2016年中考數(shù)學(xué)試卷分類匯編解析：解直角三角形

解直角三角形一、選擇題1．(2016福州，9,3分)如圖，以圓O為圓心，半徑為1的弧交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，P是上一點(diǎn)（不與A，B重合），連接OP，設(shè)∠POB=α，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα） C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα）【考點(diǎn)】解直角三角形；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；三角形．【分析】過(guò)P作PQ⊥OB，交OB于點(diǎn)Q，在直角三角形OPQ中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出OQ與PQ，即可確定出P的坐標(biāo)．【解答】解：過(guò)P作PQ⊥OB，交OB于點(diǎn)Q，在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α，∴sinα=，cosα=，即PQ=sinα，OQ=cosα，則P的坐標(biāo)為（cosα，sinα），故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵．2．(2016·云南)一座樓梯的示意圖如圖所示，BC是鉛垂線，CA是水平線，BA與CA的夾角為θ．現(xiàn)要在樓梯上鋪一條地毯，已知CA=4米，樓梯寬度1米，則地毯的面積至少需要（）A．米2 B．米2 C．（4+）米2 D．（4+4tanθ）米2【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．【分析】由三角函數(shù)表示出BC，得出AC+BC的長(zhǎng)度，由矩形的面積即可得出結(jié)果．【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AC?tanθ=4tanθ（米），∴AC+BC=4+4tanθ（米），∴地毯的面積至少需要1×（4+4tanθ）=4+tanθ（米2）；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、矩形面積的計(jì)算；由三角函數(shù)表示出BC是解決問題的關(guān)鍵．3．（2016·四川巴中）一個(gè)公共房門前的臺(tái)階高出地面1.2米，臺(tái)階拆除后，換成供輪椅行走的斜坡，數(shù)據(jù)如圖所示，則下列關(guān)系或說(shuō)法正確的是（）A．斜坡AB的坡度是10° B．斜坡AB的坡度是tan10°C．AC=1.2tan10°米 D．AB=米【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【分析】根據(jù)坡度是坡角的正切值，可得答案．【解答】解：斜坡AB的坡度是tan10°=，故B正確；故選：B．4．（2016山東省聊城市，3分）聊城“水城之眼”摩天輪是亞洲三大摩天輪之一，也是全球首座建筑與摩天輪相結(jié)合的城市地標(biāo)，如圖，點(diǎn)O是摩天輪的圓心，長(zhǎng)為110米的AB是其垂直地面的直徑，小瑩在地面C點(diǎn)處利用測(cè)角儀測(cè)得摩天輪的最高點(diǎn)A的仰角為33°，測(cè)得圓心O的仰角為21°，則小瑩所在C點(diǎn)到直徑AB所在直線的距離約為（tan33°≈0.65，tan21°≈0.38）（）A．169米B．204米C．240米D．407米【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．【分析】過(guò)C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，求得AD=CD?tan∠ACD=CD?tan33°，在Rt△BCO中，求得OD=CD?tan∠BCO=CD?tan21°，列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：過(guò)C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，AD=CD?tan∠ACD=CD?tan33°，在Rt△BCO中，OD=CD?tan∠BCO=CD?tan21°，∵AB=110m，∴AO=55m，∴A0=AD﹣OD=CD?tan33°﹣CD?tan21°=55m，∴CD==≈204m，答：小瑩所在C點(diǎn)到直徑AB所在直線的距離約為204m．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了仰角與俯角的問題，利用兩個(gè)直角三角形擁有公共直角邊，能夠合理的運(yùn)用這條公共邊是解答此題的關(guān)鍵．5．（2016.山東省泰安市，3分）如圖，輪船沿正南方向以30海里/時(shí)的速度勻速航行，在M處觀測(cè)到燈塔P在西偏南68°方向上，航行2小時(shí)后到達(dá)N處，觀測(cè)燈塔P在西偏南46°方向上，若該船繼續(xù)向南航行至離燈塔最近位置，則此時(shí)輪船離燈塔的距離約為（由科學(xué)計(jì)算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（） A．22.48 B．41.68 C．43.16 D．55.63【分析】過(guò)點(diǎn)P作PA⊥MN于點(diǎn)A，則若該船繼續(xù)向南航行至離燈塔距離最近的位置為PA的長(zhǎng)度，利用銳角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可 【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥MN于點(diǎn)A， MN=30×2=60（海里）， ∵∠MNC=90°，∠CPN=46°， ∴∠MNP=∠MNC+∠CPN=136°， ∵∠BMP=68°， ∴∠PMN=90°﹣∠BMP=22°， ∴∠MPN=180°﹣∠PMN﹣∠PNM=22°， ∴∠PMN=∠MPN， ∴MN=PN=60（海里）， ∵∠CNP=46°， ∴∠PNA=44°， ∴PA=PNsin∠PNA=60×0.6947≈41.68（海里） 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了方向角問題，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵． 