橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)

.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程問題導(dǎo)學(xué)1．橢圓的概念：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于________(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做________．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的________，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的________．當(dāng)|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|時(shí)，軌跡是__________，當(dāng)|PF1|＋|PF2|<|F1F2|時(shí)2．橢圓的方程：焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________，焦點(diǎn)坐標(biāo)為________________，焦距為________；焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．一、橢圓的定義及應(yīng)用活動(dòng)與探究1(1)橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為()A．5B．6C．4D．10(2)已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，在△AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長(zhǎng)度為______．遷移與應(yīng)用設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0＜b＜1)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列，則|AB|＝______．二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及應(yīng)用活動(dòng)與探究2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，并且橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)的距離的和等于10；(2)焦點(diǎn)分別為(0，－2)，(0,2)，經(jīng)過點(diǎn)(4,3eq\r(2))；(3)經(jīng)過兩點(diǎn)(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))．遷移與應(yīng)用1．若方程eq\f(x2,5－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則k的取值范圍是__________．2．兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(3,0)和(－3,0)且經(jīng)過點(diǎn)(5,0)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________．(1)利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟可總結(jié)如下：①由焦點(diǎn)坐標(biāo)確定方程是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，還是eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)；②運(yùn)用定義、平方關(guān)系等求出a，b．(2)當(dāng)焦點(diǎn)不確定時(shí)，可設(shè)方程為Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，且A≠B)，這樣可以避免討論．三、焦點(diǎn)三角形問題活動(dòng)與探究3如圖所示，已知橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，若點(diǎn)P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面積．遷移與應(yīng)用已知P是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積．四、與橢圓有關(guān)的軌跡問題活動(dòng)與探究4(1)已知圓x2＋y2＝9，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP′，點(diǎn)M在PP′上，并且eq\o(PM,\s\up6(→))＝2eq\o(MP′,\s\up6(→))，求點(diǎn)M的軌跡．(2)已知在△ABC中，|BC|＝6，周長(zhǎng)為16，那么頂點(diǎn)A在怎樣的曲線上運(yùn)動(dòng)？遷移與應(yīng)用如圖，在圓C：(x＋1)2＋y2＝25內(nèi)有一點(diǎn)A(1,0)，Q為圓C上一點(diǎn)，AQ的垂直平分線與C，Q的連線交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程．解決與橢圓有關(guān)的軌跡問題，一般有兩種方法：(1)定義法用定義法求橢圓方程的思路是：先觀察、分析已知條件，看所求動(dòng)點(diǎn)軌跡是否符合橢圓的定義．若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可．(2)相關(guān)點(diǎn)法有些問題中的動(dòng)點(diǎn)軌跡是由另一動(dòng)點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的，只要把所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)“轉(zhuǎn)移”到另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中所遵循的條件中去，即可解決問題，這種方法稱為相關(guān)點(diǎn)法．用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的步驟：①設(shè)所求軌跡上的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，再設(shè)具有某種運(yùn)動(dòng)規(guī)律f(x，y)＝0上的動(dòng)點(diǎn)Q(x′，y′)；②找出P，Q之間坐標(biāo)的關(guān)系，并表示為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝φ1x，y，,y′＝φ2x，y；))③將x′，y′代入f(x，y)＝0,即得所求軌跡方程．2．eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a2＝b2＋c2課堂·合作探究活動(dòng)與探究1(1)思路分析：eq\x(求出a)→eq\x(\a\al(|PF1|＋|PF2|＝,2a>|F1F2|))→eq\x(\a\al(求出P到另一,個(gè)焦點(diǎn)的距離))A解析：點(diǎn)P到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2a＝10,10－5＝5．(2)思路分析：結(jié)合圖形，利用定義求第三邊．6解析：由已知a2＝16，a＝4．