金融市場學（第二版） 張亦春 鄭振龍 第十三章 期權(quán)的定價

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期權(quán)價格的特性第一節(jié)

期權(quán)價格的特性一、內(nèi)在價值和時間價值期權(quán)價格等于期權(quán)的內(nèi)在價值加上時間價值。（一）期權(quán)的內(nèi)在價值期權(quán)的內(nèi)在價值（IntrinsicValue）是指多方行使期權(quán)時可以獲得的收益的現(xiàn)值。歐式看漲期權(quán)的內(nèi)在價值為(ST-X)的現(xiàn)值。無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的內(nèi)在價值等于S-Xe-r(T-t),而有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的內(nèi)在價值等于S-D-Xe-r(T-t)。無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)價格等于歐式看漲期權(quán)價格,其內(nèi)在價值也就等于S-Xe-r(T-t)。有收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的內(nèi)在價值也等于S-D-Xe-r(T-t)。（一）期權(quán)的內(nèi)在價值無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的內(nèi)在價值為Xe-r(T-t)-S，有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的內(nèi)在價值為Xe-r(T-t)+D-S。無收益資產(chǎn)美式期權(quán)的內(nèi)在價值等于X-S，有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的內(nèi)在價值等于X+D-S。當然，當標的資產(chǎn)市價低于協(xié)議價格時，期權(quán)多方是不會行使期權(quán)的，因此期權(quán)的內(nèi)在價值應大于等于0。第一節(jié)

期權(quán)價格的特性（二）期權(quán)的時間價值期權(quán)的時間價值（TimeValue）是指在期權(quán)有效期內(nèi)標的資產(chǎn)價格波動為期權(quán)持有者帶來收益的可能性所隱含的價值。顯然，標的資產(chǎn)價格的波動率越高，期權(quán)的時間價值就越大。此外，期權(quán)的時間價值還受期權(quán)內(nèi)在價值的影響。以無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)為例，當S=Xe-r(T-t)時，期權(quán)的時間價值最大。當S-Xe-r(T-t)的絕對值增大時，期權(quán)的時間價值是遞減的，如圖13.1所示。第一節(jié)

期權(quán)價格的特性圖13-1無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)時間價值與S-Xe-r(T-t)的關(guān)系第一節(jié)

期權(quán)價格的特性二、期權(quán)價格的影響因素（一）標的資產(chǎn)的市場價格與期權(quán)的協(xié)議價格（二）期權(quán)的有效期

（三）標的資產(chǎn)價格的波動率（四）無風險利率（五）標的資產(chǎn)的收益第一節(jié)

期權(quán)價格的特性三、期權(quán)價格的上、下限（一）期權(quán)價格的上限

1.看漲期權(quán)價格的上限在任何情況下，期權(quán)的價值都不會超過標的資產(chǎn)的價格。因此，對于對于美式和歐式看跌期權(quán)來說，標的資產(chǎn)價格都是看漲期權(quán)價格的上限：

（13.1）其中，c代表歐式看漲期權(quán)價格，C代表美式看漲期權(quán)價格，S代表標的資產(chǎn)價格。第一節(jié)

期權(quán)價格的特性2.看跌期權(quán)價格的上限由于美式看跌期權(quán)多頭執(zhí)行期權(quán)的最高價值為協(xié)議價格（X），因此，美式看跌期權(quán)價格（P）的上限為X：

（13.2）由于歐式看跌期權(quán)只能在到期日（T時刻）執(zhí)行，在T時刻，其最高價值為X，因此，歐式看跌期權(quán)價格（p）不能超過X的現(xiàn)值：

（13.3）其中，r代表T時刻到期的無風險利率，t代表現(xiàn)在時刻。第一節(jié)

期權(quán)價格的特性（二）期權(quán)價格的下限1.歐式看漲期權(quán)價格的下限(1)無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限為了推導出期權(quán)價格下限，我們考慮如下兩個組合：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金；組合B：一單位標的資產(chǎn)T時刻，組合A

的價值為：

而組合B的價值為ST。第一節(jié)

期權(quán)價格的特性由于，因此，在t時刻組合A的價值也應大于等于組合B，即:c+Xe-r(T-t)≥S

所以c≥S-Xe-r(T-t)

由于期權(quán)的價值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格下限為（13.4）(2)有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限我們只要將上述組合A的現(xiàn)金改為+D，并經(jīng)過類似的推導，就可得出有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限為：

（13.5）

第一節(jié)

期權(quán)價格的特性2.歐式看跌期權(quán)價格的下限(1)無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限考慮以下兩種組合：組合C：一份歐式看跌期權(quán)加上一單位標的資產(chǎn)組合D：金額為的現(xiàn)金在T時刻，組合C的價值為：max（ST,X）假定組合D的現(xiàn)金以無風險利率投資，則在T時刻組合D的價值為X。由于組合C的價值在T時刻大于等于組合D，因此組合C的價值在t時刻也應大于等于組合D，即：第一節(jié)

期權(quán)價格的特性由于期權(quán)價值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格下限為：

（13.6）

第一節(jié)

期權(quán)價格的特性(2)有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限我們只要將上述組合D的現(xiàn)金改為+D