6．（2016·江蘇蘇州）如圖，長(zhǎng)4m的樓梯AB的傾斜角∠ABD為60°，為了改善樓梯的安全性能，準(zhǔn)備重新建造樓梯，使其傾斜角∠ACD為45°，則調(diào)整后的樓梯AC的長(zhǎng)為（）A．2SHAPEmB．2SHAPEmC．（2﹣2）mD．（2﹣2）m【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定義計(jì)算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定義計(jì)算AC即可．【解答】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=，∴AD=4sin60°=2（m），在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=，∴AC==2（m）．故選B．7．（2016?遼寧沈陽(yáng)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，則BC的長(zhǎng)是（）A．B．4C．8D．4【考點(diǎn)】解直角三角形．【分析】根據(jù)cosB=及特殊角的三角函數(shù)值解題即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，cosB=，即cos30°=，∴BC=8×=4；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值，是基礎(chǔ)知識(shí)，需要熟練掌握．二、填空題1．（2016·黑龍江大慶）一艘輪船在小島A的北偏東60°方向距小島80海里的B處，沿正西方向航行3小時(shí)后到達(dá)小島的北偏西45°的C處，則該船行駛的速度為海里/小時(shí)．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題．【分析】設(shè)該船行駛的速度為x海里/時(shí)，由已知可得BC=3x，AQ⊥BC，∠BAQ=60°，∠CAQ=45°，AB=80海里，在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出CQ，得出BC=40+40=3x，解方程即可．【解答】解：如圖所示：設(shè)該船行駛的速度為x海里/時(shí)，3小時(shí)后到達(dá)小島的北偏西45°的C處，由題意得：AB=80海里，BC=3x海里，在直角三角形ABQ中，∠BAQ=60°，∴∠B=90°﹣60°=30°，∴AQ=AB=40，BQ=AQ=40，在直角三角形AQC中，∠CAQ=45°，∴CQ=AQ=40，∴BC=40+40=3x，解得：x=．即該船行駛的速度為海里/時(shí)；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中的方向角問題、等腰直角三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；通過(guò)解直角三角形得出方程是解決問題的關(guān)鍵．2．（2016·湖北十堰）在綜合實(shí)踐課上，小聰所在小組要測(cè)量一條河的寬度，如圖，河岸EF∥MN，小聰在河岸MN上點(diǎn)A處用測(cè)角儀測(cè)得河對(duì)岸小樹C位于東北方向，然后沿河岸走了30米，到達(dá)B處，測(cè)得河對(duì)岸電線桿D位于北偏東30°方向，此時(shí)，其他同學(xué)測(cè)得CD=10米．請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù)求出河的寬度為（30+10）米．（結(jié)果保留根號(hào)）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題．【分析】如圖作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分別為H、K，則四邊形BHCK是矩形，設(shè)CK=HB=x，根據(jù)tan30°=列出方程即可解決問題．【解答】解：如圖作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分別為H、K，則四邊形BHCK是矩形，設(shè)CK=HB=x，∵∠CKA=90°，∠CAK=45°，∴∠CAK=∠ACK=45°，∴AK=CK=x，BK=HC=AK﹣AB=x﹣30，∴HD=x﹣30+10=x﹣20，在RT△BHD中，∵∠BHD=30°，∠HBD=30°，∴tan30°=，∴=，解得x=30+10．∴河的寬度為（30+10）米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用、方向角、三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形，學(xué)會(huì)利用三角函數(shù)的定義，列出方程解決問題，屬于中考?？碱}型．3.（2016年浙江省寧波市）如圖，在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，小聰在距離旗桿10m的A處測(cè)得旗桿頂端B的仰角為60°，測(cè)角儀高AD為1m，則旗桿高BC為10+1m（結(jié)果保留根號(hào)）．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．【分析】首先過(guò)點(diǎn)A作AE∥DC，交BC于點(diǎn)E，則AE=CD=10m，CE=AD=1m，然后在Rt△BAE中，∠BAE=60°，然后由三角形函數(shù)的知識(shí)求得BE的長(zhǎng)，繼而求得答案．