從而由橢圓定義得|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，∴△AF1B的周長(zhǎng)為|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝16．又知三角形有兩邊之和為10，∴第三邊的長(zhǎng)度為6．遷移與應(yīng)用eq\f(4,3)解析：由橢圓定義知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝eq\f(4,3)．活動(dòng)與探究2思路分析：(1)由已知可得a，c的值，由b2＝a2－c2可求出b，再根據(jù)焦點(diǎn)位置寫出橢圓的方程．(2)利用兩點(diǎn)間的距離公式求出2a，再寫方程；也可用待定系數(shù)法．(3)利用待定系數(shù)法，但需討論焦點(diǎn)的位置．也可利用橢圓的一般方程Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)直接求A，B得方程．解：(1)由題意可知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且c＝4，2a＝10，所以a＝5，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(25－16)＝3．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1．(2)(方法一)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．由橢圓的定義知2a＝eq\r(4－02＋3\r(2)＋22)＋eq\r(4－02＋3\r(2)－22)＝12，所以a＝6．又c＝2，所以b＝eq\r(a2－c2)＝4eq\r(2)．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,32)＝1．(方法二)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以可設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(18,a2)＋\f(16,b2)＝1，,a2＝b2＋4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝36，,b2＝32.))所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,32)＝1．(3)(方法一)若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＝\f(1,8)，,\f(1,b2)＝\f(1,4).))所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1．同理可得：焦點(diǎn)在y軸上的橢圓不存在．綜上，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1．(方法二)設(shè)橢圓的一般方程為Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．將兩點(diǎn)(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1．遷移與應(yīng)用1．(3,4)解析：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－k>k－3，,k－3>0，))解得3＜k＜4．2．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1解析：易知c＝3，a＝5，則b2＝a2－c2＝16．又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，∴所求橢圓的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1．活動(dòng)與探究3思路分析：由余弦定理和橢圓定義分別建立|PF1|，|PF2|的方程，求出|PF1|，|PF2|后，再求△PF1F2的面積．解：由已知a＝2，b＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(4－3)＝1，|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，①由橢圓定義，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|，②將②代入①解得|PF1|＝eq\f(6,5)．∴＝eq\f(1,2)|PF1|·|F1F2|·sin120°＝eq\f(1,2)×eq\f(6,5)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),5)，即△PF1F2的面積是eq\f(3,5)eq\r(3)．遷移與應(yīng)用解：在橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，則|F1F2|＝8，|PF1|＋|PF2|＝10．①由余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos60°＝64．②①2－②得|PF1||PF2|＝12．∴S＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin60°＝eq\f(1,2)×12×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3)．活動(dòng)與探究4(1)思路分析：先設(shè)出M的坐標(biāo)(x，y)，用x，y表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓方程即可．解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則x0＝x，y0＝3y．因?yàn)镻(x0，y0)在圓x2＋y2＝9上，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝9．將x0＝x，y0＝3y代入圓方程，得x2＋9y2＝9．即eq\f(x2,9)＋y2＝1．又y≠0，所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓，且除去(3,0)和(－3,0)兩點(diǎn)．(2)思路分析：利用橢圓的定義解決，最后要注意檢驗(yàn)．解：由|AB|＋|BC|＋|AC|＝16，|BC|＝6，可得|AB|＋|AC|＝10＞6＝|BC|，故頂點(diǎn)A在以B，C為焦點(diǎn)，到兩焦點(diǎn)距離的和等于10的一個(gè)橢圓上運(yùn)動(dòng)，且除去BC直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)．遷移與應(yīng)用解：由題意知M在線段CQ上，從而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|．又M在AQ的垂直平分線上，連接AM，則|MA|＝|MQ|，∴|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5＞|AC|＝2．∴M的軌跡是以C(－1,0)，A(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝5，∴a＝eq\f(5,2)，c＝1，b2＝a2－c2＝eq\f(21,4)．∴M的軌跡方程為eq\f(x2,\f(25,4))＋eq\f(y2,\f(21,4))＝1，即eq\f(4x2,25)＋eq\f(4y2,21)＝1．當(dāng)堂檢測(cè)1．設(shè)P是橢圓上的點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．