平行線拐點(diǎn)問題六種模型題型

初一下學(xué)期，平行線拐角模型之豬蹄、臭腳、骨折模型，模型解題平行線拐角模型除鉛筆模型外，本章介紹拐角模型剩下的三個模型：豬蹄模型、臭腳模型和骨折模型，以及利用這三個模型進(jìn)行解題。?豬蹄”模型〃豬蹄”模型該模型類似英文字母"M我們稱之為M模型，也類似豬蹄，又稱之為豬蹄”模型。滿足的條件為：點(diǎn)P在直線BC的左側(cè)，在直線AB與直線CD的內(nèi)部。結(jié)論為：若AB/CD,則/P=ZB+ZC。證明的方法與上一篇鉛筆”模型類似，我們提供一種思路進(jìn)行驗(yàn)證。證明：過點(diǎn)P作PEIIAB,可得:ZB=ZBPEABIICDaPEIICD.\zC=zCPEvzBPC=zBPE+zCPE/.zBPE=zB+zCp

■臭腳”模型臭腳”模型需要滿足的條件為：點(diǎn)P在直線BC的右側(cè)，在直線AB、CD外部。結(jié)論為:/P="BP-/DCP或/P=ZDCP-〃BP。要證明這個結(jié)論，需要用到的知識點(diǎn)有：平行線的性質(zhì)與三角形的外角等于兩個不相鄰的內(nèi)角和。證明：延長PB交CD于點(diǎn)Q'/ABllCD.\zABP-zDQP,.zDQP=nC+nP.*zABP=/C+nP當(dāng)然，也可以利用作平行線的方法來進(jìn)行證明

證明：過點(diǎn)P作PQIICD,則/QPC=2dCP又；ABIICD/-ABIIPQJ./ABP=/BPQ；/BPQ=nBPC+nCPQ"BPQ=nBPC+nDCP■骨折”模型p”骨折〃模型骨折”模型需滿足的條件：點(diǎn)P在直線BC左側(cè)，在直線AB與直線CD外部。結(jié)論為:/P=/DCP-〃BP。證明的方法與前三種模型類似，這邊不再重復(fù)證明，可以作任意一邊的平行線為輔助線，也可以利用平行線的性質(zhì)與三角形的外角等于兩個不相鄰的內(nèi)角和來進(jìn)行證明。■I1型應(yīng)用;（1）若/E=60°,3）;（1）若/E=60°,3）如圖2,已知例題1:(2019秋金鳳區(qū)校級期末)如圖1,已知AB/CD,/B=30°,ZD=12(J則/F=:;(2)請?zhí)剿鱖E與/F之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說明理由；(EP平分/BEF,FG平分ZEFD,反向延長FG交EP于點(diǎn)P,求/P的度數(shù).解解：（1）如圖1,分別過點(diǎn)E,F作EMIIAB?FNIIAB,aEMIIABIIFN./.zB=zBEM=30afzMEF=zEFNfX'/ABIICD,ABllFN,/<DllFN,/.zD+zDFN=180°,又；nD=1201.\zDFN=6001J.zBEF=zMEF+300rzEFD=zEFN+60Q,/.zEFD=zMEF+60°.\ZEFD=ZBEF+3O°=9O°;(2)如1，分別過點(diǎn)E,F作EMIIABfFNIIAB(2)如/.EMllABllFN,,*.zB=zBEM=30"zMEF=zEFNf又.ABIICD,ABllFNf.\CDllFN,/.zD+zDFN=180°f又；nD=1201「上DFN=60"/.zBEF=zMEF+30",zEFD=zEFN+60'f/.zEFD=zMEF+60°ft\zEFD=zBEF+30";（3）如圖2,過點(diǎn)F作FHllEP1由（2）知,zEFD=zBEF+30°f設(shè)nBEF=2x\貝此EFD=(2x+30):?「EP平分nBEF,GF平分nEFD,i1"PEF=5/BEF=k"nEFG\/EFD=(x+15)\\FHHEPf「zPEF=/EFH=x"zP-zHFG,'/zHFG=zEFG-zEFH=15°f/.zP=15°.例題2:（2019春梁園區(qū)期末）如圖1,AB心D,點(diǎn)E是直線AB、CD之間的一點(diǎn)，連接EA、EC.（1）探究猜想：①若ZA=20°,/C=50°,貝UZAEC=.②若zSA=25°,ZC=40°,則"EC=.③猜想圖1中/EAB、/ECD、zSAEC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.（2）拓

