金融市場學(xué)（第二版） 張亦春 鄭振龍 第十三章 期權(quán)的定價(jià)

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期權(quán)價(jià)格的特性第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性一、內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值期權(quán)價(jià)格等于期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值加上時(shí)間價(jià)值。（一）期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值（IntrinsicValue）是指多方行使期權(quán)時(shí)可以獲得的收益的現(xiàn)值。歐式看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為(ST-X)的現(xiàn)值。無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值等于S-Xe-r(T-t),而有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值等于S-D-Xe-r(T-t)。無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)價(jià)格等于歐式看漲期權(quán)價(jià)格,其內(nèi)在價(jià)值也就等于S-Xe-r(T-t)。有收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值也等于S-D-Xe-r(T-t)。（一）期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為Xe-r(T-t)-S，有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為Xe-r(T-t)+D-S。無收益資產(chǎn)美式期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值等于X-S，有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值等于X+D-S。當(dāng)然，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)市價(jià)低于協(xié)議價(jià)格時(shí)，期權(quán)多方是不會(huì)行使期權(quán)的，因此期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值應(yīng)大于等于0。第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性（二）期權(quán)的時(shí)間價(jià)值期權(quán)的時(shí)間價(jià)值（TimeValue）是指在期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)為期權(quán)持有者帶來收益的可能性所隱含的價(jià)值。顯然，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率越高，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值就越大。此外，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值還受期權(quán)內(nèi)在價(jià)值的影響。以無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)為例，當(dāng)S=Xe-r(T-t)時(shí)，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值最大。當(dāng)S-Xe-r(T-t)的絕對值增大時(shí)，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值是遞減的，如圖13.1所示。第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性圖13-1無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)時(shí)間價(jià)值與S-Xe-r(T-t)的關(guān)系第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性二、期權(quán)價(jià)格的影響因素（一）標(biāo)的資產(chǎn)的市場價(jià)格與期權(quán)的協(xié)議價(jià)格（二）期權(quán)的有效期

（三）標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率（四）無風(fēng)險(xiǎn)利率（五）標(biāo)的資產(chǎn)的收益第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性三、期權(quán)價(jià)格的上、下限（一）期權(quán)價(jià)格的上限

1.看漲期權(quán)價(jià)格的上限在任何情況下，期權(quán)的價(jià)值都不會(huì)超過標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格。因此，對于對于美式和歐式看跌期權(quán)來說，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格都是看漲期權(quán)價(jià)格的上限：

（13.1）其中，c代表歐式看漲期權(quán)價(jià)格，C代表美式看漲期權(quán)價(jià)格，S代表標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格。第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性2.看跌期權(quán)價(jià)格的上限由于美式看跌期權(quán)多頭執(zhí)行期權(quán)的最高價(jià)值為協(xié)議價(jià)格（X），因此，美式看跌期權(quán)價(jià)格（P）的上限為X：

（13.2）由于歐式看跌期權(quán)只能在到期日（T時(shí)刻）執(zhí)行，在T時(shí)刻，其最高價(jià)值為X，因此，歐式看跌期權(quán)價(jià)格（p）不能超過X的現(xiàn)值：

（13.3）其中，r代表T時(shí)刻到期的無風(fēng)險(xiǎn)利率，t代表現(xiàn)在時(shí)刻。第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性（二）期權(quán)價(jià)格的下限1.歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限(1)無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限為了推導(dǎo)出期權(quán)價(jià)格下限，我們考慮如下兩個(gè)組合：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金；組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)T時(shí)刻，組合A

的價(jià)值為：

而組合B的價(jià)值為ST。第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性由于，因此，在t時(shí)刻組合A的價(jià)值也應(yīng)大于等于組合B，即:c+Xe-r(T-t)≥S

所以c≥S-Xe-r(T-t)

由于期權(quán)的價(jià)值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格下限為（13.4）(2)有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限我們只要將上述組合A的現(xiàn)金改為+D，并經(jīng)過類似的推導(dǎo)，就可得出有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限為：

（13.5）

第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性2.歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限(1)無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限考慮以下兩種組合：組合C：一份歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)組合D：金額為的現(xiàn)金在T時(shí)刻，組合C的價(jià)值為：max（ST,X）假定組合D的現(xiàn)金以無風(fēng)險(xiǎn)利率投資，則在T時(shí)刻組合D的價(jià)值為X。由于組合C的價(jià)值在T時(shí)刻大于等于組合D，因此組合C的價(jià)值在t時(shí)刻也應(yīng)大于等于組合D，即：第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性由于期權(quán)價(jià)值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格下限為：

（13.6）

第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性(2)有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限我們只要將上述組合D的現(xiàn)金改為+D

就可得到有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限為：(13.7)從以上分析可以看出，歐式期權(quán)的下限實(shí)際上就是其內(nèi)在價(jià)值。

