第三章-隨機(jī)過程分析課件

2023/1/51第3章隨機(jī)過程2022/12/291第3章隨機(jī)過程2023/1/52第三章隨機(jī)過程載有信息的信號(hào)是不可預(yù)測(cè)的，具有某種隨機(jī)性。噪聲干擾更是不可預(yù)測(cè)的。這些不可預(yù)測(cè)的信號(hào)和噪聲只能用隨機(jī)過程描述。信源模型、信道特性已經(jīng)在信息論中引入，本課程主要用隨機(jī)過程描述以及評(píng)估通信系統(tǒng)的性能。本章將扼要復(fù)習(xí)通信系統(tǒng)所必需的內(nèi)容，即隨機(jī)過程的基本概念、統(tǒng)計(jì)特性及其通過線性系統(tǒng)的分析方法。2022/12/292第三章隨機(jī)過程載有信息的信號(hào)是不可預(yù)2023/1/533.1隨機(jī)過程的基本概念什么是隨機(jī)過程？隨機(jī)過程是一類隨時(shí)間作隨機(jī)變化的過程，它不能用確切的時(shí)間函數(shù)描述?？蓮膬煞N不同角度看：角度1：對(duì)應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)間過程的集合?！纠縩臺(tái)示波器同時(shí)觀測(cè)并記錄這n臺(tái)接收機(jī)的輸出噪聲波形樣本函數(shù)i(t)：隨機(jī)過程的一次實(shí)現(xiàn)，是確定的時(shí)間函數(shù)隨機(jī)過程：

(t)={1(t),2(t),…,n(t)}

是全部樣本函數(shù)的集合。2022/12/2933.1隨機(jī)過程的基本概念什么是隨機(jī)過2023/1/543.1隨機(jī)過程的基本概念角度2：隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸。在任一給定時(shí)刻t1上，每一個(gè)樣本函數(shù)i(t)都是一個(gè)確定的數(shù)值i(t1)，但是每個(gè)i(t1)都是不可預(yù)知的。在一個(gè)固定時(shí)刻t1上，不同樣本的取值{i(t1),i=1,2,…,n}是一個(gè)隨機(jī)變量，記為

(t1)。換句話說，隨機(jī)過程在任意時(shí)刻的值是一個(gè)隨機(jī)變量。因此，我們又可以把隨機(jī)過程看作是在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的隨機(jī)變量的集合。這個(gè)角度更適合對(duì)隨機(jī)過程理論進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)描述。2022/12/2943.1隨機(jī)過程的基本概念角度2：隨機(jī)2023/1/553.1.1隨機(jī)過程的分布函數(shù)設(shè)

(t)表示一個(gè)隨機(jī)過程，則它在任意時(shí)刻t1的值

(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其統(tǒng)計(jì)特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述。隨機(jī)過程

(t)的一維分布函數(shù)：隨機(jī)過程

(t)的一維概率密度函數(shù)：若上式中的偏導(dǎo)存在的話。僅僅描述了隨機(jī)過程在各個(gè)孤立時(shí)刻上的統(tǒng)計(jì)特性，沒有說明隨機(jī)過程在不同時(shí)刻取值之間的內(nèi)在聯(lián)系。2022/12/2953.1.1隨機(jī)過程的分布函數(shù)設(shè)(2023/1/563.1.1隨機(jī)過程的分布函數(shù)隨機(jī)過程

(t)

的二維分布函數(shù)：隨機(jī)過程

(t)的二維概率密度函數(shù)：若上式中的偏導(dǎo)存在的話。隨機(jī)過程

(t)

的n維分布函數(shù)：隨機(jī)過程

(t)

的n維概率密度函數(shù)：n越大，對(duì)隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性的描述就越充分2022/12/2963.1.1隨機(jī)過程的分布函數(shù)隨機(jī)過程2023/1/573.1.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征在大多數(shù)情況下，用隨機(jī)過程的數(shù)字特征來部分地描述隨機(jī)過程的主要特性：1、均值（數(shù)學(xué)期望）在任意給定時(shí)刻t1的取值

(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其均值 式中f

(x1,t1)－

(t1)的概率密度函數(shù)

由于t1是任取的，所以可以把t1

直接寫為t，x1改為x，這樣上式就變?yōu)?022/12/2973.1.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征在大多2023/1/583.1.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征

(t)的均值是時(shí)間的確定函數(shù)，常記作a(t)，它表示隨機(jī)過程的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心:a(t)2022/12/2983.1.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征a(2023/1/593.1.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征2、方差方差常記為2(t)。這里也把任意時(shí)刻t1直接寫成了t

。 因?yàn)椋壕街稻灯椒剿?，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機(jī)過程在時(shí)刻t對(duì)于均值a(t)的偏離程度。2022/12/2993.1.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征2、2023/1/5103.1.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征3、相關(guān)函數(shù)

式中，

(t1)和

(t2)分別是在t1和t2時(shí)刻觀測(cè)得到的隨機(jī)變量?？梢钥闯觯琑(t1,t2)是兩個(gè)變量t1和t2的確定函數(shù)。4、協(xié)方差函數(shù)

式中a(t1

)a(t2

)

－在t1和t2時(shí)刻得到的

(t)的均值

f2(x1,x2;t1,t2)－

(t)的二維概率密度函數(shù)。衡量隨機(jī)過程在任意兩個(gè)時(shí)刻上獲得的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度2022/12/29103.1.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征3、2023/1/5113.1.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征

相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系 若a(t1)=a(t2)=0，則B(t1,t2)=R(t1,t2)4、互相關(guān)函數(shù)

式中(t)和(t)分別表示兩個(gè)隨機(jī)過程。 因此，R(t1,t2)又稱為自相關(guān)函數(shù)。

2022/12/29113.1.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征2023/1/5123.2平穩(wěn)隨機(jī)過程3.2.1平穩(wěn)隨機(jī)過程定義定義：

若一個(gè)隨機(jī)過程(t)的任意有限維分布函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，也就是說，對(duì)于任意的正整數(shù)n和所有實(shí)數(shù)，有 則稱該隨機(jī)過程是在嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機(jī)過程，簡稱嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程。2022/12/29123.2平穩(wěn)隨機(jī)過程3.2.1平穩(wěn)2023/1/5133.2.1平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義性質(zhì)：

平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而改變，即它的一維分布函數(shù)與時(shí)間t無關(guān)：