10答案：D解析：由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝2a．∵a2＝25，∴2a＝10．∴|PF1|＋|PF2|＝10．2．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(－4,0)和(4,0)B．(0，)和(0，)C．(－3,0)和(3,0)D．(0，－9)和(0,9)答案：C解析：由已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且a2＝16，b2＝7，∴c2＝9，c＝3．∴橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－3,0)和(3,0)．3．已知橢圓的焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是()A．圓B．橢圓C．拋物線D．無法確定答案：A解析：由題意得|PF1|＋|PF2|＝2a(a為大于零的常數(shù)，且2a＞|F1F2|)，|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a，即|F1Q|＝2a．∴動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)F1的距離等于定長(zhǎng)2a，故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是圓．4．已知P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，且∠F1PF2＝90°，則△PF1F2的面積是______．答案：16解析：由橢圓定義知：|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，①又∵∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝36．②①2－②得|PF1|·|PF2|＝32．∴S＝|PF1|·|PF2|＝16．5．已知橢圓上一點(diǎn)M到左焦點(diǎn)F1的距離為6，N是MF1的中點(diǎn)，則|ON|＝______．答案：2解析：設(shè)右焦點(diǎn)為F2，連接F2M，∵O為F1F2的中點(diǎn)，N是MF1的中點(diǎn)，∴|ON|＝|MF2|．又∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝6，∴|MF2|＝4，∴|ON|＝2．2.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第1課時(shí)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【問題導(dǎo)思】已知兩橢圓C1、C2的標(biāo)準(zhǔn)方程：C1：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，C2：eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1.1．橢圓C1的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，a、b、c分別是多少？橢圓C2呢？【提示】C1：焦點(diǎn)在x軸上，a＝5，b＝4，c＝3，C2：焦點(diǎn)在y軸上，a＝5，b＝4，c＝3.2．怎樣求C1、C2與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)？交點(diǎn)坐標(biāo)是什么？【提示】對(duì)于方程C1：令x＝0，得y＝±4，即橢圓與y軸的交點(diǎn)為(0,4)與(0，－4)；令y＝0得x＝±5，即橢圓與x軸的交點(diǎn)為(5,0)與(－5,0)．同理得C2與y軸的交點(diǎn)(0,5)，(0，－5)，與x軸的交點(diǎn)(4,0)(－4,0).焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程圖像續(xù)表焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)＝2b，長(zhǎng)軸長(zhǎng)＝2焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝對(duì)稱性對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心為(0,0)離心率e＝eq\f(c,a)1．定義橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比e＝eq\f(c,a)，叫做橢圓的離心率．2．性質(zhì)離心率e的范圍是(0,1)．當(dāng)e越接近于1，橢圓越扁，當(dāng)e越接近于0，橢圓就越接近于圓．類型一：由橢圓方程研究幾何性質(zhì)已知橢圓16x2＋9y2＝1，求橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距和離心率．【自主解答】將橢圓方程化為eq\f(x2,\f(1,16))＋eq\f(y2,\f(1,9))＝1，則a2＝eq\f(1,9)，b2＝eq\f(1,16)，橢圓焦點(diǎn)在y軸上，c2＝a2－b2＝eq\f(1,9)－eq\f(1,16)＝eq\f(7,144)，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±eq\f(1,3))，(±eq\f(1,4)，0)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±eq\f(\r(7),12))，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為eq\f(2,3)，短軸長(zhǎng)為eq\f(1,2)，焦距為eq\f(\r(7),6)，離心率為eq\f(\r(7),4).變式練習(xí)：本例中，若把橢圓方程改為“25x2＋16y2＝400”【解】將方程變形為eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1，得a＝5，b＝4，所以c＝3.故橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別為2a＝10和2b＝8，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(0，－5)，A2(0,5)，B1(－4,0)，B2(4,0).類型二：由橢圓的幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且過點(diǎn)(2，－6)；(2)過(3,0)點(diǎn)，離心率e＝eq\f(\r(6),3).【自主解答】(1)由題意知2a＝4b，∴a＝2b設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1，代入點(diǎn)(2，－6)得，eq\f(4,a2)＋eq\f(36,b2)＝1或eq\f(36,a2)＋eq\f(4,b2)＝1，將a＝2b代入得，a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13，故所求的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,148)＋eq\f(y2,37)＝1或eq\f(y2,52)＋eq\f(x2,13)＝1.