展應(yīng)用：如圖2,AB心D,線段MN把ABCD這個封閉區(qū)域分為I、II兩部分（不含邊界），在利用模型解題前，我們首先要知道這些模型的基本結(jié)構(gòu)，以及證明的過程（這是關(guān)鍵），不單單是記住結(jié)論，因?yàn)轭}目千變?nèi)f化，但是又萬變不離其宗，解題的思路是類似的。通過這兩道例題，我們也可以發(fā)現(xiàn)，遇到平行線拐角模型時，最常做的輔助線為：過拐點(diǎn)作已知直線的平行線。專題01平行線中的拐點(diǎn)問題典例整型一內(nèi)TOC\o"1-5"\h\zCom?福州三模）如圖，已知IZACD=XOOa,則上口的度數(shù)是（）AJDEA.40*B.SO*C,60*D,SO*【點(diǎn)睛】首先過C作再證明匈?“的C”以品根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，ZD=左皿進(jìn)而得到答案，工解析】驛，過匚作CF#.IBfA\-S嚴(yán)”*7C/.zls/>.'.Zd=Z^C7=40fl,AD-ZFCD,匕Zacd—i^,:々8=10d~405=8"?b-iZ2J—(50故送；C.2.(2020?賈塘區(qū)期末)如圖，直線4=125°,/B=S5°,則Nl-/2=30°【點(diǎn)睛】過點(diǎn)工作A的平行線，過點(diǎn)3作匕的平行線，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得N3=N1,Z4=Z2,再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出NC.45-Nz?)=160°,然后計算即可得解.【解析】解：如圖，過點(diǎn)/作h的平行線，過點(diǎn)5作，2的平行線，.*.Z3=Z1,Z4=Z2,：.ACllBD,???NC4B-N?)=180°,/.Z3-Z4=125°+85°-180°=30°>.?.Zl-Z2=30".故答案為30°.3.（2020?漉溪期末）如圖所示，已知ABHCD,B尸平分NABE,。尸平分NCQE,NSED=115°,那么NBFD的度數(shù)是（）:McDA.62°B.64°C.57.5°D.60°【點(diǎn)睛】過E作EG也正，過F作FH〃AS,依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到乙出Er/CQE=115°,再根據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)，即可得出/即吟的度數(shù).【解析】解：如圖，過E作過尸作尸H也仍，'.'ABHCD,：.EGUCD,FHltCD,/：.ZABE=ZGEB,ZCDE=AGED>產(chǎn)弋0ZBED=^4BE-ZCDE=115°,C又二B產(chǎn)平分4班，D尸平分NCQE,:.Zabf=%Zabe?4cdf=a4cde,：?ZaBF-NCDF='(ZABE-ZCDE)=57.5°,'.'ABllFHlICD,:.Xabf=zbfh,Zcdf=Zdfh,：.Z￡FD=￡BFH-￡DFH=ZABF-^CDF=57.5°,故選：C.騏例題型二夕出理4,(二0二。，沙坪壩區(qū)校級月考)如圈，&#入Zl=55fl,N2=130。，則/3=()A-100&D-105*C-110*D-lir【點(diǎn)睛】作平行線，構(gòu)建平行線的性質(zhì)可得/5的度數(shù)，由平角的定義可得N4的度射，從而得給論.【解析】解：過且作e#@F，Z3-/4=lg(T,Rus，△-0=1加"，?「』2二1%‘.，/5=5-,.,.Z4=180s-55i-50°=75*,.■■Z3^1S0°—75*=105".故選；B.七年級下學(xué)期，平行線常見四種易錯題型分析平行線四大拐點(diǎn)模型：鉛筆”模型、豬蹄”模型、臭腳”模型、骨折”模型，這四類模型的共通點(diǎn)是需要做輔助線，做輔助線的方法比較多，通用的方法為：過拐點(diǎn)作已知直線的平行線。本篇內(nèi)容，接著介紹平行線中常見的六種易錯題型。01性質(zhì)定理與判定定理的區(qū)分在剛開始學(xué)習(xí)寫證明題時，要求我們做到每一步都有理有據(jù)，因此需要在每一步后面寫上得到的理由，寫理由時一定要分清是性質(zhì)定理還是還是判定定理。很多學(xué)生剛開始學(xué)時，不知道使用哪個定理，分不清什么是性質(zhì)定理，什么是判定定理。要分清它們，只要注意：（1）由角得到直線平行，是判定定理，選擇①同位角相等，兩直線平行；②內(nèi)錯角相等，兩直線平行；③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，這三個定理之一。（2）由平行的直線得到角的關(guān)系，是性質(zhì)定理，選擇①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內(nèi)錯角相等；③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，這三個定理之一。例題1:如圖,BD±ACfEF±ACXD.F分別為垂足，且n1=n4,求證:zADG=zC【分析】先由垂直的定義得到：Z2=Z3,然后由同位角相等，兩直線平行得到：EF/BD,再由兩直線平行，同位角相等得到："=/5,然后根據(jù)等量代換得到：Z1=/5,再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行得到：DG/BC,最后由兩直線平行，同位角相等即可證〃DG=/C.