第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性四、提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性（一）提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性1.看漲期權(quán)由于現(xiàn)金會(huì)產(chǎn)生收益，而提前執(zhí)行看漲期權(quán)得到的標(biāo)的資產(chǎn)無收益，再加上美式期權(quán)的時(shí)間價(jià)值總是為正的，因此我們可以直觀地判斷提前執(zhí)行是不明智的。為了精確地推導(dǎo)這個(gè)結(jié)論，我們考慮如下兩個(gè)組合：組合A：一份美式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金。組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)。T時(shí)刻組合A的價(jià)值為max(ST,X)，而組合B的價(jià)值為ST，可見組合A在T時(shí)刻的價(jià)值一定大于等于組合B。即如果不提前執(zhí)行，組合A的價(jià)值一定大于等于組合B。第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性若在時(shí)刻提前執(zhí)行，則此時(shí)組合A的價(jià)值為：，而組合B的價(jià)值為。由于因此即：若提前執(zhí)行美式期權(quán)，組合A的價(jià)值將小于組合B。比較兩種情況可得：提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)是不明智的。因此，同一種無收益標(biāo)的資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)和歐式看漲期權(quán)的價(jià)值是相同的，即：

C=c（13.8）

根據(jù)（13.4），我們可以得到無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)價(jià)格的下限：（13.9）第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性2.看跌期權(quán)為考察提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)是否合理，我們考察如下兩種組合：組合A：一份美式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)組合B：金額為的現(xiàn)金若不提前執(zhí)行，則到T時(shí)刻，組合A的價(jià)值為max(X,ST)

，組合B的價(jià)值為X，組合A的價(jià)值大于等于組合B。若在t時(shí)刻提前執(zhí)行，則組合A的價(jià)值為X，組合B的價(jià)值為Xe-(T-τ)，因此組合A的價(jià)值也高于組合B。第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性故：是否提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)，主要取決于期權(quán)的實(shí)值額（X-S）、無風(fēng)險(xiǎn)利率水平等因素。一般來說，只有當(dāng)S相對于X來說較低，或者r較高時(shí)，提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)才可能是有利的。由于美式期權(quán)可提前執(zhí)行，因此其下限比（13.6）更嚴(yán)格：

（13.10）第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性（二）提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性1.看漲期權(quán)由于在無收益的情況下，不應(yīng)提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)，據(jù)此可知：在有收益情況下，只有在除權(quán)前的瞬時(shí)時(shí)刻提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)方有可能是最優(yōu)的。我們先來考察在最后一個(gè)除權(quán)日（tn）提前執(zhí)行的條件。如果在tn時(shí)刻提前執(zhí)行，則期權(quán)多方獲得Sn-X的收益。若不提前執(zhí)行，則標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格將由于除權(quán)降到Sn-Dn。根據(jù)式（13.5），在tn時(shí)刻期權(quán)的價(jià)值（Cn）第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性因此，如果：

即：

（13.11）

則在tn提前執(zhí)行是不明智的。相反，如果（13.12）則在tn提前執(zhí)行有可能是合理的。實(shí)際上，只有當(dāng)tn時(shí)刻標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格足夠大時(shí)，提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)才是合理的。第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性同樣，在ti時(shí)刻不能提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)條件是：（13.13）由于存在提前執(zhí)行更有利的可能性，有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)價(jià)值大于等于歐式看漲期權(quán)，其下限為：（13.14）第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性2.看跌期權(quán)由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式期權(quán)意味著自己放棄收益權(quán)，因此收益使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性變小，但還不能排除提前執(zhí)行的可能性。通過同樣的分析，我們可以得出美式看跌期權(quán)不能提前執(zhí)行的條件是：

由于美式看跌期權(quán)有提前執(zhí)行的可能性，因此其下限為：（13.15）第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性五、期權(quán)價(jià)格曲線的形狀（一）看漲期權(quán)價(jià)格曲線無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)價(jià)格曲線如圖13-2所示。第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性圖13-2無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)價(jià)格曲線第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性有收益資產(chǎn)看漲期權(quán)價(jià)格曲線與圖13.2類似，只是把Xe-r(T-t)換成Xe-r(T-t)+D。（二）看跌期權(quán)價(jià)格曲線1.歐式看跌期權(quán)價(jià)格曲線無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格曲線如圖13-3所示。第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性圖13-3無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格曲線1.歐式看跌期權(quán)價(jià)格曲線第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性有收益資產(chǎn)期權(quán)價(jià)格曲線與圖13.3相似，只是把換為第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性2.美式看跌期權(quán)價(jià)格曲線圖13-4無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)價(jià)格曲線有收益美式看跌期權(quán)價(jià)格曲線與圖13.4相似，只是把X換成D+X。第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性六、看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系（一）歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系

1.無收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)考慮如下兩個(gè)組合：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金。組合B：一份有效期和協(xié)議價(jià)格與看漲期權(quán)相同的歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)。在期權(quán)到期時(shí)，兩個(gè)組合的價(jià)值均為max(ST,X)。由于歐式期權(quán)不能提前執(zhí)行，因此兩組合在時(shí)刻t必須具有相等的價(jià)值，即：（13.16）第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系。它表明歐式看漲期權(quán)的價(jià)值可根據(jù)相同協(xié)議價(jià)格和到期日的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值推導(dǎo)出來，反之亦然。如果式（13.16）不成立，則存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。套利活動(dòng)將最終促使式（13.16）成立。第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性2.有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)在標(biāo)的資產(chǎn)有收益的情況下，我們只要把前面的組合A中的現(xiàn)金改為+D，我們就可推導(dǎo)有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系：（13.17）第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性（二）美式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的關(guān)系