(2)當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，有a＝3，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，∴c＝eq\r(6)，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1；當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，b＝3，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，∴eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(6),3)，∴a2＝27，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,27)＝1.故所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,27)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1.分別求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是6，離心率是eq\f(2,3)；(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)，與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6.【解】(1)設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．由已知得2a＝6，a＝3.e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)，∴c＝2.∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1或eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．如圖所示，△B1FB2為一等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|＝c，|B1B2|＝2b∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.類型三：求橢圓的離心率(1)已知橢圓的焦距與短軸長(zhǎng)相等，求其離心率．(2)若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，求該橢圓的離心率．【自主解答】(1)由題意得：b＝c，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(c2,b2＋c2)＝eq\f(c2,2c2)＝eq\f(1,2).∴e＝eq\f(\r(2),2).(2)∵橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)度、短軸長(zhǎng)度與焦距成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2.又∵a2＝b2＋c2，∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2即3a2－2ac－5c2＝0，∴(a＋c)(3a－∵a＋c≠0，∴3a－5c＝0，∴3a＝5c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5).求橢圓離心率的常用方法：1．直接法：求出a、c后用公式e＝eq\f(c,a)求解；或求出a、b后，用公式e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解．2．轉(zhuǎn)化法：將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b、c的關(guān)系式，用b2＝a2－c2消去b，構(gòu)造關(guān)于eq\f(c,a)的方程來求解．(1)求橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1的離心率．(2)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2，點(diǎn)A為橢圓上一點(diǎn)，且eq\o(AF1,\s\up12(→))·eq\o(AF2,\s\up12(→))＝0，∠AF2F1＝60°，求橢圓的離心率．【解】(1)e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(1－\f(8,16))＝eq\r(\f(1,2))＝eq\f(\r(2),2).(2)設(shè)F1F2＝2c，由題意知，△AF1F2中，∠A＝90°，∠AF2F1＝60°，∴|AF1|＝eq\r(3)c，|AF2|＝c∵|AF1|＋|AF2|＝eq\r(3)c＋c＝2a，即(eq\r(3)＋1)c＝2a，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.混淆長(zhǎng)軸長(zhǎng)與長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的概念致誤求橢圓25x2＋y2＝25的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)．【錯(cuò)解】將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：x2＋eq\f(y2,25)＝1，∴a＝5，b＝1，∴長(zhǎng)軸長(zhǎng)是5，短軸長(zhǎng)是1.【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中將長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)與長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)混淆了，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤．【防范措施】根據(jù)定義，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b，往往與長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a、短半軸長(zhǎng)b【正解】將已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋eq\f(y2,25)＝1.∴a＝5，b＝1，∴2a＝10,2b＝故長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為2.

1．橢圓6x2＋y2＝6的長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(－1,0)、(1,0)B．(－6,0)、(6,0)C．(－eq\r(6)，0)、(eq\r(6)，0)D．(0，－eq\r(6))、(0，eq\r(6))【解析】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋eq\f(y2,6)＝1，焦點(diǎn)在y軸上，其長(zhǎng)軸的端點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±eq\r(6))．【答案】D2．橢圓x2＋4y2＝1的離心率為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(2,3)【解析】橢圓方程可化為x2＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1，∴a2＝1，b2＝eq\f(1,4)，∴c2＝eq\f(3,4)，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(3,4)，∴e＝eq\f(\r(3),2).【答案】A3．