而二維分布函數(shù)只與時(shí)間間隔=t2

–t1有關(guān)：數(shù)字特征：2022/12/29133.2.1平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義性質(zhì)：2023/1/5143.2.1平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義結(jié)論：平穩(wěn)隨機(jī)過程（1）其均值與t無關(guān)，為常數(shù)a

；（2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)。把同時(shí)滿足（1）和（2）的過程定義為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。顯然，嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。

在通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程。因此，研究平穩(wěn)隨機(jī)過程有著很大的實(shí)際意義。2022/12/29143.2.1平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義結(jié)論：2023/1/5153.2.2各態(tài)歷經(jīng)性問題的提出：我們知道，隨機(jī)過程的數(shù)字特征（均值、相關(guān)函數(shù)）是對(duì)隨機(jī)過程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均，但在實(shí)際中常常很難測(cè)得大量的樣本，這樣，我們自然會(huì)提出這樣一個(gè)問題：能否從一次試驗(yàn)而得到的一個(gè)樣本函數(shù)x(t)來決定平穩(wěn)過程的數(shù)字特征呢?回答是肯定的。平穩(wěn)過程在滿足一定的條件下具有一個(gè)有趣而又非常有用的特性，稱為“各態(tài)歷經(jīng)性”（又稱“遍歷性”）。具有各態(tài)歷經(jīng)性的過程，其數(shù)字特征（均為統(tǒng)計(jì)平均）完全可由隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值來代替。下面，我們來討論各態(tài)歷經(jīng)性的條件。2022/12/29153.2.2各態(tài)歷經(jīng)性問題的提出：我2023/1/5163.2.2各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性的條件：設(shè)：x(t)是平穩(wěn)過程(t)的任意一次實(shí)現(xiàn)（樣本）， 則其時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)分別定義為：如果平穩(wěn)過程使下式成立則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。2022/12/29163.2.2各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性的條2023/1/5173.2.2各態(tài)歷經(jīng)性“各態(tài)歷經(jīng)”的含義是：隨機(jī)過程中的任一次實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。因此，在求解各種統(tǒng)計(jì)平均（均值或自相關(guān)函數(shù)等）時(shí)，無需作無限多次的考察，只要獲得一次考察，用一次實(shí)現(xiàn)的“時(shí)間平均”值代替過程的“統(tǒng)計(jì)平均”值即可，從而使測(cè)量和計(jì)算的問題大為簡化。具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定成立。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。2022/12/29173.2.2各態(tài)歷經(jīng)性“各態(tài)歷經(jīng)”的2023/1/5183.2.2各態(tài)歷經(jīng)性[例3-1]設(shè)一個(gè)隨機(jī)相位的正弦波為 其中，A和c均為常數(shù)；是在(0,2π)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。試討論(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。

【解】(1)先求(t)的統(tǒng)計(jì)平均值： 數(shù)學(xué)期望2022/12/29183.2.2各態(tài)歷經(jīng)性[例3-1]2023/1/5193.2.2各態(tài)歷經(jīng)性自相關(guān)函數(shù)令t2

–t1=，得到

可見，(t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與t無關(guān)，只與時(shí)間間隔有關(guān)，所以(t)是廣義平穩(wěn)過程。2022/12/29193.2.2各態(tài)歷經(jīng)性自相關(guān)函數(shù) 可2023/1/5203.2.2各態(tài)歷經(jīng)性(2)求(t)的時(shí)間平均值比較統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均，有因此，隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。2022/12/29203.2.2各態(tài)歷經(jīng)性(2)求2023/1/5213.2.3平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的定義：平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

—

(t)的平均功率

—

的偶函數(shù)

—

R()的上界 即自相關(guān)函數(shù)R()在=0有最大值。

—

(t)的直流功率

—表示平穩(wěn)過程(t)的交流功率。 當(dāng)均值為0時(shí)，有:R(0)=2

。證明：E[ε(t)±ε(t+ζ)]2≥02022/12/29213.2.3平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)2023/1/5223.2.3平穩(wěn)過程的功率譜密度定義：對(duì)于任意的確定功率信號(hào)f(t)，它的功率譜密度定義為式中，F(xiàn)T(f)是f(t)的截短函數(shù)fT(t)所對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)2022/12/29223.2.3平穩(wěn)過程的功率譜密度定義2023/1/5233.2.3平穩(wěn)過程的功率譜密度對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程(t)

，可以把f(t)當(dāng)作是(t)的一個(gè)樣本；某一樣本的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看作是對(duì)所有樣本的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，故(t)的功率譜密度可以定義為上式給出了平穩(wěn)過程(t)的功率譜密度P(f)定義，但直接用它來計(jì)算功率譜密度并不簡單。2022/12/29233.2.3平穩(wěn)過程的功率譜密度對(duì)于2023/1/5243.2.3平穩(wěn)過程的功率譜密度功率譜密度的計(jì)算維納-辛欽關(guān)系

非周期的功率型確知信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換。這種關(guān)系對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過程同樣成立，即有： 簡記為 以上關(guān)系稱為維納-辛欽關(guān)系。它在平穩(wěn)隨機(jī)過程的理論和應(yīng)用中是一個(gè)非常重要的工具，它是聯(lián)系頻域和時(shí)域兩種分析方法的基本關(guān)系式。2022/12/29243.2.3平穩(wěn)過程的功率譜密度功率2023/1/5253.2.3平穩(wěn)過程的功率譜密度在維納-辛欽關(guān)系的基礎(chǔ)上，我們可以得到以下結(jié)論：對(duì)功率譜密度進(jìn)行積分，可得平穩(wěn)過程的總功率： 上式從頻域的角度給出了過程平均功率的計(jì)算法。各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過程的功率譜密度。也就是說，每一樣本函數(shù)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個(gè)過程的的譜特性。

【證】因?yàn)楦鲬B(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)等于任一樣本的自相關(guān)函數(shù)，即 兩邊取傅里葉變換： 即 式中 2022/12/29253.2.3平穩(wěn)過程的功率譜密度在維2023/1/5263.2.3平穩(wěn)過程的功率譜密度功率譜密度P(f)具有非負(fù)性和實(shí)偶性，即有