就可得到有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限為：(13.7)從以上分析可以看出，歐式期權(quán)的下限實際上就是其內(nèi)在價值。

第一節(jié)

期權(quán)價格的特性四、提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性（一）提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性1.看漲期權(quán)由于現(xiàn)金會產(chǎn)生收益，而提前執(zhí)行看漲期權(quán)得到的標的資產(chǎn)無收益，再加上美式期權(quán)的時間價值總是為正的，因此我們可以直觀地判斷提前執(zhí)行是不明智的。為了精確地推導這個結(jié)論，我們考慮如下兩個組合：組合A：一份美式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金。組合B：一單位標的資產(chǎn)。T時刻組合A的價值為max(ST,X)，而組合B的價值為ST，可見組合A在T時刻的價值一定大于等于組合B。即如果不提前執(zhí)行，組合A的價值一定大于等于組合B。第一節(jié)

期權(quán)價格的特性若在時刻提前執(zhí)行，則此時組合A的價值為：，而組合B的價值為。由于因此即：若提前執(zhí)行美式期權(quán)，組合A的價值將小于組合B。比較兩種情況可得：提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)是不明智的。因此，同一種無收益標的資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)和歐式看漲期權(quán)的價值是相同的，即：

C=c（13.8）

根據(jù)（13.4），我們可以得到無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)價格的下限：（13.9）第一節(jié)

期權(quán)價格的特性2.看跌期權(quán)為考察提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)是否合理，我們考察如下兩種組合：組合A：一份美式看跌期權(quán)加上一單位標的資產(chǎn)組合B：金額為的現(xiàn)金若不提前執(zhí)行，則到T時刻，組合A的價值為max(X,ST)

，組合B的價值為X，組合A的價值大于等于組合B。若在t時刻提前執(zhí)行，則組合A的價值為X，組合B的價值為Xe-(T-τ)，因此組合A的價值也高于組合B。第一節(jié)

期權(quán)價格的特性故：是否提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)，主要取決于期權(quán)的實值額（X-S）、無風險利率水平等因素。一般來說，只有當S相對于X來說較低，或者r較高時，提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)才可能是有利的。由于美式期權(quán)可提前執(zhí)行，因此其下限比（13.6）更嚴格：

（13.10）第一節(jié)

期權(quán)價格的特性（二）提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性1.看漲期權(quán)由于在無收益的情況下，不應提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)，據(jù)此可知：在有收益情況下，只有在除權(quán)前的瞬時時刻提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)方有可能是最優(yōu)的。我們先來考察在最后一個除權(quán)日（tn）提前執(zhí)行的條件。如果在tn時刻提前執(zhí)行，則期權(quán)多方獲得Sn-X的收益。若不提前執(zhí)行，則標的資產(chǎn)價格將由于除權(quán)降到Sn-Dn。根據(jù)式（13.5），在tn時刻期權(quán)的價值（Cn）第一節(jié)

期權(quán)價格的特性因此，如果：

即：

（13.11）

則在tn提前執(zhí)行是不明智的。相反，如果（13.12）則在tn提前執(zhí)行有可能是合理的。實際上，只有當tn時刻標的資產(chǎn)價格足夠大時，提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)才是合理的。第一節(jié)

期權(quán)價格的特性同樣，在ti時刻不能提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)條件是：（13.13）由于存在提前執(zhí)行更有利的可能性，有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)價值大于等于歐式看漲期權(quán)，其下限為：（13.14）第一節(jié)

期權(quán)價格的特性2.看跌期權(quán)由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式期權(quán)意味著自己放棄收益權(quán)，因此收益使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性變小，但還不能排除提前執(zhí)行的可能性。通過同樣的分析，我們可以得出美式看跌期權(quán)不能提前執(zhí)行的條件是：

由于美式看跌期權(quán)有提前執(zhí)行的可能性，因此其下限為：（13.15）第一節(jié)

期權(quán)價格的特性五、期權(quán)價格曲線的形狀（一）看漲期權(quán)價格曲線無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)價格曲線如圖13-2所示。第一節(jié)

期權(quán)價格的特性圖13-2無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)價格曲線第一節(jié)

期權(quán)價格的特性有收益資產(chǎn)看漲期權(quán)價格曲線與圖13.2類似，只是把Xe-r(T-t)換成Xe-r(T-t)+D。（二）看跌期權(quán)價格曲線1.歐式看跌期權(quán)價格曲線無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格曲線如圖13-3所示。第一節(jié)

期權(quán)價格的特性圖13-3無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格曲線1.歐式看跌期權(quán)價格曲線第一節(jié)

期權(quán)價格的特性有收益資產(chǎn)期權(quán)價格曲線與圖13.3相似，只是把換為第一節(jié)

期權(quán)價格的特性2.美式看跌期權(quán)價格曲線圖13-4無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)價格曲線有收益美式看跌期權(quán)價格曲線與圖13.4相似，只是把X換成D+X。第一節(jié)

期權(quán)價格的特性六、看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系（一）歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系