若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,m)＝1的離心率為eq\f(1,2)，則m等于()A.eq\r(3) B.eq\f(3,2)C.eq\f(8,3) D.eq\f(2,3)【解析】∵橢圓焦點(diǎn)在x軸上，∴0＜m＜2，a＝eq\r(2)，c＝eq\r(2－m)，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2－m),\r(2))＝eq\f(1,2).故eq\f(2－m,2)＝eq\f(1,4)，∴m＝eq\f(3,2).【答案】B4．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為eq\f(4,5)，一個(gè)焦點(diǎn)是(0,4)，求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解】由題意：c＝4，e＝eq\f(4,5)，∴a＝5，∴b2＝a2－c2＝9.又橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，∴其標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1.一、選擇題1．(2013·濟(jì)南高二檢測(cè))若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距為6，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1B.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1或eq\f(y2,100)＋eq\f(x2,64)＝1D.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1【解析】由題意2a＝10,2c＝6，∴a＝5，b2＝16【答案】D2．橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1有()A．相同短軸B．相同長(zhǎng)軸C．相同離心率 D．以上都不對(duì)【解析】由于橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1中，焦點(diǎn)的位置不確定，故無法確定兩橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、離心率的關(guān)系．【答案】D3．曲線eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1與eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(0<k<9)的關(guān)系是()A．有相等的焦距，相同的焦點(diǎn)B．有相等的焦距，不同的焦點(diǎn)C．有不等的焦距，不同的焦點(diǎn)D．以上都不對(duì)【解析】曲線eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1焦距為2c＝8，而曲線eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)(10＜k＜9)表示的橢圓的焦距也是8，但由于焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸不同，故選B.【答案】B4．過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，若∠F1PF2＝60°，則橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)【解析】Rt△PF1F2中，|F1F2|＝2c，∠F1PF2∴|PF1|＝eq\f(2c,\r(3))，|PF2|＝eq\f(4c,\r(3))，∴|PF1|＋|PF2|＝eq\f(6c,\r(3))＝2a，a＝eq\r(3)c.∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).【答案】B6．(2013·蘭州高二檢測(cè))若橢圓eq\f(x2,k＋8)＋eq\f(y2,9)＝1的離心率為eq\f(2,3)，則k的值為________．【解析】若焦點(diǎn)在x軸上，則eq\f(9,k＋8)＝1－(eq\f(2,3))2＝eq\f(5,9)，k＝eq\f(41,5)；若焦點(diǎn)在y軸上，則eq\f(k＋8,9)＝eq\f(5,9)，∴k＝－3.【答案】eq\f(41,5)或－37．橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，則此橢圓的離心率為________．【解析】如圖所示，△AF1F2∴OA＝OF1，即c＝b，又∵a2＝b2＋c2＝2c2，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).【答案】eq\f(\r(2),2)8．一個(gè)頂點(diǎn)為(0,2)，離心率e＝eq\f(1,2)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓方程為________．【解析】(1)當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由已知得b＝2，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴a2＝eq\f(16,3)，b2＝4，∴方程為eq\f(3x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由已知得a＝2，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴a2＝4，b2＝3，∴方程為eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1.【答案】eq\f(3x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1或eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1三、解答題9．(1)求與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同的焦點(diǎn)，且離心率為eq\f(\r(5),5)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離為8，兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(－6,0)，(6,0)，求焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解】(1)∵c＝eq\r(9－4)＝eq\r(5)，∴所求橢圓的焦點(diǎn)為(－eq\r(5)，0)，(eq\r(5)，0)．設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5)，c＝eq\r(5)，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20.∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1.(2)因橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．∵2c＝8，∴c＝4又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1.10．已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2是正三角形，求該橢圓的離心率．【解】如圖，不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，∵AB⊥F1F2，且△ABF2∴在Rt△AF1F2中，∠AF2F1令|AF1|＝x，則|AF2|＝2x.