和

這與R()的實(shí)偶性相對(duì)應(yīng)。

2022/12/29263.2.3平穩(wěn)過程的功率譜密度功率2023/1/5273.2.3平穩(wěn)過程的功率譜密度[例3-2]求隨機(jī)相位余弦波(t)=Acos(ct+)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度?！窘狻吭赱例3-1]中，我們已經(jīng)考察隨機(jī)相位余弦波是一個(gè)平穩(wěn)過程，并且求出其相關(guān)函數(shù)為

因?yàn)槠椒€(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換，即有 以及由于有

所以，功率譜密度為

平均功率為2022/12/29273.2.3平穩(wěn)過程的功率譜密度[例2023/1/5283.3高斯隨機(jī)過程3.3.1定義如果隨機(jī)過程(t)的任意n維（n

=1,2,...）分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程。n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為：正態(tài)隨機(jī)過程式中2022/12/29283.3高斯隨機(jī)過程3.3.1定義2023/1/5293.3高斯隨機(jī)過程式中

|B|－歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即|B|jk

－行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余因子

bjk

－為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即2022/12/29293.3高斯隨機(jī)過程2023/1/5303.3.2高斯隨機(jī)過程重要性質(zhì)由高斯過程的定義式可以看出，高斯過程的n維分布只依賴各個(gè)隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。因此，對(duì)于高斯過程，只需要研究它的數(shù)字特征就可以了。廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴(yán)平穩(wěn)的。因?yàn)?，若高斯過程是廣義平穩(wěn)的，即其均值與時(shí)間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，則它的n維分布也與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，故它也是嚴(yán)平穩(wěn)的。所以，高斯過程若是廣義平穩(wěn)的，則也嚴(yán)平穩(wěn)。2022/12/29303.3.2高斯隨機(jī)過程重要性質(zhì)由高2023/1/5313.3.2高斯隨機(jī)過程重要性質(zhì)如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的

證明：如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，即對(duì)所有jk，有bjk=0，則其概率密度可以簡化為:高斯過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是高斯過程。也可以說，若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過程。2022/12/29313.3.2高斯隨機(jī)過程重要性質(zhì)如果2023/1/5323.3.3高斯隨機(jī)變量高斯過程在任一時(shí)刻上的取值是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為

式中

a－均值

2

－方差 曲線如右圖：2022/12/29323.3.3高斯隨機(jī)變量高斯過程在任2023/1/5333.3.3高斯隨機(jī)變量性質(zhì)f(x)對(duì)稱于直線x=a，即

a表示分布中心，稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，表示集中程度，圖形將隨著的減小而變高和變窄。當(dāng)a=0和

=1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布：2022/12/29333.3.3高斯隨機(jī)變量性質(zhì)2023/1/5343.3.3高斯隨機(jī)變量正態(tài)分布函數(shù) 這個(gè)積分的值無法用閉合形式計(jì)算，通常利用其他特殊函數(shù)，用查表的方法求出：用誤差函數(shù)erf(x)表示正態(tài)分布函數(shù)：令 則有 及 式中:

－誤差函數(shù)，可以查表求出其值。2022/12/29343.3.3高斯隨機(jī)變量正態(tài)分布函數(shù)2023/1/5353.3.3高斯隨機(jī)變量用互補(bǔ)誤差函數(shù)erfc(x)表示正態(tài)分布函數(shù)：

式中： 當(dāng)x>2時(shí)，2022/12/29353.3.3高斯隨機(jī)變量用互補(bǔ)誤差函2023/1/5363.3.3高斯隨機(jī)變量Q函數(shù)定義：Q函數(shù)和erfc

函數(shù)的關(guān)系：Q函數(shù)和分布函數(shù)F(x)的關(guān)系：Q函數(shù)值也可以從查表得到。2022/12/29363.3.3高斯隨機(jī)變量Q函數(shù)定義：2023/1/5373.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)確知信號(hào)通過線性系統(tǒng)： 式中vi

－輸入信號(hào)，vo

－輸出信號(hào) 對(duì)應(yīng)的傅里葉變換關(guān)系：隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)：其中：i(t)－是平穩(wěn)的輸入隨機(jī)過程，

求輸出過程o(t)的統(tǒng)計(jì)特性，即它的均值a、自相關(guān)函數(shù)Ri()、功率譜Pi()以及概率分布。隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)的分析，建立在確知信號(hào)通過線性系統(tǒng)的分析基礎(chǔ)之上的。2022/12/29373.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)確知2023/1/5383.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)1、輸出過程的均值對(duì)下式兩邊取統(tǒng)計(jì)平均：

得到設(shè)輸入過程是平穩(wěn)的，則有

式中，H(0)是線性系統(tǒng)在f=0處的頻率響應(yīng)，因此，輸出過程的均值是一個(gè)常數(shù)。2022/12/29383.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)1、2023/1/5393.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)2、輸出過程的自相關(guān)函數(shù)

根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義

根據(jù)輸入過程的平穩(wěn)性，有于是

上式表明，輸出過程的自相關(guān)函數(shù)僅是時(shí)間間隔的函數(shù)。由上兩式可知，若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，則輸出也是平穩(wěn)的。2022/12/29393.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)2、2023/1/5403.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)3、輸出過程的功率譜密度對(duì)式進(jìn)行傅里葉變換令=

+-，代入上式，得到 即結(jié)論：輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。應(yīng)用：由Po(f)的反傅里葉變換求Ro()

2022/12/29403.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)3、2023/1/5413.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)4、輸出過程的概率分布如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。 因?yàn)閺姆e分原理看：可以表示為：

由于已假設(shè)i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一項(xiàng)在任一時(shí)刻上都是一個(gè)高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過程在任一時(shí)刻上得到的隨機(jī)變量就是無限多個(gè)高斯隨機(jī)變量之和。由概率論理論得知，這個(gè)“和”也是高斯隨機(jī)變量，因而輸出過程也為高斯過程。 注意，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。2022/12/29413.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)4、2023/1/5423.5窄帶隨機(jī)過程什么是窄帶隨機(jī)過程？

若隨機(jī)過程(t)的譜密度集中在中心頻率fc附近相對(duì)窄的頻帶范圍f

內(nèi)，即滿足：f<<fc的條件，且fc遠(yuǎn)離零頻率，則稱該(t)為窄帶隨機(jī)過程。窄帶隨機(jī)過程的表示式式中，a(t)－隨機(jī)包絡(luò)，

(t)－隨機(jī)相位

c

－中心角頻率2022/12/29423.5窄帶隨機(jī)過程什么是窄帶隨機(jī)過2023/1/5433.5窄帶隨機(jī)過程典型的窄帶隨機(jī)過程的譜密度和樣本函數(shù)顯然a(t)和