例題2:如圖，下列說A./A與例題2:如圖，下列說A./A與/B是同旁區(qū)B./I與/2是對頂角C./2與nA是內(nèi)錯角D.N2與/3是同位角直線平行，同位角相等）24二N5(VZ1=Z4（已知）21二N5（等量代換），DGIIBC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），nADG=/C（兩直線平行，同位角相等）.證明：'BD^AC,EF_LAC（已知），n2=n3=90。（垂直的定義），BDIIEF（同位角相等，兩直線平行）02三線八角理解不透徹很多學(xué)生遇到兩條平行線被第三條直線所截時，會找同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，但是遇到兩條相交線被第三條直線所截時，卻不會找了，主要原因就是對主線八角”理解不透徹。要想準(zhǔn)確地解決這類問題，首先要明確三種角的位置特點(diǎn)，在前一篇文章中我們特地介紹過，七年級下學(xué)期，三線八角、平行線的性質(zhì)與判定定理，掌握解題訣竅其次要搞清楚被哪條直線所截?！痉治觥俊ㄅc/B的共邊線為直線AB,那么直線AB為截線，即直線AC與直線BC被第三條直線AB所截，那么〃與ZB是同旁內(nèi)角，正確；/1與Z2是鄰補(bǔ)角，錯誤；Z2與〃的共邊線為直線AC,是同位角，錯誤；Z2與/3是內(nèi)錯角，錯誤。03對平行線的概念理解不透徹例題3:判斷題：同一平面內(nèi)不相交的兩條線，叫做平行線.【分析】這句話，乍看沒有問題，但是細(xì)看的話，與定義有出入。平行的含義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線；可知平行的前提：這兩條線必須是直線。而題目中只是說是兩條線”，兩條線的情況很多：兩條都是直線；兩條都是線段；兩條都是射線；一條直線、一條線段等等，因此這句話是錯誤的。04不能很好的識別復(fù)雜圖形在復(fù)雜的圖形中正確地找出同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角，是運(yùn)用平行線的判定或性質(zhì)的前提。例題4:如圖.已知：EF±ACf垂足為點(diǎn)F,DM±ACf垂足為點(diǎn)M.DM的延長線交AB于點(diǎn)B,且N1=NC,點(diǎn)N在AD上|且n2=n3,試說明ABIIMNX1\\K\\

【分析】首先證明EF/DM可得/3=/CDM,進(jìn)而可得Z2=/CDM,可證明MN/CD,再根據(jù)平行線的性質(zhì)