1.無收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)考慮如下兩個組合：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金。組合B：一份有效期和協(xié)議價格與看漲期權(quán)相同的歐式看跌期權(quán)加上一單位標的資產(chǎn)。在期權(quán)到期時，兩個組合的價值均為max(ST,X)。由于歐式期權(quán)不能提前執(zhí)行，因此兩組合在時刻t必須具有相等的價值，即：（13.16）第一節(jié)

期權(quán)價格的特性這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系。它表明歐式看漲期權(quán)的價值可根據(jù)相同協(xié)議價格和到期日的歐式看跌期權(quán)的價值推導出來，反之亦然。如果式（13.16）不成立，則存在無風險套利機會。套利活動將最終促使式（13.16）成立。第一節(jié)

期權(quán)價格的特性2.有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)在標的資產(chǎn)有收益的情況下，我們只要把前面的組合A中的現(xiàn)金改為+D，我們就可推導有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價關(guān)系：（13.17）第一節(jié)

期權(quán)價格的特性（二）美式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的關(guān)系

1.無收益資產(chǎn)美式期權(quán)由于P>p,從式（13.16）中我們可得：

對于無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)來說，由于c=C，因此：

（13.18）為了推出C和P更嚴密的關(guān)系，我們考慮以下兩個組合：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為X的現(xiàn)金。組合B：一份美式看跌期權(quán)加上一單位標的資產(chǎn)。第一節(jié)

期權(quán)價格的特性如果美式期權(quán)沒有提前執(zhí)行，則在T時刻組合B的價值為max(ST,X)，而此時組合A的價值為。因此組合A的價值大于組合B。如果美式期權(quán)在τ時刻提前執(zhí)行，則在τ時刻，組合B的價值為X，而此時組合A的價值大于等于X。因此組合A的價值也大于組合B。這就是說，無論美式組合是否提前執(zhí)行，組合A的價值都高于組合B，因此在t時刻，組合A的價值也應高于組合B，即：C+X>P+S。第一節(jié)

期權(quán)價格的特性由于c=C，因此，

C+X>P+SC-P>S-X

結(jié)合式（13.18），我們可得：（13.19）由于美式期權(quán)可能提前執(zhí)行，因此我們得不到美式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的精確平價關(guān)系，但我們可以得出結(jié)論：無收益美式期權(quán)必須符合式（13.19）的不等式。第一節(jié)

期權(quán)價格的特性2.有收益資產(chǎn)美式期權(quán)同樣，我們只要把組合A的現(xiàn)金改為D+X，就可得到有收益資產(chǎn)美式期權(quán)必須遵守的不等式：

S-D-XC-PS-D-Xe-r（T-t）

（13.20）第一節(jié)

期權(quán)價格的特性第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布期權(quán)交易的精妙之處在于可以通過不同的期權(quán)品種構(gòu)成眾多具有不同盈虧分布特征的組合。投資者可以根據(jù)各自對未來標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格概率分布的預期，以及各自的風險--收益偏好，選擇最適合自己的期權(quán)組合。在以下的分析中同組合中的期權(quán)標的資產(chǎn)均相同。一、標的資產(chǎn)與期權(quán)組合通過組建標的資產(chǎn)與各種期權(quán)頭寸的組合，我們可以得到與各種期權(quán)頭寸本身的盈虧圖形狀相似但位置不同的盈虧圖，如圖13.5表示。圖13.5（a）反映了標的資產(chǎn)多頭與看漲期權(quán)空頭組合的盈虧圖，該組合稱為有擔保的看漲期權(quán)（CoveredCall）空頭。標的資產(chǎn)空頭與看漲期權(quán)多頭組合的盈虧圖，與有擔保的看漲期權(quán)空頭剛好相反。圖13.5（b）反映了標的資產(chǎn)多頭與看跌期權(quán)多頭組合的盈虧圖，標的資產(chǎn)空頭與看跌期權(quán)空頭組合的盈虧圖剛好相反。從圖13.5可以看出,組合的盈虧曲線可以直接由構(gòu)成這個組合的各種資產(chǎn)的盈虧曲線疊加而來。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布圖13-5標的資產(chǎn)與期權(quán)組合的盈虧分布圖第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布二、

差價組合差價（Spreads）組合是指持有相同期限、不同協(xié)議價格的兩個或多個同種期權(quán)頭寸組合（即同是看漲期權(quán)，或者同是看跌期權(quán)），其主要類型有牛市差價組合、熊市差價組合、蝶式差價組合等。（一）牛市差價（BullSpreads）組合。牛市差價組合是由一份看漲期權(quán)多頭與一份同一期限較高協(xié)議價格的看漲期權(quán)空頭組成。由于協(xié)議價格越高，期權(quán)價格越低，因此構(gòu)建這個組合需要初始投資。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布牛市差價組合在不同情況下的盈虧可用表13.2表示。

表13-2

牛市差價期權(quán)的盈虧狀況表13-2結(jié)果可用圖13-6表示，從圖可看出，到期日現(xiàn)貨價格升高對組合持有者較有利，故稱牛市差價組合。標的資產(chǎn)價格范圍