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE∥DC，交BC于點(diǎn)E，則AE=CD=10m，CE=AD=1m，∵在Rt△BAE中，∠BAE=60°，∴BE=AE?tan60°=10（m），∴BC=CE+BE=10+1（m）．∴旗桿高BC為10+1m．故答案為：10+1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查仰角的定義．注意能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵．4．(2016福州，18,4分)如圖，6個(gè)形狀、大小完全相同的菱形組成網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知菱形的一個(gè)角（∠O）為60°，A，B，C都在格點(diǎn)上，則tan∠ABC的值是．【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；解直角三角形．【專題】網(wǎng)格型．【分析】如圖，連接EA、EB，先證明∠AEB=90°，根據(jù)tan∠ABC=，求出AE、EB即可解決問題．【解答】解：如圖，連接EA，EC，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a，由題意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，AE=a，EB=2a∴∠AEB=90°，∴tan∠ABC===．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)，三角函數(shù)、特殊三角形邊角關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．5．（2016·上海）如圖，航拍無(wú)人機(jī)從A處測(cè)得一幢建筑物頂部B的仰角為30°，測(cè)得底部C的俯角為60°，此時(shí)航拍無(wú)人機(jī)與該建筑物的水平距離AD為90米，那么該建筑物的高度BC約為208米．（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.73）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．【分析】分別利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BD，DC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出該建筑物的高度．【解答】解：由題意可得：tan30°===，解得：BD=30，tan60°===，解得：DC=90，故該建筑物的高度為：BC=BD+DC=120≈208（m），故答案為：208．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．6．(2016大連，15，3分)如圖，一艘漁船位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔18海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東55°方向上的B處，此時(shí)漁船與燈塔P的距離約為海里（結(jié)果取整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題．【分析】作PC⊥AB于C，先解Rt△PAC，得出PC=PA=9，再解Rt△PBC，得出PB=≈11．【解答】解：如圖，作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，∵PA=18，∠A=30°，∴PC=PA=×18=9，在Rt△PBC中，∵PC=9，∠B=55°，∴PB=≈≈11，答：此時(shí)漁船與燈塔P的距離約為11海里．故答案為11．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義．解一般三角形的問題可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．三、解答題1.（2016·湖北鄂州）（本題滿分9分）為了維護(hù)海洋權(quán)益，新組建的國(guó)家海洋局加大了在南海的巡邏力度。一天，我兩艘海監(jiān)船剛好在我某島東西海岸線上的A、B兩處巡邏，同時(shí)發(fā)現(xiàn)一艘不明國(guó)籍的船只停在C處海域。如圖所示，AB＝60海里，在B處測(cè)得C在北偏東45o的方向上，A處測(cè)得C在北偏西30o的方向上，在海岸線AB上有一燈塔D，測(cè)得AD＝120海里。（1）（4分）分別求出A與C及B與C的距離AC，BC（結(jié)果保留根號(hào)）（2）（5分）已知在燈塔D周圍100海里范圍內(nèi)有暗礁群，我在A處海監(jiān)船沿AC前往C處盤查，途中有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？（參考數(shù)據(jù)：＝1.41，＝1.73，＝2.45）第1題圖【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題.【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，解直角三角形即可求出A與C及B與C的距離AC，BC；（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F，解直角三角形即可求出DF的長(zhǎng)，再比較與100的大小，從而得出結(jié)論有無(wú)觸礁的危險(xiǎn).【解答】解：⑴作CE⊥AB于E,設(shè)AE＝x（1分）則在△ACE中,CE=√3xAC=2x在△BCE中，BE=CE=√3xBC=√6x（2分）由AB=AE＋BE∴x＋√3x=60(√6＋√2)解得x=60√2（3分）所以AC=120√2(海里)，BC=120√3(海里)（4分）⑵作DF⊥AC于F,（1分）在△AFD中,DF=√3/2DA（2分）∴DF=√3/2×60(√6－√2)=60(3√2－√6)≈106.8＞100（4分）所以無(wú)觸礁危險(xiǎn).