(t)的變化相對(duì)于載波cosct的變化要緩慢得多。2022/12/29433.5窄帶隨機(jī)過程典型的窄帶隨機(jī)過2023/1/5443.5窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程表示式展開可以展開為式中

－(t)的同相分量 －(t)的正交分量

可以看出：(t)的統(tǒng)計(jì)特性由a(t)和

(t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性確定。若(t)的統(tǒng)計(jì)特性已知，則a(t)和

(t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性也隨之確定。

2022/12/29443.5窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程表示2023/1/5453.5.1c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性數(shù)學(xué)期望：

對(duì)下式求數(shù)學(xué)期望：

得到：因?yàn)?t)平穩(wěn)且均值為零，故對(duì)于任意的時(shí)間t，都有E[(t)]=0

，所以假設(shè)(t)是一個(gè)平穩(wěn)高斯窄帶過程2022/12/29453.5.1c(t)和s(t)的2023/1/5463.5.1c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性自相關(guān)函數(shù)由自相關(guān)函數(shù)的定義式式中：因?yàn)?t)是平穩(wěn)的，故有：可以證明：若窄帶過程(t)是平穩(wěn)的，則c(t)和s(t)也必然是平穩(wěn)的。t=0t=π/(2ωc)2022/12/29463.5.1c(t)和s(t)的2023/1/5473.5.1c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)一步分析以下兩式應(yīng)同時(shí)成立，故有同相分量c(t)和正交分量s(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù)。根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有代入上式，得到上式表明Rsc()是的奇函數(shù)，所以同理可證2022/12/29473.5.1c(t)和s(t)的2023/1/5483.5.1c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性在中令0并利用可得：即上式表明：

(t)、c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差。

2022/12/29483.5.1c(t)和s(t)的2023/1/5493.5.1c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性根據(jù)平穩(wěn)性，過程的特性與變量t無關(guān)，故由式 得到

因?yàn)?t)是高斯過程，所以，c(t1)，s(t2)一定是高斯隨機(jī)變量，從而c(t)

、s(t)也是高斯過程。根據(jù) 可知，c(t)

與s(t)在=0處互不相關(guān)，又由于它們是高斯型的，因此c(t)

與s(t)也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。2022/12/29493.5.1c(t)和s(t)的2023/1/5503.5.1c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性結(jié)論：一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t)

，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)同樣是平穩(wěn)高斯過程，而且均值為零，方差也相同。此外，在同一時(shí)刻上得到的c和s是互不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。2022/12/29503.5.1c(t)和s(t)的2023/1/5513.5.2a(t)和(t)的統(tǒng)計(jì)特性聯(lián)合概率密度函數(shù)f(a,)由上面可得：根據(jù)概率論知識(shí)有：由可以求得：則：

式中：a0,=(0,2π)2022/12/29513.5.2a(t)和(t)的2023/1/5523.5.2a(t)和(t)的統(tǒng)計(jì)特性a的一維概率密度函數(shù)可見，a服從瑞利(Rayleigh)分布。的一維概率密度函數(shù)

可見，服從均勻分布。2022/12/29523.5.2a(t)和(t)的2023/1/5533.5.2a(t)和(t)的統(tǒng)計(jì)特性結(jié)論 一個(gè)均值為零，方差為2的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t)，其包絡(luò)a(t)的一維分布是瑞利分布，相位(t)的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，a(t)與(t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，即有2022/12/29533.5.2a(t)和(t)的2023/1/5543.6正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲的混合信號(hào)為：式中： －窄帶高斯噪聲－正弦波的隨機(jī)相位，均勻分布在0～2間

A和c

－確知振幅和角頻率于是有式中2022/12/29543.6正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加2023/1/5553.6正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)和相位表示式包絡(luò)：相位：我們最為關(guān)心的是r(t)的包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性2022/12/29553.6正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加2023/1/5563.6正弦波加窄帶高斯噪聲包絡(luò)的概率密度函數(shù)f(z)

利用上一節(jié)的結(jié)果，如果值已給定，則zc、zs是相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，且有：

所以，在給定相位的條件下的zc和zs的聯(lián)合概率密度函數(shù)為2022/12/29563.6正弦波加窄帶高斯噪聲包絡(luò)的概2023/1/5573.6正弦波加窄帶高斯噪聲

利用與上一節(jié)分析a和相似的方法，根據(jù)zc，zs與z，之間的隨機(jī)變量關(guān)系可以求得在給定相位的條件下的z與的聯(lián)合概率密度函數(shù)然后求給定條件下的邊界分布，即2022/12/29573.6正弦波加窄帶高斯噪聲2023/1/5583.6正弦波加窄帶高斯噪聲由于故有式中：I0(x)－第一類零階修正貝塞爾函數(shù)因此由上式可見，f(,z)與無關(guān)，故包絡(luò)z的概率密度函數(shù)為

——稱為廣義瑞利分布，又稱萊斯（Rice）分布。2022/12/29583.6正弦波加窄帶高斯噪聲由于2023/1/5593.6正弦波加窄帶高斯噪聲討論當(dāng)信號(hào)很小時(shí)，即A0時(shí)，上式中(Az/n2)很小，I0(Az/n2)1，上式的萊斯分布退化為瑞利分布。當(dāng)(Az/n2)很大時(shí)，有這時(shí)上式近似為高斯分布，即2022/12/29593.6正弦波加窄帶高斯噪聲2023/1/5603.6正弦波加窄帶高斯噪聲包絡(luò)概率密度函數(shù)f(z)曲線2022/12/29603.6正弦波加窄帶高斯噪聲包絡(luò)概率2023/1/5613.6正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲的相位的統(tǒng)計(jì)特性F()2022/12/29613.6正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加2023/1/5623.7高斯白噪聲和帶限白噪聲1、白噪聲n(t)定義：功率譜密度在所有頻率上均為常數(shù)的噪聲，即 －雙邊功率譜密度 或 －單邊功率譜密度 式中n0