1.無收益資產(chǎn)美式期權(quán)由于P>p,從式（13.16）中我們可得：

對于無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)來說，由于c=C，因此：

（13.18）為了推出C和P更嚴(yán)密的關(guān)系，我們考慮以下兩個(gè)組合：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為X的現(xiàn)金。組合B：一份美式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)。第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性如果美式期權(quán)沒有提前執(zhí)行，則在T時(shí)刻組合B的價(jià)值為max(ST,X)，而此時(shí)組合A的價(jià)值為。因此組合A的價(jià)值大于組合B。如果美式期權(quán)在τ時(shí)刻提前執(zhí)行，則在τ時(shí)刻，組合B的價(jià)值為X，而此時(shí)組合A的價(jià)值大于等于X。因此組合A的價(jià)值也大于組合B。這就是說，無論美式組合是否提前執(zhí)行，組合A的價(jià)值都高于組合B，因此在t時(shí)刻，組合A的價(jià)值也應(yīng)高于組合B，即：C+X>P+S。第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性由于c=C，因此，

C+X>P+SC-P>S-X

結(jié)合式（13.18），我們可得：（13.19）由于美式期權(quán)可能提前執(zhí)行，因此我們得不到美式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的精確平價(jià)關(guān)系，但我們可以得出結(jié)論：無收益美式期權(quán)必須符合式（13.19）的不等式。第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性2.有收益資產(chǎn)美式期權(quán)同樣，我們只要把組合A的現(xiàn)金改為D+X，就可得到有收益資產(chǎn)美式期權(quán)必須遵守的不等式：

S-D-XC-PS-D-Xe-r（T-t）

（13.20）第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布期權(quán)交易的精妙之處在于可以通過不同的期權(quán)品種構(gòu)成眾多具有不同盈虧分布特征的組合。投資者可以根據(jù)各自對未來標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格概率分布的預(yù)期，以及各自的風(fēng)險(xiǎn)--收益偏好，選擇最適合自己的期權(quán)組合。在以下的分析中同組合中的期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)均相同。一、標(biāo)的資產(chǎn)與期權(quán)組合通過組建標(biāo)的資產(chǎn)與各種期權(quán)頭寸的組合，我們可以得到與各種期權(quán)頭寸本身的盈虧圖形狀相似但位置不同的盈虧圖，如圖13.5表示。圖13.5（a）反映了標(biāo)的資產(chǎn)多頭與看漲期權(quán)空頭組合的盈虧圖，該組合稱為有擔(dān)保的看漲期權(quán)（CoveredCall）空頭。標(biāo)的資產(chǎn)空頭與看漲期權(quán)多頭組合的盈虧圖，與有擔(dān)保的看漲期權(quán)空頭剛好相反。圖13.5（b）反映了標(biāo)的資產(chǎn)多頭與看跌期權(quán)多頭組合的盈虧圖，標(biāo)的資產(chǎn)空頭與看跌期權(quán)空頭組合的盈虧圖剛好相反。從圖13.5可以看出,組合的盈虧曲線可以直接由構(gòu)成這個(gè)組合的各種資產(chǎn)的盈虧曲線疊加而來。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布圖13-5標(biāo)的資產(chǎn)與期權(quán)組合的盈虧分布圖第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布二、

差價(jià)組合差價(jià)（Spreads）組合是指持有相同期限、不同協(xié)議價(jià)格的兩個(gè)或多個(gè)同種期權(quán)頭寸組合（即同是看漲期權(quán)，或者同是看跌期權(quán)），其主要類型有牛市差價(jià)組合、熊市差價(jià)組合、蝶式差價(jià)組合等。（一）牛市差價(jià)（BullSpreads）組合。牛市差價(jià)組合是由一份看漲期權(quán)多頭與一份同一期限較高協(xié)議價(jià)格的看漲期權(quán)空頭組成。由于協(xié)議價(jià)格越高，期權(quán)價(jià)格越低，因此構(gòu)建這個(gè)組合需要初始投資。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布牛市差價(jià)組合在不同情況下的盈虧可用表13.2表示。

表13-2

牛市差價(jià)期權(quán)的盈虧狀況表13-2結(jié)果可用圖13-6表示，從圖可看出，到期日現(xiàn)貨價(jià)格升高對組合持有者較有利，故稱牛市差價(jià)組合。標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格范圍

看漲期權(quán)多頭的盈虧

看漲期權(quán)空頭的盈虧

總盈虧

STX2ST―X1―c1X2―ST+c2X2―X1+c2―c1X1<ST<X2ST―X1―c1

c2

ST―X1+c2―c1STX1

-c1c2c2―c1

第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布圖13-6看漲期權(quán)的牛市差價(jià)組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布通過比較標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)價(jià)與協(xié)議價(jià)格的關(guān)系，我們可以把牛市差價(jià)期權(quán)分為三類：1.兩虛值期權(quán)組合，指兩個(gè)協(xié)議價(jià)格均比現(xiàn)貨價(jià)格高；2.多頭實(shí)值期權(quán)加空頭虛值期權(quán)組合，指多頭期權(quán)的協(xié)議價(jià)格比現(xiàn)貨價(jià)格低，而空頭期權(quán)的協(xié)議價(jià)格比現(xiàn)貨價(jià)格高；3.兩實(shí)值期權(quán)組合，指兩個(gè)協(xié)議價(jià)格均比現(xiàn)貨價(jià)格低。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布此外，一份看跌期權(quán)多頭與一份同一期限、較高協(xié)議價(jià)格的看跌期權(quán)空頭組合也是牛市差價(jià)組合，如圖13-7所示。比較看漲期權(quán)的牛市差價(jià)與看跌期權(quán)的牛市差價(jià)組合可以看，前者期初現(xiàn)金流為負(fù)，后者為正，但前者的最終收益可能大于后者。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布圖13-7看跌期權(quán)的牛市差價(jià)組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布（二）