看漲期權(quán)多頭的盈虧

看漲期權(quán)空頭的盈虧

總盈虧

STX2ST―X1―c1X2―ST+c2X2―X1+c2―c1X1<ST<X2ST―X1―c1

c2

ST―X1+c2―c1STX1

-c1c2c2―c1

第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布圖13-6看漲期權(quán)的牛市差價組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布通過比較標的資產(chǎn)現(xiàn)價與協(xié)議價格的關(guān)系，我們可以把牛市差價期權(quán)分為三類：1.兩虛值期權(quán)組合，指兩個協(xié)議價格均比現(xiàn)貨價格高；2.多頭實值期權(quán)加空頭虛值期權(quán)組合，指多頭期權(quán)的協(xié)議價格比現(xiàn)貨價格低，而空頭期權(quán)的協(xié)議價格比現(xiàn)貨價格高；3.兩實值期權(quán)組合，指兩個協(xié)議價格均比現(xiàn)貨價格低。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布此外，一份看跌期權(quán)多頭與一份同一期限、較高協(xié)議價格的看跌期權(quán)空頭組合也是牛市差價組合，如圖13-7所示。比較看漲期權(quán)的牛市差價與看跌期權(quán)的牛市差價組合可以看，前者期初現(xiàn)金流為負，后者為正，但前者的最終收益可能大于后者。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布圖13-7看跌期權(quán)的牛市差價組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布（二）

熊市差價組合熊市差價（BearSpreads）組合剛好跟牛市差價組合相反，它可以由一份看漲期權(quán)多頭和一份相同期限、協(xié)議價格較低的看漲期權(quán)空頭組成（如圖13-8所示）也可以由一份看跌期權(quán)多頭和一份相同期限、協(xié)議價格較低的看跌期權(quán)空頭組成（如圖13-9所示）。

看漲期權(quán)的熊市差價組合和看跌期權(quán)的熊市差價組合的差別在于，前者在期初有正的現(xiàn)金流，后者在期初則有負的現(xiàn)金流，但后者的最終收益可能大于前者。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布通過比較牛市和熊市差價組合可以看出，對于同類期權(quán)而言，凡“買低賣高”的即為牛市差價策略，而“買高賣低”的即為熊市差價策略，這里的“低”和“高”是指協(xié)議價格。兩者的圖形剛好與X軸對稱。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布圖13-8看漲期權(quán)的熊市差價組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布圖13-9看跌期權(quán)的熊市差價組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布（三）蝶式差價組合蝶式差價（ButterflySpreads）組合是由四份具有相同期限、不同協(xié)議價格的同種期權(quán)頭寸組成。若X1

<X2<X3，且X2=（X1+X3）/2，則蝶式差價組合有如下四種：1.看漲期權(quán)的正向蝶式差價組合，它由協(xié)議價格分別為X1和X3的看漲期權(quán)多頭和兩份協(xié)議價格為X2的看漲期權(quán)空頭組成，其盈虧分布圖如圖13.10所示；第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布2.看漲期權(quán)的反向蝶式差價組合，它由協(xié)議價格分別為X1和X3的看漲期權(quán)空頭和兩份協(xié)議價格為X2的看漲期權(quán)多頭組成，其盈虧圖剛好與圖13-10相反；3.看跌期權(quán)的正向蝶式差價組合，它由協(xié)議價格分別為X1和X3的看跌期權(quán)多頭和兩份協(xié)議價格為X2的看跌期權(quán)空頭組成，其盈虧圖如圖13-11所示。4.看跌期權(quán)的反向蝶式差價組合，它由協(xié)議價格分別為X1和X3的看跌期權(quán)空頭和兩份協(xié)議價格為X2的看跌期權(quán)多頭組成，其盈虧圖與圖13-11剛好相反。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布圖13-10

看漲期權(quán)的正向蝶式差價組合

圖13-11

看跌期權(quán)的正向蝶式差價組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布三、

差期組合差期（CalendarSpreads）組合是由兩份相同協(xié)議價格、不同期限的同種期權(quán)的不同頭寸組成的組合。它有四種類型：（一）一份看漲期權(quán)多頭與一份期限較短的看漲期權(quán)空頭的組合，稱看漲期權(quán)的正向差期組合。（二）一份看漲期權(quán)多頭與一份期限較長的看漲期權(quán)空頭的組合，稱看漲期權(quán)的反向差期組合。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布（三）一份看跌期權(quán)多頭與一份期限較短的看跌期權(quán)空頭的組合，稱看跌期權(quán)的正向差期組合。（四）一份看跌期權(quán)多頭與一份期限較長的看跌期權(quán)空頭的組合，稱看跌期權(quán)的反向差期組合。看漲期權(quán)的正向差期組合的盈虧分布情況見表13-3。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布表13-3看漲期權(quán)的正向差期組合的盈虧狀況ST的范圍

看漲期權(quán)多頭的盈虧

看漲期權(quán)空頭的盈虧

總盈虧

ST

趨近ST―X―c1X―ST+c2

趨近c2―c1ST=Xc1T―c1c2c2―c1+c1TST0趨近-c1c2

趨近

c2―c1

第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布根據(jù)表13-3，我們可以畫出看漲期權(quán)正向差期組合的盈虧分布圖如圖13-12所示。圖13-12看漲期權(quán)的正向差期組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布用同樣的分析法我們可以畫出看跌期權(quán)正向差期組合的盈虧分布圖如圖13.13所示?？吹跈?quán)反向差期組合的盈虧分布圖正好與圖13.13相反，也從略。圖13-13看跌期權(quán)的正向差期組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布四、對角組合

