件及個數(shù),寫出隨機(jī)事件所包含的基本事件及個數(shù)，然后應(yīng)用公式求出．跟蹤訓(xùn)練2從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中,每次任取一件，每次取出后不放回,連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率．解每次取出一個，取后不放回地連續(xù)取兩次,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有6個,即（a1，a2）和(a1，b1),（a2，a1），（a2，b1)，（b1，a1),(b1,a2）．其中小括號內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品，用A表示“取出的兩件產(chǎn)品中，恰好有一件次品”這一事件，則A＝｛（a1，b1),（a2，b1),(b1，a1)，(b1，a2)}，事件A由4個基本事件組成，因而P（A）＝eq\f(4，6)＝eq\f(2，3）.類型三較復(fù)雜的古典概型的概率計(jì)算例3有A，B，C,D四位貴賓，應(yīng)分別坐在a，b，c，d四個席位上,現(xiàn)在這四人均未留意，在四個席位上隨便就坐時，(1）求這四人恰好都坐在自己席位上的概率；（2)求這四人恰好都沒坐在自己席位上的概率；(3)求這四人恰好有1位坐在自己席位上的概率．解將A，B，C，D四位貴賓就座情況用下面圖形表示出來:如上圖所示,本題中的等可能基本事件共有24個．（1）設(shè)事件A為“這四人恰好都坐在自己的席位上”，則事件A只包含1個基本事件，所以P(A）＝eq\f（1，24）。(2)設(shè)事件B為“這四人恰好都沒坐在自己席位上”，則事件B包含9個基本事件,所以P（B）＝eq\f(9,24)＝eq\f(3，8).(3）設(shè)事件C為“這四人恰好有1位坐在自己席位上"，則事件C包含8個基本事件，所以P（C）＝eq\f(8，24)＝eq\f(1，3）.反思與感悟（1)當(dāng)事件個數(shù)沒有很明顯的規(guī)律，并且涉及的基本事件又不是太多時,我們可借助樹形圖法直觀地將其表示出來，這是進(jìn)行列舉的常用方法．樹形圖可以清晰準(zhǔn)確地列出所有的基本事件，并且畫出一個樹枝之后可猜想其余的情況．(2)在求概率時，若事件可以表示成有序數(shù)對的形式,則可以把全體基本事件用平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示，即采用圖表的形式可以準(zhǔn)確地找出基本事件的個數(shù)．故采用數(shù)形結(jié)合法求概率可以使解決問題的過程變得形象、直觀，給問題的解決帶來方便．跟蹤訓(xùn)練3隨意安排甲、乙、丙3人在3天節(jié)日中值班,每人值班1天,則（1）這3人的值班順序共有多少種不同的安排方法?（2)甲在乙之前的安排方法有多少種？(3）甲安排在乙之前的概率是多少？解（1)作樹形圖，如圖所示．故不同的安排方法共有6種．(2）由樹形圖，得甲在乙之前的安排方法有3種．（3）設(shè)事件A為“甲安排在乙之前”,由古典概型的概率公式,得甲安排在乙之前的概率為P(A)＝eq\f（3,6)＝eq\f（1，2)。1．某高二年級要組建數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)、航空模型三個興趣小組,某學(xué)生只能選報(bào)其中的2個，則基本事件共有______個．答案3解析基本事件有：(數(shù)學(xué)，計(jì)算機(jī))，（數(shù)學(xué)，航空模型),（計(jì)算機(jī)，航空模型)共3個．2．一枚硬幣連擲3次,有且僅有2次出現(xiàn)正面向上的概率為________．答案eq\f（3,8）解析所有的基本事件有(正，正,正），(正，正，反）,（正，反,正)，(正，反，反)，(反，正，正）,(反，正，反)，(反,反,正），(反,反，反)，共8個，僅有2次出現(xiàn)正面向上的有(正,正，反)，(正，反，正)，（反，正,正），共3個，則所求概率為eq\f(3，8)。3．在國慶閱兵中，某兵種A，B,C三個方陣按一定次序通過主席臺，若先后次序是隨機(jī)排定的，則B先于A,C通過的概率為________．答案eq\f（1，3）解析用(A，B，C）表示A,B，C通過主席臺的次序，則所有可能的次序有：（A,B,C），（A，C，B)，（B，A，C）,(B,C，A），（C，A，B）,(C，B，A）,共6種，其中B先于A，C通過的有：(B,C，A)和(B，A，C），共2種，故所求概率P＝eq\f(2,6）＝eq\f(1,3)。4．用1，2，3組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),這些數(shù)能被2整除的概率是________．答案eq\f（1，3)解析用1，2,3組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共6個，分別為123，132，213,231,312，321，其中能被2整除的有132，312這2個數(shù),故能被2整除的概率為eq\f(1,3).5．從甲、乙、丙、丁四個人中選兩名代表．求：(1）甲被選中的概率；（2）丙丁被選中的概率．解（1）記甲被選中為事件A，基本事件有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁,丙丁,共6個，事件A包含的事件有甲乙，甲丙，甲丁，共3個，則P（A）＝eq\f(3,6)＝eq\f(1，2).