－正常數(shù)白噪聲的自相關(guān)函數(shù)：對(duì)雙邊功率譜密度取傅里葉反變換，得到相關(guān)函數(shù)：2022/12/29623.7高斯白噪聲和帶限白噪聲1、白2023/1/5633.7高斯白噪聲和帶限白噪聲白噪聲和其自相關(guān)函數(shù)的曲線：2022/12/29633.7高斯白噪聲和帶限白噪聲白噪聲2023/1/5643.7高斯白噪聲和帶限白噪聲由于白噪聲的帶寬無限，其平均功率為無窮大，即 或因此，真正“白”的噪聲是不存在的，它只是構(gòu)造的一種理想化的噪聲形式。實(shí)際中，只要噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，我們就可以把它視為白噪聲。如果白噪聲取值的概率分布服從高斯分布，則稱之為高斯白噪聲。高斯白噪聲在任意兩個(gè)不同時(shí)刻上的隨機(jī)變量之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。2022/12/29643.7高斯白噪聲和帶限白噪聲由于白2023/1/5653.7高斯白噪聲和帶限白噪聲2、低通白噪聲定義：如果白噪聲通過理想矩形的低通濾波器或理想低通通道，則輸出的噪聲稱為低通白噪聲。功率譜密度由上式可見，白噪聲的功率譜密度被限制在|f|fH內(nèi)，通常把這樣的噪聲也稱為帶限白噪聲。自相關(guān)函數(shù)f(t)→F(jω

)F(jt)→2πf(-ω)2022/12/29653.7高斯白噪聲和帶限白噪聲2、低2023/1/5663.7高斯白噪聲和帶限白噪聲功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)由曲線看出，這種帶限白噪聲只有在上得到的隨機(jī)變量才不相關(guān)。2022/12/29663.7高斯白噪聲和帶限白噪聲功率譜2023/1/5673.7高斯白噪聲和帶限白噪聲3、帶通白噪聲定義：如果白噪聲通過矩形的帶通濾波器或理想帶通信道，則其輸出的噪聲稱為帶通白噪聲。功率譜密度：設(shè)理想帶通濾波器的傳輸特性為式中: fc

－中心頻率，B

－通帶寬度 則其輸出噪聲的功率譜密度為2022/12/29673.7高斯白噪聲和帶限白噪聲3、帶2023/1/5683.7高斯白噪聲和帶限白噪聲自相關(guān)函數(shù)2022/12/29683.7高斯白噪聲和帶限白噪聲自相關(guān)2023/1/5693.7高斯白噪聲和帶限白噪聲帶通白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)曲線2022/12/29693.7高斯白噪聲和帶限白噪聲帶通白2023/1/5703.7高斯白噪聲和帶限白噪聲通常，帶通濾波器的B<<fc，因此稱窄帶濾波器，相應(yīng)地把帶通白高斯噪聲稱為窄帶高斯白噪聲。窄帶高斯白噪聲的表達(dá)式和統(tǒng)計(jì)特性(3.5節(jié)）平均功率2022/12/29703.7高斯白噪聲和帶限白噪聲通常，2023/1/571作業(yè)5,12,142022/12/2971作業(yè)5,12,142023/1/572End

OfTheChapter3!2022/12/2972End

OfTheChap2023/1/573第3章隨機(jī)過程2022/12/291第3章隨機(jī)過程2023/1/574第三章隨機(jī)過程載有信息的信號(hào)是不可預(yù)測(cè)的，具有某種隨機(jī)性。噪聲干擾更是不可預(yù)測(cè)的。這些不可預(yù)測(cè)的信號(hào)和噪聲只能用隨機(jī)過程描述。信源模型、信道特性已經(jīng)在信息論中引入，本課程主要用隨機(jī)過程描述以及評(píng)估通信系統(tǒng)的性能。本章將扼要復(fù)習(xí)通信系統(tǒng)所必需的內(nèi)容，即隨機(jī)過程的基本概念、統(tǒng)計(jì)特性及其通過線性系統(tǒng)的分析方法。2022/12/292第三章隨機(jī)過程載有信息的信號(hào)是不可預(yù)2023/1/5753.1隨機(jī)過程的基本概念什么是隨機(jī)過程？隨機(jī)過程是一類隨時(shí)間作隨機(jī)變化的過程，它不能用確切的時(shí)間函數(shù)描述。可從兩種不同角度看：角度1：對(duì)應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)間過程的集合?！纠縩臺(tái)示波器同時(shí)觀測(cè)并記錄這n臺(tái)接收機(jī)的輸出噪聲波形樣本函數(shù)i(t)：隨機(jī)過程的一次實(shí)現(xiàn)，是確定的時(shí)間函數(shù)隨機(jī)過程：

(t)={1(t),2(t),…,n(t)}

是全部樣本函數(shù)的集合。2022/12/2933.1隨機(jī)過程的基本概念什么是隨機(jī)過2023/1/5763.1隨機(jī)過程的基本概念角度2：隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸。在任一給定時(shí)刻t1上，每一個(gè)樣本函數(shù)i(t)都是一個(gè)確定的數(shù)值i(t1)，但是每個(gè)i(t1)都是不可預(yù)知的。在一個(gè)固定時(shí)刻t1上，不同樣本的取值{i(t1),i=1,2,…,n}是一個(gè)隨機(jī)變量，記為

(t1)。換句話說，隨機(jī)過程在任意時(shí)刻的值是一個(gè)隨機(jī)變量。因此，我們又可以把隨機(jī)過程看作是在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的隨機(jī)變量的集合。這個(gè)角度更適合對(duì)隨機(jī)過程理論進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)描述。2022/12/2943.1隨機(jī)過程的基本概念角度2：隨機(jī)2023/1/5773.1.1隨機(jī)過程的分布函數(shù)設(shè)

(t)表示一個(gè)隨機(jī)過程，則它在任意時(shí)刻t1的值

(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其統(tǒng)計(jì)特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述。隨機(jī)過程

(t)的一維分布函數(shù)：隨機(jī)過程

(t)的一維概率密度函數(shù)：若上式中的偏導(dǎo)存在的話。僅僅描述了隨機(jī)過程在各個(gè)孤立時(shí)刻上的統(tǒng)計(jì)特性，沒有說明隨機(jī)過程在不同時(shí)刻取值之間的內(nèi)在聯(lián)系。2022/12/2953.1.1隨機(jī)過程的分布函數(shù)設(shè)(2023/1/5783.1.1隨機(jī)過程的分布函數(shù)隨機(jī)過程

(t)

的二維分布函數(shù)：隨機(jī)過程

(t)的二維概率密度函數(shù)：若上式中的偏導(dǎo)存在的話。隨機(jī)過程

(t)