對角組合（DiagonalSpreads）是指由兩份協(xié)議價格不同（X1和X2，且X1<X2）、期限也不同（T和T*，且T<T*）的同種期權(quán)的不同頭寸組成。它有八種類型：

1.看漲期權(quán)的（X1,T*）多頭加（X2,T）空頭組合。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布

根據(jù)表13-4，我們可以畫出看漲期權(quán)的正向差價和差期組合的盈虧分布圖如圖13-14所示。

2.看漲期權(quán)的（X1,T*）空頭加（X2,T）多頭組合。其盈虧圖與圖13-14剛好相反。ST的范圍(X1,T*)多頭的盈虧(X2,T)空頭的盈虧

總盈虧

ST

趨近于ST―X1―c1X2―ST+c2

趨近X2―X1+c2－c1ST=X2X2―X1+c1T―c1c2X2―X1+c2―c1+c1TST0趨近-c1

c2

趨近

c2―c1

表13-4看漲期權(quán)的正向差價和差期組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布圖13-14看漲期權(quán)(X1,T*)多頭加(X2,T)空頭組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布3.看漲期權(quán)的(X2,T*)多頭加(X1,T)空頭組合。4.看漲期權(quán)的(X2,T*)

空頭加(X1,T)多頭組合，其盈虧分布圖與圖13-15剛好相反。圖13-15看漲期權(quán)(X2,T*)多頭加(X1,T)空頭組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布5.看跌期權(quán)的（X1,T*）多頭加（X2,T）空頭組合，其盈虧圖如圖13-16所示。6.看跌期權(quán)的（X1,T*）空頭加（X2,T）多頭組合，其盈虧圖與圖13-16剛好相反。圖13-16看跌期權(quán)的（X1,T*）多頭加（X2,T）空頭組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布7.

看跌期權(quán)的（X2,T*）多頭加（X1,T）空頭組合，其盈虧圖如圖13-17所示。8.看跌期權(quán)的（X2,T*）空頭加（X1,T）多頭組合，其盈虧圖與圖13-17剛好相反。圖13-17看跌期權(quán)的（X2,T*）多頭加（X1,T）空頭組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布五、混合期權(quán)（一）跨式組合（Straddle）：由具有相同協(xié)議價格、相同期限的一份看漲期權(quán)和一份看跌期權(quán)組成?？缡浇M合分為兩種：底部跨式組合和頂部跨式組合。前者由兩份多頭組成，后者由兩份空頭組成。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布底部跨式組合的盈虧圖如圖13-18所示，頂部跨式組合的盈虧圖與圖13-18剛好相反。圖13-18底部跨式組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布（二）條式組合和帶式組合