（5分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．2.（2016·湖北黃岡）（滿分8分）“一號(hào)龍卷風(fēng)”給小島O造成了較大的破壞，救災(zāi)部門迅速組織力量，從倉(cāng)儲(chǔ)處調(diào)集物資，計(jì)劃先用汽車運(yùn)到與D在同一直線上的C，B，A三個(gè)碼頭中的一處，再用貨船運(yùn)到小島O.已知：OA⊥AD，∠ODA=15°，∠OCA=30°，∠OBA=45°，CD=20km.若汽車行駛的速度為50km/時(shí)，貨船航行的速度為25km/時(shí)，問這批物資在哪個(gè)碼頭裝船，最早運(yùn)抵小島O？（在物資搬運(yùn)能力上每個(gè)碼頭工作效率相同；參考數(shù)據(jù)：≈1.4；≈1.7）（第2題）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用.【分析】要知道這批物資在哪個(gè)碼頭裝船最早運(yùn)抵小島O，則需分別計(jì)算出從C，B，A三個(gè)碼頭到小島O所需的時(shí)間，再比較，用時(shí)最少的最早運(yùn)抵小島O.題目中已知了速度，則需要求出CO，CB、BO，BA、AO的長(zhǎng)度.【解答】解：∵∠OCA=30°，∠D=15°，∴∠DOC=15°.∴CO=CD=20km.……………….1分在Rt△OAC中，∵∠OCA=30°，∴OA=10，AC=10.在Rt△OAB中，∵∠OBA=45°，∴OA=AB=10，OB=10.∴BC=AC-AB=10-10.………………..4分①?gòu)腃O所需時(shí)間為：20÷25=0.8；……………..……..5分②從CBO所需時(shí)間為：（10-10）÷50+10÷25≈0.62；…………..6分③從CAO所需時(shí)間為：10÷50+10÷25≈0.74；…………..7分∵0.62＜0.74＜0.8，∴選擇從B碼頭上船用時(shí)最少.………………8分（所需時(shí)間若同時(shí)加上DC段耗時(shí)0.4小時(shí)，亦可）3．(2016·四川資陽(yáng))如圖，“中國(guó)海監(jiān)50”正在南海海域A處巡邏，島礁B上的中國(guó)海軍發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A在點(diǎn)B的正西方向上，島礁C上的中國(guó)海軍發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A在點(diǎn)C的南偏東30°方向上，已知點(diǎn)C在點(diǎn)B的北偏西60°方向上，且B、C兩地相距120海里．（1）求出此時(shí)點(diǎn)A到島礁C的距離；（2）若“中海監(jiān)50”從A處沿AC方向向島礁C駛?cè)?，?dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)A′時(shí)，測(cè)得點(diǎn)B在A′的南偏東75°的方向上，求此時(shí)“中國(guó)海監(jiān)50”的航行距離．（注：結(jié)果保留根號(hào)）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題．【分析】（1）根據(jù)題意得出：∠CBD=30°，BC=120海里，再利用cos30°=，進(jìn)而求出答案；（2）根據(jù)題意結(jié)合已知得出當(dāng)點(diǎn)B在A′的南偏東75°的方向上，則A′B平分∠CBA，進(jìn)而得出等式求出答案．【解答】解：（1）如圖所示：延長(zhǎng)BA，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥BA延長(zhǎng)線與點(diǎn)D，由題意可得：∠CBD=30°，BC=120海里，則DC=60海里，故cos30°===，解得：AC=40，答：點(diǎn)A到島礁C的距離為40海里；（2）如圖所示：過(guò)點(diǎn)A′作A′N⊥BC于點(diǎn)N，可得∠1=30°，∠BA′A=45°，A′N=A′E，則∠2=15°，即A′B平分∠CBA，設(shè)AA′=x，則A′E=x，故CA′=2A′N=2×x=x，∵x+x=40，∴解得：x=20（﹣1），答：此時(shí)“中國(guó)海監(jiān)50”的航行距離為20（﹣1）海里．4.(2016·四川自貢)某校為了豐富大家的業(yè)余生活，組織了一次工會(huì)活動(dòng)，準(zhǔn)備一次性購(gòu)買若干鋼筆和筆記本（2016?自貢）某國(guó)發(fā)生8.1級(jí)強(qiáng)烈地震，我國(guó)積極組織搶險(xiǎn)隊(duì)赴地震災(zāi)區(qū)參與搶險(xiǎn)工作，如圖，某探測(cè)對(duì)在地面A、B兩處均探測(cè)出建筑物下方C處由生命跡象，已知探測(cè)線與地面的夾角分別是25°和60°，且AB=4米，求該生命跡象所在位置C的深度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin25°≈0.4，cos25°≈0，9，tan25°≈0.5，≈1.7）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．【分析】過(guò)C點(diǎn)作AB的垂線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，通過(guò)解Rt△ADC得到AD=2CD=2x，在Rt△BDC中利用銳角三角函數(shù)的定義即可求出CD的值．【解答】解：作CD⊥AB交AB延長(zhǎng)線于D，設(shè)CD=x米．在Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°==0.5，所以AD==2x．Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan60°==，解得：x≈3．