熊市差價(jià)組合熊市差價(jià)（BearSpreads）組合剛好跟牛市差價(jià)組合相反，它可以由一份看漲期權(quán)多頭和一份相同期限、協(xié)議價(jià)格較低的看漲期權(quán)空頭組成（如圖13-8所示）也可以由一份看跌期權(quán)多頭和一份相同期限、協(xié)議價(jià)格較低的看跌期權(quán)空頭組成（如圖13-9所示）。

看漲期權(quán)的熊市差價(jià)組合和看跌期權(quán)的熊市差價(jià)組合的差別在于，前者在期初有正的現(xiàn)金流，后者在期初則有負(fù)的現(xiàn)金流，但后者的最終收益可能大于前者。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布通過比較牛市和熊市差價(jià)組合可以看出，對于同類期權(quán)而言，凡“買低賣高”的即為牛市差價(jià)策略，而“買高賣低”的即為熊市差價(jià)策略，這里的“低”和“高”是指協(xié)議價(jià)格。兩者的圖形剛好與X軸對稱。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布圖13-8看漲期權(quán)的熊市差價(jià)組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布圖13-9看跌期權(quán)的熊市差價(jià)組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布（三）蝶式差價(jià)組合蝶式差價(jià)（ButterflySpreads）組合是由四份具有相同期限、不同協(xié)議價(jià)格的同種期權(quán)頭寸組成。若X1

<X2<X3，且X2=（X1+X3）/2，則蝶式差價(jià)組合有如下四種：1.看漲期權(quán)的正向蝶式差價(jià)組合，它由協(xié)議價(jià)格分別為X1和X3的看漲期權(quán)多頭和兩份協(xié)議價(jià)格為X2的看漲期權(quán)空頭組成，其盈虧分布圖如圖13.10所示；第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布2.看漲期權(quán)的反向蝶式差價(jià)組合，它由協(xié)議價(jià)格分別為X1和X3的看漲期權(quán)空頭和兩份協(xié)議價(jià)格為X2的看漲期權(quán)多頭組成，其盈虧圖剛好與圖13-10相反；3.看跌期權(quán)的正向蝶式差價(jià)組合，它由協(xié)議價(jià)格分別為X1和X3的看跌期權(quán)多頭和兩份協(xié)議價(jià)格為X2的看跌期權(quán)空頭組成，其盈虧圖如圖13-11所示。4.看跌期權(quán)的反向蝶式差價(jià)組合，它由協(xié)議價(jià)格分別為X1和X3的看跌期權(quán)空頭和兩份協(xié)議價(jià)格為X2的看跌期權(quán)多頭組成，其盈虧圖與圖13-11剛好相反。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布圖13-10

看漲期權(quán)的正向蝶式差價(jià)組合

圖13-11

看跌期權(quán)的正向蝶式差價(jià)組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布三、

差期組合差期（CalendarSpreads）組合是由兩份相同協(xié)議價(jià)格、不同期限的同種期權(quán)的不同頭寸組成的組合。它有四種類型：（一）一份看漲期權(quán)多頭與一份期限較短的看漲期權(quán)空頭的組合，稱看漲期權(quán)的正向差期組合。（二）一份看漲期權(quán)多頭與一份期限較長的看漲期權(quán)空頭的組合，稱看漲期權(quán)的反向差期組合。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布（三）一份看跌期權(quán)多頭與一份期限較短的看跌期權(quán)空頭的組合，稱看跌期權(quán)的正向差期組合。（四）一份看跌期權(quán)多頭與一份期限較長的看跌期權(quán)空頭的組合，稱看跌期權(quán)的反向差期組合?？礉q期權(quán)的正向差期組合的盈虧分布情況見表13-3。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布表13-3看漲期權(quán)的正向差期組合的盈虧狀況ST的范圍

看漲期權(quán)多頭的盈虧

看漲期權(quán)空頭的盈虧

總盈虧

ST

趨近ST―X―c1X―ST+c2

趨近c(diǎn)2―c1ST=Xc1T―c1c2c2―c1+c1TST0趨近-c1c2

趨近

c2―c1

第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布根據(jù)表13-3，我們可以畫出看漲期權(quán)正向差期組合的盈虧分布圖如圖13-12所示。圖13-12看漲期權(quán)的正向差期組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布用同樣的分析法我們可以畫出看跌期權(quán)正向差期組合的盈虧分布圖如圖13.13所示。看跌期權(quán)反向差期組合的盈虧分布圖正好與圖13.13相反，也從略。圖13-13看跌期權(quán)的正向差期組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布四、對角組合

對角組合（DiagonalSpreads）是指由兩份協(xié)議價(jià)格不同（X1和X2，且X1<X2）、期限也不同（T和T*，且T<T*）的同種期權(quán)的不同頭寸組成。它有八種類型：