的n維分布函數(shù)：隨機(jī)過程

(t)

的n維概率密度函數(shù)：n越大，對(duì)隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性的描述就越充分2022/12/2963.1.1隨機(jī)過程的分布函數(shù)隨機(jī)過程2023/1/5793.1.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征在大多數(shù)情況下，用隨機(jī)過程的數(shù)字特征來部分地描述隨機(jī)過程的主要特性：1、均值（數(shù)學(xué)期望）在任意給定時(shí)刻t1的取值

(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其均值 式中f

(x1,t1)－

(t1)的概率密度函數(shù)

由于t1是任取的，所以可以把t1

直接寫為t，x1改為x，這樣上式就變?yōu)?022/12/2973.1.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征在大多2023/1/5803.1.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征

(t)的均值是時(shí)間的確定函數(shù)，常記作a(t)，它表示隨機(jī)過程的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心:a(t)2022/12/2983.1.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征a(2023/1/5813.1.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征2、方差方差常記為2(t)。這里也把任意時(shí)刻t1直接寫成了t

。 因?yàn)椋壕街稻灯椒剿裕讲畹扔诰街蹬c均值平方之差，它表示隨機(jī)過程在時(shí)刻t對(duì)于均值a(t)的偏離程度。2022/12/2993.1.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征2、2023/1/5823.1.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征3、相關(guān)函數(shù)

式中，

(t1)和

(t2)分別是在t1和t2時(shí)刻觀測(cè)得到的隨機(jī)變量?？梢钥闯?，R(t1,t2)是兩個(gè)變量t1和t2的確定函數(shù)。4、協(xié)方差函數(shù)

式中a(t1

)a(t2

)

－在t1和t2時(shí)刻得到的

(t)的均值

f2(x1,x2;t1,t2)－

(t)的二維概率密度函數(shù)。衡量隨機(jī)過程在任意兩個(gè)時(shí)刻上獲得的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度2022/12/29103.1.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征3、2023/1/5833.1.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征

相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系 若a(t1)=a(t2)=0，則B(t1,t2)=R(t1,t2)4、互相關(guān)函數(shù)

式中(t)和(t)分別表示兩個(gè)隨機(jī)過程。 因此，R(t1,t2)又稱為自相關(guān)函數(shù)。

2022/12/29113.1.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征2023/1/5843.2平穩(wěn)隨機(jī)過程3.2.1平穩(wěn)隨機(jī)過程定義定義：

若一個(gè)隨機(jī)過程(t)的任意有限維分布函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，也就是說，對(duì)于任意的正整數(shù)n和所有實(shí)數(shù)，有 則稱該隨機(jī)過程是在嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機(jī)過程，簡稱嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程。2022/12/29123.2平穩(wěn)隨機(jī)過程3.2.1平穩(wěn)2023/1/5853.2.1平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義性質(zhì)：

平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而改變，即它的一維分布函數(shù)與時(shí)間t無關(guān)：

而二維分布函數(shù)只與時(shí)間間隔=t2

–t1有關(guān)：數(shù)字特征：2022/12/29133.2.1平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義性質(zhì)：2023/1/5863.2.1平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義結(jié)論：平穩(wěn)隨機(jī)過程（1）其均值與t無關(guān)，為常數(shù)a

；（2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)。把同時(shí)滿足（1）和（2）的過程定義為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。顯然，嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。

在通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程。因此，研究平穩(wěn)隨機(jī)過程有著很大的實(shí)際意義。2022/12/29143.2.1平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義結(jié)論：2023/1/5873.2.2各態(tài)歷經(jīng)性問題的提出：我們知道，隨機(jī)過程的數(shù)字特征（均值、相關(guān)函數(shù)）是對(duì)隨機(jī)過程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均，但在實(shí)際中常常很難測(cè)得大量的樣本，這樣，我們自然會(huì)提出這樣一個(gè)問題：能否從一次試驗(yàn)而得到的一個(gè)樣本函數(shù)x(t)來決定平穩(wěn)過程的數(shù)字特征呢?回答是肯定的。平穩(wěn)過程在滿足一定的條件下具有一個(gè)有趣而又非常有用的特性，稱為“各態(tài)歷經(jīng)性”（又稱“遍歷性”）。具有各態(tài)歷經(jīng)性的過程，其數(shù)字特征（均為統(tǒng)計(jì)平均）完全可由隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值來代替。下面，我們來討論各態(tài)歷經(jīng)性的條件。2022/12/29153.2.2各態(tài)歷經(jīng)性問題的提出：我2023/1/5883.2.2各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性的條件：設(shè)：x(t)是平穩(wěn)過程(t)的任意一次實(shí)現(xiàn)（樣本）， 則其時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)分別定義為：如果平穩(wěn)過程使下式成立則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。2022/12/29163.2.2各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性的條2023/1/5893.2.2各態(tài)歷經(jīng)性“各態(tài)歷經(jīng)”的含義是：隨機(jī)過程中的任一次實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。因此，在求解各種統(tǒng)計(jì)平均（均值或自相關(guān)函數(shù)等）時(shí)，無需作無限多次的考察，只要獲得一次考察，用一次實(shí)現(xiàn)的“時(shí)間平均”值代替過程的“統(tǒng)計(jì)平均”值即可，從而使測(cè)量和計(jì)算的問題大為簡化。具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定成立。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。2022/12/29173.2.2各態(tài)歷經(jīng)性“各態(tài)歷經(jīng)”的2023/1/5903.2.2各態(tài)歷經(jīng)性[例3-1]設(shè)一個(gè)隨機(jī)相位的正弦波為 其中，A和c均為常數(shù)；是在(0,2π)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。試討論(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。

【解】(1)先求(t)的統(tǒng)計(jì)平均值： 數(shù)學(xué)期望2022/12/29183.2.2各態(tài)歷經(jīng)性[例3-1]2023/1/5913.2.2各態(tài)歷經(jīng)性自相關(guān)函數(shù)令t2

–t1=，得到

可見，(t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與t無關(guān)，只與時(shí)間間隔有關(guān)，所以(t)是廣義平穩(wěn)過程。2022/12/29193.2.2各態(tài)歷經(jīng)性自相關(guān)函數(shù) 可2023/1/5923.2.2各態(tài)歷經(jīng)性(2)求(t)的時(shí)間平均值比較統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均，有因此，隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。2022/12/29203.2.2各態(tài)歷經(jīng)性(2)求2023/1/5933.2.3平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的定義：平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