即生命跡象所在位置C的深度約為3米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．5.(2016·新疆)如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)得校園里旗桿AB的高度，在操場(chǎng)的平地上選擇一點(diǎn)C，測(cè)得旗桿頂端A的仰角為30°，再向旗桿的方向前進(jìn)16米，到達(dá)點(diǎn)D處（C、D、B三點(diǎn)在同一直線上），又測(cè)得旗桿頂端A的仰角為45°，請(qǐng)計(jì)算旗桿AB的高度（結(jié)果保留根號(hào)）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．【專題】探究型．【分析】根據(jù)題意可以得到BD的長(zhǎng)度，從而可以求得AB的高度．【解答】解：由題意可得，CD=16米，∵AB=CB?tan30°，AB=BD?tan45°，∴CB?tan30°=BD?tan45°，∴（CD+DB）×=BD×1，解得BD=8，∴AB=BD?tan45°=（）米，即旗桿AB的高度是（）米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．6.（2016·四川成都·9分）在學(xué)習(xí)完“利用三角函數(shù)測(cè)高”這節(jié)內(nèi)容之后，某興趣小組開展了測(cè)量學(xué)校旗桿高度的實(shí)踐活動(dòng)，如圖，在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，量出高度AB=1.5m，測(cè)得旗桿頂端D的仰角∠DBE=32°，量出測(cè)點(diǎn)A到旗桿底部C的水平距離AC=20m，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，求旗桿CD的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．【分析】根據(jù)題意得AC=20米，AB=1.5米，過(guò)點(diǎn)B做BE⊥CD，交CD于點(diǎn)E，利用∠DBE=32°，得到DE=BEtan32°后再加上CE即可求得CD的高度．【解答】解：由題意得AC=20米，AB=1.5米，∵∠DBE=32°，∴DE=BEtan32°≈20×0.62=12.4米，∴CD=DE+CE=DE+AB=12.4+1.5≈13.9（米）．答：旗桿CD的高度約13.9米．7.（2016·四川達(dá)州·8分）如圖，在一條筆直的東西向海岸線l上有一長(zhǎng)為1.5km的碼頭MN和燈塔C，燈塔C距碼頭的東端N有20km．以輪船以36km/h的速度航行，上午10：00在A處測(cè)得燈塔C位于輪船的北偏西30°方向，上午10：40在B處測(cè)得燈塔C位于輪船的北偏東60°方向，且與燈塔C相距12km．（1）若輪船照此速度與航向航向，何時(shí)到達(dá)海岸線？（2）若輪船不改變航向，該輪船能否?？吭诖a頭？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題．【分析】（1）延長(zhǎng)AB交海岸線l于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥海岸線l于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥l于F，首先證明△ABC是直角三角形，再證明∠BAC=30°，再求出BD的長(zhǎng)即可角問題．（2）求出CD的長(zhǎng)度，和CN、CM比較即可解決問題．【解答】解：（1）延長(zhǎng)AB交海岸線l于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥海岸線l于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥l于F，如圖所示．∵∠BEC=∠AFC=90°，∠EBC=60°，∠CAF=30°，∴∠ECB=30°，∠ACF=60°，∴∠BCA=90°，∵BC=12，AB=36×=24，∴AB=2BC，∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，∵∠ABC=∠BDC+∠BCD=60°，∴∠BDC=∠BCD=30°，∴BD=BC=12，∴時(shí)間t==小時(shí)=20分鐘，∴輪船照此速度與航向航向，上午11：：00到達(dá)海岸線．（2）∵BD=BC，BE⊥CD，∴DE=EC，在RT△BEC中，∵BC=12，∠BCE=30°，∴BE=6，EC=6≈10.2，∴CD=20.4，∵20＜20.4＜21.5，∴輪船不改變航向，輪船可以?？吭诖a頭．8.（2016·四川廣安·8分）如圖，某城市市民廣場(chǎng)一入口處有五級(jí)高度相等的小臺(tái)階．已知臺(tái)階總高1.5米，為了安全現(xiàn)要作一個(gè)不銹鋼扶手AB及兩根與FG垂直且長(zhǎng)為1米的不銹鋼架桿AD和BC（桿子的地段分別為D、C），且∠DAB=66.5°．（參考數(shù)據(jù)：cos66.5°≈0.40，sin66.5°≈0.92）（1）求點(diǎn)D與點(diǎn)C的高度DH；（2）求所有不銹鋼材料的總長(zhǎng)度（即AD+AB+BC的長(zhǎng)，結(jié)果精確到0.1米）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)圖形求出即可；（2）過(guò)B作BM⊥AD于M，先求出AM，再解直角三角形求出即可．【解答】解：（1）DH=1.5米×=1.2米；（2）過(guò)B作BM⊥AD于M，在矩形BCHM中，MH=BC=1米，AM=AD+DH﹣MH=1米+1.2米﹣1米=1.2米=1.2米，在Rt△AMB中，AB=≈3.0米，所以有不銹鋼材料的總長(zhǎng)度為1米+3.0米+1米=5.0米．9.