1.看漲期權(quán)的（X1,T*）多頭加（X2,T）空頭組合。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布

根據(jù)表13-4，我們可以畫出看漲期權(quán)的正向差價(jià)和差期組合的盈虧分布圖如圖13-14所示。

2.看漲期權(quán)的（X1,T*）空頭加（X2,T）多頭組合。其盈虧圖與圖13-14剛好相反。ST的范圍(X1,T*)多頭的盈虧(X2,T)空頭的盈虧

總盈虧

ST

趨近于ST―X1―c1X2―ST+c2

趨近X2―X1+c2－c1ST=X2X2―X1+c1T―c1c2X2―X1+c2―c1+c1TST0趨近-c1

c2

趨近

c2―c1

表13-4看漲期權(quán)的正向差價(jià)和差期組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布圖13-14看漲期權(quán)(X1,T*)多頭加(X2,T)空頭組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布3.看漲期權(quán)的(X2,T*)多頭加(X1,T)空頭組合。4.看漲期權(quán)的(X2,T*)

空頭加(X1,T)多頭組合，其盈虧分布圖與圖13-15剛好相反。圖13-15看漲期權(quán)(X2,T*)多頭加(X1,T)空頭組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布5.看跌期權(quán)的（X1,T*）多頭加（X2,T）空頭組合，其盈虧圖如圖13-16所示。6.看跌期權(quán)的（X1,T*）空頭加（X2,T）多頭組合，其盈虧圖與圖13-16剛好相反。圖13-16看跌期權(quán)的（X1,T*）多頭加（X2,T）空頭組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布7.

看跌期權(quán)的（X2,T*）多頭加（X1,T）空頭組合，其盈虧圖如圖13-17所示。8.看跌期權(quán)的（X2,T*）空頭加（X1,T）多頭組合，其盈虧圖與圖13-17剛好相反。圖13-17看跌期權(quán)的（X2,T*）多頭加（X1,T）空頭組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布五、混合期權(quán)（一）跨式組合（Straddle）：由具有相同協(xié)議價(jià)格、相同期限的一份看漲期權(quán)和一份看跌期權(quán)組成?？缡浇M合分為兩種：底部跨式組合和頂部跨式組合。前者由兩份多頭組成，后者由兩份空頭組成。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布底部跨式組合的盈虧圖如圖13-18所示，頂部跨式組合的盈虧圖與圖13-18剛好相反。圖13-18底部跨式組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布（二）條式組合和帶式組合

條式組合（Strip）由具有相同協(xié)議價(jià)格、相同期限的一份看漲期權(quán)和兩份看跌期權(quán)組成。條式組合也分底部和頂部兩種，前者由多頭構(gòu)成，后者由空頭構(gòu)成。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布底部條式組合的盈虧圖如圖13-19所示，頂部條式組合的盈虧圖剛好相反。圖13-19底部條式組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布帶式組合（Strap）由具有相同協(xié)議價(jià)格、相同期限的資產(chǎn)的兩份看漲期權(quán)和一份看跌期權(quán)組成，帶式組合也分底部和預(yù)部兩種，前者由多頭構(gòu)成，后者由空頭構(gòu)成。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布底部帶式組合的盈虧圖如圖13-20所示，頂部帶式組合的盈虧圖剛好相反。圖13-20底部帶式組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布（三）寬跨式組合寬跨式組合（Strangle）由相同到期日但協(xié)議價(jià)格不同的一份看漲期權(quán)和一份看跌期權(quán)組成，其中看漲期權(quán)的協(xié)議價(jià)格高于看跌期權(quán)。寬跨式組合也分底部和頂部，前者由多頭組成，后者由空頭組成。前者的盈虧圖如圖13-21所示。后者的盈虧圖剛好相反。第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布圖13-21底部寬跨式組合第二節(jié)期權(quán)組合的盈虧分布第三節(jié)期權(quán)定價(jià)的理論基礎(chǔ)一、弱式效率市場假說與馬爾可夫過程1965年，法瑪（EFFama）提出了著名的效率市場假說。該假說認(rèn)為，投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報(bào)酬；證券價(jià)格對新的市場信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價(jià)格能完全反映全部信息；市場競爭使證券價(jià)格從一個(gè)均衡水平過渡到另一個(gè)均衡水平，而與新信息相應(yīng)的價(jià)格變動(dòng)是相互獨(dú)立的，或稱隨機(jī)的，因此效率市場假說又稱隨機(jī)漫步理論。效率市場假說可分為三類：弱式、半強(qiáng)式和強(qiáng)式。弱式效率市場假說認(rèn)為，證券價(jià)格變動(dòng)的歷史不包含任何對預(yù)測證券價(jià)格未來變動(dòng)有用的信息，也就是說不能通過技術(shù)分析獲得超過平均收益率的收益。半強(qiáng)式效率市場假說認(rèn)為，證券價(jià)格會(huì)迅速、準(zhǔn)確地根據(jù)可獲得的所有公開信息調(diào)整，因此以往的價(jià)格和成交量等技術(shù)面信息以及已公布的基本面信息都無助于挑選出價(jià)格被高估或低估的證券。第三節(jié)期權(quán)定價(jià)的理論基礎(chǔ)強(qiáng)式效率市場假說認(rèn)為，不僅是已公布的信息，而且是可能獲得的有關(guān)信息都已反映在股價(jià)中，因此任何信息（包括“內(nèi)幕信息”）對挑選證券都沒有用處。效率市場假說提出后，許多學(xué)者運(yùn)用各種數(shù)據(jù)對此進(jìn)行了實(shí)證分析。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，發(fā)達(dá)國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。第三節(jié)期權(quán)定價(jià)的理論基礎(chǔ)弱式效率市場假說可用馬爾可夫隨機(jī)過程（MarkovStochasticProcess）來表述。所謂隨機(jī)過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時(shí)間變化的過程。根據(jù)時(shí)間是否連續(xù)，隨機(jī)過程可分為離散時(shí)間隨機(jī)過程和連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程，前者是指變量只能在某些分離的時(shí)間點(diǎn)上變化的過程，后者指變量可以在連續(xù)的時(shí)間段變化的過程。根據(jù)變量取值范圍是否連續(xù)劃分，隨機(jī)過程可分為離散變量隨機(jī)過程和連續(xù)變量隨機(jī)過程，前者指變量只能取某些離散值，而后者指變量可以在某一范圍內(nèi)取任意值。第三節(jié)期權(quán)定價(jià)的理論基礎(chǔ)馬爾可夫過程是一種特殊類型的隨機(jī)過程。在這個(gè)過程中，只有變量的當(dāng)前值才與未來的預(yù)測有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預(yù)測無關(guān)。第三節(jié)期權(quán)定價(jià)的理論基礎(chǔ)二、布朗運(yùn)動(dòng)（一）標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)設(shè)代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長度，代表變量z在時(shí)間內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的具有兩種特征：特征1：和的關(guān)系滿足＝（13.21）特征2：對于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔，的值相互獨(dú)立。第三節(jié)期權(quán)定價(jià)的理論基礎(chǔ)從特征1可知，本身也具有正態(tài)分布特征，其均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為。從特征2可知，標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)符合馬爾可夫過程，因此是馬爾可夫過程的一種特殊形式。第三節(jié)期權(quán)定價(jià)的理論基礎(chǔ)現(xiàn)在我們來考察遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的變量z在一段較長時(shí)間T中的變化情形。我們用z（T）－z(0)表示變量z在T中的變化量，它可被看作是在N個(gè)長度為的小時(shí)間間隔中z的變化總量，其中N=T/，因此，（13.22）第三節(jié)期權(quán)定價(jià)的理論基礎(chǔ)其中(i=1，2，……N）是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)抽樣值。從特征2可知，是相互獨(dú)立的，因此z（T）-z（0）也具有正態(tài)分布特征，其均值為0，方差為Nt=T，標(biāo)準(zhǔn)差為。由此我們可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)特征：