（2)記丙丁被選中為事件B,由（1）知,基本事件共6個，又因丙丁被選中只有1種情況，所以P(B)＝eq\f（1,6).1．基本事件是一次試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的最小事件，試驗(yàn)中的事件A可以是基本事件，也可以是有幾個基本事件組合而成的．2．有限性和等可能性是古典概型的兩個本質(zhì)特點(diǎn)，概率計(jì)算公式P(A)＝事件A所包含的等可能基本事件的個數(shù)÷等可能基本事件的總數(shù)，只對古典概型適用．3．求某個隨機(jī)事件A包含的基本事件的個數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)常用的方法是枚舉法(畫樹狀圖和列表）,注意做到不重不漏．一、填空題1．下列事件是古典概型的是________．(填序號)①任意拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為基本事件時；②求任意的一個正整數(shù)平方的個位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為基本事件時；③從甲地到乙地共n條路線，求某人正好選中最短路線的概率;④拋擲一枚均勻硬幣直到首次出現(xiàn)正面為止．答案③解析①中由于點(diǎn)數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故①不是；②中的基本事件是無限的，故②不是;③滿足古典概型的有限性和等可能性，故③是；④中基本事件既不是有限個也不具有等可能性，故④不是．2．從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，則甲被選中的概率為________．答案eq\f(2，5）解析從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選2人共有10種情況,甲被選中有4種情況，則甲被選中的概率為eq\f（4,10）＝eq\f(2,5）。3．從三件正品、一件次品中隨機(jī)取出兩件，則取出的產(chǎn)品全是正品的概率是________．答案eq\f（1,2)解析設(shè)取出兩件產(chǎn)品全是正品為事件A，設(shè)三件正品的編號分別為a，b，c,一件次品的編號為d,則基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6個，事件A包含的基本事件為ab，ac,bc，共3個．因此P（A）＝eq\f(3,6）＝eq\f（1，2）。4．一袋中裝有大小相同的四個球,編號分別為1,2,3,4，現(xiàn)從中有放回地每次取一個球，共取2次,記“取得兩個球的編號和大于或等于6"為事件A，則P(A)＝________。答案eq\f（3,8）解析基本事件有（1，1)，(1,2），（1，3)，(1，4），(2,1)，(2,2）,（2，3)，(2,4），(3,1)，(3，2），（3,3)，(3，4）,(4，1），(4，2)，(4，3)，（4，4）,共16個,事件A包括(2,4),(3,3），（3,4）,(4，2），(4,3)，（4,4)這6個基本事件，所以P（A)＝eq\f（6,16)＝eq\f(3,8）。5．從1,2,3,4，5中任意取出兩個不同的數(shù)，其和為5的概率是________．答案eq\f(1，5)解析從5個數(shù)中任意取出兩個不同的數(shù)，有10種，若取出的兩數(shù)之和等于5，則有(1，4），（2,3），共有2種,所以取出的兩數(shù)之和等于5的概率為eq\f(2,10）＝eq\f(1,5）。6．袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球,2個白球和3個黑球．從袋中任取兩球,兩球顏色為一白一黑的概率為________．答案eq\f（2,5)解析設(shè)袋中紅球用a表示，2個白球分別用b1，b2表示，3個黑球分別用c1，c2，c3表示,則從袋中任取兩球所含基本事件為（a，b1）,（a，b2），(a，c1)，（a，c2），（a，c3)，（b1,b2),（b1,c1)，（b1，c2)，（b1,c3），（b2,c1），（b2，c2），(b2，c3），(c1,c2），(c1，c3），(c2,c3),共15個．兩球顏色為一白一黑的基本事件有：(b1，c1）,(b1，c2），(b1，c3），（b2，c1），(b2,c2)，（b2，c3）,共6個．所以其概率為eq\f(6,15）＝eq\f（2，5）。7．從｛1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個數(shù)為a,從{1，2,3｝中隨機(jī)選取一個數(shù)為b,則b〉a的概率是________．答案eq\f(1，5)解析設(shè)所取的數(shù)中b〉a為事件A，如果把選出的數(shù)a，b寫成一數(shù)對（a，b）的形式，則基本事件有(1，1），(1，2），(1，3）,(2，1），(2，2)，（2,3），（3,1)，(3,2)，（3，3）,(4,1)，(4,2），（4,3)，（5，1)，（5，2)，（5，3)，共15個，事件A包含的基本事件有(1,2)，（1，3）,（2，3)，共3個，因此所求的概率P（A)＝eq\f（3，15）＝eq\f(1，5).8．若以連續(xù)擲兩顆骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)m，n作為點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)，則點(diǎn)P落在圓x2＋y2＝9內(nèi)的概率為________．