∴|F1F2|＝eq\r(|AF2|2－|AF1|2)＝eq\r(3)x＝2c.由橢圓定義，可知|AF1|＋|AF2|＝2a∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(\r(3)x,3x)＝eq\f(\r(3),3).第2課時(shí)橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用一：點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系點(diǎn)與橢圓有幾種位置關(guān)系？三種位置關(guān)系：點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在橢圓內(nèi)，點(diǎn)在橢圓外．設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．(1)點(diǎn)P在橢圓上?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；(2)點(diǎn)P在橢圓內(nèi)?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＜1；(3)點(diǎn)P在橢圓外?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＞1.二：直線與橢圓的位置關(guān)系1．直線與橢圓有幾種位置關(guān)系？【提示】三種位置關(guān)系：相離、相切、相交．2．我們知道，可以用圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系，這種方法稱為幾何法，能否用幾何法判斷直線與橢圓的位置關(guān)系？【提示】不能．3．用什么方法判斷直線與橢圓的位置關(guān)系？【提示】代數(shù)法．直線y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的位置關(guān)系聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一個(gè)一元二次方程．位置關(guān)系解的個(gè)數(shù)Δ的取值相交兩解Δ＞0相切一解Δ＝0相離無解Δ＜0一：直線與橢圓的位置關(guān)系的判定當(dāng)m為何值時(shí)，直線y＝x＋m與橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1相交、相切、相離？【自主解答】聯(lián)立方程組得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，①,\f(x2,4)＋y2＝1，②))將①代入②得eq\f(x2,4)＋(x＋m)2＝1，整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m當(dāng)Δ＞0，即－eq\r(5)＜m＜eq\r(5)時(shí)，方程③有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，代入①可得到兩個(gè)不同的公共點(diǎn)坐標(biāo)，此時(shí)直線與橢圓相交；當(dāng)Δ＝0，即m＝－eq\r(5)或m＝eq\r(5)時(shí)，方程③有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，代入①可得到一個(gè)公共點(diǎn)坐標(biāo)，此時(shí)直線與橢圓相切；當(dāng)Δ＜0，即m＜－eq\r(5)或m＞eq\r(5)時(shí)，方程③沒有實(shí)數(shù)根，直線與橢圓相離．試判斷直線y＝x－eq\f(1,2)與橢圓x2＋4y2＝2的位置關(guān)系．【解】聯(lián)立方程組得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－\f(1,2)，,x2＋4y2＝2，))消去y，整理得5x2－4x－1＝0， (*)Δ＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0，即方程(*)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以方程組有兩組解，即直線和橢圓相交．二：直線與橢圓相交問題已知橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1和點(diǎn)P(4,2)，直線l經(jīng)過點(diǎn)P且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．(1)當(dāng)直線l的斜率為eq\f(1,2)時(shí)，求線段AB的長(zhǎng)度；(2)當(dāng)P點(diǎn)恰好為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，求l的方程．【思路探究】(1)你能寫出直線方程嗎？怎樣求此直線在橢圓上截得的弦長(zhǎng)的長(zhǎng)度？(2)點(diǎn)P與A、B的坐標(biāo)之間有怎樣的關(guān)系？能否用根與系數(shù)的關(guān)系求得直線的斜率？【自主解答】(1)由已知可得直線l的方程為y－2＝eq\f(1,2)(x－4)，即y＝eq\f(1,2)x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x，,\f(x2,36)＋\f(y2,9)＝1，))可得x2－18＝0，若設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝0，x1x2＝－18.于是|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(x1－x22＋\f(1,4)x1－x22)＝eq\f(\r(5),2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(\r(5),2)×6eq\r(2)＝3eq\r(10).所以線段AB的長(zhǎng)度為3eq\r(10).(2)法一：設(shè)l的斜率為k，則其方程為y－2＝k(x－4)．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)＋\f(y2,9)＝1，,y－2＝kx－4，))消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.若設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(32k2－16k,1＋4k2)，由于AB的中點(diǎn)恰好為P(4,2)，所以eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(16k2－8k,1＋4k2)＝4，解得k＝－eq\f(1,2).這時(shí)直線l的方程為y－2＝－eq\f(1,2)(x－4)，即y＝－eq\f(1,2)x＋4.法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),36)＋\f(y\o\al(2,1),9)＝1，,\f(x\o\al(2,2),36)＋\f(y\o\al(2,2),9)＝1，))兩式相減得eq\f(x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1),36)＋eq\f(y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),9)＝0.由于P(4,2)是AB的中點(diǎn)，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，從而(x2－x1)＋2(y2－y1)＝0，kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝－eq\f(1,2)，于是直線AB，即為l的方程為y－2＝－eq\f(1,2)(x－4)，即y＝－eq\f(1,2)x＋4.1．