1.在任意長度的時(shí)間間隔T中，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的變量的變化值具有均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布。

2.對于相互獨(dú)立的正態(tài)分布，方差具有可加性，而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性。當(dāng)0時(shí)，我們就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)：（13.23）第三節(jié)期權(quán)定價(jià)的理論基礎(chǔ)（二）普通布朗運(yùn)動(dòng)為了得到普通的布朗運(yùn)動(dòng)，我們必須引入兩個(gè)概念：漂移率和方差率。漂移率（DriftRate）是指單位時(shí)間內(nèi)變量z均值的變化值。方差率（VarianceRate）是指單位時(shí)間的方差。

標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的漂移率為0，方差率為1.0。漂移率為0意味著在未來任意時(shí)刻z的均值都等于它的當(dāng)前值。方差率為1.0意味著在一段長度為T的時(shí)間段后，z的方差為1.0T。我們令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為b2，就可得到變量x

的普通布朗運(yùn)動(dòng)：第三節(jié)期權(quán)定價(jià)的理論基礎(chǔ)從式（13.21）和（13.24）可知，在短時(shí)間后，x值的變化值為：因此，Δx也具有正態(tài)分布特征，其均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為。同樣，在任意時(shí)間長度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為b2T。第三節(jié)期權(quán)定價(jià)的理論基礎(chǔ)三、證券價(jià)格的變化過程證券價(jià)格的變化過程可以用普遍布朗運(yùn)動(dòng)來描述。但由于投資者關(guān)心的是證券價(jià)格的變動(dòng)幅度而不是變動(dòng)的絕對值，因此我們可以用證券價(jià)格比例的方式來定義證券價(jià)格的布朗運(yùn)動(dòng)：（13.25）其中S表示證券價(jià)格，μ表示證券在單位時(shí)間內(nèi)以連續(xù)復(fù)利計(jì)算的期望收益率（又稱預(yù)期收益率），示證券收益率單位時(shí)間的方差，表示證券收益率單位時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差，簡稱證券價(jià)格的波動(dòng)率（Volatility），dz遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。第三節(jié)期權(quán)定價(jià)的理論基礎(chǔ)從（13.21）和上式可知，在短時(shí)間后，證券價(jià)格比率的變化值為：則可得（13.26）