條式組合（Strip）由具有相同協(xié)議價格、相同期限的一份看漲期權(quán)和兩份看跌期權(quán)組成。條式組合也分底部和頂部兩種，前者由多頭構(gòu)成，后者由空頭構(gòu)成。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布底部條式組合的盈虧圖如圖13-19所示，頂部條式組合的盈虧圖剛好相反。圖13-19底部條式組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布帶式組合（Strap）由具有相同協(xié)議價格、相同期限的資產(chǎn)的兩份看漲期權(quán)和一份看跌期權(quán)組成，帶式組合也分底部和預部兩種，前者由多頭構(gòu)成，后者由空頭構(gòu)成。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布底部帶式組合的盈虧圖如圖13-20所示，頂部帶式組合的盈虧圖剛好相反。圖13-20底部帶式組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布（三）寬跨式組合寬跨式組合（Strangle）由相同到期日但協(xié)議價格不同的一份看漲期權(quán)和一份看跌期權(quán)組成，其中看漲期權(quán)的協(xié)議價格高于看跌期權(quán)。寬跨式組合也分底部和頂部，前者由多頭組成，后者由空頭組成。前者的盈虧圖如圖13-21所示。后者的盈虧圖剛好相反。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布圖13-21底部寬跨式組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布第三節(jié)期權(quán)定價的理論基礎(chǔ)一、弱式效率市場假說與馬爾可夫過程1965年，法瑪（EFFama）提出了著名的效率市場假說。該假說認為，投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報酬；證券價格對新的市場信息的反應是迅速而準確的，證券價格能完全反映全部信息；市場競爭使證券價格從一個均衡水平過渡到另一個均衡水平，而與新信息相應的價格變動是相互獨立的，或稱隨機的，因此效率市場假說又稱隨機漫步理論。效率市場假說可分為三類：弱式、半強式和強式。弱式效率市場假說認為，證券價格變動的歷史不包含任何對預測證券價格未來變動有用的信息，也就是說不能通過技術(shù)分析獲得超過平均收益率的收益。半強式效率市場假說認為，證券價格會迅速、準確地根據(jù)可獲得的所有公開信息調(diào)整，因此以往的價格和成交量等技術(shù)面信息以及已公布的基本面信息都無助于挑選出價格被高估或低估的證券。第三節(jié)期權(quán)定價的理論基礎(chǔ)強式效率市場假說認為，不僅是已公布的信息，而且是可能獲得的有關(guān)信息都已反映在股價中，因此任何信息（包括“內(nèi)幕信息”）對挑選證券都沒有用處。效率市場假說提出后，許多學者運用各種數(shù)據(jù)對此進行了實證分析。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，發(fā)達國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。第三節(jié)期權(quán)定價的理論基礎(chǔ)弱式效率市場假說可用馬爾可夫隨機過程（MarkovStochasticProcess）來表述。所謂隨機過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時間變化的過程。根據(jù)時間是否連續(xù)，隨機過程可分為離散時間隨機過程和連續(xù)時間隨機過程，前者是指變量只能在某些分離的時間點上變化的過程，后者指變量可以在連續(xù)的時間段變化的過程。根據(jù)變量取值范圍是否連續(xù)劃分，隨機過程可分為離散變量隨機過程和連續(xù)變量隨機過程，前者指變量只能取某些離散值，而后者指變量可以在某一范圍內(nèi)取任意值。第三節(jié)期權(quán)定價的理論基礎(chǔ)馬爾可夫過程是一種特殊類型的隨機過程。在這個過程中，只有變量的當前值才與未來的預測有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預測無關(guān)。第三節(jié)期權(quán)定價的理論基礎(chǔ)二、布朗運動（一）標準布朗運動設(shè)代表一個小的時間間隔長度，代表變量z在時間內(nèi)的變化，遵循標準布朗運動的具有兩種特征：特征1：和的關(guān)系滿足＝（13.21）特征2：對于任何兩個不同時間間隔，的值相互獨立。第三節(jié)期權(quán)定價的理論基礎(chǔ)從特征1可知，本身也具有正態(tài)分布特征，其均值為0，標準差為，方差為。從特征2可知，標準布朗運動符合馬爾可夫過程，因此是馬爾可夫過程的一種特殊形式。第三節(jié)期權(quán)定價的理論基礎(chǔ)現(xiàn)在我們來考察遵循標準布朗運動的變量z在一段較長時間T中的變化情形。我們用z（T）－z(0)表示變量z在T中的變化量，它可被看作是在N個長度為的小時間間隔中z的變化總量，其中N=T/，因此，（13.22）第三節(jié)期權(quán)定價的理論基礎(chǔ)其中(i=1，2，……N）是標準正態(tài)分布的隨機抽樣值。從特征2可知，是相互獨立的，因此z（T）-z（0）也具有正態(tài)分布特征，其均值為0，方差為Nt=T，標準差為。由此我們可以發(fā)現(xiàn)兩個特征：

1.在任意長度的時間間隔T中，遵循標準布朗運動的變量的變化值具有均值為0，標準差為的正態(tài)分布。

2.對于相互獨立的正態(tài)分布，方差具有可加性，而標準差不具有可加性。當0時，我們就可以得到極限的標準布朗運動：（13.23）第三節(jié)期權(quán)定價的理論基礎(chǔ)（二）普通布朗運動為了得到普通的布朗運動，我們必須引入兩個概念：漂移率和方差率。漂移率（DriftRate）是指單位時間內(nèi)變量z均值的變化值。方差率（VarianceRate）是指單位時間的方差。

標準布朗運動的漂移率為0，方差率為1.0。漂移率為0意味著在未來任意時刻z的均值都等于它的當前值。方差率為1.0意味著在一段長度為T的時間段后，z的方差為1.0T。我們令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為b2，就可得到變量x

的普通布朗運動：第三節(jié)期權(quán)定價的理論基礎(chǔ)從式（13.21）和（13.24）可知，在短時間后，x值的變化值為：因此，Δx也具有正態(tài)分布特征，其均值為，標準差為，方差為。同樣，在任意時間長度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標準差為，方差為b2T。第三節(jié)期權(quán)定價的理論基礎(chǔ)三、證券價格的變化過程證券價格的變化過程可以用普遍布朗運動來描述。但由于投資者關(guān)心的是證券價格的變動幅度而不是變動的絕對值，因此我們可以用證券價格比例的方式來定義證券價格的布朗運動：（13.25）其中S表示證券價格，μ表示證券在單位時間內(nèi)以連續(xù)復利計算的期望收益率（又稱預期收益率），示證券收益率單位時間的方差，表示證券收益率單位時間的標準差，簡稱證券價格的波動率（Volatility），dz遵循標準布朗運動。第三節(jié)期權(quán)定價的理論基礎(chǔ)從（13.21）和上式可知，在短時間后，證券價格比率的變化值為：則可得（13.26）

我們將在下文證明，衍生證券的定價與標的資產(chǎn)的預期收益率是無關(guān)的。相反，證券價格的波動率對于衍生證券的定價則是相當重要的。應該注意的是，由于比例變化不具有可加性，因此我們并不能象以前一樣推導出在任意時間長度T后證券價格比例變化的標準差為。第三節(jié)期權(quán)定價的理論基礎(chǔ)四、伊藤過程和伊藤引理普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當作變量x和時間t的函數(shù)，我們可以從公式（13.24）得到伊藤過程（ItoProcess）：