（2016吉林長(zhǎng)春，19，7分）如圖，為了解測(cè)量長(zhǎng)春解放紀(jì)念碑的高度AB，在與紀(jì)念碑底部B相距27米的C處，用高1.5米的測(cè)角儀DC測(cè)得紀(jì)念碑頂端A的仰角為47°，求紀(jì)念碑的高度（結(jié)果精確到0.1米）【參考數(shù)據(jù)：sin47°=0.731，cos47°=0.682，tan47°=1.072】【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．【分析】作DE⊥AB于E，根據(jù)正切的概念求出AE的長(zhǎng)，再結(jié)合圖形根據(jù)線段的和差計(jì)算即可求解．【解答】解：作DE⊥AB于E，由題意得DE=BC=27米，∠ADE=47°，在Rt△ADE中，AE=DE?tan∠ADE=27×1.072=28.944米，AB=AE+BE≈30.4米，答：紀(jì)念碑的高度約為30.4米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．10.（2016江蘇淮安，24，8分）小宇想測(cè)量位于池塘兩端的A、B兩點(diǎn)的距離．他沿著與直線AB平行的道路EF行走，當(dāng)行走到點(diǎn)C處，測(cè)得∠ACF=45°，再向前行走100米到點(diǎn)D處，測(cè)得∠BDF=60°．若直線AB與EF之間的距離為60米，求A、B兩點(diǎn)的距離．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．【專題】探究型．【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，畫出相應(yīng)的圖形，可以分別求得CM、DN的長(zhǎng)，由于AB=CN﹣CM，從而可以求得AB的長(zhǎng)．【解答】解：作AM⊥EF于點(diǎn)M，作BN⊥EF于點(diǎn)N，如右圖所示，由題意可得，AM=BN=60米，CD=100米，∠ACF=45°，∠BDF=60°，∴CM=米，DN=米，∴AB=CD+DN﹣CM=100+20﹣60=（40+20）米，即A、B兩點(diǎn)的距離是（40+20）米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．11.（2016·廣東廣州）如圖，某無(wú)人機(jī)于空中處探測(cè)到目標(biāo)的俯角分別是,此時(shí)無(wú)人機(jī)的飛行高度為，隨后無(wú)人機(jī)從處繼續(xù)水平飛行m到達(dá)處.求之間的距離求從無(wú)人機(jī)上看目標(biāo)的俯角的正切值.【難易】容易【考點(diǎn)】俯角，三角函數(shù)，解直角三角形，矩形【解析】（1）利用直角三角形中三角函數(shù)求線段的長(zhǎng)度。（2）構(gòu)造直角三角形求指定角的三角函數(shù)值?！緟⒖即鸢浮拷猓海?）∵∠BAC=90°-30°=60°，AC=60m∴在Rt△ABC中，有（2）作DE⊥于點(diǎn)E，連結(jié)∵∠DAC=90°-60°=30°，AC=60m∴在Rt△ADC中，有CD=AC×tan∠DAC=60×tan30°=m∵∠AED=∠EAC=∠C=90°∴四邊形ACDE是矩形?！逧D=AC=60m，EA=CD=m∴在Rt△中，有即從無(wú)人機(jī)上看目標(biāo)D俯角正切值為。12.（2016·廣東茂名）如圖，在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，小敏為了測(cè)量校園內(nèi)旗桿CD的高度，先在教學(xué)樓的底端A點(diǎn)處，觀測(cè)到旗桿頂端C的仰角∠CAD=60°，然后爬到教學(xué)樓上的B處，觀測(cè)到旗桿底端D的俯角是30°，已知教學(xué)樓AB高4米．（1）求教學(xué)樓與旗桿的水平距離AD；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）求旗桿CD的高度．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．【分析】（1）根據(jù)題意得出∠ADB=30°，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出AD的長(zhǎng)；（2）利用（1）中所求，結(jié)合CD=AD?tan60°求出答案．【解答】解：（1）∵教學(xué)樓B點(diǎn)處觀測(cè)到旗桿底端D的俯角是30°，∴∠ADB=30°，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ADB=30°，AB=4m，∴AD===4（m），答：教學(xué)樓與旗桿的水平距離是4m；（2）∵在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，AD=4m，∴CD=AD?tan60°=4×=12（m），答：旗桿CD的高度是12m．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角的應(yīng)用，正確應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．13.（2016·廣東深圳）某興趣小組借助無(wú)人飛機(jī)航拍校園，如圖，無(wú)人飛機(jī)從A初飛行至B處需8秒，在地面C處同一方向上分別測(cè)得A處的仰角為75°.B處的仰角為30°.已知無(wú)人飛機(jī)的飛行速度為4米/秒，求這架無(wú)人飛機(jī)的飛行高度.(結(jié)果保留根號(hào))考點(diǎn)：三角函數(shù)，兩直線平等的性質(zhì)。解析：如圖，作AD⊥BC，BH⊥水平線由題意∠ACH=75°，∠BCH=30°，AB∥CH∴∠ABC=30°,∠ACB=45°∵AB=4×8=32m∴AD=CD=AB·sinQUOTE30°=16mBD=AB·cos30°QUOTE=16EQ\R(,3)m∴BC=CD+BD=16+16EQ\R(,3)m∴BH=BC·sinQUOTE30°=8+8EQ\R(,3)m14.