我們將在下文證明，衍生證券的定價(jià)與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率是無關(guān)的。相反，證券價(jià)格的波動(dòng)率對于衍生證券的定價(jià)則是相當(dāng)重要的。應(yīng)該注意的是，由于比例變化不具有可加性，因此我們并不能象以前一樣推導(dǎo)出在任意時(shí)間長度T后證券價(jià)格比例變化的標(biāo)準(zhǔn)差為。第三節(jié)期權(quán)定價(jià)的理論基礎(chǔ)四、伊藤過程和伊藤引理普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時(shí)間t的函數(shù)，我們可以從公式（13.24）得到伊藤過程（ItoProcess）：

（13.27）

其中，dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。

第三節(jié)期權(quán)定價(jià)的理論基礎(chǔ)在伊藤過程的基礎(chǔ)上，伊藤進(jìn)一步推導(dǎo)出：若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程：

（13.28）公式（13.28）就是著名的伊藤引理。從式（13.25）中，我們可得：

（13.29）第三節(jié)期權(quán)定價(jià)的理論基礎(chǔ)我們知道，衍生證券的價(jià)格是標(biāo)的證券價(jià)格S和時(shí)間t的函數(shù)。根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價(jià)格G應(yīng)遵循如下過程：

（13.30）比較式（13.29）和(13.30)可看出，衍生證券價(jià)格G和標(biāo)的證券價(jià)格S都受同一個(gè)基本的不確定性來源dz的影響，這點(diǎn)對于以后推導(dǎo)衍生證券的定價(jià)公式很重要。第三節(jié)期權(quán)定價(jià)的理論基礎(chǔ)五、證券價(jià)格自然對數(shù)變化過程我們可用伊藤引理來推導(dǎo)證券價(jià)格自然對數(shù)lnS變化所遵循的隨機(jī)過程。

令

我們就可得出證券價(jià)格對數(shù)G所遵循的隨機(jī)過程為：

第三節(jié)期權(quán)定價(jià)的理論基礎(chǔ)令t時(shí)刻G的值為lnS，T時(shí)刻G的值為lnST，其中S表示t時(shí)刻（當(dāng)前時(shí)刻）的證券價(jià)格，ST表示T時(shí)刻（將來時(shí)刻）的證券價(jià)格，則在T－t期間G的變化為：lnST-

lnS

這意味著：（13.31）根據(jù)正態(tài)分布的特性，從式（13.31）可以得到：

（13.32）第三節(jié)期權(quán)定價(jià)的理論基礎(chǔ)這表明ST服從對數(shù)正態(tài)分布。lnST的標(biāo)準(zhǔn)差與成比例，這說明證券價(jià)格對數(shù)的不確定性(用標(biāo)準(zhǔn)差表示)與我們考慮的未來時(shí)間的長度的平方根成正比。這就解決了前面所說的證券價(jià)格比例變化的標(biāo)準(zhǔn)差與時(shí)間不成正比的問題。第三節(jié)期權(quán)定價(jià)的理論基礎(chǔ)根據(jù)式（13.32）和對數(shù)正態(tài)分布的特性,可知ST的期望值E(ST)為：這與作為預(yù)期收益率的定義相符。ST的方差var(ST)為:

第三節(jié)期權(quán)定價(jià)的理論基礎(chǔ)第四節(jié)布萊克—舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型

一、布萊克——舒爾斯微分方程

推導(dǎo)布萊克——舒爾斯微分方程需要用到如下假設(shè)：證券價(jià)格遵循幾何布朗過程，即和為常數(shù)；允許賣空標(biāo)的證券；沒有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的；在衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付；不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的；在衍生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)。實(shí)際上，有些假設(shè)條件我們可以放松，如、和r可以是t的函數(shù)。

（一）布萊克——舒爾斯微分方程的推導(dǎo)（13.35）

（13.36）我們可以構(gòu)建一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和單位標(biāo)的證券多頭的組合。令代表該投資組合的價(jià)值，則：（13.37）在時(shí)間后，該投資組合的價(jià)值變化為：第四節(jié)布萊克—舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型

在沒有套利機(jī)會(huì)的條件下：我們代入和，則可得著名的布萊克——舒爾斯微分分程：布萊克——舒爾斯微分分程適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格S的所有衍生證券的定價(jià)。第四節(jié)布萊克—舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型

應(yīng)該注意的是，當(dāng)S和t變化時(shí)，

的值也會(huì)變化，因此上述投資組合的價(jià)值并不是永遠(yuǎn)無風(fēng)險(xiǎn)的，它只是在一個(gè)很短的時(shí)間間隔中才是無風(fēng)險(xiǎn)的。在一個(gè)較長時(shí)間中，要保持該投資組合無風(fēng)險(xiǎn)，必須根據(jù)的變化而相應(yīng)調(diào)整標(biāo)的證券的數(shù)量。當(dāng)然，推導(dǎo)布萊克——舒爾斯微分方程并不要求調(diào)整標(biāo)的證券的數(shù)量，因?yàn)樗魂P(guān)心中的變化。

第四節(jié)布萊克—舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型

（二）風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理從上可以看出受制于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價(jià)值決定公式中。這意味著，無論風(fēng)險(xiǎn)收益偏好狀態(tài)如何，都不會(huì)對f的值產(chǎn)生影響。于是，我們就可以利用布萊克——舒爾斯微分方程所揭示的這一特性，作出一個(gè)可以大大簡化我們工作的簡單假設(shè)：在對衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。為了更好地理解風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，我們可以舉一個(gè)簡單的例子來說明（見書）第四節(jié)布萊克—舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型