答案eq\f(1，9)解析擲骰子共有6×6＝36（種）可能情況，而落在x2＋y2＝9內(nèi)的情況有：（1,1)，(1，2)，(2，1）,(2，2),共4種,故所求概率P＝eq\f(4，36）＝eq\f（1，9）.9．從三男三女共6名學(xué)生中任選2名（每名同學(xué)被選中的概率均相等）,則2名都是女同學(xué)的概率為________．答案eq\f(1,5）解析用A,B，C表示三名男同學(xué)，用a，b，c表示三名女同學(xué)，則從6名同學(xué)中選出2人的所有選法為AB，AC,Aa，Ab，Ac,BC,Ba，Bb，Bc,Ca,Cb,Cc，ab，ac，bc,2名都是女同學(xué)的選法為ab，ac，bc,故所求的概率為eq\f（3，15)＝eq\f(1,5)。10．從1，2,3，4,5這5個數(shù)字中,不放回地任取兩個數(shù),兩個數(shù)都是奇數(shù)的概率是________．答案eq\f（3,10）解析基本事件有（1,2),（1，3)，（1，4)，(1，5），(2，3），（2,4),（2，5)，（3,4)，（3,5），(4,5），共10個，而兩個數(shù)都是奇數(shù)的有（1,3),（1，5），(3,5),共3個．故所求概率P＝eq\f(3，10）.11．先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,2，3,4,5,6），骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，則log2xy＝1的概率為________．答案eq\f（1，12)解析所有基本事件的個數(shù)為6×6＝36。由log2xy＝1得2x＝y(tǒng)，其中x，y∈｛1，2,3,4，5，6}，所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1，,y＝2）)或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4)）或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝3，，y＝6,)）滿足log2xy＝1,故事件“l(fā)og2xy＝1”包含3個基本事件，所以所求的概率為P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1，12）。二、解答題12．從A，B,C，D，E，F(xiàn)6名學(xué)生中選出4名參加數(shù)學(xué)競賽．（1）寫出這個試驗(yàn)的所有基本事件;（2)求這個試驗(yàn)的基本事件總數(shù);（3)寫出試驗(yàn)“A沒被選中”所包含的基本事件．解（1)這個試驗(yàn)的所有基本事件如下：(A,B，C，D），(A，B，C，E），（A，B，C，F(xiàn)),（A，B，D，E），（A，B,D,F)，（A，B，E，F(xiàn)），(A,C，D，E）,（A,C，D，F(xiàn))，（A，C,E,F），(A，D，E，F(xiàn))，(B，C，D,E），（B，C，D，F(xiàn)），（B，C，E，F(xiàn)），(B，D，E，F(xiàn)），(C，D,E，F(xiàn)）．(2)從6名學(xué)生中選出4名參加數(shù)學(xué)競賽，共有15種可能情況，即基本事件的總數(shù)為15.(3)“A沒被選中”包含下列5個基本事件：（B，C，D,E），(B，C，D,F)，（B，C，E，F(xiàn))，(B,D，E，F(xiàn))，(C,D，E，F(xiàn))．13．某學(xué)校要從藝術(shù)節(jié)活動中所產(chǎn)生的4名書法比賽一等獎的同學(xué)和2名繪畫比賽一等獎的同學(xué)中選出2名志愿者，參加某項(xiàng)活動的志愿服務(wù)工作．（1）求選出的兩名志愿者都是獲得書法比賽一等獎的同學(xué)的概率；（2）求選出的兩名志愿者中一名是獲得書法比賽一等獎，另一名是獲得繪畫比賽一等獎的同學(xué)的概率．解把4名獲書法比賽一等獎的同學(xué)編號為1,2,3，4；2名獲繪畫比賽一等獎的同學(xué)編號為5，6。從6名同學(xué)中任選兩名的所有可能結(jié)果如下：(1，2），（1,3），（1,4），(1，5)，（1,6)，（2，3）,(2，4)，(2，5)，（2，6），（3,4)，（3,5），（3，6）,（4，5),（4,6)，（5,6)，共15個．（1)從6名同學(xué)中任選兩名，都是書法比賽一等獎的所有可能結(jié)果如下:（1，2)，(1,3），（1，4）,(2，3），（2，4），(3,4)，共6個．所以選出的兩名志愿者都是書法比賽一等獎的概率是P1＝eq\f（6，15）＝eq\f（2,5).（2)從6名同學(xué)中任選兩名，一名是書法比賽一等獎，另一名是繪畫比賽一等獎的所有可能結(jié)果如下：（1，5）,(1，6)，(2,5)，(2,6），（3,5），（3,6）,(4,5)，(4,6），共8個．所以選出的兩名志愿者一名是書法比賽一等獎,另一名是繪畫比賽一等獎的概率是P2＝eq\f（8，15).三、探究與拓展14．一次擲兩枚骰子，得到的點(diǎn)數(shù)為m和n，則關(guān)于x的方程x2＋（m＋n)x＋4＝0有實(shí)數(shù)根的概率是________．答案eq\f(11,12)解析基本事件共有36個．因?yàn)榉匠逃袑?shí)根，所以Δ＝（m＋n）2－16≥0。所以m＋n≥4，其對立事件是m＋n＜4