—

(t)的平均功率

—

的偶函數(shù)

—

R()的上界 即自相關(guān)函數(shù)R()在=0有最大值。

—

(t)的直流功率

—表示平穩(wěn)過程(t)的交流功率。 當(dāng)均值為0時(shí)，有:R(0)=2

。證明：E[ε(t)±ε(t+ζ)]2≥02022/12/29213.2.3平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)2023/1/5943.2.3平穩(wěn)過程的功率譜密度定義：對(duì)于任意的確定功率信號(hào)f(t)，它的功率譜密度定義為式中，F(xiàn)T(f)是f(t)的截短函數(shù)fT(t)所對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)2022/12/29223.2.3平穩(wěn)過程的功率譜密度定義2023/1/5953.2.3平穩(wěn)過程的功率譜密度對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程(t)

，可以把f(t)當(dāng)作是(t)的一個(gè)樣本；某一樣本的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看作是對(duì)所有樣本的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，故(t)的功率譜密度可以定義為上式給出了平穩(wěn)過程(t)的功率譜密度P(f)定義，但直接用它來計(jì)算功率譜密度并不簡單。2022/12/29233.2.3平穩(wěn)過程的功率譜密度對(duì)于2023/1/5963.2.3平穩(wěn)過程的功率譜密度功率譜密度的計(jì)算維納-辛欽關(guān)系

非周期的功率型確知信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換。這種關(guān)系對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過程同樣成立，即有： 簡記為 以上關(guān)系稱為維納-辛欽關(guān)系。它在平穩(wěn)隨機(jī)過程的理論和應(yīng)用中是一個(gè)非常重要的工具，它是聯(lián)系頻域和時(shí)域兩種分析方法的基本關(guān)系式。2022/12/29243.2.3平穩(wěn)過程的功率譜密度功率2023/1/5973.2.3平穩(wěn)過程的功率譜密度在維納-辛欽關(guān)系的基礎(chǔ)上，我們可以得到以下結(jié)論：對(duì)功率譜密度進(jìn)行積分，可得平穩(wěn)過程的總功率： 上式從頻域的角度給出了過程平均功率的計(jì)算法。各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過程的功率譜密度。也就是說，每一樣本函數(shù)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個(gè)過程的的譜特性。

【證】因?yàn)楦鲬B(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)等于任一樣本的自相關(guān)函數(shù)，即 兩邊取傅里葉變換： 即 式中 2022/12/29253.2.3平穩(wěn)過程的功率譜密度在維2023/1/5983.2.3平穩(wěn)過程的功率譜密度功率譜密度P(f)具有非負(fù)性和實(shí)偶性，即有

和

這與R()的實(shí)偶性相對(duì)應(yīng)。

2022/12/29263.2.3平穩(wěn)過程的功率譜密度功率2023/1/5993.2.3平穩(wěn)過程的功率譜密度[例3-2]求隨機(jī)相位余弦波(t)=Acos(ct+)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度?！窘狻吭赱例3-1]中，我們已經(jīng)考察隨機(jī)相位余弦波是一個(gè)平穩(wěn)過程，并且求出其相關(guān)函數(shù)為

因?yàn)槠椒€(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換，即有 以及由于有

所以，功率譜密度為

平均功率為2022/12/29273.2.3平穩(wěn)過程的功率譜密度[例2023/1/51003.3高斯隨機(jī)過程3.3.1定義如果隨機(jī)過程(t)的任意n維（n

=1,2,...）分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程。n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為：正態(tài)隨機(jī)過程式中2022/12/29283.3高斯隨機(jī)過程3.3.1定義2023/1/51013.3高斯隨機(jī)過程式中

|B|－歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即|B|jk

－行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余因子

bjk

－為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即2022/12/29293.3高斯隨機(jī)過程2023/1/51023.3.2高斯隨機(jī)過程重要性質(zhì)由高斯過程的定義式可以看出，高斯過程的n維分布只依賴各個(gè)隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。因此，對(duì)于高斯過程，只需要研究它的數(shù)字特征就可以了。廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴(yán)平穩(wěn)的。因?yàn)?，若高斯過程是廣義平穩(wěn)的，即其均值與時(shí)間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，則它的n維分布也與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，故它也是嚴(yán)平穩(wěn)的。所以，高斯過程若是廣義平穩(wěn)的，則也嚴(yán)平穩(wěn)。2022/12/29303.3.2高斯隨機(jī)過程重要性質(zhì)由高2023/1/51033.3.2高斯隨機(jī)過程重要性質(zhì)如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的

證明：如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，即對(duì)所有jk，有bjk=0，則其概率密度可以簡化為:高斯過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是高斯過程。也可以說，若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過程。2022/12/29313.3.2高斯隨機(jī)過程重要性質(zhì)如果2023/1/51043.3.3高斯隨機(jī)變量高斯過程在任一時(shí)刻上的取值是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為

式中

a－均值

2

－方差 曲線如右圖：2022/12/29323.3.3高斯隨機(jī)變量高斯過程在任2023/1/51053.3.3高斯隨機(jī)變量性質(zhì)f(x)對(duì)稱于直線x=a，即

a表示分布中心，稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，表示集中程度，圖形將隨著的減小而變高和變窄。當(dāng)a=0和

=1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布：2022/12/29333.3.3高斯隨機(jī)變量性質(zhì)2023/1/51063.3.3高斯隨機(jī)變量正態(tài)分布函數(shù) 這個(gè)積分的值無法用閉合形式計(jì)算，通常利用其他特殊函數(shù)，用查表的方法求出：用誤差函數(shù)erf(x)表示正態(tài)分布函數(shù)：令 則有 及 式中:

－誤差函數(shù)，可以查表求出其值。2022/12/29343.3.3高斯隨機(jī)變量正態(tài)分布函數(shù)2023/1/51073.3.3高斯隨機(jī)變量用互補(bǔ)誤差函數(shù)erfc(x)表示正態(tài)分布函數(shù)：

式中： 當(dāng)x>2時(shí)，2022/12/29353.3.3高斯隨機(jī)變量用互補(bǔ)誤差函2023/1/51083.3.3高斯隨機(jī)變量Q函數(shù)定義：Q函數(shù)和erfc