求直線與橢圓相交所得弦長(zhǎng)問題，通常解法是將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，然后消去y(或x)得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式以及根與系數(shù)的關(guān)系求解．也可以直接代入弦長(zhǎng)公式：|P1P2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(y1＋y22－4y1y2)求解．2．解決直線與橢圓相交弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題時(shí)，通常有兩種方法：法一：由直線的方程與橢圓的方程組成的方程組消去y后轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程組求解．法二：通過弦AB的端點(diǎn)的坐標(biāo)是橢圓的方程的解，得到兩個(gè)“對(duì)稱方程”，然后將兩個(gè)方程相減，再變形運(yùn)算轉(zhuǎn)化為直線的斜率公式，這種方法通常稱為“點(diǎn)差法”．過點(diǎn)P(－1,1)的直線與橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)恰為點(diǎn)P，求AB所在的直線方程及弦長(zhǎng)|AB|.【解】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于A，B兩點(diǎn)在橢圓上，∴xeq\o\al(2,1)＋2yeq\o\al(2,1)＝4，xeq\o\al(2,2)＋2yeq\o\al(2,2)＝4.兩式相減，得(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0 ①顯然x1≠x2，故由①得：kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,2y1＋y2). ②又點(diǎn)P(－1,1)是弦AB的中點(diǎn)，∴x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2. ③把③代入②得：kAB＝eq\f(1,2)，∴直線AB的方程為y－1＝eq\f(1,2)(x＋1)，即x－2y＋3＝0由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋3＝0，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))消去y得3x2＋6x＋1＝0，∴x1＋x2＝－2，x1x2＝eq\f(1,3)，|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,4))·eq\f(\r(24),3)＝eq\f(\r(30),3).1．下列在橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1內(nèi)部的點(diǎn)為()A．(eq\r(2)，1)B．(－eq\r(2)，1)C．(2,1) D．(1,1)【解析】點(diǎn)(eq\r(2)，1)，(－eq\r(2)，1)滿足橢圓方程，故在橢圓上；把點(diǎn)(1,1)代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)得：eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)＜1，故點(diǎn)(1,1)在橢圓內(nèi)．【答案】D2．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1有兩個(gè)頂點(diǎn)在直線x＋2y＝2上，則此橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(±eq\r(3)，0)B．(0，±eq\r(3))C．(±eq\r(5)，0)D．(0，±eq\r(5))【解析】∵直線x＋2y＝2過(2,0)和(0,1)點(diǎn)，∴a＝2，b＝1，∴c＝eq\r(3)，橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±eq\r(3)，0)．【答案】A3．直線y＝x＋1被橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1所截得線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)是()A．(eq\f(2,3)，eq\f(5,3))B．(eq\f(4,3)，eq\f(7,3))C．(－eq\f(2,3)，eq\f(1,3)) D．(－eq\f(13,2)，－eq\f(17,2))【解析】聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))消去y得3x2＋4x－2＝0.設(shè)交點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)，中點(diǎn)M(x0，y0)．∴x1＋x2＝－eq\f(4,3)，x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(2,3)，y0＝x0＋1＝eq\f(1,3)，∴中點(diǎn)坐標(biāo)為(－eq\f(2,3)，eq\f(1,3))．【答案】C4．直線2x－y－2＝0與橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1交于A、B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|.【解】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－2＝0，,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，))消去y得3x2－5x＝0，則x1＋x2＝eq\f(5,3)，x1·x2＝0，∴|AB|＝eq\r(1＋k\o\al(2,AB))·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋22)·eq\r(\f(5,3)2－4×0)＝eq\f(5\r(5),3).一、選擇題1．點(diǎn)A(a,1)在橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1的內(nèi)部，則a的取值范圍是()A．－eq\r(2)＜a＜eq\r(2)B．a(chǎn)＜－eq\r(2)或a＞eq\r(2)C．－2＜a＜2D．－1＜a＜1【解析】∵點(diǎn)A(a,1)在橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1內(nèi)部，∴eq\f(a2,4)＋eq\f(1,2)＜1.∴eq\f(a2,4)＜eq\f(1,2).則a2＜2，∴－eq\r(2)＜a＜eq\r(2).【答案】A2．已知直線y＝kx＋1和橢圓x2＋2y2＝1有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是()A．k＜－eq\f(\r(2),2)或k＞eq\f(\r(2),2)B．－eq\f(\r(2),2)＜k＜eq\f(\r(2),2)C．k≤－eq\f(\r(2),2)或k≥eq\f(\r(2),2)D．－eq\f(\r(2),2)≤k≤eq\f(\r(2),2)【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＋2y2＝1，))得(2k2＋1)x2＋4kx＋1＝