（2016·廣西賀州）如圖，是某市一座人行天橋的示意圖，天橋離地面的高BC是10米，坡面10米處有一建筑物HQ，為了方便使行人推車過(guò)天橋，市政府部門決定降低坡度，使新坡面DC的傾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D處與建筑物之間需留下至少3米寬的人行道，問該建筑物是否需要拆除（計(jì)算最后結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：=1.414，=1.732）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【分析】根據(jù)正切的定義分別求出AB、DB的長(zhǎng)，結(jié)合圖形求出DH，比較即可．【解答】解：由題意得，AH=10米，BC=10米，在Rt△ABC中，∠CAB=45°，∴AB=BC=10，在Rt△DBC中，∠CDB=30°，∴DB==10，∴DH=AH﹣AD=AH﹣（DB﹣AB）=10﹣10+10=20﹣10≈2.7（米），∵2.7米＜3米，∴該建筑物需要拆除．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義、熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．15.（2016年浙江省臺(tái)州市）保護(hù)視力要求人寫字時(shí)眼睛和筆端的距離應(yīng)超過(guò)30cm，圖1是一位同學(xué)的坐姿，把他的眼睛B，肘關(guān)節(jié)C和筆端A的位置關(guān)系抽象成圖2的△ABC，已知BC=30cm，AC=22cm，∠ACB=53°，他的這種坐姿符合保護(hù)視力的要求嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BD，DC的長(zhǎng)，進(jìn)而結(jié)合勾股定理得出答案．【解答】解：他的這種坐姿不符合保護(hù)視力的要求，理由：如圖2所示：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，∵BC=30cm，∠ACB=53°，∴sin53°==≈0.8，解得：BD=24，cos53°=≈0.6，解得：DC=18，∴AD=22﹣18=4（cm），∴AB===＜，∴他的這種坐姿不符合保護(hù)視力的要求．16.（2016年浙江省溫州市）如圖，在△ABC中，∠C=90°，D是BC邊上一點(diǎn)，以DB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)E，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)EF．（1）求證：∠1=∠F．（2）若sinB=，EF=2，求CD的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】圓周角定理；解直角三角形．【分析】（1）連接DE，由BD是⊙O的直徑，得到∠DEB=90°，由于E是AB的中點(diǎn)，得到DA=DB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠1=∠B等量代換即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形的判定定理得到AE=EF=2，推出AB=2AE=4，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得到BC==8，設(shè)CD=x，則AD=BD=8﹣x，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）證明：連接DE，∵BD是⊙O的直徑，∴∠DEB=90°，∵E是AB的中點(diǎn)，∴DA=DB，∴∠1=∠B，∵∠B=∠F，∴∠1=∠F；（2）∵∠1=∠F，∴AE=EF=2，∴AB=2AE=4，在Rt△ABC中，AC=AB?sinB=4，∴BC==8，設(shè)CD=x，則AD=BD=8﹣x，∵AC2+CD2=AD2，即42+x2=（8﹣x）2，∴x=3，即CD=3．17．（2016·山東煙臺(tái)）某中學(xué)廣場(chǎng)上有旗桿如圖1所示，在學(xué)習(xí)解直角三角形以后，數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量了旗桿的高度．如圖2，某一時(shí)刻，旗桿AB的影子一部分落在平臺(tái)上，另一部分落在斜坡上，測(cè)得落在平臺(tái)上的影長(zhǎng)BC為4米，落在斜坡上的影長(zhǎng)CD為3米，AB⊥BC，同一時(shí)刻，光線與水平面的夾角為72°，1米的豎立標(biāo)桿PQ在斜坡上的影長(zhǎng)QR為2米，求旗桿的高度（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．【分析】如圖作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N，根據(jù)=，求出CM，在RT△AMN中利用tan72°=，求出AN即可解決問題．【解答】解：如圖作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N．由題意=，即=，CM=，在RT△AMN中，∵∠ANM=90°，MN=BC=4，∠AMN=72°，∴tan72°=，∴AN≈12.3，∵M(jìn)N∥BC，AB∥CM，∴四邊形MNBC是平行四邊形，∴BN=CM=，∴AB=AN+BN=13.8米．18．（2016·山西）（本題10分）太陽(yáng)能光伏發(fā)電因其清潔、安全、便利、高效等特點(diǎn)，已成為世界各國(guó)普遍關(guān)注和重點(diǎn)發(fā)展的新興產(chǎn)業(yè)，如圖是太陽(yáng)能電池板支撐架的截面圖，其中的粗線表示支撐角鋼，太陽(yáng)能電池板與支撐角鋼AB的長(zhǎng)度相同，均為300cm，AB的傾斜角為，BE=CA=50cm，支撐角鋼CD，EF與底座地基臺(tái)面接觸點(diǎn)分別為D，F(xiàn)，CD垂直于地面，于點(diǎn)E．