函數(shù)的關(guān)系：Q函數(shù)和分布函數(shù)F(x)的關(guān)系：Q函數(shù)值也可以從查表得到。2022/12/29363.3.3高斯隨機(jī)變量Q函數(shù)定義：2023/1/51093.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)確知信號(hào)通過線性系統(tǒng)： 式中vi

－輸入信號(hào)，vo

－輸出信號(hào) 對(duì)應(yīng)的傅里葉變換關(guān)系：隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)：其中：i(t)－是平穩(wěn)的輸入隨機(jī)過程，

求輸出過程o(t)的統(tǒng)計(jì)特性，即它的均值a、自相關(guān)函數(shù)Ri()、功率譜Pi()以及概率分布。隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)的分析，建立在確知信號(hào)通過線性系統(tǒng)的分析基礎(chǔ)之上的。2022/12/29373.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)確知2023/1/51103.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)1、輸出過程的均值對(duì)下式兩邊取統(tǒng)計(jì)平均：

得到設(shè)輸入過程是平穩(wěn)的，則有

式中，H(0)是線性系統(tǒng)在f=0處的頻率響應(yīng)，因此，輸出過程的均值是一個(gè)常數(shù)。2022/12/29383.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)1、2023/1/51113.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)2、輸出過程的自相關(guān)函數(shù)

根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義

根據(jù)輸入過程的平穩(wěn)性，有于是

上式表明，輸出過程的自相關(guān)函數(shù)僅是時(shí)間間隔的函數(shù)。由上兩式可知，若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，則輸出也是平穩(wěn)的。2022/12/29393.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)2、2023/1/51123.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)3、輸出過程的功率譜密度對(duì)式進(jìn)行傅里葉變換令=

+-，代入上式，得到 即結(jié)論：輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。應(yīng)用：由Po(f)的反傅里葉變換求Ro()

2022/12/29403.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)3、2023/1/51133.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)4、輸出過程的概率分布如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。 因?yàn)閺姆e分原理看：可以表示為：

由于已假設(shè)i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一項(xiàng)在任一時(shí)刻上都是一個(gè)高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過程在任一時(shí)刻上得到的隨機(jī)變量就是無限多個(gè)高斯隨機(jī)變量之和。由概率論理論得知，這個(gè)“和”也是高斯隨機(jī)變量，因而輸出過程也為高斯過程。 注意，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。2022/12/29413.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)4、2023/1/51143.5窄帶隨機(jī)過程什么是窄帶隨機(jī)過程？

若隨機(jī)過程(t)的譜密度集中在中心頻率fc附近相對(duì)窄的頻帶范圍f

內(nèi)，即滿足：f<<fc的條件，且fc遠(yuǎn)離零頻率，則稱該(t)為窄帶隨機(jī)過程。窄帶隨機(jī)過程的表示式式中，a(t)－隨機(jī)包絡(luò)，

(t)－隨機(jī)相位

c

－中心角頻率2022/12/29423.5窄帶隨機(jī)過程什么是窄帶隨機(jī)過2023/1/51153.5窄帶隨機(jī)過程典型的窄帶隨機(jī)過程的譜密度和樣本函數(shù)顯然a(t)和

(t)的變化相對(duì)于載波cosct的變化要緩慢得多。2022/12/29433.5窄帶隨機(jī)過程典型的窄帶隨機(jī)過2023/1/51163.5窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程表示式展開可以展開為式中

－(t)的同相分量 －(t)的正交分量

可以看出：(t)的統(tǒng)計(jì)特性由a(t)和

(t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性確定。若(t)的統(tǒng)計(jì)特性已知，則a(t)和

(t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性也隨之確定。

2022/12/29443.5窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程表示2023/1/51173.5.1c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性數(shù)學(xué)期望：

對(duì)下式求數(shù)學(xué)期望：

得到：因?yàn)?t)平穩(wěn)且均值為零，故對(duì)于任意的時(shí)間t，都有E[(t)]=0

，所以假設(shè)(t)是一個(gè)平穩(wěn)高斯窄帶過程2022/12/29453.5.1c(t)和s(t)的2023/1/51183.5.1c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性自相關(guān)函數(shù)由自相關(guān)函數(shù)的定義式式中：因?yàn)?t)是平穩(wěn)的，故有：可以證明：若窄帶過程(t)是平穩(wěn)的，則c(t)和s(t)也必然是平穩(wěn)的。t=0t=π/(2ωc)2022/12/29463.5.1c(t)和s(t)的2023/1/51193.5.1c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)一步分析以下兩式應(yīng)同時(shí)成立，故有同相分量c(t)和正交分量s(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù)。根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有代入上式，得到上式表明Rsc()是的奇函數(shù)，所以同理可證2022/12/29473.5.1c(t)和s(t)的2023/1/51203.5.1c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性在中令0并利用可得：即上式表明：

(t)、c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差。

2022/12/29483.5.1c(t)和s(t)的2023/1/51213.5.1c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性根據(jù)平穩(wěn)性，過程的特性與變量t無關(guān)，故由式 得到

因?yàn)?t)是高斯過程，所以，c(t1)，s(t2)一定是高斯隨機(jī)變量，從而c(t)

、s(t)也是高斯過程。根據(jù) 可知，c(t)

與s(t)在=0處互不相關(guān)，又由于它們是高斯型的，因此c(t)

與s(t)也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。2022/12/29493.5.1c(t)和s(t)的2023/1/51223.5.1c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性結(jié)論：一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t)

，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)同樣是平穩(wěn)高斯過程，而且均值為零，方差也相同。此外，在同一時(shí)刻上得到的c和s是互不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。2022/12/29503.5.1c(t)和s(t)的2023/1/51233.5.2a(t)和(t)的統(tǒng)計(jì)特性聯(lián)合概率密度函數(shù)f(a,)由上面可得：根據(jù)概率論知識(shí)有：由可以求得：則：

式中：a0,=(0,2π)2022/12/29513.5.2a(t)和(t)的2023/1/51243.5.2a(t)和(t)的統(tǒng)計(jì)特性a的一維概率密度函數(shù)可見，a服從瑞利(Rayleigh)分布。的一維概率密度函數(shù)

可見，服從均勻分布。2022/12/29523.5.2a(t)和(t)的2023/1/51253.5.2a(t)和(t)的統(tǒng)計(jì)特性結(jié)論 一個(gè)均值為零，方差為2的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t)，其包絡(luò)a(t