（13.27）

其中，dz是一個標準布朗運動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。

第三節(jié)期權(quán)定價的理論基礎(chǔ)在伊藤過程的基礎(chǔ)上，伊藤進一步推導出：若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程：

（13.28）公式（13.28）就是著名的伊藤引理。從式（13.25）中，我們可得：

（13.29）第三節(jié)期權(quán)定價的理論基礎(chǔ)我們知道，衍生證券的價格是標的證券價格S和時間t的函數(shù)。根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價格G應遵循如下過程：

（13.30）比較式（13.29）和(13.30)可看出，衍生證券價格G和標的證券價格S都受同一個基本的不確定性來源dz的影響，這點對于以后推導衍生證券的定價公式很重要。第三節(jié)期權(quán)定價的理論基礎(chǔ)五、證券價格自然對數(shù)變化過程我們可用伊藤引理來推導證券價格自然對數(shù)lnS變化所遵循的隨機過程。

令

我們就可得出證券價格對數(shù)G所遵循的隨機過程為：

第三節(jié)期權(quán)定價的理論基礎(chǔ)令t時刻G的值為lnS，T時刻G的值為lnST，其中S表示t時刻（當前時刻）的證券價格，ST表示T時刻（將來時刻）的證券價格，則在T－t期間G的變化為：lnST-

lnS

這意味著：（13.31）根據(jù)正態(tài)分布的特性，從式（13.31）可以得到：

（13.32）第三節(jié)期權(quán)定價的理論基礎(chǔ)這表明ST服從對數(shù)正態(tài)分布。lnST的標準差與成比例，這說明證券價格對數(shù)的不確定性(用標準差表示)與我們考慮的未來時間的長度的平方根成正比。這就解決了前面所說的證券價格比例變化的標準差與時間不成正比的問題。第三節(jié)期權(quán)定價的理論基礎(chǔ)根據(jù)式（13.32）和對數(shù)正態(tài)分布的特性,可知ST的期望值E(ST)為：這與作為預期收益率的定義相符。ST的方差var(ST)為:

第三節(jié)期權(quán)定價的理論基礎(chǔ)第四節(jié)布萊克—舒爾斯期權(quán)定價模型

一、布萊克——舒爾斯微分方程

推導布萊克——舒爾斯微分方程需要用到如下假設(shè)：證券價格遵循幾何布朗過程，即和為常數(shù)；允許賣空標的證券；沒有交易費用和稅收，所有證券都是完全可分的；在衍生證券有效期內(nèi)標的證券沒有現(xiàn)金收益支付；不存在無風險套利機會；證券交易是連續(xù)的，價格變動也是連續(xù)的；在衍生證券有效期內(nèi)，無風險利率r為常數(shù)。實際上，有些假設(shè)條件我們可以放松，如、和r可以是t的函數(shù)。

（一）布萊克——舒爾斯微分方程的推導（13.35）

（13.36）我們可以構(gòu)建一個包括一單位衍生證券空頭和單位標的證券多頭的組合。令代表該投資組合的價值，則：（13.37）在時間后，該投資組合的價值變化為：第四節(jié)布萊克—舒爾斯期權(quán)定價模型

在沒有套利機會的條件下：我們代入和，則可得著名的布萊克——舒爾斯微分分程：布萊克——舒爾斯微分分程適用于其價格取決于標的證券價格S的所有衍生證券的定價。第四節(jié)布萊克—舒爾斯期權(quán)定價模型

應該注意的是，當S和t變化時，

的值也會變化，因此上述投資組合的價值并不是永遠無風險的，它只是在一個很短的時間間隔中才是無風險的。在一個較長時間中，要保持該投資組合無風險，必須根據(jù)的變化而相應調(diào)整標的證券的數(shù)量。當然，推導布萊克——舒爾斯微分方程并不要求調(diào)整標的證券的數(shù)量，因為它只關(guān)心中的變化。

第四節(jié)布萊克—舒爾斯期權(quán)定價模型

（二）風險中性定價原理從上可以看出受制于主觀的風險收益偏好的標的證券預期收益率并未包括在衍生證券的價值決定公式中。這意味著，無論風險收益偏好狀態(tài)如何，都不會對f的值產(chǎn)生影響。于是，我們就可以利用布萊克——舒爾斯微分方程所揭示的這一特性，作出一個可以大大簡化我們工作的簡單假設(shè)：在對衍生證券定價時，所有投資者都是風險中性的。這就是風險中性定價原理。為了更好地理解風險中性定價原理，我們可以舉一個簡單的例子來說明（見書）第四節(jié)布萊克—舒爾斯期權(quán)定價模型

二、布萊克——舒爾斯期權(quán)定價公式在風險中性的條件下，歐式看漲期權(quán)到期時（T時刻）的期望值為：根據(jù)風險中性定價原理，歐式看漲期權(quán)的價格c等于將此期望值按無風險利率進行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即：（13.41）第四節(jié)布萊克—舒爾斯期權(quán)定價模型