兩個(gè)底座地基高度相同（即點(diǎn)D，F(xiàn)到地面的垂直距離相同），均為30cm，點(diǎn)A到地面的垂直距離為50cm，求支撐角鋼CD和EF的長(zhǎng)度各是多少考點(diǎn)：三角函數(shù)的應(yīng)用分析：過(guò)點(diǎn)A作，垂足為G，利用三角函數(shù)求出CG，從而求出GD，繼而求出CD．連接FD并延長(zhǎng)與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，利用三角函數(shù)求出CH，由圖得出EH，再利用三角函數(shù)值求出EF解答：過(guò)點(diǎn)A作，垂足為G．…………（1分）則，在Rt中，．…………（2分）由題意，得．…………（3分）（cm）．…（4分）連接FD并延長(zhǎng)與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H．…（5分）由題意，得．在Rt中，．……（6分）．………（7分）在Rt中，（cm）．……………（9分）答：支撐角鋼CD的長(zhǎng)為45cm，EF的長(zhǎng)為cm．……（10分）19．（2016·四川巴中）如圖，隨著我市鐵路建設(shè)進(jìn)程的加快，現(xiàn)規(guī)劃從A地到B地有一條筆直的鐵路通過(guò)，但在附近的C處有一大型油庫(kù)，現(xiàn)測(cè)得油庫(kù)C在A地的北偏東60°方向上，在B地的西北方向上，AB的距離為250（+1）米．已知在以油庫(kù)C為中心，半徑為200米的范圍內(nèi)施工均會(huì)對(duì)油庫(kù)的安全造成影響．問若在此路段修建鐵路，油庫(kù)C是否會(huì)受到影響？請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題．【分析】根據(jù)題意，在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=45°，AB=250（+1）米，是否受到影響取決于C點(diǎn)到AB的距離，因此求C點(diǎn)到AB的距離，作CD⊥AB于D點(diǎn)．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，∴AD=CD?cot45°=CD，BD=CD?cot30°=CD，∵BD+AD=AB=250（+1）（米），即CD+CD=250（+1），∴CD=250，250米＞200米．答：在此路段修建鐵路，油庫(kù)C是不會(huì)受到影響．20．（2016.山東省青島市）如圖，AB是長(zhǎng)為10m，傾斜角為37°的自動(dòng)扶梯，平臺(tái)BD與大樓CE垂直，且與扶梯AB的長(zhǎng)度相等，在B處測(cè)得大樓頂部C的仰角為65°，求大樓CE的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，tan37°≈，sin65°≈，tan65°≈）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．【分析】作BF⊥AE于點(diǎn)F．則BF=DE，在直角△ABF中利用三角函數(shù)求得BF的長(zhǎng)，在直角△CDB中利用三角函數(shù)求得CD的長(zhǎng)，則CE即可求得．【解答】解：作BF⊥AE于點(diǎn)F．則BF=DE．在直角△ABF中，sin∠BAF=，則BF=AB?sin∠BAF=10×=6（m）．在直角△CDB中，tan∠CBD=，則CD=BD?tan65°=10×≈27（m）．則CE=DE+CD=BF+CD=6+27=33（m）．答：大樓CE的高度是33m．21．（2016·江蘇泰州）如圖，地面上兩個(gè)村莊C、D處于同一水平線上，一飛行器在空中以6千米/小時(shí)的速度沿MN方向水平飛行，航線MN與C、D在同一鉛直平面內(nèi)．當(dāng)該飛行器飛行至村莊C的正上方A處時(shí)，測(cè)得∠NAD=60°；該飛行器從A處飛行40分鐘至B處時(shí)，測(cè)得∠ABD=75°．求村莊C、D間的距離（取1.73，結(jié)果精確到0.1千米）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．【分析】過(guò)B作BE⊥AD于E，三角形的內(nèi)角和得到∠ADB=45°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AE=2．BE=2，求得AD=2+2，即可得到結(jié)論．【解答】解：過(guò)B作BE⊥AD于E，∵∠NAD=60°，∠ABD=75°，∴∠ADB=45°，∵AB=6×=4，∴AE=2．BE=2，∴DE=BE=2，∴AD=2+2，∵∠C=90，∠CAD=30°，∴CD=AD=1+．22．（2016·江蘇省宿遷）如圖，大海中某燈塔P周圍10海里范圍內(nèi)有暗礁，一艘海輪在點(diǎn)A處觀察燈塔P在北偏東60°方向，該海輪向正東方向航行8海里到達(dá)點(diǎn)B處，這時(shí)觀察燈塔P恰好在北偏東45°方向．如果海輪繼續(xù)向正東方向航行，會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎？試說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.73） 【分析】作PC⊥AB于C，如圖，∠PAC=30°，∠PBC=45°，AB=8，設(shè)PC=x，先判斷△PBC為等腰直角三角形得到BC=PC=x，再在Rt△PAC中利用正切的定義得到8+x=，解得x=4（+1）≈10.92，即AC≈10.92，然后比較AC與10的大小即可判斷海輪繼續(xù)向正東方向航行，是否有觸礁的危險(xiǎn)． 【解答】解：沒有觸礁的危險(xiǎn)．理由如下： 作PC⊥AB于C，如圖，∠PAC=30°，∠PBC=45°，AB=8， 設(shè)PC=x， 在Rt△PBC中，∵∠PBC=45°， ∴△PBC為等腰直角三角形， ∴BC=PC=x， 在Rt△PAC中，∵tan∠PAC=， ∴AC=，即8+x=，解得x=4（+1）≈10.92， 即AC≈10.92， ∵10.92＞10， ∴海輪繼續(xù)向正東方向航行，沒有觸礁的危險(xiǎn)． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題