二、布萊克——舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，歐式看漲期權(quán)到期時(shí)（T時(shí)刻）的期望值為：根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格c等于將此期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即：（13.41）第四節(jié)布萊克—舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型

對式（13.41）右邊求值是一種積分過程，結(jié)果為：

其中，由于歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價(jià)關(guān)系,可得：第四節(jié)布萊克—舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型

SN(d1)是Asset-or-notingcalloption的價(jià)值；-e-rTXN(d2)是X份cash-or-nothing看漲期權(quán)空頭的價(jià)值。N(d2)是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中期權(quán)被執(zhí)行的概率，或者說ST大于X的概率，e-rTXN(d2)是X的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。

SN(d1)是得到ST的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量，SN（d1)就是股票的市值,-e-rTXN(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價(jià)值。第四節(jié)布萊克—舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型

三、有收益資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)公式（一）有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的定價(jià)公式

在收益已知情況下，我們可以把標(biāo)的證券價(jià)格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分和一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)部分。當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為I時(shí)，我們只要用（S-I）代替S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率q（單位為年）時(shí)，我們只要將代替S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格，從而使布萊克——舒爾斯的歐式期權(quán)定價(jià)公式適用歐式貨幣期權(quán)和股價(jià)指數(shù)期權(quán)的定價(jià)。第四節(jié)布萊克—舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型

對于歐式期貨期權(quán)，布萊克教授也給出了定價(jià)公式：

其中，例子見書。第四節(jié)布萊克—舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型

（二）有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價(jià)1.美式看漲期權(quán)當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)有收益時(shí)，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，因此有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價(jià)較為復(fù)雜，布萊克提出了一種近似處理方法。該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理，其方法我們在本章第一節(jié)已論述過。若不合理，則按歐式期權(quán)處理；若在tn提前執(zhí)行有可能是合理的，則要分別計(jì)算在T時(shí)刻和tn時(shí)刻到期的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價(jià)格。在大多數(shù)情況下，這種近似效果都不錯(cuò)。第四節(jié)布萊克—舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型

2.美式看跌期權(quán)

由于收益雖然使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性減小，但仍不排除提前執(zhí)行的可能性，因此有收益美式看跌期權(quán)的價(jià)值仍不同于歐式看跌期權(quán)，它也只能通過較復(fù)雜的數(shù)值方法來求出。第四節(jié)布萊克—舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型

第五節(jié)二叉樹期權(quán)定價(jià)摸型

由于美式看跌期權(quán)無法用布萊克——舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式進(jìn)行精確定價(jià)，因此要用其它替代方法，如二叉樹期權(quán)定價(jià)模型，該模型是由科克斯（J.Cox）、羅斯(S.Ross)和魯賓斯坦(M.Rubinstein)于1979年首先提出的。一、無收益資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià)二叉樹模型首先把期權(quán)的有效期分為很多很小的時(shí)間間隔，并假設(shè)在每一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)證券價(jià)格從開始的S運(yùn)動(dòng)到兩個(gè)新值Su和Sd中的一個(gè)，如圖13-22所示。其中，u>1，d<1，且u=1/d

圖13-22T時(shí)間內(nèi)證券價(jià)格的變動(dòng)

S0u

?uS0d

?dS0

?p(1

–p)第五節(jié)二叉樹期權(quán)定價(jià)摸型

為了對期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，二叉樹模型也應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理并假定：

1.所有可交易證券的期望收益都是無風(fēng)險(xiǎn)利率；2.未來現(xiàn)金流可以用其期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)來計(jì)算現(xiàn)值。（一）參數(shù)p、u和d的確定

參數(shù)p、u和d的值必須滿足這個(gè)要求，即：第五節(jié)二叉樹期權(quán)定價(jià)摸型

根據(jù)本章第2節(jié)的討論，在一個(gè)小時(shí)間段內(nèi)證券價(jià)格變化的方差是。根據(jù)方差的定義，變量X的方差等于X2的期望值與X期望值平方之差，因此：由上可得，第五節(jié)二叉樹期權(quán)定價(jià)摸型

（二）證券價(jià)格的樹型結(jié)構(gòu)應(yīng)用二叉樹模型來表示證券價(jià)格變化的完整樹型結(jié)構(gòu)如圖13.23所示。圖13.23證券價(jià)格的樹型結(jié)構(gòu)第五節(jié)二叉樹期權(quán)定價(jià)摸型

當(dāng)時(shí)間為0時(shí)，證券價(jià)格為S。時(shí)間為t時(shí)，證券價(jià)格要么上漲到Su，要么下降到Sd；時(shí)間為2

t時(shí)，證券價(jià)格就有三種可能：Su2、Sud（等于S）和Sd2，以此類推。一般而言，在時(shí)刻it，證券價(jià)格有i+1種可能，它們可用符號表示為：其中j=0,1,2,……,i第五節(jié)二叉樹期權(quán)定價(jià)摸型

（三）倒推定價(jià)法由于在T時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值是已知的。所以在二叉樹模型中，期權(quán)定價(jià)從樹型結(jié)構(gòu)圖的末端T時(shí)刻開始，采用倒推法定價(jià)。

例：S0

=50;X=50;r=10%;s=40%;

T=5months=0.4167;

Dt

=1month=0.0833

則可得