對式（13.41）右邊求值是一種積分過程，結(jié)果為：

其中，由于歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價關(guān)系,可得：第四節(jié)布萊克—舒爾斯期權(quán)定價模型

SN(d1)是Asset-or-notingcalloption的價值；-e-rTXN(d2)是X份cash-or-nothing看漲期權(quán)空頭的價值。N(d2)是在風險中性世界中期權(quán)被執(zhí)行的概率，或者說ST大于X的概率，e-rTXN(d2)是X的風險中性期望值的現(xiàn)值。

SN(d1)是得到ST的風險中性期望值的現(xiàn)值。是復制交易策略中股票的數(shù)量，SN（d1)就是股票的市值,-e-rTXN(d2)則是復制交易策略中負債的價值。第四節(jié)布萊克—舒爾斯期權(quán)定價模型

三、有收益資產(chǎn)的期權(quán)定價公式（一）有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的定價公式

在收益已知情況下，我們可以把標的證券價格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分和一個有風險部分。當標的證券已知收益的現(xiàn)值為I時，我們只要用（S-I）代替S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。當標的證券的收益為按連續(xù)復利計算的固定收益率q（單位為年）時，我們只要將代替S就可求出支付連續(xù)復利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價格，從而使布萊克——舒爾斯的歐式期權(quán)定價公式適用歐式貨幣期權(quán)和股價指數(shù)期權(quán)的定價。第四節(jié)布萊克—舒爾斯期權(quán)定價模型

對于歐式期貨期權(quán)，布萊克教授也給出了定價公式：

其中，例子見書。第四節(jié)布萊克—舒爾斯期權(quán)定價模型

（二）有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價1.美式看漲期權(quán)當標的資產(chǎn)有收益時，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，因此有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價較為復雜，布萊克提出了一種近似處理方法。該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理，其方法我們在本章第一節(jié)已論述過。若不合理，則按歐式期權(quán)處理；若在tn提前執(zhí)行有可能是合理的，則要分別計算在T時刻和tn時刻到期的歐式看漲期權(quán)的價格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價格。在大多數(shù)情況下，這種近似效果都不錯。第四節(jié)布萊克—舒爾斯期權(quán)定價模型

2.美式看跌期權(quán)

由于收益雖然使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性減小，但仍不排除提前執(zhí)行的可能性，因此有收益美式看跌期權(quán)的價值仍不同于歐式看跌期權(quán)，它也只能通過較復雜的數(shù)值方法來求出。第四節(jié)布萊克—舒爾斯期權(quán)定價模型

第五節(jié)二叉樹期權(quán)定價摸型

由于美式看跌期權(quán)無法用布萊克——舒爾斯期權(quán)定價公式進行精確定價，因此要用其它替代方法，如二叉樹期權(quán)定價模型，該模型是由科克斯（J.Cox）、羅斯(S.Ross)和魯賓斯坦(M.Rubinstein)于1979年首先提出的。一、無收益資產(chǎn)期權(quán)的定價二叉樹模型首先把期權(quán)的有效期分為很多很小的時間間隔，并假設(shè)在每一個時間間隔內(nèi)證券價格從開始的S運動到兩個新值Su和Sd中的一個，如圖13-22所示。其中，u>1，d<1，且u=1/d

圖13-22T時間內(nèi)證券價格的變動

S0u

?uS0d

?dS0

?p(1

–p)第五節(jié)二叉樹期權(quán)定價摸型

為了對期權(quán)進行定價，二叉樹模型也應用風險中性定價原理并假定：

1.所有可交易證券的期望收益都是無風險利率；2.未來現(xiàn)金流可以用其期望值按無風險利率貼現(xiàn)來計算現(xiàn)值。（一）參數(shù)p、u和d的確定

參數(shù)p、u和d的值必須滿足這個要求，即：第五節(jié)二叉樹期權(quán)定價摸型

根據(jù)本章第2節(jié)的討論，在一個小時間段內(nèi)證券價格變化的方差是。根據(jù)方差的定義，變量X的方差等于X2的期望值與X期望值平方之差，因此：由上可得，第五節(jié)二叉樹期權(quán)定價摸型

（二）證券價格的樹型結(jié)構(gòu)應用二叉樹模型來表示證券價格變化的完整樹型結(jié)構(gòu)如圖13.23所示。圖13.23證券價格的樹型結(jié)構(gòu)第五節(jié)二叉樹期權(quán)定價摸型

當時間為0時，證券價格為S。時間為t時，證券價格要么上漲到Su，要么下降到Sd；時間為2

t時，證券價格就有三種可能：Su2、Sud（等于S）和Sd2，以此類推。一般而言，在時刻it，證券價格有i+1種可能，它們可用符號表示為：其中j=0,1,2,……,i第五節(jié)二叉樹期權(quán)定價摸型

（三）倒推定價法由于在T時刻的期權(quán)價值是已知的。所以在二叉樹模型中，期權(quán)定價從樹型結(jié)構(gòu)圖的末端T時刻開始，采用倒推法定價。

例：S0

=50;X=50;r=10%;s=40%;

T=5months=0.4167;

Dt

=1month=0.0833

則可得